# CNA - Partie 2

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# Chapitre 6 - Modélisation en bande de base

## Introduction

On suppose que l'information à la source est numérique. On considère trois types de source :
- Source d'information continue : Délivre l'information à un débit $R$ (en bits/s). Souvent découpé en petits paquets correspondant à une durée du signal initial. Chaque paquet constitue un bloc d'information insécable
- Source d'information en bloc : Par exemple un fichier à télécharger qui constitue un bloc d'information insécable (car doit être transmis sans erreur).
- Source aléatoire : Remonte sporadiquement une information. Chaque information constitue un bloc d'information insécable

> **Bloc d'information insécable**
> Un flux de données est découpé en blocs d'information élémentaires, insécables. On leur associe plusieurs contraintes :
> - $Q_s$ : Quantité d'information mesurée en bits. Cette information est caractérisée par un dictionnaire $W$
> - $L_s$ : Latence maximale autorisée
> - $P_e$ : Probabilité d'erreur de transmission

Si la source est continue, le débit vaut $R = \frac{Q_s}{L_s}$.
La source est décrite comme un processus aléatoire (on ne connait pas à l'avance ce qui va être envoyé).
On suppose que la source est de loi uniforme $W \sim U(2^{N_b})$ avec $N_b$ la longueur d'un mot code.
Dans la réalité, on est limité par le canal donc on travaille avec des blocs de taille $Q_c << Q_s$

On s'intéresse donc à la transmission d'un bloc insécable qui consitute le message source $W$ sur un canal en un temps $T_x \leqslant L_s$.
L'émetteur génère un signal $x(t)$ à support temporel $T_x$ fini. Il est ensuite déformé par le canal puis observé.

$y(t) = fct(x(t))+n(t)$
Avec $y(t)$ le signal observé, $fct(.)$ la transformation du canal et $n(t)$ le bruit additif

> **Optimisation d'un système de transmission**
> L'optimisation d'un système de transmission revient à choisir :
> - Un dictionnaire de forme d'ondes $X$
> - Une fonction d'encodage qui asocie à chaque mot code $w_i$ un signal $x_i$
> Un fonction de décodage qui a chaque signal observé $y_i$ associe un mot code $w_i$
> Ces éléments doivent être les mieux adaptés au canal utilisé


Contraintes liées à la conception d'un système de transmission :
- Ressources
- Energie consommée
- Bande passante utilisée
- Métriques QoS
- Débit
- Latence
- Taux d'erreur binaire
- Compléxité du système

**Optimisation de la fonction d'encodage**
Construction du dictionaire de signaux $x_i$ pour optimier les performances de la fonction de décodage. Quasiment impossible de retenir le meilleur dictionnaire possible. Construction du dictionnaire à la main ou selon la théorie, utilisation de l'IA
**Optimisation de la fonction de décodage**
On retrouve ici un problème de détection M-aire. Il faut caractériser au mieux la fonction du canal $f_{Y|X}(y|x_i)$ pour toute entrée $x_i$. Comme la source est uniforme, le détecteur ML est optimal

## Signaux en bande de base

### Signal de radio-fréquences (RF)

Un signal RF est un signal à bande étroite localisé autour d'une fréquence $f_c$.

> **Signal à bande étroite**
> Signal dont l'occupation spectrale $W$ est petite par rapport à $f_c$
> $W \leqslant 0,1 \cdot f_c$

### Signal analytique

Le signal analytique est une réprésentation utile pour étudier ou former les signaux RF.

> **Signal analytique**
> Signal complexe à bande latérale unique. Défini à partir d'un signal réel à bande étroite en lui associant sa transformée de Hilbert $\hat{x}_{RF}(t)$
> $\underline{x}_{RF}(t)=x_{RF}(t) + j \cdot \hat{x}_{RF}(t)$


> **Puissance du signal analytique**
> La puissance du signal analytique est le double de la puissance du signal RF transmis.

### Signal en bande de base

> **Signal BB**
> La signal en BBest obtenu par transposition du signal analytique autour de la fréquence nulle.
> $\underline{X}_{bb}(f) = \underline{X}_{RF}(f+f_c)$
> $\underline{x}_{bb}(t) = \underline{x}_{RF}(t) \cdot e^{-j2\pi f_c t}$

La plupart des signaux de communications sont construits et analysés en BB, ce qui évite de travailler en permanence dans les hautes fréquences. Il est en effet plus efficace de construire et d'analyser des signaux en basse fréquence.

*NB : On peut écrire le signal analytique de la manière suivante :
$\underline{x}_{RF}(t) = A(t) \cdot e^{j\phi(t)} \cdot e^{j2 \pi f_c t}$
avec $A(t) \cdot e^{j\phi(t)}$ le signal en bande de base et $e^{j2 \pi f_c t}$ la fréquence porteuse du signal.*


### Synthèse sur les signaux en BB

## Canal de transmission

Le canal n'est pas l'image par une fonction détemriniste du signal émis. Le bruit, les interférences ou les imperfections viennent modifier le signal de manière aléatoire, ce qui limite la capacité du canal.

