# PRF - Amphi 7

[Slides "Théories des files d'attente"](https://moodle.insa-lyon.fr/pluginfile.php/93354/mod_resource/content/4/4tc_prf_cours_FA_2021.pdf)

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## Théorie des files d'attente

### Définitions

*Autres relations :*
- $\mathbb{E}[N] = \sum_{i=0}^\infty i \cdot \Pi_i$
- $\mathbb{E}[N] = \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[T] = \mathbb{E}[N_\omega] + \mathbb{E}[N_s]$
- $\mathbb{E}[N_\omega] = \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[T_\omega]$
- $\mathbb{E}[N_s] = \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[T_s]$
- Temps dans le système = Temps d'attente + temps de service : $\mathbb{E}[T] = \mathbb{E}[T_\omega] + \mathbb{E}[T_s]$
- $\mathbb{E}[N] = \mathbb{E}[N_\omega] + \mathbb{E}[N_s]$
- $\mathbb{E}[X] = \sum_{i=0}^\infty \Pi_i \cdot\mathbb{E}[X|i_{clients}]$
- $\mathbb{E}[X] = (1-\mathbb{E}[R])\cdot \lambda$

**Conseil :** Essayer de déduire $\mathbb{E}[T]$ à partir de la loi de Little car $\mathbb{E}[N]$ et $\mathbb{E}[X]$ sont plus facile à calculer


### Modèle M/M/1


**Calcul de la distribution stationnaire**
On pose $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$
$\Pi_i = \rho^i \Pi_0$
$\Pi_0 = \frac{1}{\sum_{i=0}^\infty \rho^i} \Leftrightarrow \Pi_0 = 1-\rho$ car $\sum_{i=0}^\infty \rho^i = \frac{1}{1-\rho}$

*NB : Démo complète dans les slides*

### Modèle M/M/m


**Définition :** Le minimum de deux lois exponentielles $T_1 \sim \exp(\lambda_1)$ et $T_2 \sim \exp(\lambda_2)$ suit une loi exponentielle $T_3 = \min(T_1, T_2) \sim \exp(\lambda_1 + \lambda_2)$

**Calcul de la distribution stationnaire :**

$\Pi_i = \frac{\lambda}{i\mu}\Pi_{i-1} \ \forall i \leqslant m$
$\Pi_i = \frac{\lambda}{m\mu}\Pi_{i-1} \ \forall i > m$
$\Pi_i = \frac{\rho^i}{i!} \Pi_0 \ \forall i \leqslant m$
$\Pi_i = \frac{\rho^i}{m!m^{i-m}} \Pi_0 \ \forall i > m$
$\sum_{i=0}^\infty \Pi_i = 1$

*NB : C'est utile de garder l'expression en fonction de $\Pi_{i-1}$ pour l'analyse de performances*

*Pour $\rho<m$*

*NB : Démo complète dans les slides*