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title: Wk5 Solution
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### Group 1

2020台大電機週 <TENET> 這禮拜辦在小福前面，每個人都玩得不亦樂乎，然而，在複數平面上，危機正悄悄的朝著某個種族而來。

在複數平面上，種族 E 生活在 $x \in (-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4})$ , $y \in (-\infty, \infty)$ 的區間內。某一天，他們觀測到一個天體正沿著 $x = coshy - 3$ 的軌跡移動，而它的大小可以直接毀滅種族 E。

a) 請幫助他們驗證是否這個天體會經過他們的生活區域。

為了不讓這個種族毀滅，他們的科學家開始著手思考要如何才能躲避掉這個災難。突然間，科學家們想到可以利用一個轉換式 $f = tan(z)$，來把他們的生活區域轉換成某種圖形，因此來躲避撞擊。

b) 證明 $tan(z) = \dfrac{sin(2x)}{cos(2x) + cosh(2y)} + i \cdot \dfrac{sinh(2y)}{cos(2x) + cosh(2y)}$

Hint:
1. $tan(z) = tan(x+iy) = \dfrac{sin(x+iy)}{cos(x+iy)}$
2. $cosh^2(y) - sinh^2(y) = 1$
3. $sinh(2y) = 2 \cdot cosh(y) \cdot sinh(y)$
4. $cosh2y = 1 + 2 \cdot sinh^2(y)$

c) 請算出他們生活區域轉換之後圍出圖形的面積。

d) 請算出轉換後隕石離他們的最短距離的點的x座標，精確到小數點後第三位。

Hint: 可用 [desmos](https://www.desmos.com/calculator) 畫圖

**A:**
a)
會

b)
修正：最後一行應改為
$tan(z) = \dfrac{sin(2x)}{cos(2x) + cosh(2y)} + i \cdot \dfrac{sinh(2y)}{cos(2x) + cosh(2y)}$

c)
轉換後的圖行為$x^2+y^2=1$
面積為$\pi$

d)
$(coht-3, t)$會在曲線上
和原點距離平方$(cosht-3)^2+t^2 = cosh^2t-6cosht+t^2+9$
微分可得
$2coshtsinht-6sinht+2t=0$
電腦做圖求得t約等於1.4681
x座標為$cosh(1.4681)-3 = -0.714$
助教: OK

### Group 5
**Q:** $sin^{-1}(\frac{d}{dz}(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}coshy - \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}sinhy))|_{(x, y)=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt3}{2})} = re^{i\theta }\\
試問(r\ , \theta) 所有可能解$

Hint: 當你想不出來時，就來抱抱沼王的大腿吧，說不定你會得到靈感喔

**A:**
修正：倒數第二行中的$re^{i\theta}=-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2})$
改為$re^{i\theta}=-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i)$
助教: $\sin^{-1}(-\sin{z})$簡化之後不對。

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### Group 6
>傳說在幾十年前，『台大最大黨』曾經虎嘯風生
但十年前黨產遭到起底，頓時間面臨抄黨的命運
好險系學會長有先見之明，已將黨產轉移到安全的地點
當時他請來了系上的複變三巨頭：
「小陳」、「小士」、「小元」
替黨產的座標加密
他們利用各自擅長的運算符號去加密拿到的座標"$Z$"
「小陳」：$e^{Z}$
「小士」：$tanh^{-1}Z$
「小元」：$\dfrac{d}{dz}Z$
加密公式：$(e^{2tanh^{-1}{Z}}\cdot\dfrac{d}{dz}{tanh^{-1}Z})^{-\frac{1}{2}}=K$
昨天，劉六塯找到了加密後的座標$K=(6,6)$，請問黨產真正的座標"$Z$"為？

a. $(-5,-6)$
b. $(6,6)$
c. $(-6,-6)$
d. $(5,6)$

**A:**

**Ans: a**
助教: OK
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### Group 10
>阿明站在複數人生的十字路口上$(z=x+yi)$，思考自己的未來，路口的兩條路分別為$x=a、y=b$，突然一陣天搖地動把他透過 $f(z)=sinh\ z=u+vi$ 映射到了複數平面上，請問：

