# Schreibweise

[a] ... Antwort "a" richtig

a) ..... Antwort "a" falsch

# Daten und Wahrscheinlichkeiten

**01** Gegeben sind die Ereignisse $A, B \in \mathcal{F}$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) $\mathbb{P}(A \backslash B)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(B)$
b) $\mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$ -> gilt nur wenn A und B disjunkt sind.
[c] $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A \cap B)+\mathbb{P}(A \backslash B)$

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**02** Die Ereignisse $A, B \in \mathcal{F}$ seien unabhängig. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) $\mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)$
b) $\mathbb{P}(A \mid B)=\mathbb{P}(B \mid A)$
[c] $\mathbb{P}(A \mid B)=\mathbb{P}(A)$

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**03** Es seien $A, B \in \mathcal{F}$ zwei Ereignisse mit $\mathbb{P}(A), \mathbb{P}(B)>0 .$ Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\mathbb{P}(A \mid B)=\mathbb{P}(B \mid A) \mathbb{P}(B)$

[b] $\mathbb{P}(A \mid B)=\frac{\mathbb{P}(B \mid A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B \mid A) \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}\left(B \mid A^{\mathrm{C}}\right) \mathbb{P}\left(A^{C}\right)}=\mathbb{P}(B)$
(Satz von Bayes)

c) $\mathbb{P}(A \mid B)=\frac{\mathbb{P}(B \mid A) \mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B)+\mathbb{P}\left(A \mid B^{C}\right) \mathbb{P}\left(B^{C}\right)}=\mathbb{P}($ A)

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**04** Ein Test zur Erkennung einer Krankheit liefert in $90 \%$ der Fälle das richtige Ergebnis, wenn die Krankheit, auf die getestet wird, tatsächlich vorliegt. Es werden jedoch $2 \%$ der Personen ohne diese Krankheit falsch-positiv getestet. Außerdem sind $1 \%$ der Bevölkerung tatsächlich erkrankt. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
(Siehe PS Aufgabe)

* A ... Richtiges Ergebnis test Tests (0.9)
* B ... Falsch positiv (0.02)
* C ... Tatsächlich Erkrankte der Bevölkerung (0.01)

[a] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis auch wirklich erkrankt ist, lautet
$$
\frac{0.9 \cdot 0.01}{0.9 \cdot 0.01+0.02 \cdot 0.99} = 0.3125
$$
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis auch wirklich erkrankt ist, lautet
$$
1-\frac{0.9 \cdot 0.01}{0.9 \cdot 0.01+0.02 \cdot 0.99} = 0.6875
$$
[c] Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Person mit positivem Testergebnis die Krankheit nicht vorliegt, ist
$$
1-\frac{0.9 \cdot 0.01}{0.9 \cdot 0.01+0.02 \cdot 0.99} = 0.6875
$$

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**05** Es sei $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ der Laplace-Raum zu $\Omega=\{1, \ldots, 6\}^{2} !$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

[a] $\forall \omega \in \Omega: \mathbb{P}(\{\omega\})=\mathbb{P}\left(\left\{\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega: \omega_{1}+\omega_{2}=2\right\}\right)$

b) $\forall \omega \in \Omega: \mathbb{P}(\{\omega\})=\frac{1}{6}$
(Sind ja 2 würfel)

c) $\mathbb{P}\left(\left\{\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega: \omega_{1}+\omega_{2}\right.\right.$ gerade $\})=\frac{1}{4}$
(müsste 1/2 sein)

d) $\mathrm{P}\left(\left\{\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega: \omega_{1}+\omega_{2}=6\right\}\right)=\frac{1}{18}$
(müsste 1/6 sein)

[e] $\forall \omega \in \Omega: \mathrm{P}(\{\omega\})=\frac{1}{36}$
(ja wenn $\omega$ die From $(\omega_1, \omega_2)$ hat - bzw bedeutet laplace ja dass alle elemente die gleiche wahrscheinlichkeit haben müssen)

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**06** Es sei $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ der Laplace-Raum zu $\Omega=\{1, \ldots, 6\}^{2} .$ Ein Elementarereignis $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega$ wird als Ergebnis des Werfens zweier Würfel interpretiert, wobei $\omega_{1}$ die Augenzahl des ersten Würfels angibt und $\omega_2$ die des 2. Würfels. Weiters bezeichne $A_1$ das Ereigniss, dass die Augensumme der beiden Würfel gleich 5 ist, und $A_2$, das Ereignis dass der erste Würfel eine ungerade Augenzahl zeigt. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
[a] $\mathbb{P}\left(A_{1}\right)=\frac{1}{9}$ und $\mathbb{P}\left(A_{2}\right)=\frac{1}{2}$
(5 kann erreicht werden durch {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} was zu 4/36 = 1/9 führt. Bez $A_2$: Es gelten alle Ereignisse eines Würfels aber nur die Hälfte des anderen also 6*3=18, 18/36 =1/2)

b) $\mathbb{P}\left(A_{1}\right)=\frac{1}{6}$ und $\mathbb{P}\left(A_{2}\right)=\frac{1}{2}$

[c] $A_{1}$ und $A_{2}$ sind unabhängig
(Unabhängig, wenn $P(A \cap B)=P(A) \cdot \mathbb{P}(B)$ was $1\over18$ bedeuten würde. Die Möglichkeiten sind {(1,4), (3,2)} was auch $1\over18$ bedeutet somit richtig)

