# 第七章：圓和直線的關係

## (複習) 圖形交點


- 紅線：所有滿足 $x + 2y = 5$ 的點。
- 藍線：所有滿足 $7x - y = 5$ 的點。
- 交點 $(1, 2)$ 同時位於紅線和藍線上，代表它同時滿足這兩條方程式。

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- 綠圓：所有滿足 $x^2 + y^2 = 25$ 的點。
- 紫線：所有滿足 $x - 7y = -25$ 的點。
- 交點 $(3, 4), (-4, 3)$ 同時位於綠圓和紫線上，代表它們同時滿足上述兩條方程式。

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## 本章大綱

### 1. 判斷圓與直線的相交情形
### 2. 計算切線

> 這些問題可用以下兩種方式解決，也是本章的核心內容。

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### 方式一：代數運算

1. 什麼是代入消去法？
2. 什麼是一元二次方程式的判別式？
3. 判別式 $D$ 的意義：
- 若 $D > 0$，則表示？
- 若 $D = 0$，則表示？
- 若 $D < 0$，則表示？
4. 計算講義例題 1、2

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### 方式二：圖形判斷

1. 圓與直線的關係有哪3種？
2. 當圓心與直線的距離大於半徑時，圓和直線的相交狀況為？
3. 當圓心與直線的距離等於半徑時，圓和直線的相交狀況為？
4. 當圓心與直線的距離小於半徑時，圓和直線的相交狀況為？
5. 計算講義例題 3
6. 比較代數運算和圖形判斷，並總結兩種方法的使用情況

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### 注意事項

- 兩種方法都需要弄懂，而解決問題時，筆者建議先熟練**圖形判斷**的解題方式為佳。

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## 例題提示
> 本章需要學習的數學概念只有上述提到的兩個，剩下來第7章的題目，仰賴同學對第5、6、7章的理解。以下為各例題需要用的技巧
### 例題 4、10
1. 使用圓心到直線的距離公式
2. 使用畢氏定理

### 例題 5
1. 利用圖形判斷圓與直線的關係

### 例題 6
1. 設$d$為圓心到直線的距離
2. 最遠距離為 $d + r$；最近距離為 $d - r$
3. 比較圓外的點與圓上的點最近與最遠的距離 (參考講義第六章例題 10)

### 例題 7
1. 圓心與 $P$ 點的連線會與切線垂直

### 例題 8、9
1. 使用點斜式 $y - b = m(x - a)$ 假設切線
2. 利用切線到圓心的距離等於半徑，來計算斜率 $m$
> 注意：圓外的點會有兩條切線。如果只有算出一個斜率 $m$，則另一條切線為**鉛直線**。

### 例題 11

1. 直角三角形的外心在斜邊中點上。
2. 以下敘述的目標是證明 $\triangle PAB$ 的外接圓是以 $P$和圓$C$的圓心兩點為直徑的端點，所作的圓。

假設圓 $C$ 的圓心為 $(1, 2) = O$，則直角 $\triangle PAO$ 的外心在 $\overline{OP}$ 的中點$M$上。

同理，直角 $\triangle PBO$ 的外心在 $\overline{OP}$ 的中點上。

因此，$\triangle PAB$ 的外接圓為以 $M$ 為圓心、半徑為 $\frac{1}{2} \overline{OP}$ 的圓。

### 例題 12

- 若圓心為 $(a, b)$ 且在第一象限，則 $a > 0, b > 0$
- 若與 $x$ 軸相切，則半徑 $= b$
- 若與 $y$ 軸相切，則半徑 $= a$
- 因此，半徑 $= a = b$

### 例題 13

1. 將問題座標化
2. 計算兩切線與 $x$ 軸的交點

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# Chapter 6 from 11/11

## 0a. 圓的判別式
1. 找到 $x^2+y^2+dx+ey+f=0$ 的圓心與半徑平方。
2. 如果半徑平方 $d^2+e^2-4f > 0$ ，代表以上方程式會是什麼圖形？
3. 如果$d^2+e^2-4f = 0$，代表以上方程式會是什麼圖形？
4. 如果$d^2+e^2-4f < 0$，代表以上方程式會是什麼圖形？
5. 計算講義例題6

## 0b. 阿波羅尼斯圓
1. 利用點到點的距離公式
$$兩點距離= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
計算講義例題7、8

- 阿波羅尼斯圓就是例題7，利用 $\overline{PA}:\overline{PB} = 1 : k\quad 且\quad k\neq 1\quad$所得到的圓。
- 當以上$k=1$時，則會計算出中垂線。

## 1. 點與圓的關係

1. 寫下一個圓方程式，它的圓心和半徑是多少？
2. 各畫出一個在圓上的點、圓內的點、圓外的點，並寫下它們的座標。
3. 分別計算以上三個點到圓心的距離。
4. 將以上距離與半徑比較。
5. 你從以上的計算學習到了什麼？
6. 將以上結果展開，你會得到什麼結論？
7. 了解以上觀念後計算講義例題9。

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## 2. 點到圓的距離

1. 寫下一個圓方程式，它的圓心和半徑是多少？
2. 寫下一個圓外的點。
3. 找到過圓心與圓外的點的直線。
4. 圓上的所有點裡面，哪一個點離在第二小題的座標最遠？距離多少？
5. 圓上的所有點裡面，哪一個點離在第二小題的座標最近？距離多少？
6. 將以上問題改成寫下一個圓內的點再討論一次。
7. 從以上的問題你能總結什麼？
8. 了解以上觀念後計算講義例題10。

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## 3. 莫爾圓

1. 寫下一個圓方程式，滿足圓心在 $x$ 軸上，它的圓心和半徑是多少？
2. 如果 $A(3, 4)$, $B(7, -4)$ 為一個圓的直徑，此圓的圓心是否在 $x$ 軸上？
3. 如果 $A(3, 4)$, $B(7, 4)$ 為一個圓的直徑，此圓的圓心是否在 $x$ 軸上？
4. 給定直徑的端點，你會如何判斷是否為莫爾圓（莫爾圓為圓心在 $x$ 軸上的圓）？
5. 了解以上觀念後計算講義例題12。

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## 4. 圓心在中垂線上

1. 一條線段的中垂線具有什麼性質？
2. 圓心到圓上的任兩點距離都是半徑，因此給定圓上的任兩點，圓心會在中垂線上。
3. 了解以上觀念後計算講義例題3。

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## 5. 平面上整數距離的點

1. 在平面座標上畫出距離原點為 $1$ 的所有點，並寫下其方程式。
2. 將距離分別改成 $2$、$3$、$4$、$5$，重複步驟1。
3. 帶著以上觀察，計算講義例題11。

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## 6. 座標化

1. 如果以狗為原點，水平為 $x$ 軸，鉛直為 $y$ 軸，房子的座標為何？
2. 如果以房子為原點，水平為 $x$ 軸，鉛直為 $y$ 軸，狗的座標為何？
3. 利用座標化的技巧，計算講義例題13。