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# System prepended metadata

title: CNA - TD 7
tags: [CNA, TD]

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# CNA - TD 7

[Polycopié](https://moodle.insa-lyon.fr/pluginfile.php/185264/mod_resource/content/9/CoursCNA2021-2022-chapter6.pdf)

[Sujet](https://moodle.insa-lyon.fr/pluginfile.php/183821/mod_resource/content/10/TD7_CNA_2021-2022_etudiants.pdf)

###### tags : `CNA` `TD`

## Rappel de cours et signaux BB et RF

![](https://i.imgur.com/vGQkaDk.png)

1. Signal en BB défini à partir du signal analytique lui même complexe. Conséquence, il n'y a pas de symétrie par rapport à 0 (représentation fréquentielle). 
2. a
3. 
![](https://i.imgur.com/f6sjxeX.png)


## Transposition "mathématique" sous Simulink

![](https://i.imgur.com/2hVg10Q.png)
![](https://i.imgur.com/ZpRr3fX.png)

1. Voir fichier
2. Voir fichier
3. Voir fichier (faire des captures d'écran des résultats)
4. Voir fichier (encadrer la zone)
5. Retard car le filtre n'est pas causal (dépend des informations passées ET futures)
6. Voir fichier

## Réponse en fréquence d'un canal RF
![](https://i.imgur.com/yNJNrZb.png)

1. $h(t) = 1 \cdot \delta (t) + 0,8 \cdot \delta (t-1)$
2. $H(f) = 1 + 0,8 \cdot  e^{-j2 \pi ft_2}$
3. Evanouissement car en fonction de la valeur de $f$, le vecteur $H(f)$ va être plus petit (la partie imaginaire agit comme une interférence destructrice) 
NB : Représenter dans un plan complexe et voir fichier matlab pour le tracé du module
4. Observer la réponse fréquentielle avec le fichier matlab (résultat similaire au cas où on a deux chemins mais moins régulier)

## 
![](https://i.imgur.com/cshqT0s.png)

1. $h_{RF}(t) = a \cdot \delta (t-t_1) + b \cdot \delta (t-t_2) + c \cdot \delta (t-t_3)$
$H_{RF}(f) = a \cdot e^{-j2 \pi ft_1} + b \cdot e^{-j2 \pi ft_2} + c \cdot e^{-j2 \pi ft_3}$
$H_{bb}(f) = H_{RF}(f + f_c) = a \cdot e^{-j2 \pi (f + f_c)t_1} + b \cdot e^{-j2 \pi (f + f_c)t_2} + c \cdot e^{-j2 \pi (f + f_c)t_3}$
$h_{bb}(t) = a \cdot e^{-j2 \pi f_c t_1} \cdot \delta (t-t_1) + b \cdot e^{-j2 \pi f_c t_2} \cdot \delta (t-t_2) + c \cdot e^{-j2 \pi f_c t_3} \cdot \delta (t-t_3)$
2. Délai max = $t_3$
Délai moyen = $\frac{t_1 + t_2 + t_3}{3}$
Délai RMS (Root Mean Square) = $\sqrt{\frac{t_1^2 + t_2^2 + t_3^2}{3}}$
3. Faire l'application numérique

## Base orthogonale en fréquence
![](https://i.imgur.com/bM3OzCT.png)

1. $\underline{\phi_k}(t) = rect_{T_x}(t) \cdot e^{\frac{j2 \pi kt}{T_x}}$
$\underline{\phi_k}(t) = rect_{T_x}(t) \cdot [cos(j2 \pi \frac{k}{T_x}t)+j \cdot sin(j2 \pi \frac{k}{T_x}t)]$
On voit donc que ces signaux sont portés par des sinusoïdes de période $\lambda_k = \frac{T_x}{k}$
2. $\langle \underline{\phi_k}, \underline{\phi_l} \rangle = \int rect_{T_x}(t) \cdot e^{\frac{j2 \pi kt}{T_x}} \cdot rect_{T_x}(t) \cdot e^{\frac{j2 \pi lt}{T_x}}dt$
$\langle \underline{\phi_k}, \underline{\phi_l} \rangle = \frac{1}{T_x}\int_{0}^{T_x} e^{j2 \pi \frac{k}{T_x}t} \cdot e^{j2 \pi \frac{l}{T_x}t}dt$
$\langle \underline{\phi_k}, \underline{\phi_l} \rangle = \frac{1}{T_x}\int_{0}^{T_x} e^{j2 \pi \frac{k-l}{T_x}t}$
Terminer de prouver que c'égal à 0 (décomposer en $cos+jsin$ ou visuellement)

## Rappels sur la TF
![](https://i.imgur.com/uEkYyZj.png)

1. $X(f) = \int_{0}^{T_x} x(t) \cdot e^{-j2 \pi ft}$
2. $X(f)$ est infinie. On a jamais un signal limité en temps et en fréquence. Comme on ne peut pas avoir de signal infini, on est obligés d'émettre sur tout le spectre. On fera donc en sorte d'émettre fortement sur la bande sélectionnée et très faiblement sur le reste du spectre.
3. $x_p(t) = x(t) * \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (t-kT_x)$
$X_p(f) = X(f) \cdot \frac{1}{T_x} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (f-\frac{k}{T_x})$
4. DFT = TF sur un signal discret périodique