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**07** Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der $n$ unabhängigen Würfe an. bei denen eine faire Münze auf Zahl fällt. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
[a] $\mathbb{E} X=\frac{n}{2}$
[b] $X$ ist binomialverteilt
[c] $\mathbb{P}(X=n)=\frac{1}{2^{n}}$
(1 wurf = 1/2, 2 würfe = 1/4, 3 würfe = 1/8)

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**08** Es sei $X$ geometrisch verteilt mit Parameter $\frac{1}{2}$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\mathbb{E} 2^{X}=\frac{1}{2}$

[b] $\mathbb{E} 2^{X}=\infty$
(Sankt Petersburg Paradoxon, VO 07 - 1h6min)

c) $\mathbb{E} 2^{X}=2$

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**09** Es sei $F: \mathbb{R} \rightarrow[0,1]$ eine Verteilungsfunktion. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

[a] $F$ ist stetig
(Wegen den Reelen Zahlen siehe "Wann welche Verteilung")

[b] Es gibt eine Verteilung $P$ mit $F_{P}=F$
(Verteilung und Verteilungsfunktion entsprechen sich eindeutig -> Korrespondenzsatz)

c) $\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=0$
($\lim _{x \rightarrow \infty} F_{x}(x)=1$ ???)

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**10** Für die Zufallsvariate $X$ gilt
$$
\mathbb{P}(X=3)=\frac{1}{4}, \quad \mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{3} \quad \text { und } \quad \mathbb{P}(X=0)=\frac{5}{12}
$$
Welche der folgende Aussagen sind wahr?

[a] $P_{X}$ ist eine diskrete Verteilung
(ganze Zahlen, das Ereignis ist abzählbar)

[b] $\mathbb{E X}=\mathbb{P}(X=0)$
(weil das der höchste punkt ist? Der Erwartungswert beschreibt die **zentrale Lage** einer Verteilung.)
1/4 * 3 + 1/3 * (-1) + 5/12 * 0 = 0.42 = 5/12

c) $\operatorname{Var} X=\frac{13}{6}$
$(VarX = EX^2 - (EX)^2= (1/4 * 3^2 + 1/3 * (-1)^2 + 5/12 * 0^2) - ({5\over12})^2 = {31 \over 12} - {25 \over 144} = {347 \over 144} = 2.41$

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**11** In R wurde für eine natürliche Zahl n wie folgt x zugwiesen.

x <- rpois(n, lamda = 6)

Welcher der folgenden Werte wird durch mean (x) geschätzt?
a) 10

b) $\frac{1}{6}$

[c] 6

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**12** Es seien $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a<b$. Für die Zufallsgröße $X$ gelte $X \sim \mathcal{U}_{[a, b]} .$ Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\mathbb{E} X=b-a$

b) $\mathbb{E} X=\frac{1}{2}$

[c] $\mathbb{E} X=\frac{b+a}{2}$
(Erwartungswert nahe Mittelwert)

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**13** Gegeben sind zwei Zufallsgrößen $X, Y \in \mathcal{L}^{2} .$ Welche der folgende Aussagen sind wahr?

a) Für $\alpha \in \mathbb{R}$ gilt $\operatorname{Var}(\alpha X)=\alpha \operatorname{Var}(X)$.
(müsste alpha auserhalb quadriert sein)

[b] $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var} X+\operatorname{Var} Y \Longleftrightarrow \operatorname{Cov}(X, Y)=0$
(Tschebyscheffsche Ungleichung)

[c] $\operatorname{Cov}(X, Y)=0 \Rightarrow \mathbb{E}(X Y)=\mathbb{E} X \cdot \mathbb{E} Y$
(Falls die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ nicht stochastisch unabhängig sind, gilt das für deren Produkt)

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**14** Gegeben ist die Stichprobe $X_{1}, \ldots X_{n} \in \mathcal{L}^{2}$ und das Stichprobenmittel $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\mathbb{E} \bar{X}=\frac{\mathbb{E} X_{1}}{n}$

b) $\operatorname{Var} \bar{X}=\frac{\operatorname{Var} X_{1}}{n^{2}}$

[c] $\sigma(\bar{X})=\frac{\sigma\left(X_{1}\right)}{\sqrt{n}}$
(Prognose Interval: $\sigma(\bar{x})={\sqrt{\operatorname{var} \bar{x}}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)

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**15** Es sei $X \in \mathcal{L}^{2}$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
[a] $\mathbb{P}(|X-\mathbb{E} X| \geq 1) \leq \operatorname{Var} X$
($\forall \varepsilon>0: \mathbb{P}(|X-\mathbb{E} X| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{\operatorname{var} X}{\varepsilon^{2}} \leqslant \operatorname{Var} X$, siehe Skriptum Manuel)

[b] Gilt $\mathbb{E} X=0$ und $\operatorname{Var} X=1,$ so ist $\mathbb{P}(|X| \geq 1) \leq 1$.
(Erster Teil Schwachsinn, $P(X) \leq 1$ muss immer gelten)

