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# System prepended metadata

title: 極座標系

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極座標系
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**目錄**
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## 極座標系統中的速度向量
這個公式描述了**極座標系統中的速度向量**，讓我們一步步解析它的意義。
⚠️⚠️**注意：以下粗體符號表示為向量**❗


### **公式解析**
$$\mathbf{e}_z =\mathbf{e}_r \times \mathbf{e}_\theta$$
- 位置表示
$$\mathbf{r}=r\mathbf{e}_r$$ 
- 速度表示
$$\mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r\dot{\theta} \mathbf{e}_\theta$$
這表示速度向量由**兩個分量**組成：
1. **徑向速度（Radial Velocity）：**  
   
   $$\dot{r} \mathbf{e}_r$$
   
   -  $\dot{r} = \frac{dr}{dt}$  是距離  $r$  隨時間的變化率。
   - 這表示物體在**遠離**或**接近**中心的速度。
   - 方向沿著**徑向單位向量**  $\mathbf{e}_r$ 。

2. **切向速度（Tangential Velocity）：**  
   
   $$r\dot{\theta} \mathbf{e}_\theta$$
   - $\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt}$ 是角速度。
   - 乘上 $r$ 代表**圓周運動的線速度**（因為弧長速度是  $v = r\omega$ ）。
   - 方向沿著**切向單位向量**  $\mathbf{e}_\theta$，表示**繞著中心旋轉的速度**。

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### **直覺理解**
想像一顆行星繞著太陽運行，它的運動可以拆解為：
- **徑向速度**：行星是往太陽靠近還是遠離？
- **切向速度**：行星在軌道上繞行的速度是多少？

例如：
- 如果 \( $\dot{r} > 0$ \)，表示物體正在遠離原點。
- 如果 \( $\dot{r} < 0$ \)，表示物體正在接近原點。
- 如果 \( $\dot{\theta}$ \) 很大，表示物體繞著中心旋轉得很快。

## 座標轉換
### **例子：點在極座標系統中的運動與單位向量轉換**  

#### **情境：旋轉的物體**

假設一個物體在**半徑固定為  $r = 3$ **的圓上**順時針**運動，它的位置由極座標表示：

$$r = 3, \quad \theta = \frac{\pi}{4}$$

現在我們要把它的位置的單位向量  $\mathbf{e}_r$  和  $\mathbf{e}_\theta$  轉換到直角座標系統。

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### **步驟 1：求 $\mathbf{e}_r$ 和 $\mathbf{e}_\theta$**
根據公式：
$$
\mathbf{e}_r = \cos\theta \mathbf{\hat{\imath}} + \sin\theta \mathbf{\hat{\jmath}}
$$
$$
\mathbf{e}_\theta = -\sin\theta \mathbf{\hat{\imath}} + \cos\theta \mathbf{\hat{\jmath}}
$$

帶入  $\theta = \frac{\pi}{4}$ （即 $45°$）：
$$
\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

所以：
$$
\mathbf{e}_r = \frac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{\hat{\imath}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{\hat{\jmath}}
$$

$$
\mathbf{e}_\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{\hat{\imath}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \mathbf{\hat{\jmath}}
$$

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### **步驟 2：理解這些結果**
這些向量表示：
- $\mathbf{e}_r$指向 $\theta = 45^\circ$ 的方向，也就是 $x = y$ 的對角線方向（右上方）。
- $\mathbf{e}_\theta$是 $\mathbf{e}_r$**順時針轉 90°**，所以它指向 **左上方**，與  $\mathbf{e}_r$  垂直。

如果這個物體正在**繞著原點旋轉**：
- 它的速度方向是 **沿著 $\mathbf{e}_\theta$**（因為圓周運動速度是切向的）。
- 它的加速度方向是 **沿著 $\mathbf{e}_r$**（因為圓周運動有向心加速度）。

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### **結論**
這個例子展示了：
- 如何將極座標的單位向量  $\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta$  轉換成直角座標的  $\mathbf{\hat{\imath}}, \mathbf{\hat{\jmath}}$ 。
- $\mathbf{e}_r$ 總是指向原點到物體的方向，而 $\mathbf{e}_\theta$ 則是與  $\mathbf{e}_r$ 垂直、代表旋轉方向。
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## $\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta$的微分
這裡的微分是用來求**極座標單位向量**隨時間的變化率。讓我們一步步來理解這個過程。

