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title: Wk11 Solution
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分工：共同討論，每人貢獻三分之一

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### Group 2
**Q:**
Find $\begin{align}
\oint_{C}{\dfrac{1}{z\sin{z}}dz}, C: |z|=\dfrac{\pi}{2}
\end{align}$
**Hint:** Find first two terms of the Laurent series expansion of $\csc{z}, 0<|z|<\pi$

**A**
助教: OK

### Group 5
最近沼王亞他覺得複變這門課實在是有夠簡單，一不小心期中考就考了106分，於是沼王亞學完Laurent Series之後，就想知道有甚麼函數比較適合透過Larent Series求得其contour積分，而不是用Cauchy積分公式，因為她覺得醬紫對她而言太簡單惹~~
於是他冒著被送性平的風險，凝視著黃色螺旋狀霜淇淋，螺旋...週期...震幅變小...TADA~~~ 就在那一瞬間，靈感湧現，他竟然從黃色霜淇淋中獲得震盪的啟示，腦中浮現的是，$f(z)=z^2sin(\frac{1}{z})$那曼妙美麗的身影
「嫁給我吧，我會給你幸福的...」,沼王亞深情的對著黃色霜淇淋說：「但是在這之前，容我先把這兩題解完...」

(1) 求$z^2sin(\frac{1}{z})$的Laurent series （for $|z|>0$）

(2) 求$\oint_cz^2sin(\frac{1}{z})dz$ 其中$\ C:|z|=1$

*Challenge: 從Cauchy定理可知，若domain中皆可解析，理論上封閉曲線積分的答案應該為0，但我們算出來的結果卻不是，試說明為什麼(2)的答案不等於0

**A**
助教: OK

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### Group 6
$f(z)=\dfrac{az+b}{(z-1)(z-4)}$（$a,b \in R$）

$\oint_{C_1}f(z)dz=-2\pi i$
$\oint_{C_4}f(z)dz=6\pi i$

$C_x是以x為圓心，半徑為1的圓$
試問$a,b$為多少？
(1)試以Laurent theorem求出$a,b$
(2)試以Cauchy's Integral Formulas求出$a,b$，並比較兩者是否相同:o::x:
**A**
助教: OK

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### Group 12

在一個神奇的複數平面上，住著一隻貓和一些魚，魚都躲在函數的奇異點，才不會被貓抓到然後吃掉，今天貓來到複數平面的某處狩獵，貓沿著某些路徑觀察獵物，請回答下列問題：
a/ Find ALL Taylor and Laurent series of $f(z) = \frac{-2z - 2i + 1}{z^2 + (2i-1)z - 2i}$ with center 0.
b/ $\oint_c {f(z)dz} = ?$ where c: (1) 比較深的blue contour and (2) gold contour.
(DO NOT USE CAUCHY'S INTEGRAL FORMULAS!)

**A**

助教:(a-ii)第2行不對。(b-2)最後一行錯。

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### Group 15
Expand $f(z)=cos(\dfrac{3}{z})$ in Laurent series valid for $0<|z|$

**(a).** Please use $cos(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ to find answer.

**(b).** Please use $cos(z)=\sum^{\infty}_{k=0}(-1)^k\dfrac{z^{2k}}{(2k)!}$ to find answer.

**(c\).** Varify **(a).**& **(b).** , are the two answers the same?
**A**

* 助教：OK

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### Group 17
（懶人包在圖片上方）
>話說劉備，曹操跟孫權死後，對於未能統一中原都非常不開心，於是在陰間展開了虛數空間爭奪戰。已知三人的領地分別為以下函數annulus of convergence的區域：
孫權：f1 = $\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{z^k}{2^{|k|}}$
劉備：f2 = $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(z-2)^k} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}(z-2)^k}{2^{k+1}}$
曹操：f3 = $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k+1}}{(z-1-i)^{k+1}}$
這三個人領地上，年年戰爭，民不聊生。今天作為一介草民的你，想要找個安生立命的地方，請問你要選擇下列哪個地方住(不在三人的領地內)？

a) 0 + (3/2)i
b) (5/2) + 0i
c) 2 - i
d) 0 + 3i

Hint: 可將函式分成principal part與analytic part，分開尋找z的範圍

>懶人包：以上4個選項，找一個 f1, f2, f3的annulus of convergence 都沒通過的地方

**A**
* 助教：OK

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### Group 18
**Q:**
已知一個函數 :
$$f(z)={\dfrac{1}{(z-\alpha)(z-\beta)}}$$
$where$ $\alpha<\beta$ , $\alpha,\beta$ $are$ $real$ $numbers$ .

可以被展開成兩種 $Laurent$ $Series$ :
**式1 :**
$$f(z)=A(z)+({\dfrac{z}{3}})A(z)+({\dfrac{z}{3}})^2A(z)+({\dfrac{z}{3}})^3A(z)+...$$
**式2 :**
$$f(z)=f_1(z)+f_2(z)$$
$$
where
\begin{cases}
f_1(z)=B(z)-(\dfrac{z-4}{4})B(z)+(\dfrac{z-4}{4})^2B(z)-(\dfrac{z-4}{4})^3B(z)+...\\
f_2(z)=C(z)-(\dfrac{1}{z-4})C(z)+(\dfrac{1}{z-4})^2C(z)-(\dfrac{1}{z-4})^3C(z)+...
\end{cases}
$$
**請注意 $A(z),B(z),C(z)$ 可以是 $z$ 的函數 ! ! !**
**將 $A(z),B(z),C(z)$ 帶入後也必須滿足 $Laurent$ $Series$ 的形式 ! ! !**

**( a ) 請利用級數的收斂範圍找到符合題目敘述的 $\alpha,\beta$ 。**
**(只有一種答案喔，想想看為什麼，這些級數到底還提供了什麼資訊)**

**( b ) 請找到對應的 $A(z),B(z),C(z)$ 。**

**( c ) 如果式2從題目中被去除掉，答案還會唯一嗎 ?**
:::spoiler HINT (強烈建議先思考過再打開喔)
(a)
>:::spoiler 為何答案唯一
>在展開的過程中，我們會需要將 $f(z)$ 拆解:
>$$f(z)={\dfrac{1}{(z-\alpha)(z-\beta)}}={\dfrac{c_1}{z-\alpha}} + {\dfrac{c_2}{z-\beta}}$$
>假設我們要展開的點為 $z_0$ ，對 ${\dfrac{c_1}{z-\alpha}}$ 展開 :
>$${\dfrac{c_1}{z-\alpha}} = {\dfrac{c_1}{(z_0-\alpha)+(z-z_0)}} = \begin{cases}
>{\dfrac{c_1}{z_0-\alpha}}{\dfrac{1}{1+{\dfrac{z-z_0}{z_0-\alpha}}}}\\
>{\dfrac{c_1}{z-z_0}}{\dfrac{1}{1+{\dfrac{z_0-\alpha}{z-z_0}}}}
>\end{cases}$$
>**若不可解析的點 $\alpha$ 在 $z_0$ 左側或右側將會影響級數是否正負相間或全部同號** 。
>此題的答案就此能唯一決定
>
>再提供另外一個思路 : 跟( c )小題有關喔 !
>:::

(b)
(解1)找到 $\alpha,\beta$ 後，直接展開
(解2)請回憶係數與函數的關係(公式解，特別是 $a_{-1}$、$a_0$ )、部分分式拆解後與principle part, analytic part的對應關係(環狀區域的內圈、外圈)

:::

**A**
* 助教：OK