[c] Aus $\operatorname{Var} X=0$ folgt $\mathbb{P}(|X-\mathbb{E} X| \geq \varepsilon)=0$ für alle $\varepsilon>0$.
(Tschebyscheffsche Ungleichung, Seite 7 Manuel Skript ganz oben)

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**16** Gegegeben seien die negativ korrelierten Zufallsvariablen $X, Y \in \mathcal{L}^{2}$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\operatorname{Cov}(X, Y)>0$
(negativ korreliert würde bedeuten covarianz kleiner als 0)

[b] $\varrho(X, Y)<0$
(Schätzen der Kovarianz, Definition Korrelationskoefizient)

c) $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$
(stimmt nur wenn covarianz gleich 0 - Tschebyscheffsche Ungleichung)

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# Stochastik

**01** Es seien $\mathcal{F}_{1}$ und $\mathcal{F}_{2} \sigma$ -Algebren auf $\Omega$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\Omega \backslash \mathcal{F}_{1}$ ist eine $\sigma$ -Algebra
(falsch, weil (σ1))

b) $\mathcal{F}_{1} \cap \mathcal{F}_{2}$ ist eine $\sigma$ -Algebra
(falsch, weil (σ3))

[c] $\mathcal{F}_{1} \cup \mathcal{F}_{2}$ ist eine $\sigma$ -Algebra
(richtig, weil (σ1) - (σ3) gelten)

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**02** Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

[a] $\mathcal{B}(\mathbf{R})=\sigma(\{(-\infty, x]: x \in \mathbf{R}\})$

[b] $\mathcal{B}\left(\mathbf{R}^{2}\right)=\sigma\left(\left\{B_{1} \times B_{2}: B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}(\mathbf{R})\right\}\right)$

c) $\mathcal{B}(\mathbf{R})=\sigma(\{[a, b]: a<b\})$

[d] $\mathcal{B}([0,1])=\{B \cap(0,1): B \in \mathcal{B}(\mathbf{R})\}$

e) $\mathcal{B}([0,1])=\{B \cap[0,1): B \in \mathcal{B}(\mathbf{R})\}$

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**03** Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ mit
$$
\mathrm{P}=\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} \delta_{\omega_{n}}
$$
wobei $\left\{\omega_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subset \Omega$ und $\left\{\alpha_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subset[0, \infty),$ sodass $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}=1 .$ Weiter sei
$X: \Omega \rightarrow \overline{\mathrm{R}}$ messbar. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) Ist $X \in \mathcal{L}^{2}(\mathrm{P}),$ so gilt $\mathcal{V} X=\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} X^{2}\left(\omega_{n}\right)-\left(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} X\left(\omega_{n}\right)\right)^{2}$

b) $X \in \mathcal{L}^{1}(\mathrm{P}) \Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}\left|X\left(\omega_{n}\right)\right|<\infty$

c) Ist $X \in \mathcal{L}^{1}(\mathrm{P}),$ so gilt $\mathrm{E} X=\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} X\left(\omega_{n}\right)$

d) Ist $X \in \mathcal{L}^{+},$ so gilt $\mathrm{EX}=\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} X\left(\omega_{n}\right)$

e) Ist $X \in \mathcal{L}^{2}(\mathrm{P}),$ so gilt $\mathcal{V} X=\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} X^{2}\left(\omega_{n}\right)$

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**04** Es seien $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A, B \in \mathcal{F}$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

[a] $\mathrm{P}(A)=0 \Rightarrow \mathrm{P}(A \cup B)=1$
b) $\mathrm{P}(A)=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=\frac{1}{2}$
(Stimmt nur wenn A = B)

[c] $\mathrm{P}(A)=0 \Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=0$

[d] $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=\frac{1}{2} \Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=\frac{1}{4}$

e) $\mathrm{P}(A)=1 \Rightarrow A \cup B \notin \mathcal{F}$
(stimmt nur wenn B= 0)

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**05** Es sei $\Omega=(0, \pi)$ und $X: \Omega \rightarrow \mathrm{R}: \omega \mapsto \sin \omega .$ Welche der Folgenden Aussagen sind wahr?

a) Ist $\mathcal{F}=\left\{\varnothing,\left(0, \frac{\pi}{2}\right],\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \Omega\right\}$ so ist $X$ eine $(\mathcal{F}, \mathcal{B}(\mathbf{R}))$ -messbare Funktion.

b) $X$ ist $(\sigma(X), \mathcal{B}(\mathrm{R}))$ -messbar.

c) $X$ ist Borel-messbar.

d) Ist $\mathcal{F}=2^{\Omega}$ und $\mathcal{F}^{\prime}$ eine beliebige $\sigma$ -Algebra auf $\mathbf{R},$ so ist $X$ eine $\left(\mathcal{F}, \mathcal{F}^{\prime}\right)$ messbare Abbildung.

