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title: Wk13 Solution
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分工：共同討論，每人貢獻三分之一

>作業8題:
3, 5, 6, 10
15, 16, 17, 18

### Group 5

>補充說明: 平常我們解的積分範圍通常是從負的無窮大，到正的窮大，但是從零開始的積分我們反而不好處理，這裡提供一個小技巧來處理這類的積分

求$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x+1)(x^2+\sqrt{2} x+ 1)}$

第一步
先試著求
$\oint_C \frac{Ln(z)dz}{(z+1)(z^2+\sqrt{2} z+ 1)}$

其中C是下圖的contour
把$Ln$的branch cut 定在正實軸


第二步

當R趨近無限，$\epsilon$ 趨近零

說明
$\oint_{C_R} \frac{Ln(z)dz}{(z+1)(z^2+\sqrt{2} z+ 1)}=0$

$\oint_{-C_\epsilon} \frac{Ln(z)dz}{(z+1)(z^2+\sqrt{2} z+ 1)}=0$

第三步

運用上一步的結果

你可以發現
$\oint_C \frac{Ln(z)dz}{(z+1)(z^2+\sqrt{2} z+ 1)}$ = $-2\pi i\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x+1)(x^2+\sqrt{2} x+ 1)}$

因此使用殘值就能求出$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x+1)(x^2+\sqrt{2} x+ 1)}$的值了

**A**


原本題目解答
助教: 第1行分式分解錯。

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### Group 3

Show that:
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdot\cdot\cdot(2n-1)\pi}{2\cdot4\cdot6\cdot\cdot\cdot\cdot(2n)}\;\;\;\;,n \in \mathbb{N}$$

**A**

助教: OK，不過照片下次拍清楚一點。還有倒數第2行最後筆誤(少$\pi$)。

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### Group 6

$$
f(a,b)=P.V.\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{cosx}{(x-a)(x^2-b)} {dx}
$$
$$a^2\neq b \quad a,b\in R
$$
試問
(1) 當$b>0$，求$f(a,b)$
(2) 當$b<0$，求$f(a,b)$
:::spoiler 小提示：
$f(a,b)$經化簡後包含$\sqrt{b}$,$\pi$,和$e$

:::

**A**
助教: OK

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### Group 10
$求\int_{-\infty} ^\infty{\frac{xcosx-asinx}{x(x^2+a^2)}}dx$。 $(a>0)$
hint : $\frac{xcosx-asinx}{x(x^2+a^2)}$看起來很像$\frac{e^{iz}}{z(z-ai)}$的實部

**A**
助教: OK

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### Group 15
Evaluate $\int_0^{\infty}\dfrac{x\sin x}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$
:::spoiler **Hint**
請注意$\sin$函數的特性
:::

**A**
* 助教：OK

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### Group 16
**題目:**
現在，我們想要求$\int_0^{\infty}\dfrac{sin{x^2}}{x}dx$的值，以下有兩種方法：
(1)
計算$\oint_C\dfrac{e^{iz^2}}{z}dz$，其中$C$為外半徑$R$內半徑$\epsilon$，位於複數平面第一象限的四分之一圓環，接著取極限$R\rightarrow\infty,\epsilon\rightarrow 0$得到答案。

(2)
先計算$\int_0^{\infty}\dfrac{sinx}{x}dx$的值，接著利用實變的變數變換，觀察其與$\int_0^{\infty}\dfrac{sin{x^2}}{x}dx$的關係然後得到答案。

:::spoiler 按我有解答
今晚我想來點
瓦城的月亮蝦餅跟綠咖哩椰汁雞
:::
更正: G16
* 助教：OK

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### Group 17
Evaluate $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{d\theta}{4a^2-4acos(\theta)+1}$
Assume $|a| \neq \frac{1}{2}$

**A**
* 助教：OK

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### Group 18

Evaluate
$$P.V.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos{x}+xsin{x}}{x^2+1}dx\;,\quad x\in\mathbb{R}
$$

:::spoiler Hint
Consider $$\frac{e^{iz}}{z-i}$$
:::

**A**

* 助教：OK