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### **1. 目標**
我們要求的是：
$$\dot{\mathbf{e}_r} = \frac{d\mathbf{e}_r}{dt}$$
其中，$\mathbf{e}_r$ 是極座標的徑向單位向量（指向原點外的方向）。

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### **2. 徑向單位向量的定義**
在 2D 平面中，徑向單位向量 $\mathbf{e}_r$ 可以用直角座標表示：
$$\mathbf{e}_r = \cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j}$$
這表示：
- $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 分別是單位向量在 $x$ ($\hat{i}$)和 $y$（$\hat{j}$）方向上的分量。

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### **3. 對時間微分**
對 $\mathbf{e}_r$ 兩邊微分：
$$\dot{\mathbf{e}_r}=\frac{d}{dt} (\cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j})$$
根據**鏈鎖律（Chain Rule）**：
$$\dot{\mathbf{e}_r} =  \frac{d}{d\theta} (\cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j})\frac{d \theta}{dt}$$

對 $\theta$ 求導數：
$$\frac{d}{d\theta} (\cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j})
= (-\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j})$$

所以：
$$\dot{\mathbf{e}_r} = \dot{\theta} \underbrace{(-\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j})}_{\mathbf{e}_\theta}$$

底線部分剛好是**極座標中的角向單位向量**：
$$\mathbf{e}_\theta = -\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j}$$

因此：
$$\dot{\mathbf{e}_r} = \dot{\theta} \mathbf{e}_\theta$$

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### **4. 旋轉向量表示**
在 3D 空間，這可以用**叉積**表示為：
$$\dot{\mathbf{e}_r} = \dot{\theta} \mathbf{e}_\theta = \dot{\theta} (\mathbf{e}_z \times \mathbf{e}_r)$$
其中：
- $\mathbf{e}_z$ 是垂直於平面的單位向量（通常為 $\hat{k}$）。
- $\omega = \dot{\theta}$ 代表角速度。

所以也可以寫成：
$$
\dot{\mathbf{e}_r} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{e}_r
$$

這表示**徑向單位向量的變化方向與旋轉方向垂直**，符合右手法則。
💒**[你可能會問，$\mathbf{e}_z$是哪個方向？](/qhkXEEn-TU2CV3x1A-SQWQ)**😊


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### **5. 直覺理解**
這個結果告訴我們：
- 當角度 $\theta$ 隨時間變化時，徑向單位向量 $\mathbf{e}_r$ 也會變化。
- 這種變化方向是**沿著切向方向 $\mathbf{e}_\theta$**，大小為 $\dot{\theta}$。
- 這與剛體旋轉的概念一致：一個向量的時間變化可以用**角速度向量的叉積**來表示。

這樣有幫助嗎？😊

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## **直角座標系 vs. 極座標系的異同比較**

| **比較項目** | **直角座標系 (Cartesian Coordinates)** | **極座標系 (Polar Coordinates)** |
|-------------|----------------------------------|----------------------------------|
| **變數** |  $(x, y)$  |  $(r, \theta)$  |
| **定義方式** | 用 **水平距離 $x$** 和 **垂直距離 $y$** 定位點的位置 | 用 **與原點的距離 $r$** 和 **角度 $\theta$** 定位點的位置 |
| **適用場景** | 物體沿直線運動時較方便 | 物體繞圓運動或具有放射狀對稱時較方便 |
| **單位向量** | \( $\mathbf{\hat{\imath}}, \mathbf{\hat{\jmath}}$ \)（固定方向） | \( $\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta$ \)（隨著位置改變方向） |
| **速度表示** | \( $\mathbf{v} = v_x \mathbf{\hat{\imath}} + v_y \mathbf{\hat{\jmath}}$ \) | \( $\mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r\dot{\theta} \mathbf{e}_\theta$ \) |
| **加速度表示** | \( $\mathbf{a} = a_x \mathbf{\hat{\imath}} + a_y \mathbf{\hat{\jmath}}$ \) |  $\mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \mathbf{e}_r + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}) \mathbf{e}_\theta$  |
| **轉換公式** | $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ | $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\theta = \tan^{-1} (y/x)$|