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**06** Es sei $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A \in \mathcal{F}$. Weiters sei $X=$ $7 \chi_{A}-5 .$ Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $P_{X}=\mathrm{P}(A) \delta_{2}+\mathrm{P}\left(A^{\mathrm{c}}\right) \delta_{-5}$

b) $P_{X}=\mathrm{P}(A) \delta_{7}+\mathrm{P}\left(A^{\mathrm{c}}\right) \delta_{-5}$

c) $X$ ist eine Zufallsvariable

c) $X$ ist keine Zufallsvariable

d) $P_{X}=\mathrm{P}(A) \delta_{2}+(1-\mathrm{P}(A)) \delta_{-5}$

e) $F_{X}=\mathrm{P}(A) \chi_{[2, \infty)}+\mathrm{P}\left(A^{c}\right) \chi_{[-5, \infty)}$

f) $F_{X}=\mathrm{P}(A) \chi_{[7, \infty)}+\mathrm{P}\left(A^{c}\right) \chi_{[-5, \infty)}$

g) $P_{X}=\delta_{2}$

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**07** Gegeben seien der Wahrscheinlichkeitsraum (R, $\mathcal{B}(\mathrm{R}), \mathrm{P}$ ) mit
$$
\mathrm{P}=\frac{1}{2} \delta_{0}+\frac{1}{2} \delta_{1}
$$
und die Abbildungen
$$
X: \mathrm{R} \rightarrow \overline{\mathrm{R}}: \omega \mapsto \frac{1}{\omega^{2}} \quad \text { und } \quad Y: \quad R \rightarrow \overline{\mathrm{R}}: \omega \mapsto \frac{1}{1+\omega^{2}} .
$$
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) $X \in \mathcal{L}^{+}$ und $Y \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb{P})$

b) $X \in \mathcal{L}^{1}(\mathrm{P})$ und $Y \in \mathcal{L}^{1}(\mathrm{P})$

c) $X \in \mathcal{L}^{+}$ und $Y \in \mathcal{L}^{+}$

d) $\mathrm{E} X=\infty \text { und } \mathrm{EY}=\frac{3}{4}$

e)$\text { Weder der Erwartungswert von } X \text { noch der Erwartungwert von } Y \text { existieren. }$

f) $\mathrm{E} X=\frac{1}{2} \text { und } \mathrm{EY}=\frac{3}{4}$

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**08** Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum
$$
([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \lambda)
$$
und die Zufallsvariablen
$$
X=\frac{1}{4} \quad \text { und } \quad Y=\chi_{\left[0, \frac{3}{4}\right]}+\chi_{\left[\frac{1}{2}, 1\right]}
$$
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) $P_{X}=0$ und $P_{Y}=\frac{3}{4} \delta_{1}+\frac{1}{4} \delta_{2}$

b) $P_{X}=\delta_{\frac{1}{4}}$ und $P_{Y}=\frac{3}{4} \delta_{1}+\frac{1}{4} \delta_{2}$
c) $F_{X}=\chi_{\left(\frac{1}{4}, \infty\right)}$ und $F_{Y}=\frac{3}{4} \chi(1, \infty)+\frac{1}{4} \chi_{(2, \infty)}$

d) $F_{X}=\chi\left[\frac{1}{4}, \infty\right)$ und $F_{Y}=\frac{3}{4} \chi[1, \infty)+\frac{1}{4} \chi_{[2, \infty)}$

e) $F_{X}=\chi\left[\frac{1}{4}, \infty\right)$ und $F_{Y}=\frac{3}{4} \chi_{[1,2)}+\chi[2, \infty)$

f) $P_{X}=1$ und $P_{Y}=\frac{3}{4} \delta_{1}+\frac{1}{4} \delta_{2}$

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[nicht relevant] **09** Es seien $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X, Y \in \mathcal{L}^{2}(\mathbf{P})$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) Sind $X$ und $Y$ unabhängig, so gilt $\mathcal{V}(X Y)=\mathrm{E} X^{2} \mathrm{E} Y^{2}-(\mathrm{E} X)^{2}(\mathrm{E} Y)^{2}$.

b) $\mathcal{V}(X+Y)=\mathcal{V} X+\mathcal{V} Y$

c) Sind $X$ und $Y$ unabhängig, so gilt $\mathcal{V}(X+Y)=\mathcal{V} X+\mathcal{V} Y$

d) Sind $X$ und $Y$ unkorreliert, so gilt $\mathcal{V}(X+Y)=\mathcal{V} X+\mathcal{V} Y$.

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**10** Es sei $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ ein Maßraum. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\forall A, B \in \mathcal{F} \text { mit } A \cap B=\varnothing: \mu(A \cup B)=\mu(A) \mu(B)$

b) Für jede Familie $\left\{A_{x}\right\}_{x \in[0,1]} \subset \mathcal{F}$ paarweise disjunkter Mengen ist
$$
\biguplus_{x \in[0,1]} A_{x} \in \mathcal{F} \quad \text { und } \quad \mu\left(\biguplus_{x \in[0,1]} A_{x}\right)=\sum_{x \in[0,1]} \mu\left(A_{x}\right)
$$
c) $\forall A, B \in \mathcal{F}$ mit $A \cap B=\varnothing: \mu(A \cap B)=\mu(A)+\mu(B)$

d) Ist $\left\{A_{x}\right\}_{x \in \mathrm{Q} \cap[0,1]} \subset \mathcal{F}$ eine beliebige Familie paarweise disjunkter Mengen, so gilt
$$
\biguplus_{x \in \mathrm{Q} \cap[0,1]} A_{x} \in \mathcal{F} \quad \text { und } \quad \mu\left(\biguplus_{x \in \mathrm{Q} \cap[0,1]} A_{x}\right)=\sum_{x \in \mathrm{Q} \cap[0,1]} \mu\left(A_{x}\right)
$$
e) $\forall A, B \in \mathcal{F}: \mu(A \cup B)=\mu(A) \mu(B)$

f) $\forall A, B \in \mathcal{F}: \mu(A \cap B)=\mu(A) \mu(B)$

---

**11** Es sei $\Omega$ eine nicht-leere Menge und $\mathcal{F}$ eine $\sigma$ -Algebra auf $\Omega$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

