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title: AlphaProof：以強化學習與形式數學探索數學推理的未來

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# AlphaProof：以強化學習與形式數學探索數學推理的未來

## 一、緒論

AlphaProof 是 DeepMind 結合強化學習（Reinforcement Learning, RL）與形式數學（Formal Mathematics）發展出的自動數學證明系統。其核心理念為：若能將數學推理問題轉換為可驗證的形式語言，並透過 AlphaZero 風格的 RL 演算法探索解題路徑，則 AI 有潛力自主發現新的數學知識。

本報告整合簡報與演講內容，分析 AlphaProof 技術架構、理論依據、訓練策略、實作流程，以及其於 2024 年國際數學奧林匹亞（IMO）參賽成果。

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## 二、形式數學的崛起與 Lean 系統

### 2.1 數學的語言進化

* 古希臘的數學證明引入邏輯與演繹系統（如 Euclid 的 Elements），建立「公理－定理」的結構。
* 17 世紀 René Descartes 引進代數符號系統，顯著提升了數學表達與處理能力。
* 20 世紀 Hilbert Program 建構現代數學的形式基礎。

### 2.2 Lean：現代數學形式化平台

* Lean 是一種定理證明器（Theorem Prover）與互動式證明助理，原用於程式驗證，後擴展至數學應用。
* 其核心資源 Mathlib 為一開源社群協作維護的數學資料庫，目標為通用性與統一性。
* Mathlib 目前涵蓋約 80% 大學部課程，並積極擴展高階數學主題（如泛函分析、PDE）。

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## 三、強化學習回顧與 AlphaZero 哲學

### 3.1 RL 框架

* 以「目標為導向」進行試誤學習，並以最小回饋（如達成與否）調整策略。
* 可應用於遊戲（Go、Chess、Starcraft）、科學（AlphaTensor）、最佳化（AlphaDev）等多種領域。

### 3.2 Zero 系列與發現新知

* AlphaGo Zero 系列透過自我對弈學習棋藝，展現無需人類資料即可達超人水準之潛力。
* AlphaTensor 成功發現 4x4 矩陣乘法新演算法，突破既有人類知識極限。

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## 四、AlphaProof 系統設計與核心流程

### 4.1 任務定義

* 目標：在 Lean 環境中，利用 RL 探索並證明數學定理，進而產出全新數學命題與證明。

### 4.2 技術架構

* 環境：Lean 提供可程式化、可驗證的數學語言。
* 演算法：以 AlphaZero 為基礎，強化搜尋與嘗試不同推理策略。
* 回饋機制：Lean 的 tactic state 提供明確的「當前假設」與「待證事實」狀態。
* 訓練流程：

  * 初期以人類命題訓練。
  * 推論階段進行 test-time RL。
  * 使用 Gemini LLM 產生答案候選，AlphaProof 執行篩選與驗證。

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## 五、IMO 2024 挑戰與成果

### 5.1 任務規劃

* 任務：於 IMO 競賽當日，解出 6 題高中數學問題（代數、數論、組合、幾何）。
* 時間配置：每題使用自動形式化、答案猜測、RL 證明三階段流程。
* 幾何題由 AlphaGeometry 負責，其餘由 AlphaProof 處理。

### 5.2 參賽成果

| 題號 | 類型      | 結果                   | 得分 |
| -- | ------- | -------------------- | -- |
| P1 | 代數      | 完整證明                 | 7  |
| P2 | 數論      | 完整證明                 | 7  |
| P3 | 組合      | 未完成                  | 0  |
| P4 | 幾何      | 完整證明 (AlphaGeometry) | 7  |
| P5 | 組合      | 未完成                  | 0  |
| P6 | 代數（困難題） | 完整證明                 | 7  |

* 總得分為 28 分，相當於銀牌水準（距金牌門檻僅 1 分）。

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## 六、系統挑戰與未來方向

### 6.1 限制因素

* 正式語言資料稀少。
* 證明過程需完整展開，人工成本高。
* 尚未能完全自動化自然語言轉換至形式語言。

### 6.2 未來展望

* 建構 AI 輔助的人類數學發現流程。
* 強化自動形式化模組與 LLM 解題能力整合。
* 以 RL 結合數學知識庫，拓展至數學研究新領域。

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## 七、結語

AlphaProof 將正式數學與強化學習整合，展示 AI 可於邏輯嚴密的環境中發現與證明高層級數學命題。該系統在 2024 IMO 展現出突破性成果，標誌 AI 可逐步進入基礎科學發現的領域。透過 Lean 的完備驗證機制與 AlphaZero 的學習能力，AlphaProof 提供一項具可擴展性的探索架構，未來有潛力支援全人類數學研究進程。

