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title: Wk10 Solution
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### Group 2
求下列級數收斂範圍的面積
$$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\dfrac{3(z-5)}{z-1}\right)^{n!}}$$

**A**
助教: OK

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### Group 3
* $$f(z)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\csc\left(z+\frac{1+\sqrt{3}i}{2}k\pi\right)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+...$$$z_0\in\mathbb{C}$可能是複數平面上除了pole以外的任何一點，試問: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$的最小可能值是多少?
* <font color=blue>Hint: 嘗試在複數平面上畫出所有的pole看看</font>
* For those who have doubts, here's the proof of the convergence of the series:
* Given $z=x+iy$, $a,b\in\mathbb{R}$. Let $m=min\{e^y,e^{-y}\},\;k\in\mathbb{N}$.
1. $$\begin{aligned}|\sin(z\pm(a+bi)k)|&=|\sin((x\pm ak)+i(y\pm bk))|=\left|\frac{e^{i(x\pm ak)}e^{-(y\pm bk)}-e^{-i(x\pm ak)}e^{y\pm bk}}{2i}\right|\\&\geq\frac{||e^{-y}e^{\mp bk}|-|e^ye^{\pm bk}||}2\geq\frac{m}2|e^{\mp bk}-e^{\pm bk}|=\frac{m}2(e^{|b|k}-e^{-|b|k})\end{aligned}$$
2. $$\begin{aligned}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left|\frac1{\sin(z+(a+bi)k)}\right|&=\left|\frac1{\sin{z}}\right|+\sum_{k\in\mathbb{N}}\left(\frac1{|sin{(z+(a+bi)k)}|}+\frac1{|\sin{(z-(a+bi)k)}|}\right)\\&\leq\left|\frac1{\sin z}\right|+2\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac2{m(e^{|b|k}-e^{-|b|k})}\\&=\left|\frac1{\sin z}\right|+\frac4{m}\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac1{e^{|b|k}-e^{-|b|k}}\end{aligned}$$
3. Root test: $$\lim_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\frac1{e^{|b|k}-e^{-|b|k}}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac1{e^{|b|}}\sqrt[k]{\frac1{1-e^{-2|b|k}}}=\frac1{e^{|b|}}<1\quad when\;e^{|b|}>1$$
4. For the series in the question, $b=\frac{\sqrt3}2\pi\;\Rightarrow\;e^{\frac{\sqrt3}2\pi}>1$, therefore the series converges absolutely.

**A**

助教: OK

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### Group 5
If $f(z)=\frac{z-3}{z^2+5z+4}$, find its Maclaurin expansion

**A**
助教: OK。不過建議最後將所有係數提出，$z^k$合併。

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### Group 10
肥宅小明跟小美第一次約會，但是約會的地點小美只跟他說了在複數平面上的某一個整數點，並且這個點可以同時以下列三個函數的泰勒展開式表示，且都收斂，三個函數分別為
1. $f(z) = Ln(2+z)$，以$z_0=0$為中心展開
2. $g(z) = \frac{z}{(z+1)^2(z-4)}$，以$z_0=2$為中心展開
3. $h(z) = \frac{1}{(1-z)}$，以$z_0=2i$為中心展開

請問肥宅小明應該去下列哪個位置找小美呢?
(A) $z=i$
(B) $z=1-i$
(C\) $z=1+i$
(D) $z=3+i$

**A**
助教: OK

### Group 12
Let $f(z) = \frac{1}{-z^2 + 2iz + 2 - i}$. Find the Taylor series of $f(z)$ and its radius of convergence with center $z_0 = i.$

hint/reference: Chapter19-OCW.ppt p36

**A**
助教: OK

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### Group 13

* **Q:**
通常，我們可以把難以直接計算的函數利用Taylor series展開並以此使用多項式近似，但有時，我們可能在某種情況下得到一串級數，此時我們想要計算精確的數值，這時就可以把它轉換為等價的函數來計算，假設我們在某種狀況下得到下方的級數：
$$1+4\left( \dfrac {1+i}{2} \right)+9\left( \dfrac {1+i}{2} \right)^2+16\left( \dfrac {1+i}{2} \right)^3+...$$
求上式所收斂到的值。

hint:
Step 1. 先算出 $\frac{1}{1-z}$ 的 Maclaurin expansion。
Step 2. 驗證 $\frac{1+i}{2}$ 小於 radius of convergence。
Step 3. 將第一步驟的等式兩邊進行「一些運算」。（提示：一些運算包含微分、乘法）
Step 4. 最後將 $z=\frac{1+i}{2}$ 代回計算，即可求出答案。

**A**
* 助教：OK

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### Group 15
(1). 找出$Ln(1+z)$的 Maclaurin series
(2). 求出$Ln(1+z)$的收斂半徑
(3). 比較$Ln(1+i+z)$在$z_0=a+bi$ 的Taylor series 和收斂半徑
**Hint** : 把$a$分成$a>-1$和$a\leq-1$討論
(出題附圖有禮貌~)

**A**
* 助教：(3)沒寫泰勒級數

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### Group 18
修正：(a)小題題目為find the radius of convergence of each......

**A**
* 助教：OK