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title: 基礎物理
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# 基礎物理
## 速度（Velocity）
1. 平均速度（Average Velocity）等於位移（Displacement）除以時間差，具有方向性，公式如下：$$\vec{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{\Delta t}$$
> 位移就是最終位置減去最初位置即可取得。
2. 瞬時速度（Tangential Velocity）當時間間隔極限趨近於0時的瞬間速度：$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$
> 速率（Spped）是路徑長（Distance）除以時間差，沒有方向只有大小，注意不要搞混了。

透過公式1，我們可以再推導出下列公式（只限於等速運動）：
$$
    \Delta x = \vec{v}\Delta t \\
    \Delta t = \frac{\Delta x}{\vec{v}}
$$
> 只要速度、位移和時間三者只要知道兩個，就可以求出另一個了。

## 加速度（Acceleration）
加速度一樣有區分平均以及瞬時，這邊先介紹平均加速度：
1. 平均加速度（Average Acceleration）等於末速（$v_f$）減去初速（$v_i$）之後再除以時間差，公式如下：$$\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}$$
> 瞬時加速度就是把時間差極限趨近於0，所以這邊不多加解說。

### 速度與加速度公式
* 從公式 $\vec{a} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\Delta t}$ 中，我們可以移項可得 $\vec{a} \Delta t = \vec{v_f} - \vec{v_i}$，最後得出以下兩個公式：
$$
    \vec{v_f} = \vec{v_i} + \vec{a} \Delta t \\
    \vec{v_i} = \vec{v_f} - \vec{a} \Delta t
$$
> 末速等於初速加上加速度乘上時間；初速等於末速減去加速度乘上時間。

* 如果要計算位移，假設是等速運動，那計算方法為： $\Delta x = \vec{v} \Delta t$
> 此時的 $\vec{v}$ 是一個定值。

* 但如果不是等速運動的時候，是加速度運動且初速為0時，可以當成三角形面積去計算，公式為：
$$
    \Delta x = \frac{1}{2} \Delta \vec{v} \Delta t = \frac{1}{2} \vec{a} \Delta t^2
$$
> 此時的 $\Delta \vec{v}$ 帶入的就是末速（因為初速是0）。

* 如果初速不是0時，就必須當成梯形公式來計算：
$$
    \Delta x = \frac{1}{2} (\vec{v_i} + \vec{v_f}) \Delta t
$$

* 或是當成一個長方形面積 + 三角形面積的方式去計算：
$$
    \Delta x = \vec{v_i} \Delta t + \frac{1}{2} \Delta \vec{v} \Delta t = \vec{v_i} \Delta t + \frac{1}{2} \vec{a} \Delta t^2
$$
> 注意後面三角型的 **底** 必須要是 $\Delta \vec{v}$，也就是 $(\vec{v_f} - \vec{v_i})$。

* 如果不知道時間，但已知初速、距離以及加速度的話，可以透過以下公式來求初末速：
$$
    \vec{v_f}^2 = \vec{v_i}^2 + 2 \vec{a} \Delta x
$$

* 其公式推導過程為：
$$
    \Delta t = \frac{\Delta \vec{v}}{\vec{a}} = \frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\vec{a}}
$$
* 帶入公式 $\Delta x = \vec{v_i} \Delta t + \frac{1}{2} \vec{a} \Delta t^2$ 得：
$$
    \Delta x = \vec{v_i} (\frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\vec{a}}) + \frac{1}{2} \vec{a} (\frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{\vec{a}})^2 \\
    = \frac{\vec{v_i}\vec{v_f} - \vec{v_i}^2}{\vec{a}} + \frac{\vec{a}(\vec{v_f}^2 - 2\vec{v_f}\vec{v_i} + \vec{v_i}^2)}{2\vec{a}^2} \\
    = \frac{2\vec{v_i}\vec{v_f} - 2\vec{v_i}^2}{2\vec{a}} + \frac{(\vec{v_f}^2 - 2\vec{v_f}\vec{v_i} + \vec{v_i}^2)}{2\vec{a}} \\
    = \frac{\vec{v_f}^2 - \vec{v_i}^2}{2\vec{a}} 
$$