[a] $\forall A, B, C \in \mathcal{F}: A \cap B^{c} \cup C \in \mathcal{F}$
(ja weil alle komplimente auch beinhaltet sind)

[b] $\varnothing, \Omega \in \mathcal{F}$
(siehe sigma algebra def)

c) $\forall A \cdot B \in \mathcal{F}: A \backslash B^{c} \in \mathcal{F}$

d) $\left\{A_{x}\right\}_{x \in \mathrm{Q}} \subset \mathcal{F} \Longrightarrow \bigcup_{x \in \mathrm{Q}} A_{x} \in \mathcal{F}$

---

**12** Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum
$$
\left([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \frac{1}{2} \delta_{0}+\frac{1}{2} \delta_{1}\right)
$$
und die durch
$$
X(\omega)=\omega \text { und } Y(\omega)=\chi_{(1 / 2,1]}(\omega)
$$
für $\omega \in \Omega$ definierten Zufallsvariablen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\mathrm{E} X=\mathrm{E} Y=\mathrm{E} X Y=\frac{1}{2}$

b) $\mathrm{E} X=\mathrm{E} Y=\frac{1}{2}$ und $\mathrm{E} X Y=\frac{1}{4}$

c) $\mathrm{E} X=1, \mathrm{E} Y=\frac{1}{2}$ und $\mathrm{E} X Y=\frac{1}{4}$

d) $X$ und $Y$ sind nicht unabhängig

e) $X$ und $Y$ sind korreliert

f) $X$ und $Y$ sind unabhängig

g) $X$ und $Y$ sind unkorreliert

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**13** Gegeben seien die Zufallsvariablen $X_{1}, X_{2}: \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ mit Verteilung
$$
P_{X_{1}}=P_{X_{2}}=\frac{1}{2} \delta_{0}+\frac{1}{2} \delta_{1}
$$
Weiters sei
$$
P_{\left(X_{1}, X_{2}\right)}=\frac{1}{4} \delta_{(0,0)}+\frac{1}{4} \delta_{(1,0)}+\frac{1}{4} \delta_{(0,1)}+\frac{1}{4} \delta_{(1,1)}
$$
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) $X_{1}$ und $X_{2}$ sind unabhängig.

b) $X_{1}$ und $X_{2}$ sind nicht unabhängig.

c) $\forall x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R}: F_{\left(X_{1}, X_{2}\right)}\left(x_{1}, x_{2}\right)=F_{X_{1}}\left(x_{1}\right) F_{X_{2}}\left(x_{2}\right)$

d) $P\left(x_{1}, x_{2}\right)=\mathrm{P}_{X_{1}} \otimes \mathrm{P}_{X_{2}}$

---

**14** Es sei $X$ die Anzahl jener $n \in \mathbb{N}$ Würfe, bei denen eine faire Münze auf Kopf fällt. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) $\mathrm{P}(X=n)=1$

b) $\mathrm{P}(X=k)=\left(\begin{array}{c}k \\ n\end{array}\right)$ für $k=0, \ldots, n$
[c] $\mathrm{P}(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ für $k=0, \ldots, n$
(Definition Binomialverteilung)

[d] $\mathrm{E} X=\frac{1}{2}$
(Wahrscheinlichkeit für Münzwurf)

[e] $X \text { ist binomialverteilt }$

[f] $P_{X}=B_{n, \frac{1}{2}}$

[g] $\mathrm{P}(X=n)=\frac{1}{2^{n}}$

---

**15** Es sei $\Omega$ eine Menge und $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(\Omega)$. Welche der Aussagen sind wahr?

a) $|\mathcal{F}|<\infty \Longrightarrow(\mathcal{F} \sigma$ -Algebra $\Leftrightarrow \mathcal{F}$ Algebra $)$

b) $|\Omega|<\infty \Longrightarrow|\mathcal{F}|<\infty$

c) $|\Omega|<\infty \Longrightarrow(\mathcal{F} \sigma$ -Algebra $\Leftrightarrow \mathcal{F}$ Algebra)

d) $\Omega$ abzählbar $\Longrightarrow(\mathcal{F} \sigma$ -Algebra $\Leftrightarrow \mathcal{F}$ Algebra)

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**16** Gegeben sei der messbare Raum $(\Omega, \mathcal{F})$ und die Mengenfunktion $\mathrm{P}: \mathcal{F} \rightarrow[0,1]$ Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) Ist $|\Omega|<\infty,$ so gilt $\mathrm{P}$ ist Wahrscheinlichkeitsmaß $\Longleftrightarrow \mathrm{P}$ ist Maß.

b) $\mathrm{P}$ ist Wahrscheinlichkeitsmaß $\Longleftrightarrow \mathrm{P}(\varnothing)=0$ und $\mathrm{P}$ ist $\sigma$ -additiv

c) $P$ ist Wahrscheinlichkeitsmaß $\Longleftrightarrow \mathrm{P}$ ist, Maß und $\mathrm{P}(\Omega)=1$

d) $\mathrm{P}$ ist Wahrscheinichkeitsmaß $\Longleftrightarrow \mathrm{P}$ ist $\mathrm{MaB}$ und $\mathrm{P}(\varnothing)=1$

e) $\mathrm{P}$ ist WahrscheinichkeitsmaB $\Longleftrightarrow \mathrm{P}$ ist $\sigma$ -additiv und $\mathrm{P}(\Omega)=1$

f) Ist $|\Omega|<\infty,$ so gilt $\mathrm{P}$ ist $\sigma$ -additiv $\Longleftrightarrow \mathrm{P}$ ist additiv.

