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# System prepended metadata

title: Wk2 Solution

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title: Wk2 Solution
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### Group 3
定義$$e^z:=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$$
         因此我們可以認為 $e^z$ 對所有的複數$z$而言都在複數平面上
         故假設 $$e^{ix}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$
         試以微分的方式(假設尚未知道歐拉公式)解 $r(x),\theta(x)=$?
* hint: 
    * 1. 對等號兩邊同時$x$微分
    * 2. $\frac{d}{dx}e^{\alpha x}=\alpha e^{\alpha x},\;\frac{d}{dx}(fg)=f\frac{dg}{dx}+g\frac{df}{dx}$
    * 3. 虛部等於虛部，實部等於實部
    * 4. <font size="6">[ ]為填空喔~~~~</font> 
$\underline{sol.}$
         $$\begin{aligned}e^{ix}&=r(\cos\theta+i\sin \theta)\\\overset{\frac{d}{dx}}{\Rightarrow}[ie^{ix}]&=(\cos \theta+i\sin\theta)\frac{dr}{dx}+r(-\sin\theta+i\cos\theta)\frac{d\theta}{dx}\\&=[\cos\theta\frac{dr}{dx}-r\sin\theta\frac{d\theta}{dx}]+i[\sin\theta\frac{dr}{dx}+r\cos\theta\frac{d\theta}{dx}]\end{aligned}$$
         also, $$\;ie^{ix}=-r\sin\theta+ir\cos\theta$$
         實部等於實部，虛部等於虛部：
         $$[\cos\theta\frac{dr}{dx}-r\sin\theta\frac{d\theta}{dx} = -r\sin\theta, \sin\theta\frac{dr}{dx}+r\cos\theta\frac{d\theta}{dx} = r\cos\theta]$$
         $$\Rightarrow\left\lbrace\begin{aligned}\frac{d\theta}{dx}&=[1]\\\frac{dr}{dx}&=[0]\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\lbrace\begin{aligned}\theta(x)&=[x+C_1]\\r(x)&=[C_2]\end{aligned}\right.$$
         when $x=0$(initial condition, determine the constant of DE), $$\begin{aligned}&e^{i0}=e^0=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{0}{n}\right)^n=1\\\Rightarrow\;[C_1 = 0, C_2 =1,\theta(x) = x, r(x) = 1, e^{ix} = \cos x+i\sin x]\end{aligned}$$
         
         
         
         
* **A:**    填於空格中
助教: c1 general的解應該2kπ，k屬於整數。

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### Group 5
少年兀因為系烤被排擠，心灰意冷下跳入了咩噗河，在虛實之間漂流。(進到咩噗河會使人神智不清，無法自由行動，只會被強制唱咩噗之歌) 已知咩噗河的速度場可用一函數 $f(z)=8x-xy^3i$ 表示。兀落水的位置在高斯平面上為 $1-2i$ , 小隊員在兀落水後立刻丟了一救生圈於 $4-i$ 的位置，請問兀是否能抓到小隊員的救生圈並被救上岸呢？還是隨著咩噗河漂流就咩噗了呢?
（因為小隊員拉著救生圈，所以救生圈位置固定。兀只要漂到救生圈所在位置就能抓住救生圈成功獲救。）
![](https://i.imgur.com/dKBldAf.png =80%x)



* **A:**
![](https://i.imgur.com/HqZ9mWB.jpg)
助教: OK


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### Group 6
> 東太平洋漁場時價分析師兼操盤手暨洋流講師・海龍王・彼得
他想了解「太平洋複數環流」近期的流向，他整理了四種最常出現的複數環流，希望能掌握新時代的海洋霸權，但他沒有修複變，因此他想請大家幫幫彼得，區別各個「太平洋複數環流」所對應的複變函數。

切記『只要你懂海，海就會幫助你』
![](https://i.imgur.com/oj81tZd.jpg =40%x)



1.![](https://i.imgur.com/LNyg8bz.jpg =40%x) 2. ![](https://i.imgur.com/N5yHzpy.png =40%x)