* 所以最後移項$\Delta x = \frac{\vec{v_f}^2 - \vec{v_i}^2}{2\vec{a}}$可得以下兩個公式：
$$
    \vec{v_f}^2 = \vec{v_i}^2 + 2\vec{a} \Delta x \\
    \vec{v_i}^2 = \vec{v_f}^2 - 2\vec{a} \Delta x
$$

## 圓周運動（Circular Motion）
顧名思義，只要運動的軌跡是圓或圓的一部分，就稱之為圓周運動。
圓周運動又有區分等速圓周運動以及非等速圓周運動。
圓周運動通常會把淨力 $F$ 拆分成兩個力，分別是切向力和向心力。
### 等速率圓周運動（Uniform Circular Motion）
1. 衡量等速圓周運動的方式有三種：
    * 頻率（Frequency）：用 $f$ 來表示，單位是赫茲（Hz），公式為：$f = \frac{1}{T}$，其中的 $T$ 為週期（單位：秒），代表轉完一圈所花的時間（頻率跟週期互為倒數）。
    * 角速度（Angular Velocity）：$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$，單位是$rad/s$，這個算法是在時間$\Delta t$中，轉了多少弧度的角度，另外也可以寫成$\omega = \frac{2\pi}{T}$。
    * RPM（Revolutions Per Minute）：一分鐘轉了多少圈。
2. 速率（Speed）為：$v = \frac{2\pi r}{T} = w r$，其中$r$ 為半徑。
3. 雖然是等速率圓周運動，但其速度方向都是質點在圓周軌道上的切線方向，所以說加速度依舊是存在的，只是它不改變速率，只改變速率的方向，其加速度方向永遠指向圓心，這個稱之為 **向心加速度（Centripetal Acceleration）**，公式為：
$$
    a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \omega v = \omega^2 r = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2r}{T^2}
$$
4. 向心力的計算：$F = ma = mr\omega^2 = m\frac{v^2}{r}  = m\frac{4\pi^2r}{T^2}$。
5. 動量的計算：$p = mv = m\omega r$。
5. 轉動慣量的計算：$I = r^2m$。
7. 角動量的計算：$L = rmv = r^2m\omega = I\omega$。
8. 動能的計算：$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 = \frac{1}{2m}p^2 = \frac{1}{2}I\omega = \frac{L^2}{2I}$。
9. 力矩的計算：$\vec{\tau} = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{\Delta I\omega}{\Delta t} = Ia$


# 力（Force）
1. 力是一種向量（具有方向性以及大小），可以來改變物體的速度、方向或外型等（通常施力作用在一個點上）。
2. 可以產生力矩來使物體旋轉。
3. 會產生反作用力。

## 牛頓運動定律（Newton's laws of motion）
1. **慣性定律**：一個物體施合力為0時，靜止的物體會**保持靜止**，運動的物體會做**等速運動**。
2. **運動定律**：運動狀態改變，代表物體受合力作用（不等於0），此時物體做**加速度運動**，其公式為：$F = ma$。
> $m$ 為物體的質量（$kg$），$a$ 為加速度（$m/s^2$），$F$ 為作用力（$N$，或是 $kg \cdot m / s^2$）。
3. **作用力等於反作用力定律**：當兩個物體交互作用於對方時，彼此施加於對方的力，其大小相等、方向相反。

## 慣性（Inertia）
一般來說要模擬物理引擎，必須對物體能達成所謂的 Linear Velocity 以及 Angular Speed，而慣性的大小會影響所需施加外力的大小，一般而言可以用質量來衝量。

### 質量（Mass）
1. 一種恆量，不受溫度、高度等其他要素影響。
2. **質量不等於重量**
3. $D = \frac{m}{v}$，其中 $D$ 為密度，$m$ 為質量，$v$ 為體積（$m^3$）。

### 轉動慣量（Moments of inertia）
1. 轉動慣量是一個物體對於其旋轉運動的慣性大小的量度（可以把他當作是算角速度版本的質量）。
2. 一個物體會有三個 Moment （三軸與原點）
3. 單位是$kg \cdot m^2$，通常用 $I$ 表示。
> 力矩（Moment of foce）、角動量（Moment of momentum）、轉動慣量（Moments of inertia），記住彼此之間雖然都有 Moment 一詞但涵義不同，而 Moment 通常代表力矩。