**1. 經過映射後原本的兩條路($x=a、y=b$)各變成了什麼圖形？兩方程式各自為？(用$u,v$表示)**
hint: $sin^2 x+cos^2 x=1,\ cosh^2 x-sinh^2 x=1$

**2. 請問原本正交的這兩個圖形，經過映射後在新的交點依然是正交的嗎？**
hint: 可利用隱函數的微分特性求兩圖形的$dv/du$，再代入交點值檢驗

**A:**
$z=x+iy,\ sinh(z)=\frac{e^{x+iy}-e^{-x-iy}}{2}$

$z=a+iy, sinh(z)=\frac{e^acosy-e^{-a}cosy}{2}+i\frac{e^asiny+e^{-a}siny}{2}\\
=sinha\cdot cosy+icosha\cdot siny$

$Graph1: \frac{u^2}{sinh^2a}+\frac{v^2}{cosh^2{a}}=1$

$z=x+ib, sinh(z)=\frac{e^xcosb-e^{-x}cosb}{2}+i\frac{e^xsinb+e^{-x}sinb}{2}\\
=sinhx\cdot cosb+icoshx\cdot sinb$

$Graph2: -\frac{u^2}{cos^2b}+\frac{v^2}{sin^2{b}}=1$

$\frac{2u}{sinh^2a}+\frac{2v}{cosh^2{a}}\frac{dv}{du}=0$

$\frac{dv}{du}=-\frac{ucosh^2a}{vsinh^2a}$

$-\frac{2u}{cos^2b}+\frac{2v}{sin^2{b}}\frac{dv}{du}=0$

$\frac{dv}{du}=\frac{usin^2b}{vcos^2b}$

交點：$(sinh(a)cos(b), cosh(a)sin(b))$代入

$-\frac{ucosh^2a}{vsinh^2a}\cdot \frac{usin^2b}{vcos^2b}=-\frac{sinh(a)cos(b)cosh^2(a)}{cosh(a)sin(b)sinh^2(a)}\cdot \frac{sinh(a)cos(b)sin^2(b)}{cosh(a)sin(b)cos^2(b)}=-1$

在交點正交
* 助教：OK

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### Group 12

小明年滿18歲以後，突然覺得自己長得很醜，於是懷疑自己不是爸媽親生的，決定到醫院去驗ＤＮＡ，到了醫院以後，小明發現醫生們驗ＤＮＡ的方法竟然是利用複變函數：小明的ＤＮＡ圖形是$sinh^2y = cos^2x$，小明爸爸的ＤＮＡ圖形是$sinh^2x = cos^2y$，醫生將小明和爸爸的ＤＮＡ分別用$f(z) = sinz$ and $f(z) = sinhz$做mapping，請問他們是不是血緣上的父子呢？
(mapping 結果是否相同)

**A:**

* 助教：OK

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### Group 19

土元有一天在跟學生吃雞的時候，學生為了陷害可憐的土元，在土元跑到了座標$(\dfrac{\pi}{2},0)$時，學生使用了特殊裝備將**原本的毒氣帶 $(0< y <log_e3)$ 與土元**以$w=sin(z)$ , mapping到新的區域裡，使得土元被困在毒氣帶裡面，土元原有的血量為100%, 他所能移動的**最大速度為$\dfrac{1}{54}$(單位每秒)**,在毒氣內土元**每秒會損失3%血量**，若他以**最短路徑**逃離有毒範圍，請問以他的速度能否逃出一劫，<span style="color:orange">**大吉大利，今晚吃雞**</span>呢?


**A:**
$sin(z) = \frac{e^{ix}e^{-y}-e^{-ix}e^{y}}{2i}\\
=\frac{e^{-y}(cosx+isinx)-e^y(cosx-isinx)}{2i}\\
=\frac{1}{2}(e^{-y}sinx+e^y sinx)-\frac{i}{2}(e^{-y}cosx-e^ycosx)$

毒氣帶經轉換
將$y = log_e3$轉換後得到
$\frac{5}{3}sinx+i\frac{4}{3}cosx$
$-\infty <x<\infty$
毒氣帶為橢圓

土元位置經轉換後變為(1, 0)在橢圓焦點上
延長軸衝出為最短路線
最短路線: $\frac{5}{3}-1 = \frac{3}{2}$
土元能跑$\frac{100}{54}\frac{1}{3}<\frac{3}{2}$逃不出去

* 助教：OK，最後兩行的2/3寫成3/2