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# System prepended metadata

title: Wk7 Solution

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title: Wk7 Solution
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### Group 1
Compute $\oint_{C}\dfrac{1}{(z^2 - \dfrac{1}{4})^4} dz$, where C is the curve below.(紅色加藍色)
![](https://i.imgur.com/usqCxnN.jpg)

* **A:**
![](https://i.imgur.com/KQ7zDj7.jpg)
助教: OK

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### Group 3
:::info
Cauchy Integral Formula 除了可以幫助我們計算複數的積分，也可以用來探討一些實數的積分。試求：
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos{x}}{x^2+1}dx\;,\quad x\in\mathbb{R}$$
:::

:bulb: **HINT:**
1. 令 $$f(z)= \frac{e^{iz}}{z^2+1}$$   (因為這個函數沿著實軸取實部$=\frac{\cos{x}}{x^2+1},\; z=x+yi$)
1. 先選擇以下積分路徑，計算: $\oint_{C}f(z)dz$
![](https://i.imgur.com/PFhwwQs.png =250x)
1. 當$R\rightarrow\infty$，你會發現沿著$C_R$對$f$的積分會趨近於0(ML Inequality) 
* **A:**
![](https://i.imgur.com/RArnmvA.jpg)
助教: OK

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### Group 5

續少年兀跳進咩噗河的故事，少年兀已經在4-i的地方接到救生圈，但他突然氣喘發作，沒辦法慢慢飄到岸上，於是沼王亞想要拉他上岸(即他現在位置1-2i)，卻發現水流湍急，河中女神這時閃現並告訴他，咩噗河的力場是$F(z)= 8x - xy^3i, z=x+iy$，沼王亞因為最近期中考花了太多時間和精力念書，醫生告訴他他只能再動用150J的能量了，不然他就會被期中考壓力壓垮而發瘋大聲放歌，請問他是否能在不發瘋的情況下就救起少年兀呢?(以上單位均為SI制)
![](https://i.imgur.com/dKBldAf.png =80%x)
Hint:作功可用此式計算$Re\{{\int_C \overline{F(z)} dz}\}$
* **A:**
![](https://i.imgur.com/lqFNyKV.jpg)

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### Group 7 

不知道各位小時候有沒有經驗，覺得自己聰明絕頂:100: 不需要聽老師的話，字高興怎麼寫就怎麼寫...... 

:boy:小明是個很幼稚的小學生，他不想要按照老師教的筆畫寫字，想要用**一筆就把「田」字寫完**。如下圖。  :pencil: 

寫完後老師為了處罰他不乖乖學習:female-teacher: :punch: ，要他將自己寫的**字當路徑**，算出以下的算式做**路徑積分**：

藍色部分:
$$f_1(z)= \frac{4}{(z^2+1)(z^2)}$$

:::info
:exclamation: 更正  11/3/2020 12:07 
 $f_1=\dfrac{4z^2++4z+16}{(z^2+1)(z^3)}$ 改成  $\dfrac{4}{(z^2+1)(z^2)}$  ，不用微的那麼頭痛  :smiley: 
:::

紅色部分:
$$f_2(z)= e^z+e^{-z}$$


![](https://i.imgur.com/4IK3EmP.png)
補充：小明的畫法![](https://i.imgur.com/lElzhs6.png)

* **A:**
![](https://i.imgur.com/t5mOW2C.jpg)

助教: 藍色部分注意公式中分子必須analytic在C內，最後一行不對。

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### Group 10
肥宅小明想要向小美告白，於是畫出了一朵有8朵花瓣的花朵給她：
$C$ ： $z=2sin(\frac{4\theta}{5})
e^{i\theta}$ , $\theta\in[0,10\pi]$ , $direction(\theta): 0\rightarrow10\pi$
![](https://i.imgur.com/5pdAyhz.png =300x)
小美收到花之後雖然很感動，但她不太喜歡肥宅，於是現場出一道用這朵花作為軌跡的題目給小明，並說如果你解得出來我再考慮看看要不要當朋友吧！
**求${\int_{C}cosh(z \pi)(z+i)^{-k}dz}$，$k$為任意正整數。**
hint: 花瓣的軌跡都是以逆時鐘繞的。
* **A:**
![](https://i.imgur.com/M3gSH6n.jpg)
* 助教：OK


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### Group 12

Evaluate $\int_c {z^2(Lnz)^2}dz$, C: $x = \sqrt{4 - y^2}$, from 2i to -2i.
![](https://i.imgur.com/8rEwn9c.png)

hint: integration by parts.
**A**
![](https://i.imgur.com/0ab4q2g.jpg)
* 助教：OK

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### Group 17
![](https://i.imgur.com/xdLJKny.png)
**A**
![](https://i.imgur.com/ALGDvH4.jpg)
* 助教：OK