# 対象式と交代式

## 対称式

$a^2 + b^2 + c^2$ のように，変数をどのように入れ替えても変化しない式を **対称式 (symmetric polynomial)** という．言い換えれば，対称式とは，任意の変数の置換に対して不変な多項式のことをいう．

$n$ 変数の多項式を考えるとき，
$$s_i = \sum_{\lambda \subset \Lambda_n, |\lambda| = i}(\prod_{t \in \lambda}x_t)$$
を $i$ 次の **基本多項式(elemental symmetric polynomial)** という．

例として，3 変数の $i$ 次基本多項式を示す．
- ${i = 1 : x_1 + x_2 + x_3}$
- ${i = 2 : x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}$
- ${i = 3 : x_1x_2x_3}$

任意の対称式は基本対称式の多項式としてただ一通りに表すことができる．これを **対称式の基本定理 (fundamental theorem on symmetric polynomial)** という．

## 交代式と差積

$n$変数多項式 $f(x_1,\dots,x_n) ~~ (i\neq j)$ について， $x_i$ と $x_j$ を入れ替えると符号が変わって $-f(x_1,\dots,x_n)$ になるような多項式を **交代式(alternating polynomial)** という．また，

$$\Delta(x_1,\dots,x_n) = \prod_{1 \le i \lt j \le n}(x_j-x_i)$$

を **差積(difference product)** という．差積 $\Delta(x_1,\dots,x_n)$ は交代式である．すべての交代式は差積と対称式 $g(x_1,\dots,x_n)$ を用いて

$$\Delta(x_1,\dots,x_n)g(x_1,\dots,x_n)$$

で表される．

## ヴァンデルモンドの行列式

行列

$$V = \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\
\end{pmatrix}$$

を **ヴァンデルモンド行列(Vandermonde matrix)** といい，その行列式 $det~V$ を **ヴァンデルモンドの行列式(Vandermonde's determinant)** という．この行列式は差積に等しい．

**注意**
差積の $x_i$ と $x_j$ を逆にしている定義があるが，その定義では $n$ が奇数の場合にヴァンデルモンドの行列式と符号が逆になる．