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# System prepended metadata

title: Wk4 Solution

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title: Wk4 Solution
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### Group 2
**Q:**
複數平面上有一圖形$z=e^{\theta(1+i)}, -10\pi <= \theta <= 10\pi$, 試求此圖形經過$Ln{z}$ mapping後形成的線段長度總和

* **A:**![](https://i.imgur.com/1JnLV2f.jpg)
助教: 不影響答案但是左上角因為Ln(z)所以虛部是Arg(z)，注意大小寫意義不一樣。

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### Group 3
我們知道$z^\alpha$在$\alpha$不是整數的時候是一個多值函數，現在考慮$1^i$的所有值，請求出$1^i$位於$|z|\leq1$這個圓内的所有值的總和

* **A:** $1^i = e^{iln(1)}$, $ln(1) = log_e1+iarg(1) = i2k\pi,\\
where\ k = ..., -2, -1, 0, 1, 2,...,\\ e^{iln(1)} = e^{-2k\pi}\\
|e^{-2k\pi}| \leq 1 \ when\ k = 0, 1, 2, ...\\
e^{0\pi}+e^{-2\pi}+e^{-4\pi}+e^{-6\pi}+...\\
= \frac{1}{1-e^{-2\pi}}$
助教: OK

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### Group 5
* **Q:** 
  $given\ that$ $$\left\lbrace\begin{aligned}x^4 + y^4 +2x^2(y^2 - 1) - 2y^2 - 3 = 0\\y^2 + \frac{y^4}{x^2}-21 +12\sqrt3 = 0\end{aligned}\right.$$
  $求Ln(z) \ , where\ z = x + iy$

hint: $1.\ z = x +iy = e^{u+iv},\ x^2 + y^2 = e^{2u}, \frac{y}{x} = tan(v) \\
2.\ 若答案中有log_e(某數)，可以保留log_e的形式，不必算出數值\\
3.\ 可能不只一個解$

<以下是幹話>
<以下為故事劇情，請詳閱後再作答>
    記得上次提過的 u+iv 戀愛函數嗎? 這次要來介紹一個孤單函數 Ln(z) ... Ln(z) ... Ln(z) ... 有沒有發現!!!    念的快一點就變成 "Lonely" 了。
    台大電機之狼，Ethan Chui, 學號為B09901375，(1375念起來是不是跟 Ethan Chui 很像呢~~~   這是不是巧合?我覺得不是) 他因為一直找不到女朋友，於是自暴自棄，想看看自己有多孤單，但是他竟然不知道他的參數！於是他就去看土元的影片，看到一半竟然睡著了，在夢中，沼王亞告訴他他的參數就在這個方程式裡，請你由此找到他的孤單陰影面積究竟有多少。
 
* **A:**![](https://i.imgur.com/TJHDuTv.jpg)
助教: OK

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### Group 6

>1740 年左右，尤拉把注意力從對數轉向指數函數，得到了以他命名的尤拉公式『$e^{i\pi}=-1$。』
開心的「尤拉」跑去找複數學的前輩「棣美弗」炫耀
尤：「誒！你看新聞了沒～」
棣：「現在才18世紀，連報紙都沒有吧」
尤：「沒差啦！我發現了世界上最美的公式捏！」
棣：「拜託～我的公式比你的公式有用多了」
尤：「少來，你的公式有辦法讓 負數, $i$, $e$, $\pi$ 出現在一起嗎?」
棣：「拜託我在算複變的時候你還沒上小學呢！我隨便想都可以！」
尤：「老人家就別勉強了」
生氣的棣美弗就這樣拿出了他的ipad寫下了這樣的式子
$e^{Ln{Z^{2+2i}}}=-(-\dfrac{\pi}{\pi})$
（其實就等於$Z^{2+2i}=1$ ）

![](https://i.imgur.com/KMIHY0R.png =37%x)![](https://i.imgur.com/OBMEN5Q.png =63%x)

已知 $Z^{2+2i}=1$ 且 $\dfrac{\pi}{\log_e{|Z|}}=A,A為整數$,
求$A$ 共有多少種可能?
a.1種
b.2種
c.3種
d.4種