> **Canal en bande de base**
> On montrera qu'il est posible de travailler avec un modèle du type :
> $\underline{y}_{bb}(t) = \underline{h}_{bb,\tau}(t) * \underline{x}_{bb}(t) + \underline{x}_n(t)$
> où tous les termes sont en bande de base

### Propriétés élémentaires des canaux RF

#### Canal linéaire temporellement invariant (Canal LTI)

Le canal est représenté par un filtre qui dépend des conditions de propagation et du support.

La réponse impulsionnelle d'un canal LTI ne varie pas en fonction du temps (stationnaire). La structure du canal et du bruit vont également garantir la linéarité du système.

Le canal le plus simple est un canal mono-chemin dont la réponse impulsionnelle est :
$h_{RF}(t) = h_0 \cdot \delta (t-t_0) \Leftrightarrow H_{RF}(f) = h_0 \cdot e^{j2 \pi ft_0}$

Dans le cas d'un canal multi-chemin, on a :
$h_{RF}(t) = \sum_i h_i \cdot \delta (t-t_i) \Leftrightarrow H_{RF}(f) = \sum_i h_i \cdot e^{j2 \pi ft_i}$

#### Bruit additif blanc Gaussien (AWGN)

On utilise le modèle AWGN car il est réaliste et il simplifie les calculs.

> **Bruit d'un récepteur idéal**
> Aussi appelé bruit htemrique, il est caractérise de la manière suivante :
> - Les échantillons sont iid
> - Le signal est aléatoire donc son autocorrélation est : $\Phi_{nn}(t) = \delta (t)$
> - La DSP du signal est uniforme (d'où le nom de *bruit blanc*)
> - La distribution des échantillons suit une loi normale

Comme le bruit AWGN est un bruit blanc, sa puissance est proportionnelle à la bande de fréquence $W$ utilisée par le récepteur : $P_N = N_0 \cdot W$

Par définition de la variance d'une variable aléatoire, on a aussi : $P_N = \sigma^2$

:warning: $P_N$ est la puissance du bruit dans un récepteur idéal et représente donc une borne minimale car en pratique, les récepteurs réels sont moins performants

> **Bruit d'un récepteur réel**
> Le niveau de bruit d'un récepteur réel est défini par : $P_N = N_0 \cdot W \cdot F_B$
> où $F_B$ appelé facteur de bruit est supérieur à 1

#### Canal pseudo-stationnaire

Dans un contexte mobile, la réponse impulsionnelle d'un canal n'est pas stationnaire. On essaie donc de construire des protocoles de communication pour faire en sorte que le canal soit stationnaire pendant la durée $T_x$ de la transmission. Cependant, à chaque transmission d'un nouveau paquet, la réponse impulsionnelle du canal a changé.

#### Synthèse du canal RF

Un canal RF peut donc être représenté par le système suivant :

### Propriétés élémentaires des canaux en bande de base

#### Réponse fréquentielle du canal en bande de base $H(f)$

La réponse du canal RF et du canal BB sont équivalentes à un décalage en fréquence près.


> **Canal en bande de base**
> Le canal en bande de base peut être modélisé par :
> $$Y_{bb}(f) = g_R(f) \cdot [H_{bb}(f) \cdot X_{bb}(f) + N_{bb}(f)]$$
>
> avec :
> - $H_{bb}(f) = H_{RF}(f+f_c)$
> - $g_R(f) = H_W(f+f_c)$

On peut alors écrire :
$H_{bb}(f) = h_0 \cdot e^{j2 \pi (f+f_c)t_0} = h_0 \cdot e^{j2 \pi f_ct_0} \cdot e^{j2 \pi ft_0} = \underline{h}_0 \cdot e^{j2 \pi ft_0}$
Dans le domaine temporel on obtient :
$\underline{h}_{bb}(t) = \underline{h}_0 \cdot \delta (t-t_0)$
La réponse impulsionnell en bande de base est donc à valeurs complexes.

*NB : C'est l'appartion de coeffcients complexes qui explique l'apparition d'interférences potentiellement destructrices entre les différents signaux reçus par le terminal (décalage en phase des signaux)*

> **Propriétés fréquentielles du canal**
> 1. Le gain moyen est la valeur moyenne de la puissance reçue : $G_{dB} = 10 \log_{10} \int_f |H(f)|^2 \cdot df$
> 2. La profondeur d'évanouissement mesure la différence en dB entre le gain moyen et les pertes associéesà différentes fréquences
> 3. La bande de cohérence défini la largeur de bande dans laquelle le canal est constant. Elle est définie empiriquement par : $B_c = \frac{1}{6.78 \cdot \tau_{rms}}$


#### Réponse impulsionnelle

La réponse échantillonnée du canal en bande de base est un filtre discret à valeurs $\underline{h}_{bb}(k \cdot T_e)$. Ces coeffcients évoluent au cours du temps dans le cadre d'un canal pseudo-stationnaire.

> **Temps de cohérence du canal**
> Il représente le temps pendant lequel la réponse du canal est constante. Si ce temps est largement supérieur à l'étalement du canal (durée de la réponse impulsionnelle), alors le canal est pseudo stationnaire.