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### **總結**
- **直角座標系** 適合處理**直線運動**、簡單的加法與減法計算。
- **極座標系** 更適合**旋轉運動**，例如**行星繞太陽運動、擺錘運動、風扇葉片運動**等。
- **單位向量的不同**：直角座標的單位向量 \( $\mathbf{\hat{\imath}}, \mathbf{\hat{\jmath}}$ \) **固定不變**，但極座標的單位向量 \( $\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta$ \) **會隨位置改變方向**。
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# 直角座標系 (Cartesian Coordinate System) 與極座標系 (Polar Coordinate System) 的向量關係

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## 1. **座標轉換**
設一個點 $P$ 在平面上，其在直角座標系中的座標為 $(x, y)$，在極座標系中的座標為 $(r, \theta)$。

#### **(1) 直角座標系 → 極座標系**
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$$$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right)$$
其中，$\theta$ 需根據象限適當調整。

#### **(2) 極座標系 → 直角座標系**
$$x = r \cos\theta$$$$y = r \sin\theta$$

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## 2. **單位向量轉換**
在直角座標系中，單位基底向量為：
$$\mathbf{e}_x = (1,0), \quad \mathbf{e}_y = (0,1)$$

在極座標系中，單位基底向量為：
- **徑向單位向量** $\mathbf{e}_r$（指向極座標原點至點 $P$ 的方向）
$$\mathbf{e}_r = (\cos\theta, \sin\theta)$$
- **切向單位向量** $\mathbf{e}_\theta$（沿逆時針方向，與 $\mathbf{e}_r$ 垂直）
$$\mathbf{e}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)$$

這些單位向量與直角座標單位向量的關係可表示為：
$$\mathbf{e}_r = \cos\theta \mathbf{e}_x + \sin\theta \mathbf{e}_y$$$$\mathbf{e}_\theta = -\sin\theta \mathbf{e}_x + \cos\theta \mathbf{e}_y$$

其逆變換為：
$$\mathbf{e}_x = \cos\theta \mathbf{e}_r - \sin\theta \mathbf{e}_\theta$$$$\mathbf{e}_y = \sin\theta \mathbf{e}_r + \cos\theta \mathbf{e}_\theta$$

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## 3. **向量的極座標表示**
如果一個向量在直角座標系中表示為：
$$\mathbf{v} = v_x \mathbf{e}_x + v_y \mathbf{e}_y$$
那麼在極座標系中的表示為：
$$\mathbf{v} = v_r \mathbf{e}_r + v_\theta \mathbf{e}_\theta$$

其中：
$$v_r = v_x \cos\theta + v_y \sin\theta$$$$v_\theta = -v_x \sin\theta + v_y \cos\theta$$

反之：
$$v_x = v_r \cos\theta - v_\theta \sin\theta$$$$v_y = v_r \sin\theta + v_\theta \cos\theta$$

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## 4. **向量微分與速度加速度轉換**
若 $\mathbf{r} = r\mathbf{e}_r$，則速度為：
$$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r \dot{\theta} \mathbf{e}_\theta$$

加速度為：
$$\mathbf{a} = \ddot{r} \mathbf{e}_r + 2\dot{r} \dot{\theta} \mathbf{e}_\theta + r\ddot{\theta} \mathbf{e}_\theta - r\dot{\theta}^2 \mathbf{e}_r$$

這些關係常見於物理與機械運動分析中，例如旋轉運動或機械臂運動學。

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這些公式可以幫助我們在不同座標系中自由轉換向量的表示形式，並適用於物理、機械與控制領域的各種應用。

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# 💒範例-直角座標與極座標之轉換💒
## **範例1：將直角座標轉換為極座標，並求速度向量**  

#### **問題**
一個物體的運動由直角座標表示為：
$$
x = 4t, \quad y = 3t
$$
求：
1. 物體的極座標表示 $( r(t), \theta(t)$ \)  
2. 物體的速度向量在極座標中的表達式  

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### **步驟 1：將直角座標轉換為極座標**
極座標的定義：
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)
$$

