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title: Wk16 Solution
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分工：共同討論，每人貢獻三分之一

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作業7題:
10, 14, 15
16, 17, 18, 19

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### Group 5
:::spoiler 來不及出的題目QQ
$有一個單位圓，在圓的邊界上V(x, y)的值是tan(\frac{\theta}{2})（-\pi<\theta < \pi）$

$內部滿足$$\bigtriangledown^2 V(x, y) = 0$

$求V(x, y)$
:::

**A**
助教: 第1行右移量不對(少1/2倍)，所以伸縮量應該1/$\sqrt{2}$

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### Group 10

1. 找出以下4個函數，分別能將哪個著色區域mapping到整個上半平面？
(圖中的$u$是mapping前的電位函數，不是$w=u+iv$的$u$)
(1) $w=cos(\frac{\pi z}{2})$
(2) $w=e^{\pi z}$
(3) $w=z^2$
(4) $w=\frac{1}{2}(z^2+\frac{1}{z^2})$

2. 利用$U=\frac{C_0}{\pi}[Arg(w-1)-Arg(w+1)]$，其中$U$為mapping後的電位函數，分別解出上題中各小題的電位函數(解出$C_0$後，將$u$以$z$表示)。

**A**
助教: (2)U要用z表示。

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### Group 14
:::spoiler 簡介
純狐
[source: Pixiv](https://www.pixiv.net/artworks/58277323)
神靈，擁有純化程度的能力。
詳情：https://zh.moegirl.org.cn/%E7%BA%AF%E7%8B%90
受到她的影響，我今天只想出純粹的應用問題，不寫一堆敘述。
:::
你最近在做的專題是研究利用Mapping修復傳輸線的技術。
有一條被腐蝕掉一半的傳輸線D，你利用$f(z)=\frac{1}{2\pi}\int^{1+i\infty}_{1-i\infty}\frac{sze^{Arg(z)s}}{s^2+1}ds$把它變成傳輸線D'。
(D的半徑為1)
$(Arg(z)\in(0,2\pi])$
(1)在修復之前你得先找出D的邊界電壓分布，方法如下:
拿一個能夠讀取電壓值的探針，探針會將讀到的電壓$V_i$透過Op-Amp做成的buffer amp傳到MOSFET，產生輸出電流$I_D$。
已知探針滑過$C_2$時MOSFET剛好在Cut-off跟Saturation的交界。
滑過$C_3$時$I_D=1mA$，$C_4$則使$I_D=4mA$。
$L\cup C_1$接地。
:::spoiler 給沒修電子學一的同學
$V_i \leq V_t$ : Cut-off, $I_D=0$
$V_i > V_t$ : Saturation, $I_D=0.5k_n(V_i-V_t)^2$
:::
(2)算出修復後的傳輸線D'的電壓分布。

**A**

助教:mapping最後boundary conditions對應不對。

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### Group 15
給定$w=\dfrac{a}{2}(z+\dfrac{1}{z})$ <font color="#ff00"> 【補充題目】：$a\in$ Real number</font>
**(a)** 試問下圖中$-1, 1, B$經轉換後在W平座標分別會是？

**(b)** 承上，藍色部分會
在W平面呈現什麼圖形？

**(c\)** 給定邊界(深藍線上的值)$\left\lbrace\begin{aligned}&2, x\leq-1\\&0, -1<x\leq0\\&2, 0<x\leq1\\&0, x>1\end{aligned}\right.$ , 求$\phi(x,y)$
**A**

助教:(a)B點沒算。

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### Group 16
**題目:** (15:25 更新)
對於電容，你聽說過無限大平面電容，同軸圓柱電容......，那你有試過拋物柱電容嗎？最近有一群科學家想要研究拋物柱電容，首先，他們想要求出在真空中電容內的電壓分佈，也就是求出滿足拋物線邊界條件且滿足Laplace equation的解：
已知拋物柱電容為兩個拋物柱面所組成，方程式分別是$y^2=-4(x-1),y^2=-36(x-9)$，而電壓$V$分別為$-1$跟$1$，跟著以下步驟求出答案吧。(由於電壓分佈與空間中的z無關，故直接在複數平面上計算即可)
 
(1)
請驗證複變函數$w=f(z)=z^2$能夠
將鉛直線$x=1$跟$x=3$Mapping到目標的兩個拋物線$v^2=-4(u-1)$跟$v^2=-36(u-9)$。
(2)
試著利用(1)的結果跟平移變換，以及反函數的變換，求出一個複變函數$w=g(z)$使得兩個拋物線$y^2=-4(x-1)$跟$y^2=-36(x-9)$被Mapping到兩條鉛直線$u=-1$跟$u=1$。
(注意這兩條鉛直線跟(1)的不一樣喔)
**hint**: branch cut 可以選在負實軸
(3)
在變換後的兩條鉛直線$u=-1$跟$u=1$裡解有邊界條件的Laplace equation(以$w$的函數表示)。
(4)
結合前三題的結果，求得拋物柱電容內的電壓分佈(以$z$的函數表示)。
(Bonus)
將(4)的答案以$x,y$的函數表示。
:::spoiler 薛丁格的答案
$\sqrt{\dfrac{\sqrt{+}+}{}}-$
:::

**A**
* 助教：OK

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### Group 17
參考mapping：順時鐘旋轉60度，再3次方

**A**
* 助教：OK

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### Group 18
Solve the Dirichlet problem(find $\phi(z)$):
綠色跟天藍色的部分各佔$\dfrac{\pi}{6}$

:::spoiler HINT
see example 3 in textbook
:::

**A**

* 助教：只做了一半的轉換，少了z^3的轉換，且boundary condition計算錯誤
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### Group 19
如圖，今有兩無限延伸之帶電板，夾$\alpha$角(未接觸)，位於上方之帶電板電位為$V_{0}$，而下方的帶電板電位為0，試求兩帶電板間之電位分布$V(r,\theta)$?

$\hspace{4.5cm}$

**A**
* 助教：OK