# TIP - TD1

[Slides - Cours](https://moodle.insa-lyon.fr/pluginfile.php/158561/mod_resource/content/3/MAS_2022.pdf)

[Slides - TD](https://moodle.insa-lyon.fr/pluginfile.php/235125/mod_resource/content/1/MAS_2021_TD.pdf)

[LaTeX symbols](https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols)

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## Espaces vectoriels

### Espaces vectoriels (EV)

Soit $K$ un corps commutatif d'éléments unité noté 1.

$E$ est un espace vectoriel sur $K$ si $E$ est muni :
- d'une loi de composition interne "$+$"
- d'une loi externe ($E.K \longrightarrow E$) notée "." qui vérifie les axiomes :
- $a.(x+y) = a.x + a.y$
- $(a+b).x = a.x + b.x$
- $a.(b.x) = a.b.x$
- $1.x = x$

Si $K = \mathbb{R}$, $E$ est un EV Euclidien
Si $K = \mathbb{C}$, $E$ est un EV Hermitien

### Bases des esapces vectoriels

Une base $B$ de $E$ est une partie génératrice minimale de $E$

Si $B=(e_1,e_2,...,e_i,...,e_n)$ est une base de $E$ alors $E$ est un EV de dimension finie $n$

Tout élément de $E$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des éléments de la base $B$
- $x=x_1.e_1+x_2.e_2+...+x_i.e_I+...+x_n.e_n$

On parle alors de composantes ou coordonnées $x_i$ de $x \in E$

### Sous espaces vectoriels (SEV)

Si on munit $F$ (partie de $E$, espace vectoriel) des opérations d'espace vectoriel définie dans E, alors F est appelé **sous espace vectoriel** de $E$

Si $E$ est de dimension finie : $dim F \leqslant dim E$

On appelle **somme** de deux sous-espaces $F$ et $G$ de $E$, l'ensemble $S$ des éléments $x \in F$ et $y \in G$

$S$ est aussi un SEV

La somme $S$ est **directe** si $F$ et $G$ n'ont que le vecteur nul de $E$ en commun ($F \cap G = \{0_E\}$). On écrit alors $F \oplus G$

$F$ et $G$ sont complémentaires dans $E$ si tout vecteur de $E$ s'écrit de façon unique comme somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$
On a alors :
- $dim E = n = dim F + dim G$
- $E = F \oplus G$

## Espaces de Hilbert

### Produit scalaire (ou hermitien)

Soit un esapce vectoriel $E$ dans $\mathbb{C}$ (ou $\mathbb{R}$). Un **produit scalaire** sur $E$ est une application notée $\langle .,. \rangle$ de $E.E$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ telle que $\forall (x,y,z) \in E^3$ et $\forall \lambda \in \mathbb{C}$ :
- $0 \leqslant \langle x,x \rangle$ et $\langle x,x \rangle = 0 \Rightarrow x=0$
- $\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle^*$ où $^*$ désigne le conjugué
- $\langle x+z,y \rangle = \langle x,y \rangle + \langle z,y \rangle$ et $\langle \lambda x,x \rangle = \lambda\langle x,x \rangle$

Le produit $\langle .,. \rangle$ est appelé **produit hermitien** dans $\mathbb{C}$ et **produit scalaire** dans $\mathbb{R}$

### Espaces préhilbertiens

On appelle **espace préhilbertien**, un espace vectoriel $H$ muni d'un produit scalaire. On peut alors définir la **norme** d'un élément $x \in H$ :
$\lVert x \rVert = \langle x,x \rangle^{\frac{1}{2}}$

*Lemme 1* : Si $H$ est un espace préhilbertien, alors on a :
- $\forall (x,y) \in H^2, |\langle x,y \rangle| \leqslant \lVert x \rVert . \lVert y \rVert$ (inégalité de Schwartz)

*Lemme 2* : Un espace préhilbertien est un espace vectoriel normé avec $\lVert x \rVert = \langle x,x \rangle^{\frac{1}{2}}$ qui vérifie l'inégalité triangulaire :
- $\lVert x+y \rVert \leqslant \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$

### Espaces de Hilbert

Un espace préhilbertien muni de la norme $\lVert x \rVert = \langle x,x \rangle^{\frac{1}{2}}$ et *complet* est appelé **espace de Hilbert**