#### Profil de puissance du canal

Le tracé de la réponse impulsionnelle en fonction du temps est aussi appelé *profil de puissance*. Echantillonnée, on peut la caractériser par des coeffcients $\hat{\alpha}_l$.

> **Profil de puissance d'un canal**
> 1. Le délai maximal $\tau_{max}$ correspond à la différence entre le premier et le dernier passage du signal au dessus d'un certain seuil
> 2. Le délai moyen $\hat{\tau}_m$ correspond à la position moyenne du retard : $\hat{\tau}_m = \frac{\sum \hat{\tau}_l \cdot \hat{\alpha}_l^2}{\sum \hat{\alpha}_l^2}$
> 3. L'écart type du délai caractérise l'étalement. Il est donné par : $\hat{\tau}_{rms} = \sqrt{\frac{\sum (\hat{\tau}_l - \hat{\tau}_m)^2 \cdot \hat{\alpha}_l^2}{\sum \hat{\alpha}_l^2}}$

#### Bruit en bande de base

Dans les cas où le bruit RF est AWGN, on peut montrer qu'après le passage dans le filtre de réception le bruit est à bande étroite, complexe et que ses parties imaginaires et réelles sont elles aussi des bruit AWGN.

On peut alors observer une distribution gaussienne circulaire du bruit dans le plan complexe.


#### Synthèse du canal BB

Le canal BB peut être représenté par le système suivant :

### Canaux de référence

> $T_c$ : Temps de cohérence du canal
> $T_s$ : Temps symbole
> $\hat{\tau}_{rms}$ : Ecart type du délai
> $W$ : Bande passante
> $B_c$ : Bande de cohérence du canal

#### Canal Gaussien

C'est le modèle le plus utilisé et le plus simple (utilisé pour la construction d'un système de référence dans le chapitre 7).

Hypothèses du canal :
- $T_c \rightarrow \infty$ : Le canal est stationnaire.
- $\hat{\tau}_{rms} << T_s$ : Le canal est non sélectif (pas d'évanouissements)

On trouve ce canal dans des conditions très favorables (visibilité directe).

Le paramètre clé est le rapport signal à bruit : $SNR = \frac{P_r}{P_N}$ avec $P_r$ la puissance utile reçue et $P_N = \sigma_N^2$ la puissance du bruit.

#### Canal de Rayleigh

On conserve ici l'hypothèe d'un canal non sélectif ($\hat{\tau}_{rms} << T_s$) mais pas celle de la stationarité. On parle alors d'un canal à *évanouissement plat* (flat fading). La bande passante utilisée par le signal est inférieure à la bande de cohérence du canal : $W < B_c$.

Autrement dit, les propriétés du canal ne sont pas constantes à travers le temps (pas de stationnarité) et en cas d'évanouissement, toutes les fréquences utiles sont affectées.

On peut considérer plusieurs hypothèses :
- $T_c < T_s$ : Le canal évolue trop rapidement docn on ne peut pas transmettre dans ces conditions.
- $T_s < T_c < T_x$ : Le canal est à évolution rapide. Il faut estimer le canal en permanence pour exploiter le modèle pseudo-stationnaire. On parle d'*évanouissement rapide*
- $T_x < T_c < L_s$ : Le canal est à évolution lente. Durant la transmission d'un paquet le canal est stationnaire. Ses propriétés changent pour chaque transmission. On parle d'*évanouissement en bloc* (cas de référence en communications mobiles)

#### Canal sélectif en fréquence

On considère ici que $\hat{\tau}_{rms} > T_s$. On parle alors de canal à *évanouissements sélectifs*. On a alors $W > B_c$.

Dans ce cas, certaines fréquences sont touchées par l'évanouissement mais de façon aléatoire (les propriétés du canal changent en permanence).

## Construction des signaux $\underline{x}(t)$

> **Rappels**
> Les signaux BB sont complexes, à support temporel fini $[0,T_x]$, à puissance finie ($P_x < P_{max} < \infty$) et à bande passante limitée.

*NB : Pour simplifier, on note $\underline{x}_{bb}(t) \equiv \underline{x}(t)$*

Ici, l'ensemble des signaux complexes possibles (ensemble des fonctions de support $T_x$ à puissance finie) noté $X = L^2(T_x)$ forme un espace de Hilbert.

Il existe donc un ensemble de $N$ fonctions normées et orthogonales deux à deux, appartenant à $X$ (avec $N$ la dimension de $X$) qui forment une base orthonormale de $X$.

On a donc $\forall \underline{x}(t) \in X$ : $\underline{x}(t) = \sum_k \underline{c}[k] \cdot \underline{\phi}_k(t)$

Bien qu'il existe plusieurs bases, nous utiliserons la transformée de Fourier d'un signal périodique de période $T_x$. Cette base est donnée par les fonctions :
$\underline{\phi}_k(t) = rect_{T_x}(t) \cdot e^{j2\pi \frac{kt}{T_x}},\ \forall k \in \mathbb{N}$

Cette base est utilisée en modulation OFDM.

### Constructions des signaux dans le domaine fréquentiel