$\mathbf{e}_z$轉軸方向
===
[應用力學(二)主頁](https://hackmd.io/7PlasNkCQGSicI1flfJAWw)

[toc]

轉軸方向為 **$\mathbf{e}_z$** 是因為 **極座標系 (polar coordinates)** 依據右手法則確定其三維空間中的法向量方向。

### **解釋：**
1. **極座標的定義**
- 在二維平面內，極座標以原點 $O$ 為中心，位置向量 $\mathbf{r}_P$ 可表示為：
$$\mathbf{r}_P = r \mathbf{e}_r$$
- 其中：
- **$\mathbf{e}_r$** 為徑向單位向量，指向從原點到質點 $P$ 的方向。
- **$\mathbf{e}_\theta$** 為切向單位向量，垂直於 $\mathbf{e}_r$，指向角度增大的方向。

2. **為何轉軸是 $\mathbf{e}_z$？**
- 轉軸的方向是透過 **$\mathbf{e}_r \times \mathbf{e}_\theta$** 來確定的：
$$\mathbf{e}_z = \mathbf{e}_r \times \mathbf{e}_\theta$$
- 這是 **右手法則** 所決定的：
- 右手的大拇指、食指、中指分別對應於 $\mathbf{e}_r$、$\mathbf{e}_\theta$ 和 $\mathbf{e}_z$。
- 若將右手的大拇指指向 $\mathbf{e}_r$（徑向），食指指向 $\mathbf{e}_\theta$（切向），則中指會指向 **垂直於平面的方向**，即 $\mathbf{e}_z$。

3. **在三維座標系中，$\mathbf{e}_z$ 的物理意義**
- $\mathbf{e}_z$ 表示旋轉的軸心方向。
- 若物體繞著極座標系的原點 $O$ 旋轉，則它的角速度向量 $\boldsymbol{\omega}$ 會指向 $\mathbf{e}_z$ 方向：
$$\boldsymbol{\omega} = \dot{\theta} \mathbf{e}_z$$
- 這也符合剛體旋轉的 **右手法則**，即逆時針旋轉時，角速度向量指向正 $z$ 軸。

### **結論**
轉軸方向為 $\mathbf{e}_z$ 是因為 **右手法則下，$\mathbf{e}_r$ 和 $\mathbf{e}_\theta$ 的叉積決定了極座標系的第三個正交方向**。這確保了極座標系的右手座標系屬性，使其可以適用於動力學與運動學分析。