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**17** Die Wartezeit, $X$ in Minuten an einer Supermarktkasse sei exponentialverteilt mit Parameter $\lambda=\frac{1}{2}$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

$E(X)=\frac{1}{\lambda}={{1}\over{{1}\over{2}}} = 2$
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass man weniger als zwei Minuten wartet, lautet $\frac{1}{e}$.

b) Die durchschnittliche Wartezeit beträgt eine halbe Minute.

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass man länger als zwei Minuten wartet, lautet $\frac{e-1}{e}$.

[d] Die Wahrscheinlichkeit, dass man länger als zwei Minuten wartet, lautet $\frac{1}{e}$
(weil, $1- \frac{e-1}{e}$ = $\frac{1}{e}$)

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**17b** Die Wartezeit $X$ in Minuten an einer Supermarktkasse sei exponentialverteilt mit $\mathrm{P}$ ar ameter $\lambda=\frac{1}{2}$. Welche der folgenden Auss agen sind wahr?

a) Die durchschnittliche Wartezeit beträgt eine halbe Minute.

[b] Die durchschnittliche Wartezeit betr ägt zwei Minuten.

[c] Die Wahrscheinlichkeit, dass man weniger als zwei Minuten wartet, lautet $\frac{e-1}{e}$

d) Die Wahrscheinlichkeit, dass man weniger als zwei Minuten wartet, lautet $\frac{1}{e}$

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**18** Es sei $\Omega=\{1, \ldots, 6\}^{2} .$ Ein Elementarereignis $\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega$ wird als Ergebnis des Werfens zweier Würfel interpretiert, wobei $\omega_{1}$ die Augenzahl des ersten Würfels angibt und $\omega_{2}$ jene des zweiten Würfels. Sei nun
$$
\mathcal{F}=\sigma\left(\left\{\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega: \omega_{1}+\omega_{2}=3\right\}\right)
$$
Welche der folgenden Ereignisse sind bezüglich $\mathcal{F}$ beobachtbar?

[a] Der erste Würfel fällt, auf $2,$ der zweite Würfel auf $1 .$

b) Die Augensumme der beiden Würfel ist gleich 7 .

c) Die Augensumme der beiden Würfel ist gleich $4 .$

[d] Der erste Würfel fällt auf $1,$ der zweite Würfel auf 2 .

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**19** Es sei
$$
f: R \times R:(x, t) \mapsto e^{-x^{2}} \cos \left(\frac{x}{1+t^{2}}\right)
$$
$11 \mathrm{nd}$
$$
F: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}: t \mapsto \int_{\mathbb{R}} f(x, t) \mathrm{d} \lambda(x)
$$
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $F$ ist stetig

b) $\lim _{t \rightarrow \infty} F(t)=1$

c) $\lim _{t \rightarrow \infty} F(t)=\sqrt{\pi}$

d) $F$ ist nicht differenzierbar

e) $\lim _{t \rightarrow-\infty} F(t)=\sqrt{\pi}$

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**20** Es bezeichne $\lambda$ das Lebesgue-Maß auf $(\mathrm{R}, \mathcal{B}(\mathrm{R}))$. Fiur $n \in \mathrm{N}$ sei weiters
$$
A_{n}=\left[0,1+\frac{1}{2^{n}}\right], \quad B_{n}=\left[n, n+\frac{1}{2^{n}}\right] \quad \text { und } \quad C_{n}=\left(0,1-\frac{1}{2^{n}}\right)
$$
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\lambda\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=1, \quad \lambda\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n}\right)=1, \quad \lambda\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} C_{n}\right)=1$

b) $\lambda\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=1, \quad \lambda\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n}\right)=1, \quad \lambda\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} C_{n}\right)=0$

c) $\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda\left(A_{n}\right)=\lambda\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right), \lim _{n \rightarrow \infty} \lambda\left(B_{n}\right)=\infty, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \lambda\left(C_{n}\right)=\lambda\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} C_{n}\right)$

d) $\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda\left(A_{n}\right)=1,, \lim _{n \rightarrow \infty} \lambda\left(B_{n}\right)=1, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \lambda\left(C_{n}\right)=2 .$

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**21** Es bezeichne $\lambda$ das Lebesgue-Maß auf $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbf{R}))$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) Für alle $a<b$ gilt $\lambda((a, b])=b-a$.

b) Für alle $a<b$ gilt $\lambda([a, b])=b-a$.

