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title: Wk12 Solution
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分工：共同討論，每人貢獻三分之一

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### Group 5

$f(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2k}, k\in \rm I\!R$

(1) k在什麼區間內時

$\oint_{c_1}f(z)dz + \oint_{c_2}f(z)dz \neq 0$

$C_1 : |z-4i+1|=1$
$C_2 : |z+4i+1|=1$
hint: 可以觀察k變動時，f(z)的pole的移動

(2) 請問$k$在上題求出的區間內時

$Res(f(z), z1) + Res(f(z), z2) = ?$

$z1, z2為f(z)的兩個poles$

**A**
助教: OK

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### Group 10
大明在複變期中考遇到了一題：
>${g(z) = \frac{1}{(z-4)^{2020}(z-5)(z-6)}}$，求 ${Res(g(z),4)}$。

他心想這根本送分題，只要代入Residue公式就可以輕鬆秒殺，沒想到代入公式竟然需要微分2019次，根本算不出來！
老師怕大明放棄複變而選擇去修離散數學，所以給了他一個提示，就是下面的第1小題。
請聰明的各位救救大明的複變函數，幫他解出這兩小題。

1. $f(z) =\frac{1}{(z-a_1)(z-a_2)......(z-a_n)}$，$n \geq2$
證明 ${\sum_{k=1}^{n}Res( f(z),a_k) = 0}$。
hint: Residue theorem and 第七周第10組的題目
2. ${g(z) = \frac{1}{(z-4)^{2020}(z-5)(z-6)}}$，求 ${Res(g(z),4)}$。


助教: OK

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### Group 12
Evaluate the following contour integral where $C: |z - \frac{1}{4}\pi| = \frac{1}{8}\pi.$
$$
\oint_C \frac{sec^2z - 2tanz}{1 + cos4z}dz
$$

hint:
step 1/ determine $\lim_{z\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{sec^2z - 2tanz}{1 + cos4z}.$
(可忽略)step 2/ apply Them 19.5.2 

**A**

助教: OK

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### Group 13
* **Q:**

$C_R$為以下方程式所圍成的封閉路徑（逆時針），如上圖
$$\begin{cases}
y=3,\ x\in[0,R] \\
y=\sin{\dfrac{x}{2}},\ x\in[0,R]\\
x=0\\
x=R
\end{cases},\ \ R\in \mathbb{N}$$
求$\lim \limits _{R\to\infty}\oint_{C_R} \dfrac{\sec z}{e^z} dz$

hint: 觀察哪些pole會被路徑所圍住

**A**
* 助教：OK

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### Group 17
Evaluate $\displaystyle\oint_{C}^{}\dfrac{tan(z)}{z^2-\frac{\pi^2}{9}}dz$, $c:|z-\frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2}$ (counter clock wise)

**A**

* 助教：OK，但還可以化簡

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### Group 19
Evaluate the contour integral $\displaystyle\oint_{C}^{}\dfrac{z^2+\dfrac{1}{z^2}}{(\bar{z}-a)(b-\bar{z})}dz$, where $0<|a|<r<|b|$ by residue theorem
:::spoiler Hint
想想看要怎麼把 $\bar{z}$ 消掉?($z\bar{z}=r^2$)
:::

**A**

* 助教：求殘值時(bz-r^2)消去時還會留下1/b倍，而且少了2$\pi$i