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title: Wk6 Solution
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### Group 1
在航天動力學和宇宙空間動力學中，所謂的**重力助推**（gravity assist；也被稱為**重力彈弓效應**或**繞行星變軌**）是利用行星或其他天體的相對運動和重力改變飛行器的軌道、時間和計劃成本。重力助推既可用於加速飛行器，也能用於降低飛行器速度。[source: Wikipedia](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A9%E6%8E%A8)

在星際效應中，漫遊者號也利用中子星來做到加速減速以到達米勒星球(雖然應該要用中等質量黑洞)。[source: PanSci](https://pansci.asia/archives/79804)

在複數平面上，科學家們也想利用類似的原理來為他們的太空船提供動力。

科學家們最近發現一個天體，他的x座標是20，運行軌道是 $y = \dfrac{x^2}{4}$ 。現在科學家想要發射一艘無人太空船去探索，而發射點位於軌道上 $x = -8$ 的地方。

a) 在複數平面上，每單位距離需要消耗5單位的能量，請問從發射點到天體沿著軌道走需要多少單位的能量？

Hint: 曲線長度 = $\int_{a}^{b} |z'(t)|dt$, where $z'(t) = x'(t) + iy'(t)$

考慮太空船的容量，最多可以儲存所需燃料的40％，剩下的必須要利用重力助推來獲得。他們決定利用一個位於$(0,2)$的詭異天體所散發出來的場來獲得能量。

科學家們利用最近開發的一種新的蓄能引擎，可以在一定時間內在不改變物體軌跡的情況下，與外界能量做交互作用，最後再一次得到或是損失能量。比方說一個物體在10秒內持續獲得動能，但是那個引擎可以先把他儲存起來，10秒後才會瞬間增加速度。

b) 利用重力助推，太空船可以獲得沿著軌道切線方向的能量，然而為了對抗排斥以及吸引的力量，也就是在法線方向的力量，需要付出額外的能量讓太空船保持在同樣的軌道。也就是說，要計算獲得多少能量，就是計算circulation減掉|net-flux|，

因此，給定用來重力助推的天體能量場函數$f(z) = (2+i)(z^2 + z)$，請算出太空船沿著軌道 $|z - 2i| = 2$ 會得到多少能量，並試問他們至少繞幾圈才能獲得足夠的能量。

**A:**
助教: (b)積分算錯。

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### Group 5
**Q:**
一天，沼王亞在路上遇到Ethan Chiu，他突然獸性大發，撲上去... 狂舔他，沼王亞肚子痛，Ethan Chiu大笑說：「我早就知道你會舔我了，所以我早就偷在身上抹毒藥了」，只見沼王亞露出微笑，說：「我早就預判到你的預判，把解毒丸放在口袋裡了」，正當他要拿出解毒丸，Ethan Chiu卻不慌不忙道：「我早就預判到你預判我的預判，早就把你的解毒丸偷走了」，沼王亞止住動作，從包包拿出一顆黑黑的盒子，正當他要譏諷Ethan Chiu，卻發現上面有奇怪的題目，Ethan Chiu這時放聲大笑，「想不到吧，我絕對不會告訴你密碼就是這題的答案」，小朋友們，你們能幫助沼王亞把討厭的1375趕走嗎。

盒子上的題目:
$C:|z|=1375$

求$\overline{(\frac{2z^2+3z+1}{(z^2+1)(z+3)})}$的Circulation 和 Net flux around C

**A:**
修正：$\oint_{c'} \frac{du}{2(u+1)}+\oint_{c} \frac{dz}{z+3}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (2\pi i)+2\pi i=4\pi i$