## 力矩（Torque、Moment、Moment of force）
1. 當一個作用力促使物體繞著轉動軸或是支點轉動的趨向，稱之為力矩，也就是旋轉的力。
2. 力矩的常用單位為$N \cdot m$，代表符號為$\tau$。
3. 計算力矩的向量公式為：$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$。
4. 力矩大小的計算公式為：$\tau = |\vec{r}| \cdot | \vec{F}| \cdot \sin(\theta)$。

## 動量（Momentum）
1. 動量代表的是一個物體在一個方向上保持運動的趨勢。
2. 動量是一個向量，其方向與速度方向相同。
3. 動量是守恆的，詳細請參見**動量守恆**。
4. 動量常用單位為$kg \cdot m / s$，通常用 $\vec{p}$ 代表。
5. 動量公式為：$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$。

### 動量守恆（Conservation of momentum）
如果物體所受的外力為0，則系統內的動量保持不變。
一般會表示成 $m_1 v_1^0 + m_2 v_2^0 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$。
整個系統的總動量不會改變，因為沒有外力影響所以速度會是等速運動（或是靜止）。
通常會有一個 **恢復係數（Coefficient of restitution）** 來取決於動能是否耗損，如果耗損代表有部分動能轉換為熱能，依舊符合動量守恆。
恢復係數通常是一個介於0到1之間的數，當恢復係數為1時代表為彈性碰撞，小於1時稱為非彈性碰撞，而當恢復係數為0時，物體會直接黏住不會反彈。

## 角動量（Angular Momentum）
1. 當一個物體的旋轉發生變化，代表有受到力矩作用，所以角動量會變化。
2. 計算角動量公式為：
$$
    \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = r \times (\vec{\omega}(m\vec{r})) = m\vec{r}^2\vec{\omega} = I\vec{\omega}
$$
> $L$ 為角動量、$\vec{r}$ 為位置向量、$\vec{p}$ 是動量、$m$ 是質量、$\vec{\omega}$ 是角速度、$I$ 是轉動慣量。
3. 角動量使用單位為：$kg \cdot m^2/s$。
4. 力矩公式為：$\vec{\tau} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$
5. 角動量也守恆！

## 衝量（Impulse）
1. 衝量就是某一物體的動量變化量。
2. 衝量是一個向量。
3. 常用單位為$kg \cdot m / s$，通常用 $\vec{J}$、$\vec{I}$ 或 $\vec{\text{Imp}}$ 代表。
4. 公式為：$\vec{J} = \vec{F} \cdot \Delta t$、$\vec{J} = \Delta \vec{p}$ 和 $\vec{J} = m \vec{v} - m \vec{v'}$。
5.  藉由此公式也可推出，$\vec{F} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} = \frac{\vec{p}}{\Delta t}$。

## 摩擦力

## 重力

## 彈力

## 萬有引力

## 浮力

## 壓力

# 碰撞（Collision）
1. 在沒有其他外力的介入下，碰撞前與碰撞後的動量是相等的，也就是 **動量守恆**。
2. 碰撞區分為 **彈性碰撞** 以及 **非彈性碰撞**，前者的力學能守恆，後者力學能不守恆。
## 一維的彈性碰撞
* 假設我們有兩個球，其質量各為 $m_1$ 和 $m_2$，速度為 $v_1$ 和 $v_2$，且 $v_1 > v_2$，碰撞後兩顆球速度各變成了 $v_1'$ 和 $v_2'$。
* 因為是彈性碰撞，代表 **動量守恆** 且 **力學能守恆**，一維的話只看直線碰撞，則我們可以得出下面兩個公式：
$$
    m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \\
    \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2
$$
最後可以求出下方等式：
$$
    v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2 \\
    v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2
$$