代入 \( x = 4t \)，\( y = 3t \)：
$$
r = \sqrt{(4t)^2 + (3t)^2} = \sqrt{16t^2 + 9t^2} = \sqrt{25t^2} = 5t
$$

$$
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{3t}{4t}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4} \right)
$$

因為  3/4  是常數，所以  $\theta$  不隨時間變化，寫成：
$$
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)
$$

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### **步驟 2：求速度向量**
極座標中的速度向量：
$$
\mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r\dot{\theta} \mathbf{e}_\theta
$$

求導數：
$$
\dot{r} = \frac{d}{dt} (5t) = 5
$$

$$
\dot{\theta} = \frac{d}{dt} \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} \right) = 0
$$
（因為  $\theta$  是常數）

代入速度公式：
$$
\mathbf{v} = 5 \mathbf{e}_r + (5t \cdot 0) \mathbf{e}_\theta
$$

$$
\mathbf{v} = 5 \mathbf{e}_r
$$

這表示：
- 物體的速度**完全沿著徑向方向**，且大小是 5。
- 沒有切向速度，因為物體的運動方向不會改變（它沿著一直線運動）。

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### **結論**
- 這個物體的運動本質上是一條**從原點發散出去的直線運動**，所以它的速度完全是徑向的。
- 如果它的  $\theta$  也隨時間變化，那麼它的速度向量就會有切向分量  r$\dot{\theta} \mathbf{e}_\theta$。
- 這個例子展示了直角座標和極座標的關係，以及速度向量如何轉換到極座標系統中。

這樣是不是都學會了呢❤️❤️❤️。
 💒 💒還不是很確定的話，我們再來看個例子。🫰🫰

## **範例2：等速率圓周運動的速度向量轉換**  

#### **問題**
假設一個物體**繞著原點做半徑為  R  的等速率圓周運動**，它的位置在直角座標系中表示為：
$$
x = R \cos(\omega t), \quad y = R \sin(\omega t)
$$
其中  $\omega$  是角速度rad/s，代表物體旋轉的速率。

請求：
1. 物體的極座標表示 $r(t), \theta(t)$  
2. 物體的速度向量在極座標中的表達式  

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### **步驟 1：將直角座標轉換為極座標**
極座標的定義：
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)
$$

代入 $x = R\cos(\omega t)$ ，$y = R\sin(\omega t)$：
$$
r = \sqrt{(R\cos(\omega t))^2 + (R\sin(\omega t))^2}
$$

$$
r = \sqrt{R^2 \cos^2(\omega t) + R^2 \sin^2(\omega t)}
$$

$$
r = \sqrt{R^2 (\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t))} = \sqrt{R^2} = R
$$

所以，物體的**半徑  r  不變**，始終等於  R 。

$$
\theta = \tan^{-1} \left( \frac{R \sin(\omega t)}{R \cos(\omega t)} \right) = \tan^{-1} (\tan(\omega t))
$$

$$
\theta = \omega t
$$

這表示**物體以角速度 $\omega$ 旋轉**。

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### **步驟 2：求速度向量**
極座標中的速度向量：
$$
\mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r\dot{\theta} \mathbf{e}_\theta
$$

先求導數：
$$
\dot{r} = \frac{d}{dt} (R) = 0
$$

$$
\dot{\theta} = \frac{d}{dt} (\omega t) = \omega
$$

代入速度公式：
$$
\mathbf{v} = 0 \cdot \mathbf{e}_r + R\omega \mathbf{e}_\theta
$$

$$
\mathbf{v} = R\omega \mathbf{e}_\theta
$$

這表示：
- **沒有徑向速度分量**（因為  $r$  不變）。
- **所有的速度都在切向方向**，大小為  R$\omega$ 。

這完全符合我們對等速圓周運動的理解：**物體的速度總是沿著圓的切線方向，大小為  R$\omega$**。

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### **結論**
- 物體的極座標位置是  (R, $\omega t)$ 。
- 速度向量完全沿著切向方向  $\mathbf{e}_\theta$ ，大小為 R$\omega$。
- 這證明了在**等速圓周運動中，速度始終與圓心垂直，且大小不變**。😊