$Circulation: 0\ Net\ flux: 3\pi$
助教: OK。不過↑也記得修正。

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### Group 6
>俄羅斯人「羅斯科夫」(Rose Curve):guardsman:發現了一種新型的『百葉花』:cherry_blossom:
這種花在成熟後的花瓣總數剛好100片，而且上下左右皆對稱
最特別的是， 花瓣可以用$z=kcos(n\theta)
e^{i\theta}$ 來表示
不只如此，此花的生長模式也符合$z=kcos(n\theta)
e^{i\theta}$（$n=$生長天數,$n\le100$）
也就是說，花在剛開的第一天只有兩片花瓣，每天會長兩片花瓣，第n天有2n片
（如下圖）(:exclamation:注意：n為奇數時，兩朵花瓣會重疊在一起:bangbang:)
  n=1      n=2     n=3       n=4      n=100

請問 $\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\oint_{C_{n}}\dfrac{1}{z^2-1}dz$ 為何？

$C_{n}$ ： $z=2cos(n\theta)
e^{i\theta}$ , $\theta\in[0,2\pi]$ , $direction(\theta): 0\rightarrow2\pi$

**A:** $\oint_{C_{n}}\dfrac{1}{z^2-1}dz=\oint_{C_{n}}[\frac{-1}{2(z+1)}]+[\frac{1}{2(z-1)}]dz$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\oint_{C_{n}}\dfrac{1}{z^2-1}dz=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\oint_{C_{n}}[\frac{dz}{(z-1)}]-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\oint_{C_{n}}[\frac{dz}{(z+1)}]$

$=\frac{1}{2}\cdot (50 + 100)\cdot2\pi i-\frac{1}{2}\cdot 50\cdot2\pi i=100\pi i$
助教: OK

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### Group 10
小明上完這周的複變函數，興奮的準備來練習題目：
>若$C$為以$z=1$為圓心，半徑R為7的圓，試求：$\int_C\frac{z^2+4z+7}{(z^2+4)\cdot (z^2+2z+2)}dz$。

利用Cauchy-Goursat定理，他想說這不過是個有挖洞的countour integral罷了，沒想到花了半小時他依然算不出這題。
這時小華從一旁走過，**看了一眼就跟他講這題答案等於k**，並一步一步提示他這題有更快速的算法，請大家跟著一起完成：
1. 令$C_R$為一個以$z=0$為圓心，半徑$|z|=R$很大很大的圓，
試用ML不等式，分別將M, L用$R$表示，過程中可以利用$R$很大很大的情況取近似值，證明 $|\int_{C_R} \frac{z^2+4z+7}{(z^2+4)\cdot (z^2+2z+2)}dz|<=\frac{2\pi}{R}$
2. 由第一題的結果，請算出k為多少?
hint: 先求$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_R} \frac{z^2+4z+7}{(z^2+4)\cdot (z^2+2z+2)}dz$，再用Cauchy-Goursat定理觀察$C_R$和題目的C的關係。

**A:**

* 助教：OK

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### Group 11
Hint:可以加一條輔助線當作新的路徑
**A:**
* 助教：倒數第3行Ln的化簡計算錯誤。

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### Group 12

Let $f(z) = \sum_{k = 1}^{4} \frac{1}{z - z_k}$, where $z_1 = \frac{1}{2}\pi + \frac{1}{2}i$, $z_2 = \frac{3}{2}\pi + \frac{1}{2}i$, $z_3 = \frac{3}{2}\pi - \frac{1}{2}i$, $z_4 = 3\pi + \frac{1}{3}i$ and
$C: y = \begin{cases}
sinx, \, x = \pi t, \, 0\leqslant t \leqslant 5 \\
-sinx, \, x = -\pi t + 10 \pi, \, 5 \leqslant t \leqslant 10
\end{cases}$
Find $\oint_{c}{f(z)dz} = ?$

**A:**
修正：最後一行改為$-2\pi i+2\pi i +2\pi i=2\pi i$
* 助教：OK

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### Group 17
如圖五芒星的頂點分別為$(z/2)^5-1=0$的解

**A:**

* 助教：OK，但記得提到五芒星內部=0的圈。