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title: Wk14 Solution
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分工：共同討論，每人貢獻三分之一

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### Group 2
**Q:**
Find $\begin{align}\sum_{k=1}^{\infty}{\dfrac{f(k)}{k^2+a^2}}\end{align}$ for $\begin{align}f(k)=
\begin{cases}
1&k\neq 3p \\
-1& k=3p
\end{cases}
\end{align}, p\in \mathbb{Z}$
:::spoiler Hint:
Consider $\dfrac{\dfrac{\pi}{3}\cot{\left(\dfrac{\pi}{3}z\right)}}{P(z)}$
:::

**A**
助教: OK

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### Group 4
Find $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^2cos(k\pi)}{(k^2 + 1)^2}=?$
:::spoiler Hint (真的不會再點開)
$\frac{k^2}{(k^2+1)^2} = \frac{-1}{(k^2+1)^2} +\frac{1}{k^2+1}$
:::
**A**
助教: OK

### Group 5

1) 求 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$

hint:
1. $cot(z)=\frac{1}{z}-\frac{z}{3}-\frac{z^3}{45}+...$
2. 可以從老師上課ppt第8頁開始參考
($\oint_{C_n}\frac{\pi cot(\pi z)}{z^2}dz=2\pi i\sum_jRes(\frac{\pi cot(\pi z)}{z^2}, z_j)$)

2) 求 $\sum_{\{k\in N 且 \ {2|k=1} 且 {3|k=1}(意思是k和2,\ 3互質)\}}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{11^2}+\frac{1}{13^2}+\frac{1}{17^2}+...$
**A**
助教: OK。不過(2)題目互質的數學式不是那樣寫($2|k$是指k能被2整除)。

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### Group 10
Louis想要熟悉怎麼使用Laplace transform，於是拿一題微分方程來練習：
>$y'(t)-y(t)=2cos(5t)$，$y(0)=0$，求 $y(t)$。

Louis解了20分鐘，終於用Laplace transform弄出了解答：
>${sY(s)-Y(s)=\frac{2s}{s^2+25}\\
Y(s)=\frac{2s}{(s-1)(s^2+25)}=\frac{1}{13}\frac{1}{s-1}-\frac{1}{13}\frac{s}{s^2+25}+\frac{5}{13}\frac{5}{s^2+25}\ (部分分式)\\
y(t)=\frac{1}{13}e^t-\frac{1}{13}cos(5t)+\frac{5}{13}sin(5t)}$

看Louis解得那麼累，一旁的Nick看不下去了。
Nick：「ㄟLouis，你弄那麼累幹嘛，你看你光解$\frac{2s}{(s-1)(s^2+25)}$的部分分式就解了15分鐘，我跟你講啦，這學期我有修複變，對這種$\frac{2s}{(s-1)(s^2+25)}$的inverse of Laplace transform直接用Residue的總和用下去就對啦！」

請幫助Louis，不用部分分式，而是用複變Residue的解法，得出這題的$y(t)$。
並驗證，這解答跟Louis原本得到的解是相等的嗎？
hint: ppt p.22

**A:**
助教: OK

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### Group 13

在使用殘值定理計算無窮級數的過程，對於計算$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{P(n)}$類型的級數，我們利用$\frac{\cot{(\pi z)}}{P(z)}$的殘值來計算，這是因為$\cot(\pi z)$的極點在$z$為整數時，因此可以產生$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{P(n)}$。那如果使用$\frac{\tan{(\pi z)}}{P(z)}$呢？$\tan(\pi z)$的極點發生在$z=\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2}...$時，因此可以產生$\sum_{k}^{}\frac{1}{P(k)},k=\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2}...$的數列。

(1)給定$P(z)$為二次以上多項式，且極點不為$z=\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2}...$，$z_j$為$P$所有的極點，求以下式子中的常數$A$：
$$\sum_{k=\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2}...}^{}\frac{1}{P(k)}=A\sum_{j}Res(\frac{\tan{(\pi z)}}{P(z)},z_j)$$

hint: 積分時路徑$C_n$為$x=\pm n,y=\pm n$所圍出的路徑，計算過程可以直接使用$\oint_{C_n}{\frac{\tan{(\pi z)}}{P(z)}dz}=0$ as $n\to \infty$ ($n$為整數)

(2)選用適當的index並用上式計算：
$$\frac{1}{1}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...
$$

hint:注意正負對稱性

**A**
助教: OK

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### Group 15

* Show that $L^{-1}\{\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}\}=t^ne^{-at}$ , suppose $Re\{s\}>a$

:::spoiler Something unimportant
It is a very useful formula while solving differential equations. Please use
$L\{F(z)\}=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int^{a+i\infty}_{a-i\infty}F(z)e^{zt}dz=\displaystyle\sum^n_{j=1}Res\{e^{zt}F(z),z_j\}$
to show the formula is established.
:::

**A:**
* 助教：OK
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### Group 16
> 修改題目 -> 15:21 更新
>

**題目：**
透過複變可以算出一些難算的級數和，現在考慮在正偶數的黎曼$\zeta$函數
$$\zeta(2k)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2k}},k \in \mathbb{N}$$
在上課時有提到，使用公式時分母不能有整數零點。如果我們想要用課堂學到的公式來算以上的無窮級數和的話，我們必須動一點手腳，試回答：
(1)試說明:
$$\left( 1-\dfrac{1}{2^{2k}} \right) \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2k}}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^{2k}}$$
(2)利用(1)跟這週學到的公式，得到
$$\zeta(2k)=\dfrac{-\pi^{2k}}{2(2^{2k}-1)(2k-1)!}\left[\dfrac{d^{2k-1}}{dz^{2k-1}}(cotz)\right]_{z=\frac{\pi}{2}}$$
(3)最後利用(2)得到以下無窮級數和的值
$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^4}
$$

:::spoiler 解答
:pie: :pie: :pie: :pie: :cry: :ok_hand:
:::

**A**

* 助教：OK
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### Group 17
Evaluate $\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{e^{-2s}+e^{-4s}}{s(s^2+4)}\space\right)$
(3:50新增) Hint:可將$e^{-az}項$併入$u(t)f(t)=\sum_{j=1}^{n}Res(e^{zt}F(z))$的$e^{zt}$中進行變數變換，並注意t的範圍
**A:**
* 助教：取0的殘值錯誤，且結果沒使用u(t-2)、u(t-4)

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### Group 19
Evaluate
$$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}(\dfrac{1}{\sqrt{s}})
$$

Hint:
You may found that the branch cut **cross** the curve which we want to integrate on, so you need to **fix** the curve into this form.
Remember **the value of function above and below the branch cut** is different

**A**


* 助教：OK