Runge-Kutta Methods

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    • Euler Method
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    • RK4

介紹

在數值分析領域中，Runge-Kutta 法是用於求出非線性常微分方程式近似解的一種系列方法。它由兩位德國數學家 Carl Runge 和 Martin Kutta 大約西元 1900 年發明出來的。RK 法有分階層，最常使用的是二階 RK 法簡稱 RK2 以及四階 RK4。

它們的算法都是透過迭代法來實現，RK2 相比 RK4 可以計算的比較快，但相對精準度就沒有 RK4 來的高，所以都是依據情況來決定要使用甚麼方法。

前即提要

常微分方程式

在深入講解 RK 法之前我們要先建立一些基本知識，首先常微分方程式（Ordinary Differential Equations，ODEs），它是微分方程式的一種。
常微分方程式會有以下要素：

1. 未知數
   $x$
2. 未知函數
   $y=f(x)$
3. 未知函數的導函數
   $y^{(n)}=f^{(n)}(x)，n\in \mathbb{N}$

那個

$n$ 代表微分階數

微分方程式之下除了常微分方程式之外，還有另外一種叫偏微分方程式（Partial Differential Equations，PDEs）。

分辨這兩個方程式很簡單：常微分方程式指涉及到一個自變數的導數，而偏微分方程式涉及到多個自變數的導數。

導數（Derivative）與微分（Differential）的差別：微分是指運算，類似加法或乘法；導數指的是結果，例如

$f^{\prime }(x)$、且導數可以是常數或者是函數（導函數）。

Euler Method

Euler Method 跟 RK 法一樣都是用來求常微分方程式近似解會使用的方法，只是它只有用一階而已，對於非線性的函式來說精準度相當的不夠，但它的觀念是數值分析中最基本。

假設我們有一個微分方程：

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0$。Euler Method 中會有一個變數

$h$ 來代表時間步伐，所以說：

$$t_{n+1}=t_n+h$$

然後我們可以得到時間

$t_{n+1}$ 的近似值：

$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$

Runge-Kutta

RK2

由於 Euler Method 的誤差會很不精確，所以 RK2 它的方法是取兩個點上的斜率，最後平均後再推算。先看一下它的公式：

$$\begin{gathered} y_{n+1}=y_n+hK \\ K=\frac{1}{2}(K_1+K_2) \\ {K}_1=f(t_n,y_n) \\ {K}_2=f(x_n+h,y_n+h{K}_1) \end{gathered}$$

RK2 的觀念就是：從已知點

$P_0(x_0,y_0)$ 和其斜率

$K_1$ 可以推出新點

$P_1(x_1,y_1)$，透過這個新點推算出的斜率

$K_2$，來跟剛剛的

$K_1$ 求斜率平均值後得

$K$，即可從點

$P_n$ 和斜率

$K$ 來推算點

$P_{n+1}$，這樣的計算方式會比 Euler Method 更加的精準。

RK4

基本上就是算四階，會更加精準但相對計算步驟變多了：

$$\begin{gathered} y_{n+1}=y_n+hK \\ K=\frac{1}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4) \\ {K}_1=f(t_n,y_n) \\ {K}_2=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_1) \\ {K}_3=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{K}_2) \\ {K}_4=f(t_n+h,y_n+h{K}_3) \end{gathered}$$

注意這裡的

$K_2$ 計算方式跟 RK2 的不同哦！

應用

有一個未知的函數

$y(x)$，其導函數為

$y^{\prime }(x)=f(x,y(x))=-2y(x)+3e^{-4x}$，目前已知

$y(0)=1$，求

$y(0.1)$ 是多少？

RK2

設定步長

$h=0.1$，我們先求

$K_1$：

$$K_1=f(0,1)=-2\cdot 1+3e^{-4\cdot 0}=-2+3=1$$
接著求

$K_2$：

$$\begin{gathered} K_2=f(0+0.1,1+0.1\cdot 1) \\ =f(0.1,1.1) \\ =-2\cdot 1.1+3e^{-4\cdot 0.1} \\ =-2.2+2.01096014 \\ =-0.18903986 \end{gathered}$$
接著求

$K$：

$$\begin{gathered} K=\frac{1}{2}(K_1+K_2) \\ =\frac{1}{2}(1-0.18903986) \\ =0.40548007 \end{gathered}$$
最後算出

$y_{n+1}$：

$$\begin{gathered} y_{n+1}=y_n+hK \\ =1+0.1\ast 0.40548007 \\ =1.04054801 \end{gathered}$$

答案：

$y(0.1)$ 近似解是

$1.0405$。

RK4

懶的算了 XD
透過程式算出來

$y(0.1)$ 應該會是

$1.04134$

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