* **A:** 

$Z^{2+2i}=e^{(2+2i)lnZ}=e^{(2+2i)(log_e|Z|+iarg(Z))}$

$= e^{(2log_e|Z|-2arg(Z)+i2log_e|Z|+i2arg(Z))}=1$

$2log_e|Z|-2arg(Z) = 0$

let $log_e|Z|=\frac{\pi}{A}$

then $arg(Z)=\frac{\pi}{A}$

$e^{(i2log_e|Z|+i2arg(Z))}=e^{i\frac{4\pi}{A}}=1$

so $A=\pm1, \pm2$

answer is d
助教: OK。

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### Group 10
>王阿明有一個祖傳複變聚寶盆，他爺爺說如果把一個物體放進盆內的x-y座標，它會以某種mapping的形式變形。
王阿明手上有個拱狀物體，放了進去，占的區域剛好由四個函數圖形圍成：
${
x^2+y^2=1\\
x^2+y^2=e^2\\
y=x\\
y=-\sqrt{3}x
}$
![](https://i.imgur.com/XsHAGXQ.png =300x)
此時聚寶盆的mapping開始作用了：
$f(z)=Ln(z)$
物體隨著座標軸慢慢變形，最後從拱狀變成了另一種形狀，太神奇惹。

阿明想知道物體變形放大/縮小了幾倍，可是阿明已經停修複變了，想請還在修複變的你幫他解答：
1. mapping後的物體四條邊的方程式？
2. mapping後的物體的面積放大/縮小了幾倍？

* **A:**![](https://i.imgur.com/A7iFlFW.jpg)
* 最後一行的答案改為:$\frac{2}{e^2-1}$
* 助教：OK
 
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### Group 13
* **Q:** 
    $\alpha$為一實數，由上課內容知$i^\alpha$可能為多值的（multiple-valued）。若$i^\alpha$有$n$個可能值，則定義$f(\alpha)=n$，假如$i^\alpha$有無窮個可能值，定義$f(\alpha)=-1$。
    
    (1)求$f(\dfrac{1}{6})+f(\dfrac{2}{6})+....+f(\dfrac{5}{6})+f(\dfrac{6}{6})$
    
    (2)證明
    $$\begin{cases}
    f(\alpha)>0& \text{if } \alpha \in \mathbb{Q}\text{ (rational number)}  \\
    f(\alpha)=-1& \text{if } \alpha \notin \mathbb{Q}\text{ (rational number)}
    \end{cases}$$
    
* **A:**

(1) 

$i^{\frac{a}{b}}=e^{\frac{a}{b}(\frac{i\pi}{2}+i2k\pi )}$ , where k =0, 1, 2, ... , b-1

$f(\dfrac{1}{6})+f(\dfrac{2}{6})+....+f(\dfrac{5}{6})+f(\dfrac{6}{6})$ = 6+3+2+3+6+1 = 21

(2) 

$f(\alpha) = n \iff e^{\alpha \frac{i\pi}{2}}=e^{\alpha(\frac{i\pi}{2}+in2\pi)}\neq e^{\alpha(\frac{i\pi}{2}+ik2\pi)}\ for\ any\ 0<k<n\\ 
\iff \alpha n = N,\ N\in \mathbb{Z} ,\ and\ (n, N) = 1\\
\iff \alpha = \frac{N}{n}\in \mathbb{Q} ,\ and\ (n, N) = 1$
* 助教：OK

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### Group 15
* **Q15 :**
上週土元被拒絕後(詳情請參考上週Q15.)，整日渾渾噩噩。他的好友均穎決定要拉他一把，和他一起玩桌遊。當土元興高采烈的解著桌遊裡的迷宮時，突然被吸入迷宮中的異世界！
土元發現這個迷宮是由原先的迷宮經過 $w=Ln(z)$ mapping 而來，且他自己一天最多能探索面積為 $\pi$ 的區域。同時他也驚恐的認知到：複變期中考在3天後！
若出口在迷宮的隨機位置生成，做好最壞的打算，土元應該選擇繼續探索迷宮還是拿出他早就寫好的停修單？
原迷宮如下圖：![](https://i.imgur.com/7LnsfZ6.png)

**Hint :** 自然對數圖如下
![](https://i.imgur.com/Ook5ayg.jpg)

* **A:**![](https://i.imgur.com/kZoE7Lb.jpg)
* 助教：OK