# TIP - TD2

[Slides - Cours](https://moodle.insa-lyon.fr/pluginfile.php/158561/mod_resource/content/3/MAS_2022.pdf)

[Slides - TD](https://moodle.insa-lyon.fr/pluginfile.php/235125/mod_resource/content/1/MAS_2021_TD.pdf)

[LaTeX symbols](https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols)

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## Orthogonalité dans un espace de Hilbert

Soit $H$ un esapce de Hilbert, les éléments $p$ et $q$ de $H$ sont orthogonaux si $\langle p,q \rangle = 0$

Soit $S$ un sous espace de $H$, on note $S^{\perp}$ le complément orthogonal de S :
$S^{\perp} = \{q \in H$ tel que $\forall p \in S, \langle p,q \rangle = 0 \}$

*Lemme (Relation de Pythagore)* : Soit $H$ un espace de Hilbert, si les éléments $x$ et $y$ de $H$ sont orthogonaux alors :
$\lVert x+y \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2$

## Théorème de la Projection Orthogonale

**Théorème de projection** :
Soit $S$ un sous espace de Hilbert de $H$ et $S^{\perp}$ le complément orthogonal de $S$ ($H = S \oplus S^{\perp}$)
Soit $x \in H$, on projète orthogonalement $x$ sur $S$ et on obtient $p$
- $\forall x = p + q \in H$, $\exists$ un seul et unique couple $(p,q)$ avec $p \in S$ et $q \in S^{\perp}$
- $\lVert p-x \rVert = \lVert q \rVert = \, ^{min}_{u \in S}\lVert u-x \rVert$


### Principe de la projection orthogonale $s$

- $P_S(x)$ : Opérateur orthogonal de projection sur $S$
- $p=P_S(x)$ : élément unique de $S$ le plus proche de $x$
- $\lVert P_S(x) \rVert \leqslant \lVert x \rVert$ : On projette dans un espace de dimension inférieure donc on perd de l'énergie (notion d'approximation)
- On peut voir $p$ comme une approximation de $x$ exprimée dans $S$
- $q$ est le vecteur erreur d'approximation
- $\lVert p-x \rVert = \lVert q \rVert = \, ^{min}_{u \in S}\lVert u-x \rVert$ donc $P_S(x)$ minimise l'énergie de l'erreur d'approximation

## Base orthonormale d'un espace de Hilbert

La base $B = \{\phi_n\}_{n \geqslant 0}$ d'un espace de Hilbert $H$ est une base orthonormale de $H$ si elle vérifie :
- $\langle \phi_n,\phi_m \rangle$, $\forall n \neq m$
- $\langle \phi_n,\phi_n \rangle^{\frac{1}{2}} = \lVert \phi_n \rVert = 1$, $\forall n \geqslant 0$
- $\forall x \in H, \, \exists \{ c_n(x) \}_{n \geqslant 0}$ tel que $x = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x) \phi_n$ avec $c_n(x) = \langle x,\phi_n \rangle$

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## Exercices