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title: Wk17 Solution
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分工：共同討論，每人貢獻三分之一

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G5
有一個單位圓，在圓的邊界上 $V(z)$ 的值是 $tan^2(\frac{\theta}{2})（-\pi<\theta < \pi）$ 如下圖所示 (z = x + iy)

內部滿足 $\bigtriangledown^2 V(x, y) = 0$

求 $V(x, y)$

首先你可能需要使用 LFT(Linear fractional transformation) 把$z-plane$ map 到 $w-plane$ 讓問題比較好解

把 $z-plane$ 上的 1, i, -1 分別mapping到 w-planeg 上的 0, 1, $\infty$

:::spoiler hint
可以照著以下的步驟做
(1)
先找到一個LFT ($z=\frac{aw+b}{cw+d}$) 把 $w-plane$ 上的 $0, 1, \infty$ 分別$mapping$到 $z-plane$ 上的 $1, i, -1$

(2)
觀察 $w-plane$ 實軸上的點會 $mapping$ 到 $z-plane$ 上的哪些點

接著你應該就能看出 $z-plane$ 單位圓上的點會對應到 $w-plane$ 上的哪些點

(3)
求出 $U(w)$

(4)
用LFT ($w=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$) (第一步的inverse)

帶入$U(w)$得到答案
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