c) $\forall x, y \in \mathbb{R}: \lambda(\{x\})=\lambda(\{y\})$

d) Es ist $\lambda(\mathrm{Q})=0$ und $\lambda([0,3] \backslash \mathrm{Q})=1$

e) Für alle $a<b$ gilt $\lambda((a, b])=a-b$.
f) $\forall x \in R: \lambda(\{x\})>0$

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**22** Es sei $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X: \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ eine Abbildung Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

[a] $X$ ist Zufallsvariable $\Longleftrightarrow \forall x \in R: X^{-1}(\{x\}) \in \mathcal{F}$
(Definition)

b) $X$ ist Zufallsvariable $\Longleftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}: X^{-1}((-\infty, x]) \in \mathcal{F}$

[c] $X$ ist Zufallsvariable $\Longleftrightarrow \forall B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}): X^{-1}(B) \in \mathcal{B}(\mathbf{R})$
(Beispiel für ein Intervall)

e) Ist $X(\Omega)=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\},$ so gilt $X$ ist Zufallsvariable $\Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: X^{-1}\left(\left\{x_{n}\right\}\right) \in \mathcal{F}$

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**23** Es sei $(\Omega, \mathcal{F})$ ein messbarer Raum. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) Für $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3} \in \Omega$ ist $\mathrm{P}=\frac{1}{6} \delta_{\omega_{1}}+\frac{1}{3} \delta_{\omega_{2}}+\frac{1}{2} \delta_{\omega_{3}}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathcal{F})$.

b) Es sei $\left\{\omega_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subset \Omega .$ Dann ist $\mu=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \delta_{\omega_{n}}$ ein Maß auf $(\Omega, \mathcal{F}),$ aber kein Wahrscheinlichkeitsmaß.

c) Für $\omega_{1}, \omega_{2} \in \Omega$ ist $\mu=\frac{1}{10} \delta_{\omega_{1}}+\frac{3}{5} \delta_{\omega_{2}}$ ein Maß auf $(\Omega, \mathcal{F}),$ aber kein Wahrscheinlichkeitsmaß.

d) Sind $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ und $\mathrm{P}_{3}$ Wahrscheinlichkeitsmabe auf $(\Omega, \mathcal{F}),$ so ist auch die $\mathrm{P}=3 \mathrm{P}_{1}-4 \mathrm{P}_{2}+2 \mathrm{P}_{3}$ ein WahrscheinlichkeitsmaB auf $(\Omega, \mathcal{F})$.

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**24** Es sei $\Omega=\{1,2,3,4\} .$ Welche der folgenden Mengensysteme sind $\sigma$ -Algebren auf $\Omega ?$

a) $\{\varnothing, \Omega,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{2,3,4\},\{1,4\}\}$
(Komplement von jedem Ereignis muss vorhanden sein: {1,2,3} hat kein Kompliment {4})

[b] $\{\varnothing,\{1\},\{2,3,4\}\}$

[c] $\{\varnothing, \Omega\}$

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**25** Es sei $X: \Omega \rightarrow \mathrm{R}$ eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ mit $X \sim \mathcal{N}_{7.4}$. Weiters bezeichne $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\mathrm{P}(11 \leq X \leq 13)=\Phi(3)-\Phi(2)$

b) $\mathrm{P}(11 \leq X \leq 13)=\mathcal{N}_{7,4}([11,13])$

c) Die Zufallsvariable $Y=\frac{X-7}{2}$ ist standardnormalverteilt.

d) Ist $Y$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, so gilt $\mathrm{P}(11 \leq X \leq 13)=$ $\mathrm{P}(2 \leq Y \leq 3)$

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**26** Es seien $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}, \mathbf{P}_{1}\right)$ und $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}, \mathbf{P}_{2}\right)$ zwei Wahrscheinlichkeitsräume und
$$
\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}, \mathrm{P}_{1} \otimes \mathrm{P}_{2}\right)
$$
ihr Produktwahrscheinlichkeitsraum. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) Für alle $A \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$ ist $\left(\mathrm{P}_{1} \otimes \mathrm{P}_{2}\right)(A)=\mathrm{P}_{1}(A) \mathrm{P}_{2}(A)$

b) Ist $A_{1} \in \mathcal{F}_{1}$ und $A_{2} \in \mathcal{F}_{2},$ so gilt $\left(\mathbb{P}_{1} \otimes \mathbb{P}_{2}\right)\left(A_{1} \times A_{2}\right)=\mathbb{P}_{1}\left(A_{1}\right) \mathbb{P}_{2}\left(A_{2}\right)$.

c) Ist $A_{1} \in \mathcal{F}_{1}$ und $A_{2} \in \mathcal{F}_{2},$ so gilt $\left(\mathbb{P}_{1} \otimes \mathbb{P}_{2}\right)\left(A_{1} \times A_{2}\right)=\mathbb{P}_{1}\left(A_{1}\right)+\mathbb{P}_{2}\left(A_{2}\right)$

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**27** Unter welchen der folgenden Bedingungen ist $\mathcal{F}$ eine $\sigma$ -Algebra auf der Menge $\Omega ?$

a) $\mathcal{F}$ ist Algebra auf $\Omega$, $\mathcal{F}$ ist komplementstabil

b) $\Omega \in \mathcal{F}$, $\mathcal{F}$ ist $\sigma-\Gamma$ stabil, $\mathcal{F}$ ist $\sigma$ - $\mathrm{U}$ -stabil

c) $\Omega \in \mathcal{F}$, $\mathcal{F}$ ist komplementstabil, $\mathcal{F}$ ist $\cap$ -stabil