3.![](https://i.imgur.com/tEcdioh.png =40%x) 4.![](https://i.imgur.com/D5b6ixN.png =40%x)


{a} $x^2+5i$ 
{b} $\dfrac{x-yi}{x^2+y^2}$
{c} $iLog(z)$
{d} $x² + y² + 2x + 1+2yi$


* **A:**![](https://i.imgur.com/colRY81.jpg)
助教: OK


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### Group 11

![](https://i.imgur.com/aBJsbc9.jpg)
x與y為實數

請求出塗色區域經此複變函數mapping到另一平面後所對應的面積。




* **A:** $f(z) = e^{iarg(z)}$![](https://i.imgur.com/dhR5mW5.png)
助教: OK


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### Group 13
**Q:** $z$ is a complex number, find the limit \begin{equation*} \lim_{z \to \frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i} \dfrac{z^5+z^4+z^3+z^2+z+1}{z^2-z+1}. \end{equation*}
    hint:
    when $z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}i$, 
    $z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$,
    $z^2-z+1=0$.
    
    
* **A:** 
![](https://i.imgur.com/GNRK5hZ.jpg)
助教: OK


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### Group 16
最近人氣竄高的輕小說《理工宅想穿越異世界結果到複數平面打魔王？》第2卷上市，講述男主角符戍意外穿越到複數平面的世界幫忙打魔王的故事。

在第2卷中，男主來到了第二個複數平面世界，要來打倒魔王符戌。男主擁有透過複變函數將線段變形的能力，這次這個世界的國王複數大師希望男主能將古人製作的屏障變形，將城堡複數城包圍的更徹底。

複數城為一圓心在原點，半徑為1的單位圓，而現在的屏障為複數平面上的一條線$Re(z)=a,a>1$。男主打算透過複變函數$f(z)=\alpha z^2$將屏障變形 (**貼心提醒**：變成拋物線，$\alpha$是實數)，這裡作者認為會讀這本書的人都是數學很好的人，所以省略了一部分，而在附錄寫了一段文字：「如果你有空，可以求出屏障與城堡相切時的$\alpha$值 (**以$a$的函數表示**)，也可以順便證明拋物線的焦點在原點。把答案寄過來，就有機會抽到免費的書喔喔喔！！！」求出答案，來抽書吧。(雖然好像沒人想要）(以上純屬虛構）

**懶人包**：求出$Re(z)=a,a>1$在經過複變函數$w=\alpha z^2$後變成拋物線後會與單位圓相切時的$\alpha$值，以及證明拋物線的焦點會在原點

* **A:** let $z = a + bi$, $w = \alpha(a^2 - b^2)+2\alpha abi$, $x = \alpha(a^2 - b^2)$, $y = 2\alpha ab$. ${-(\frac{y}{2\alpha a})}^2 = \frac{x}{\alpha}-a^2$, $y^2 = -4\alpha a^2 x + 4\alpha^2 a^4$. 
 $unit\ circle: x^2 +y^2 = 1 \\ 
 1-x^2 = -4\alpha a^2 x + 4\alpha^2 a^4 \\
 x^2 -4\alpha a^2 x + 4\alpha^2 a^4 -1 = 0 \\
 x = 2\alpha a^2 ± 1$
 
 $if\ the\ unit\ circle\ and\ the\ parabola\ has\ the\ same\ slope:\\
 2y\frac{dy}{dx} = -4\alpha a^2\\
 substituting \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}\ into\ the\ first\ equation\ gives\ x = 2\alpha a^2\\
 which\ can't\ be\ true\ because\ x = 2\alpha a^2 ± 1\\
 The\ only\ solution\ is\ \frac{dy}{dx}\ doesn't\ exist \\
 which\ means\ x = 2\alpha a^2 ± 1 = ±1\\
 since\ \alpha ≠ 0, \alpha = ±\frac{1}{a^2}$
 
