# AlphaProof：以強化學習與形式數學探索數學推理的未來 ## 一、緒論 AlphaProof 是 DeepMind 結合強化學習（Reinforcement Learning, RL）與形式數學（Formal Mathematics）發展出的自動數學證明系統。其核心理念為：若能將數學推理問題轉換為可驗證的形式語言，並透過 AlphaZero 風格的 RL 演算法探索解題路徑，則 AI 有潛力自主發現新的數學知識。 本報告整合簡報與演講內容，分析 AlphaProof 技術架構、理論依據、訓練策略、實作流程，以及其於 2024 年國際數學奧林匹亞（IMO）參賽成果。 --- ## 二、形式數學的崛起與 Lean 系統 ### 2.1 數學的語言進化 * 古希臘的數學證明引入邏輯與演繹系統（如 Euclid 的 Elements），建立「公理－定理」的結構。 * 17 世紀 René Descartes 引進代數符號系統，顯著提升了數學表達與處理能力。 * 20 世紀 Hilbert Program 建構現代數學的形式基礎。 ### 2.2 Lean：現代數學形式化平台 * Lean 是一種定理證明器（Theorem Prover）與互動式證明助理，原用於程式驗證，後擴展至數學應用。 * 其核心資源 Mathlib 為一開源社群協作維護的數學資料庫，目標為通用性與統一性。 * Mathlib 目前涵蓋約 80% 大學部課程，並積極擴展高階數學主題（如泛函分析、PDE）。 --- ## 三、強化學習回顧與 AlphaZero 哲學 ### 3.1 RL 框架 * 以「目標為導向」進行試誤學習，並以最小回饋（如達成與否）調整策略。 * 可應用於遊戲（Go、Chess、Starcraft）、科學（AlphaTensor）、最佳化（AlphaDev）等多種領域。 ### 3.2 Zero 系列與發現新知 * AlphaGo Zero 系列透過自我對弈學習棋藝，展現無需人類資料即可達超人水準之潛力。 * AlphaTensor 成功發現 4x4 矩陣乘法新演算法，突破既有人類知識極限。 --- ## 四、AlphaProof 系統設計與核心流程 ### 4.1 任務定義 * 目標：在 Lean 環境中，利用 RL 探索並證明數學定理，進而產出全新數學命題與證明。 ### 4.2 技術架構 * 環境：Lean 提供可程式化、可驗證的數學語言。 * 演算法：以 AlphaZero 為基礎，強化搜尋與嘗試不同推理策略。 * 回饋機制：Lean 的 tactic state 提供明確的「當前假設」與「待證事實」狀態。 * 訓練流程： * 初期以人類命題訓練。 * 推論階段進行 test-time RL。 * 使用 Gemini LLM 產生答案候選，AlphaProof 執行篩選與驗證。 --- ## 五、IMO 2024 挑戰與成果 ### 5.1 任務規劃 * 任務：於 IMO 競賽當日，解出 6 題高中數學問題（代數、數論、組合、幾何）。 * 時間配置：每題使用自動形式化、答案猜測、RL 證明三階段流程。 * 幾何題由 AlphaGeometry 負責，其餘由 AlphaProof 處理。 ### 5.2 參賽成果 | 題號 | 類型 | 結果 | 得分 | | -- | ------- | -------------------- | -- | | P1 | 代數 | 完整證明 | 7 | | P2 | 數論 | 完整證明 | 7 | | P3 | 組合 | 未完成 | 0 | | P4 | 幾何 | 完整證明 (AlphaGeometry) | 7 | | P5 | 組合 | 未完成 | 0 | | P6 | 代數（困難題） | 完整證明 | 7 | * 總得分為 28 分，相當於銀牌水準（距金牌門檻僅 1 分）。 --- ## 六、系統挑戰與未來方向 ### 6.1 限制因素 * 正式語言資料稀少。 * 證明過程需完整展開，人工成本高。 * 尚未能完全自動化自然語言轉換至形式語言。 ### 6.2 未來展望 * 建構 AI 輔助的人類數學發現流程。 * 強化自動形式化模組與 LLM 解題能力整合。 * 以 RL 結合數學知識庫，拓展至數學研究新領域。 --- ## 七、結語 AlphaProof 將正式數學與強化學習整合，展示 AI 可於邏輯嚴密的環境中發現與證明高層級數學命題。該系統在 2024 IMO 展現出突破性成果，標誌 AI 可逐步進入基礎科學發現的領域。透過 Lean 的完備驗證機制與 AlphaZero 的學習能力，AlphaProof 提供一項具可擴展性的探索架構，未來有潛力支援全人類數學研究進程。