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title: 実験9 考察2

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# 実験9 考察2


[ゴムの架橋構造](https://www.jstage.jst.go.jp/article/gomu1944/48/10/48_10_609/_pdf)
上記のサイトから
架橋密度は次のように書ける
$$\frac{\rho}{M_c}$$
ここで$\rho$は架橋ゴムの密度である。

架橋密度が低い⇒$V_2$が小さい
というのは架橋密度が
$$\frac{-(\ln (1-V_2)+V_2+0.45V_2^2)}{V_2^{\frac{1}{3}}}$$
に比例することからわかる。
グラフは↓
[グラフ](https://www.wolframalpha.com/input/?i=-%28log+%281-x%29%2Bx%2B0.45x%5E2%29%2Fx%5E%281%2F3%29+)

さて、$$\frac{\ln(1-V_2)}{V_2^2}+\frac{1}{V_2}$$
の値を考えてみる。
$x=-V_2$と置くと$$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x^2}-\frac{1}{x}\ \   \ (-1<x<0)$$
ここで$\ln(1+x)$をマクローリン展開すると
$$\ln(1+x)=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1}\frac{x^i}{i}$$
[log(1+x)のマクローリン展開](http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/maclaurin/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suuretu/maclaurin/maclaurin_logx.html)
今回の場合収束半径を満たしている。
$$
f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1}\frac{x^{i-2}}{i}-\frac{1}{x}=\sum_{i=\color{red}{2}}^{\infty}(-1)^{i-1}\frac{x^{i-2}}{i}\approx-\frac{1}{2}(xが0に近いためi>2の項は無視)$$

$$M_c=\frac{-dV_0V_2^{\frac{1}{3}}}{(\ln (1-V_2)+V_2+\mu V_2^2)}=\frac{-dV_0(-x)^{\frac{1}{3}}}{(\ln (1+x)-x+\mu x^2)}=\frac{-dV_0}{(\frac{\ln (1+x)}{x^2}-\frac{1}{x}+\mu )}(-x)^{\frac{-5}{3}}$$
$$=\frac{-dV_0}{(f(x)+\mu )}(-x)^{\frac{-5}{3}}=\frac{-dV_0}{(f(x)+\mu )}(-x)^{\frac{-5}{3}}=\frac{-dV_0}{(-\frac{1}{2}+\mu )}(-x)^{\frac{-5}{3}}$$
最後に$V_2$に戻すと
$$M_c=\frac{dV_0}{(0.5-\mu )}V_2^{\frac{-5}{3}}$$