# 周期と0認識問題 --- ## 5分とは |Definition| |:--| |__5分__ とは私の講演した時間のこと.| --- ## 0認識問題とは - 二つの表示が与えられた時 それが一致しているかを判定する問題 --- # 代数的実数の場合 --- ## 代数的実数とは |Definition| |:--| |__代数的実数__ とは$f(x) \in \mathbb{Z}[X]$に対し <br> $f(x) = 0$となる$x \in \mathbb{R}$のこと.||| __例__ - $\sqrt{2}$ --- ## 代数的実数の場合の0認識問題 $f(x), g(x) \in \mathbb{Z}[X]$に対し、 $f(a) = 0$となる$a \in \mathbb{R}$と$g(b) = 0$となる$b \in \mathbb{R}$が一致するか判定できるか? --- ## そもそも - $f(a) = 0$だけでは$a$が一意に定まらない. - $f(a) = 0$を区間で限定する. - $f(a) = 0, a \in (a_s, a_e)$とする. これは$a_s, a_e$をうまく定めれば一意に定まる. --- ## 証明概略 - $f(x)$はsquarefreeとしてよい. - $f_i(x)$を既約多項式とする. - $f(x) = \prod f_i(x)$とするアルゴリズムがある. - $f(x),g(x)$ともに既約多項式としてよい. - $f(x), g(x)$ともに既約の時$a = b$は以下と同値. - $f(x)$と$g(x)$が定数倍 - $(a_s, a_e) \cap (b_s, b_e) \neq \emptyset$ --- # 周期の話 --- ## 周期とは - $\pi = \int_{x^2 + y^2 < 1}1 dxdy$ のように積分で与えられる数値のこと. --- ## 定義 $f_1, \ldots, f_m \in \mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_n]$に対し, $\Delta:= \{ x \in \mathbb{R}^n\mid f_i(x) > 0\}$とする. |Definition| |:--| |$G(x), H(x) \in \mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_m]$に対し,$\int_{\Delta} \frac{G}{H} dx$で表せる実数を __基本周期__ という. <br> 基本周期の生成する$\overline{\mathbb{Q}}$ベクトル空間$P \subset \mathbb{C}$の元を __周期__ という.||| --- ## 周期の例 - $\sqrt{2} = \int_{0<x, x^2 < 2}dx$ - $\pi = \int_{x^2 + y^2 < 1}1 dxdy$ - $\log 2 = \int_{1 < x < 2} \frac{1}{x}dx$ - $\zeta(3) = \int_0^1 \frac{dt_1}{t} \int_0^{t_1} \frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2} \frac{dt_3}{1 -t_3}$ - eは周期か不明 - 代数的実数は全て周期 - (多重)ゼータの特殊値は周期 --- ## 周期の関係式 $$ \begin{align} \log 6 &= \int_1^6 \frac{1}{x} \\ &= \int_1^2 \frac{1}{x} + \int_2^6 \frac{1}{x} \\ &= \int_1^2 \frac{1}{x} + \int_1^3 \frac{1}{x} \\ &= \log2 + \log 3 \end{align} $$ ⇒ 超越数に対し,計算で <span style="color: red; "> __厳密な__ </span> 等式を示せる。 --- ## Kontsevich-Zagier予想 二つの基本周期$a_i = \int_{\Delta_i} \omega_i(i = 1, 2)$の一致は、 以下の3つより示すことができる - 線形性 - $\int ( \omega + \omega') = \int \omega + \int \omega'$ - $\int_{\Delta} \omega = \int_{\Delta_1} \omega + \int_{\Delta_2} \omega$ - 変数変換 $f: \Delta' \simeq \Delta$が代数的変数変換とした時, $\int_{\Delta} \omega = \int_{\Delta'} f^* \omega$ - Stokes $w = d \eta$の時, $\int_{\Delta} \omega = \int_{\partial \Delta} \eta$ ⇒ つまり,周期に関する0認識問題が解ける --- # 現代数論との関係 --- ## 代数多様体の周期 - $X$: $\overline{\mathbb{Q}}$上の代数多様体 - $Z \subset X$: closed subvariety - $\gamma \in H_n(X^{an}, Z^{an}, \mathbb{Z})$:相対特異ホモロジー類 - $\omega \in H_{dR}^n(X, \mathbb{Z})$をde Rhamコホモロジー類 この時$[X, Z, n ,\gamma, \omega]$を __抽象的周期__ という. --- ## 周期環の定義 - 抽象的周期の生成する$\overline{\mathbb{Q}}$ベクトル空間を以下の関係式で割った環を$P^{eff}_{KZ}$と表す. - 線形性 - 変数変換 - Stokesの定理 $P_{KZ}:=P^{eff}_{KZ}[\frac{1}{2 \pi i}]$を __抽象的周期環__ という --- ## 言い換え Kontsevich-Zagier予想は以下と同値 $$ Ev: [X, Z, n, \gamma, \omega] \mapsto \int_{\gamma} \omega \in \mathbb{C} $$ が単射 --- ## さらに言い換え Kontsevich-Zagier予想は以下と同値 - Grothendieckの周期予想が成り立つ - $P_{KZ}$が整域 --- ## まとめ - 0認識問題は二つの表示の一致を判定する問題 - 周期という数のクラスを定義 - 周期の$0$認識問題が解けると予想(KZ予想) - KZ予想は二つの世界をつなぐ定理 - アルゴリズム - 数論 --- ## 参考文献 - [周期と実数の0-認識問題](https://www.amazon.co.jp/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E3%81%A8%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE0-%E8%AA%8D%E8%AD%98%E5%95%8F%E9%A1%8C-Kontsevich-Zagier%E3%81%AE%E4%BA%88%E6%83%B3-%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%83%BB%E4%BA%88%E6%83%B3%E3%83%BB%E5%8E%9F%E7%90%86%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E5%90%89%E6%B0%B8-%E6%AD%A3%E5%BD%A6/dp/4903342425) 一緒にセミナーする人募集中です。