### 恢復係數
* 碰撞的分離速度與接近速度的比值：$\frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$

## 二維的彈性碰撞
* 假設我們有兩個球，其質量各為 $m_1$ 和 $m_2$，速度為 $v_1$ 和 $v_2$，且 $v_1 > v_2$，碰撞後兩顆球速度各變成了 $v_1'$ 和 $v_2'$。
* 因為是彈性碰撞，代表 **動量守恆** 且 **力學能守恆**，二維的話是屬於一種平面碰撞（碰撞不一定是正面），所以我們可以得到下面三個公式：
$$
    m_1v_1\cos{\theta_1} + m_2v_2\cos{\theta_2} = m_1v_1'\cos{\theta_1}' + m_2v_2'\cos{\theta_2}'  \\ 
    m_1v_1\sin{\theta_1} + m_2v_2\sin{\theta_2} = m_1v_1'\sin{\theta_1}' + m_2v_2'\sin{\theta_2}' \\
    \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2
$$
> 共有三條方程式，但卻有4個未知數！所以通常都會給定好條件。

# 能量（Energy）
1. 能量被視為一種間接觀察出來的物理量。
2. 國際標準單位是使用焦耳（Joule），基本單位表示是$kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}$。
3. 古典力學當中，1焦耳等於施加1牛頓作用力經過1米距離所需的能量。
4. 是一種純量。

## 動能（Kinetic Energy）
1. 物體在運動時所得到的能量，稱為動能。
2. 單位為焦耳，動能符號用$E_k$表示。
3. 動能公式為：$E_k = \frac{1}{2}m\vec{v}$。
4. 動能跟動量的關係為：$E_k = \frac{p^2}{2m}$。
> 其中的 $p$ 為該物體動量的大小。
5. **功能定理（The work–energy theorem）**，假設施加一個力$\vec{F}$驅使物體從動能$E_{k0}$到$E_{k1}$，則功率為：$W = \Delta E_k = E_{k1} - E_{k0}$。

## 位能（Potential Energy）
1. 又稱勢能，因物體位置改變所產生或需要的能量，就稱為位能。
2. 重力位能公式：$U = mgh$。
> 其中 $U$ 單位一樣是焦耳、$m$ 是質量、$g$ 是重力加速度、$h$ 是高度。

## 功（Work）
1. 功是一個用來表示力對於位移的累積純量，單位使用焦耳。
2. 計算功的公式為：$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$。
> 功等於作用力與所造成位移的內積值。
3. 有力不代表一定有做功，例如圓周運動。

## 功率（Power）
1. 功率為能量轉換或使用的速率，以單位時間來衝量能量的大小。
2. 功率常用單位為瓦特（Watt），定義為1焦耳/秒，基本單位表示是$kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}$。
3. 功率的公式為：$P = \frac{W}{\Delta t}$。
4. 一度電等於1千瓦小時（kW·h），相當於360萬焦耳（MJ）。
5. 在電磁學公式為：$W = V \cdot I = \frac{V^2}{R} = I^2 \cdot R$。

# 電磁學
## 電荷（Electric charge）

## 電流（Electric current）
1. 單位時間內通過某截面的電荷多寡。
2. 常用單位是安培（Ampere）。
3. 電流計算公式為：$I = \frac{Q}{\Delta t}$。
> $Q$ 為電荷量（單位：庫倫（Coulomb），符號 $C$），時間單位是秒。

## 電壓（Voltage）

## 電阻（Electrical resistance）

## 歐姆定理（Ohm's law）
1. $V = IR$，所以$I = \frac{V}{R}$、$R = \frac{V}{I}$。
> $V$ 是電壓（單位：伏特（Volt）$V$）、$I$ 是電流（單位：安培$A$）、$R$ 是電阻（單位：歐姆（Ohm）$\Omega$）。


## Reference
https://en.wikipedia.org/wiki/Velocity
https://en.wikipedia.org/wiki/Speed
https://en.wikipedia.org/wiki/Acceleration
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E5%90%91%E9%80%9F%E5%BA%A6
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%98%E9%80%9F%E5%9C%86%E5%91%A8%E8%BF%90%E5%8A%A8
https://en.wikipedia.org/wiki/Areal_velocity
https://pb.ps-taiwan.org/catalog/ins.php?index_m1_id=3&index_id=501

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