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title: Wk15 Solution
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分工：共同討論，每人貢獻三分之一

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作業6題:
4, 5, 6
13, 15, 17

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### Group 4

Given $\Gamma: |z| < 2\pi$

$f_1(z) ={(\frac{i}{z+2\pi})}$
$f_2(z)=Ln(z)+\pi i$
$f_3(z)= cosh(\frac{1}{z+2\pi})$
$f_4(z)= e^{\frac{1}{4(z+2\pi i)}}$

找出$\Gamma$ 在經過$f_1、f_2、f_3、f_4$mapping後，分別對應的圖形。

**A**
助教: 應該是(1)g*(邊界對但判定區域錯) (3)c*(邊界對但判定區域錯) (4)全部都不符合(因為e會有週期性，可以旋轉很多圈最後覆蓋z平面)。

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### Group 5
$給定一個confromal\ mapping\ f(z) = Ln(\frac{z-1}{z+1})$

(1)
請問半圓路徑$C:\{e^{i\theta} | 0<\theta < \pi\}$
經過$f(z)$ mapping後的圖形會是什麼？

(2)
知道這個mapping的特性後，現在有某個圖形區域A，A經過f(z)變換後
變成下方圖中的內部區域，請問原來區域A的面積是多少？

(3)
使用這個好好用的f(z)，你有辦法靠改變a跟b，把下面這個圖形的內部區域（斜線區域）mapping到
$\frac{\pi}{6}<y<\frac{\pi}{2}$的帶狀區域內嗎？（求a,b）

$f(z) = Ln(\frac{z-b}{z-a})$
藍色線都是圓弧的一部分

**A**
助教: OK

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### Group 6
**A**
抱歉，上傳時沒注意到

助教: 答案圖看不到。

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### Group 13
<font color ="#ff00">3:51新增提示</font>

「反演變換」是數學幾何中一種常見的變換，可巧妙地解出許多特殊的幾何問題。

反演的規則為：先選定一個反演圓 $\Gamma$ ，圓心為$O$，半徑為$R$，對於所有**非原點**的點$P$，其反演後的點$P'$會在$OP$射線上，且滿足$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=R^2$（線段長度乘積），如上圖。
以下的計算取$\Gamma$為單位圓。

(1) 寫出反演變換的關係式。（$w=f(z)=...$）(可用$z=e^{a+bi}$或$re^{i\theta}$想)
hint: 點$P'$在$OP$射線上 $\rightarrow$ $P,P'$輻角相等。

(2) 說明它不是conformal的。（可先證 $\overline{w}$是conformal的，然後想想$w$和$\overline{w}$的關係）

(3) (optional)圖中藍色是一個正方形，綠色是藍色部分反演後的圖形，證明：綠色圖形為四段圓弧（或線段）所組成的。
hint: 將線段方程式帶入轉換公式。

(4) 求此四段相鄰弧兩兩之間的夾角（用前面已知的結果）。

**A**

* 助教：
* (1)分子是R的平方
* (2)z的共軛不是conformal

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### Group 15
**(1).** 假設一點$(a,b)$在複數平面$Z$上，經過$w=f(z)=\dfrac{z^2}{2}$轉換後，在$W$平面上的點為$(u,v)$。試問$u,v$與$a,b$的關係是？

**(2).** 呈上，如果想在$W$平面上創造一個圓心在$(0,0)$，半徑為$r$的圓，那在原本$Z$平面上的圖形為何？

**A**

* 助教：OK

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### Group 17
(1) 已知$A:1+0i, B:1+i, C:1+\sqrt{3}$先經由旋轉$\theta_0$、再縮放$r_0$、最後平移$z_0$後，mapping到$A':2-3i, B':2+\sqrt{3}-3i, C':2-6i$，試求$r_0, \theta_0, z_0$？
(2) 若C改為mapping到$C'':0-7i$，是否能找出對應的$r_0, \theta_0, z_0$？
(3) 若缺少C mapping到C'這個條件，能否只由A, B兩個點的mapping，找出唯一的一組$r_0, \theta_0, z_0$三個未知數？

> 可以發現，最少需要多少點就可以決定一個經由旋轉、平移、縮放的mapping
**A**

* 助教：OK