 $The\ parabola\ are:\ y^2 = 4(-1)(x - 1),\ c = -1;\ or  \ y^2 = 4(x + 1),\ c = 1\\
 so\ the\ focus\ of\ the\ parabola\ is:\ (1+(-1), 0) = (-1+1, 0) = (0, 0)$

助教：OK
    
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### Group 17
Given $a = 2+i, f(z) = e^z$. Find set $Q$ that the  elements $q$ in $Q$ satisfy $|f(a)| = |f(q)|$.
hint:考慮$e^z$的mapping




* **A:**
![](https://i.imgur.com/q5i52Ue.jpg)

助教：OK


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### Group 18
![](https://i.imgur.com/i9q7TdB.jpg)

冒險家小明在電機二館找到一個神秘的藏寶圖，但藏寶圖上只有寫著兩個函數$x<=ln5和f(z)=e^z+(-5+5i)$
小明解讀後發現，第一個函數經過第二個函數mapping後，會出現寶藏島的位置。
小明現在在複數平面上$z=\sqrt{5}$的位置，他決定搭著熱氣球順著氣流到達島嶼，經過觀測他發現氣流的流速函數是$g(z)=3iz$。

(1)請用函數表達出整座寶藏島的範圍
(2)請問他能不能抵達寶藏島(熱氣球無法自行移動)。如果可以請算出他的降落地點(一到島的上空就要降落)








* **A:**![](https://i.imgur.com/xmxIdqd.png)

助教：OK




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### Group 19
百變怪 （英語：ditto，日語：メタモン）
![](https://i.imgur.com/oIhBKFc.png)

> 能變身成自己看過的東西。但當對象不在眼前時，因為只能靠記憶來變身，所以有時會失敗。

> 在台大電機系中住著兩隻百變怪，每個禮拜都會跟著大家一起上課，但因為每次他們都能變成椅子、黑板或是同學之類的，所以大家都沒有發現。(如果你旁邊的同學每次都盯著黑板發呆，那**他或許就是百變怪變的!**)

>這兩隻好學的百變怪發現，黑板上常常出現$\phi$這個字母，因此他們靈光一閃想要變成$\phi$的形狀。

>第一隻百變怪在複數平面上變成了一條通過(a,0)，斜率為m的斜直線，而第二隻百變怪變成一個以(a,0)為圓心，a為半徑的圓。他們驚訝的發現:**他們兩個竟然正交!!!**
> 此時正在上複變課，旁邊的同學正在討論**反演**的概念，其實就是f(z) = $\dfrac{1}{z}$的意思。於是他們靈機一動，便對自己做了反演的動作。
> 在這個時候，他們驚訝的發現:**他們竟然還是正交!!!!**
> **請問他們真的做對了嗎?**

下圖為一圓心在(a,0), 半徑為a的圓, 以及過(a,0)斜率m的直線，我們可以很直覺得知道對於任何斜率m，直線皆會與圓正交，現在考慮一複數平面的變換$f(z)=\frac{1}{z}$，試證明兩圖形經過此變換後依然正交。

![](https://imgur.com/UQElBUA.png =50%x)

1. 求圓的複數極式(EX: $z = re^{i\theta}$)
 (Hint:將r表示成$\theta$的函數)

![](https://imgur.com/S6UZNU5.png =50%x)

2. 求直線的複數極式(Hint: 求$y=x\tan{\theta}$ 與 $y = m(x-a)$之交點，並用交點座標求出$r=\sqrt{x^2+y^2}$)

3. 將圓做 $f(z) = \dfrac{1}{z}$變換,觀察其變換後圖形為何?

4. 將直線做 $f(z) = \dfrac{1}{z}$ 變換,觀察其變換後圖形為何?(Hint:可做以下化簡 $acos\theta+bsin\theta = \sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}cos{\theta} + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}sin{\theta}\right)\\=\sqrt{a^2+b^2}cos(\theta+\alpha)$

5. 觀察變換後的兩圖形是否**依然正交?**(可將圖形畫出來)


* **A:** 


![](https://i.imgur.com/NelmFdq.jpg)

助教：(4)的第二的等號後是$cos(\theta+\alpha)$