*NB : Toute suite de fonctions converge vers une fonction de ce même espace, cet espace est complet. Intuitivement, les termes de la suite (par exemple une famille de fonctions) deviennent de plus en plus proches les uns des autres et tendent vers une fonction unique de l’espace. Cette propriété sera utile dans la partie approximation de fonctions*

La norme $\lVert . \rVert$ permet de définir une **distance** $d$ entre $x$ et $y$ :
- $d(x,y) = \lVert x-y \rVert = \langle x-y,x-y \rangle^{\frac{1}{2}}$

***Exemple*** : L'espace $L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{R})$ est un espace de Hilbert :

C'est l'espace des fonctions $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$ qui sont "**carré intégrables**" (en théorie du signal, signal à énergie finie)

- $\int_{\mathbb{R}} |f(t)|^2dt < \infty$
- $\lVert f \rVert = \langle f,f \rangle^\frac{1}{2} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}} |f(t)|^2dt}$

Le produit hermitien est défini par :
- $\langle f,g \rangle_{L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{R})} = \int_{\mathbb{R}}f(t).g(t)^*.dt$

Pour $L^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})$, on a le produit scalaire :
- $\langle f,g \rangle_{L^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})} = \int_{\mathbb{R}}f(t).g(t).dt$

## Transformée de Fourier vue dans un espace de Hilbert

L'espace de Hilbert $L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{R})$ est un paradis pour la **transformée de Fourier (TF)**

La TF est **bijective** de $L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{R})$ dans $L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{R})$ :
- Tout $x(t)$ a une TF dans $L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{R})$
- Tout $X(f)$ est la TF d'une fonction de $L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{R})$

On a aussi : $\int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2dt < \infty$ (fonctions à énergie finie)

La TF directe et la TF inverse peuvent s'écrire sous la forme d'un produit hermitien :
- *TF directe* : $X(f) = \langle x(t), e^{j2\pi ft} \rangle = \int_{\mathbb{R}} x(t)(e^{j2\pi ft})^*dt = \int_{\mathbb{R}} x(t)e^{-j2\pi ft}dt$
- *TF inverse* : $x(t) = \langle X(f), e^{j2\pi ft} \rangle = \int_{\mathbb{R}} X(f)(e^{-j2\pi ft})^*df = \int_{\mathbb{R}} X(f)e^{j2\pi ft}df$

La formule de Plancherel-Parseval peut aussi s'écrire sous la forme d'un produit hermitien :
- $\int_{\mathbb{R}} x(t)y(t)^*dt = \int_{\mathbb{R}} X(f)Y(f)^*df \Leftrightarrow \langle x(t),y(t) \rangle_{L^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})} = \langle X(f),Y(f) \rangle_{L^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})}$

Si $x=y$ on retrouve l'égalité de Parseval :
- $\int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2dt = \int_{\mathbb{R}} |X(f)|^2df \Leftrightarrow \langle x(t),x(t) \rangle_{L^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})} = \langle X(f),X(f) \rangle_{L^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{R})}$

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## Exercices


$d(x,y)^2=\lVert x-y \rVert = \langle x-y, x-y \rangle$
$= \langle x, x-y \rangle - \langle y, x-y \rangle$
$= \langle x,x \rangle - \langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y,y \rangle$
$= \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 - \langle x,y \rangle - \langle x,y \rangle^*$
$= \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 - 2.Re\{\langle x,y \rangle\}$

*hint* : $\langle x,y \rangle + \langle x,y \rangle^* = Re\{\langle x,y \rangle\} + Im\{\langle x,y \rangle\} + Re\{\langle x,y \rangle\} - Im\{\langle x,y \rangle\} = 2.Re\{\langle x,y \rangle\}$

Si $x$ et $y$ sont orthogonaux, on a :
$d(x,y)^2 = \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2$ car $\langle x,y \rangle = 0$ donc $2.Re\{\langle x,y \rangle\} = 0$

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On utilise l'égalité de Parseval : $\int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2dt = \int_{\mathbb{R}} |X(f)|^2df$

Sachant que via la transformée de Fourier inverse ($TF^{-1}$) $\frac{\sin \pi f T_0}{\pi f T_0} \longrightarrow rect(t)$ sur l'intervalle $[\frac{-T_0}{2} ; \frac{T_0}{2}]$

On a donc $\int_{\mathbb{R}} (\frac{\sin \pi f}{\pi f})^2df = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} rect(t)^2dt = 1$