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**28** Es sei $\Omega=[0,1]$ und $\mathcal{F}=\sigma\left(\left\{\left[0, \frac{1}{2}\right]\right\}\right)$ die von $\left\{\left[0, \frac{1}{2}\right]\right\}$ auf $\Omega$ erzeugte $\sigma$ Algebra. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\mathcal{F}=\left\{\varnothing,\left[0, \frac{1}{2}\right),[0,1]\right\}$

b) $\left[0, \frac{1}{2}\right) \in \mathcal{F}$

c) $\left[\frac{1}{2}, 1\right] \in \mathcal{F}$

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**29** Es seien $\left(\Omega_{1}, \mathcal{F}_{1}\right)$ und $\left(\Omega_{2}, \mathcal{F}_{2}\right)$ messbare Räume. Weiters seien $A_{1}, B_{1} \in \mathcal{F}_{1}$ und $A_{2}, B_{2} \in \mathcal{F}_{2} .$ Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\left(B_{2} \backslash B_{1}\right) \times\left(A_{2} \backslash A_{1}\right) \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$

b) $\left(A_{1} \times A_{2}\right) \cap\left(B_{1} \times B_{2}\right)=\left(A_{1} \cap B_{1}\right) \times\left(A_{2} \cap B_{2}\right)$

c) $\left(A_{1} \cap B_{1}\right) \times\left(A_{2} \cap B_{2}\right) \in \mathcal{F}_{1} \otimes \mathcal{F}_{2}$

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**30** Es sei $\Omega=[0,1]$ und $\mathcal{F}=\sigma\left(\left\{\left[0, \frac{1}{2}\right),\left\{\frac{3}{4}\right\}\right\}\right) .$ Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) $\left[\frac{3}{4}, 1\right] \in \mathcal{F}$

b) $\left(\frac{1}{2}, 1\right] \backslash\left\{\frac{3}{4}\right\} \in \mathcal{F}$

c) $\left(\frac{3}{4}, 1\right] \in \mathcal{F}$

(Alle 3 Intervalle gehen bis 1 -> F geht aber nur bis 1/2)

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**31** Ein Test zur Erkennung einer Krankheit liefere in $90 \%$ der Fälle das richtige Ergebnis, wenn die Krankheit, auf die getestet wird, tatsächlich vorliegt. Es werden jedoch $2 \%$ der Personen ohne diese Krankheit falsch-positiv getestet. Außerdem sind $1 \%$ der Bevölkermng tatsächlich erkrankt. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Person mit positivem Testergebnis die Krankheit nicht vorliegt, ist
$$
\frac{0.9 \cdot 0.01}{0.9 \cdot 0.01+0.02 \cdot 0.99}
$$
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Person mit positivem Testergebnis die Krankheit nicht vorliegt, ist
$$
1-\frac{0.9 \cdot 0.01}{0.9 \cdot 0.01+0.02 \cdot 0.99}
$$
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis auch wirklich erkrankt ist, lautet
$$
1-\frac{0.9 \cdot 0.01}{0.9 \cdot 0.01+0.02 \cdot 0.99}
$$

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**32** Es seien $\Omega$ eine beliebige Menge und $A, B \subset \Omega$. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a)$A=(B \backslash A) \uplus(A \cap B)$
(Mit B ohne A kann man nie A definieren -> Venn Diagramm)

[b] $A \cup B=A \uplus(B \backslash A)$

[c] $A=(A \backslash B) \uplus(A \cap B)$

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**33** Gegeben sei die Fimktion $f: R \rightarrow R: t \mapsto 2 t \chi_{[0,1]}(t)$ Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) Ist $X$ eine Zufallsvariable mit Dichte $f$ beziuglich des Lebesgue-MaBes $\lambda,$ so gilt $\mathrm{E} X=\frac{2}{3}$
b) $f$ ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte
c) Ist $X$ eine Zufallsvariable mit Dichte $f$ beziuglich des Lebesgue-MaBes $\lambda,$ so gilt $\mathrm{E} X^{2}=\frac{1}{2}$

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**34** Es sei $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ der Laplace-Raum zu $\Omega=\{1,2,3\}$. Weiters seien die Zufallsvariablen
$$
X: \Omega \rightarrow R: \omega \mapsto \omega
$$
und $Y=X^{2}$ gegeben. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

[a] $P_{X+Y}=\frac{1}{3}\left(\delta_{2}+\delta_{6}+\delta_{12}\right)$
(Einsetzen, 2= 1²+1, 6=2²+2, ...)

[b] $P_{X}=\frac{1}{3}\left(\delta_{1}+\delta_{2}+\delta_{3}\right) \text { und } P_{Y}=\frac{1} {3}\left(\delta_{1}+\delta_{4}+\delta_{9}\right)$
(A auseinander gezogen)

c) $F_{X}=\frac{1}{3} \chi_{[1,2)}+\frac{2}{3} \chi_{[2,3)}+\chi_{[3, \infty)} \text { und } F_{Y}=\frac{1}{3} \chi_{[1,4)}+\frac{2}{3} \chi_{[4,9)}+\chi_{[9, \infty)}$