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title: Dynamics
tags: dynamics
disqus: hackmd
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直角座標系
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**Author:** Teng-Hu Cheng
**email:** [e-mail]
**Date:** Nov. 2024
**Website:** https://ncrl.lab.nycu.edu.tw/member/
# 目錄
[toc]
## 質點速度

### **例子：一顆球沿著空中軌跡運動**
假設一顆球的運動由以下的時間函數描述：
$$x(t) = 2t^2, \quad y(t) = 3t, \quad z(t) = 5t - 1$$
這代表球在 $t$ 秒時的位置是：
- **\( $x$ \) 方向的位置**：\( $x(t) = 2t^2$ \)
- **\( $y$ \) 方向的位置**：\( $y(t) = 3t$ \)
- **\( $z$ \) 方向的位置**：\( $z(t) = 5t - 1$ \)

#### **步驟 1：求速度向量**
我們來求每個分量的速度：
$$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (2t^2) = 4t$$
$$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (3t) = 3$$
$$v_z = \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt} (5t - 1) = 5$$
所以速度向量是：
$$\mathbf{v} = 4t \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k}$$
#### **步驟 2：計算特定時刻的速度**
假設我們想知道 $t = 2$ 秒時的速度：

$$ v_x(2) = 4(2) = 8 $$

$$v_y(2) = 3 $$

$$v_z(2) = 5 $$

所以當 $t = 2$ 秒時，速度向量是：

$$\mathbf{v}(2) = 8 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k}$$

#### **解釋這個結果**
這表示：
- 球在 \( x \) 方向（水平）速度是 **8**，表示它向右移動很快。
- 球在 \( y \) 方向（前後）速度是 **3**，表示它緩慢地向前移動。
- 球在 \( z \) 方向（上下）速度是 **5**，表示它往上移動。

這樣是不是比較清楚了？😊
### 方向
很好！讓我們來分析**速度的方向**。

#### **如何找到速度的方向？**
速度向量的方向可以用**單位向量**或**角度**來表示。
已經知道速度向量：

$$\mathbf{v} = 8 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k}$$

這代表：
- **\( x \) 方向的速度是 8**（往右）
- **\( y \) 方向的速度是 3**（往前）
- **\( z \) 方向的速度是 5**（往上）

速度向量的方向可以用**單位向量**表示：

$$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$$

其中，速度向量的大小（即速度的**總速率**）是：
$$|\mathbf{v}| = \sqrt{8^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 9 + 25} = \sqrt{98} \approx 9.9$$

所以單位速度向量是：

$$\hat{\mathbf{v}} = \left( \frac{8}{9.9}, \frac{3}{9.9}, \frac{5}{9.9} \right)$$

這個向量表示速度的方向。

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#### **方向的角度**
我們可以計算速度向量與各軸的夾角：

$$\cos \theta_x = \frac{v_x}{|\mathbf{v}|} = \frac{8}{9.9} \approx 0.808$$

$$\cos \theta_y = \frac{v_y}{|\mathbf{v}|} = \frac{3}{9.9} \approx 0.303$$

$$\cos \theta_z = \frac{v_z}{|\mathbf{v}|} = \frac{5}{9.9} \approx 0.505$$

取反餘弦（$arccos$）來求角度：

$$\theta_x = \cos^{-1}(0.808) \approx 36.3^\circ$$

$$\theta_y = \cos^{-1}(0.303) \approx 72.3^\circ$$

$$\theta_z = \cos^{-1}(0.505) \approx 59.6^\circ$$

這表示：
- 速度向量與 **x 軸** 夾角約 **36.3°**
- 速度向量與 **y 軸** 夾角約 **72.3°**
- 速度向量與 **z 軸** 夾角約 **59.6°**

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#### **結論**
這顆球的運動：
- **主要沿著 x 軸運動（往右），其次是 z 軸（向上），最後才是 y 軸（向前）**。
- **角度資訊** 可以幫助我們更具體地了解運動方向。