# 線性代數ep.1 向量與向量空間
> 線性代數就是只要符合某些規則，什麼都是向量！

在物理學中，認為有方向和大小者為向量；資訊則認為一串有序數列是向量。在數學中，是如何定義向量呢？

其他篇指路 [國中生能懂的線性代數系列](https://hackmd.io/@1s-physics/linear-algebra-introduction)

## 向量空間（vector space）
學習線性代數的第一步：忘記高中數學所學的「向量」。
但不要全忘，請選擇性忘記(?)若感到困惑屬正常現象，是作者的表達能力問題。
### 定義
在體（field） $F$ 上定義的向量空間 $V$ 有 $2$ 種二元運算。
其中，關於 $2$ 個 $V$ 中元素的運算，稱為向量加法（vector addition，以下稱為加法），而關於 $1$ 個 $F$ 中的元素及 $1$ 個 $V$ 中的元素之運算，稱為係數積（scalar multiplication，以下稱為乘法）。
滿足以下規則：

1. 加法封閉性 $\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in V,\ \mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$
2. 加法單位元素 $\forall\mathbf{v}\in V,\exists\mathbf{0}\in V\ s.t.\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{v}$
3. 加法反元素 $\forall\mathbf{u}\in V,\exists\mathbf{v}\in V\ s.t.\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{0}$
4. 加法交換律 $\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in V,\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$
5. 加法結合律 $\forall\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V,(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
6. 乘法封閉性 $\forall a\in F,\mathbf{v}\in V,a\mathbf{v}\in V$
7. 乘法單位元素 $\forall\mathbf{v}\in V,\exists1\in F\ s.t.\ 1\mathbf{v}=\mathbf{v}$
8. 乘法分配律 $\forall a\in F,\ \mathbf{u},\mathbf{v}\in V,\ (\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}$
9. 係數分配律 $(a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v}$
10. 乘法結合律 $(ab)\mathbf{v}=a(b\mathbf{v})$

換言之，若不滿足以上任意一條規則，則 $V$ 不為向量空間。

（可能有用的）提醒：上面的「加法」和「係數積」未必是高中所學習的運算。如果不能接受，表示你沒有做到學習線代的第一步：忘記高中數學所學的「向量」。
### 向量
我們將 $V$ 中的元素稱為向量（vector），而 $F$ 中的元素是純量（scalar）。
### 範例
#### 多項式是向量
考慮不多於 $n$ 次實係數多項式所構成之集合
1. 加法封閉性
對於 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i,\ g(x)=\sum_{i=0}^nb_ix^i\in\mathbb{R}[x],$
$\displaystyle f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^i$ 為不多於 $n$ 次之多項式，加法封閉性成立。

2. 加法單位元素
即零多項式，存在。

3. 加法反元素
對於 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\mathbb{R}[x]$ ，考慮 $\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^n(-a_i)x^i$ ，則有 $\displaystyle f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^n[a_i+(-a_i)]x^i=0$ ，加法反元素存在。

4. 加法交換律
對於 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i,\ g(x)=\sum_{i=0}^nb_ix^i\in\mathbb{R}[x],$
\begin{align}
f(x)+g(x)&=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^i\\
&=\sum_{i=0}^n(b_i+a_i)x^i\\
&=g(x)+f(x)
\end{align}
加法交換律成立

5. 加法結合律
對於 $\displaystyle
f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i,g(x)=\sum_{i=0}^nb_ix^i,h(x)=\sum_{i=0}^nc_ix^i\in\mathbb{R}[x],$
\begin{align}
[f(x)+g(x)]+h(x)&=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^i+\sum_{i=0}^nc_ix^i\\
&=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i+c_i)x^i\\
&=\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=0}^n(b_i+c_i)x^i=f(x)+[g(x)+h(x)]
\end{align}
加法結合律成立

6. 乘法封閉性
Consider $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\mathbb{R}[x]$ and $k\in\mathbb{R}$
\begin{align}
kf(x)&=k\sum_{i=0}^na_ix^i\\
&=\sum_{i=0}^nka_ix^i\in\mathbb{R}[x]
\end{align}
乘法封閉性成立

7. 乘法單位元素
（略）存在

8. 乘法分配律
對於 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i,\ g(x)=\sum_{i=0}^nb_ix^i\in\mathbb{R}[x],\ k\in\mathbb{R},$
\begin{align}
k[f(x)+g(x)]&=\sum_{i=0}^nk(a_i+b_i)x^i\\
&=\sum_{i=0}^n(ka_i+kb_i)x^i\\
&=\sum_{i=0}^n(ka_i)x^i+\sum_{i=0}^n(kb_i)x^i=kf(x)+kg(x)\\
\end{align}
乘法分配律成立

9. 係數分配律
對於 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\mathbb{R}[x]$ and $k_1,k_2\in\mathbb{R},$
\begin{align}
(k_1+k_2)f(x)&=\sum_{i=0}^n(k_1+k_2)a_ix^i\\
&=\sum_{i=0}^n(k_1a_i+k_2a_i)x^i\\
&=\sum_{i=0}^nk_1a_ix^i+\sum_{i=0}^nk_2a_ix^i=k_1f(x)+k_2f(x)
\end{align}
係數分配律成立

10. 乘法結合律
對於 $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i\in\mathbb{R}[x]$ and $k_1,k_2\in\mathbb{R},$
\begin{align}
(k_1k_2)f(x)&=\sum_{i=0}^n(k_1k_2)a_ix^i\\
&=\sum_{i=0}^nk_1(k_2a_i)x^i\\
&=k_1\sum_{i=0}^nk_2a_ix^i=k_1[k_2f(x)]
\end{align}
乘法結合律成立
### 習題
#### 基本題：矩陣是向量
欲得知 $m\times n$ 階矩陣形成的集合是否為向量空間，需以上述公理檢驗之。這裡留給讀者做練習。

## 子空間（subspace）
### 定義
我們稱 $W$ 是在 $F$ 上的 $V$ 的子空間，若 $W\subseteq V$ 且 $W$ 是在 $F$ 上且有相同運算規則的向量空間。
根據定義，所有向量空間至少有2個子空間，即 $\{\mathbf{0}\}$ 和 $V$ 。

子空間亦為向量空間，滿足10個公理。若有 $V$ 的子集合不滿足公理，則其不為子空間。但包含於向量空間的子集合顯然滿足加法交換律、加法結合律、乘法單位元素、乘法分配律、係數分配律、乘法結合律。

因此若欲確認 $W\subseteq V$ 是否為 $V$ 的子空間，在「 $W$ 是向量空間」的部分，需要且僅需檢驗加法封閉性、加法單位元素、加法反元素、乘法封閉性。

是非題：若 $W\subseteq V$ 且 $V, W$ 均為向量空間，則 $W$ 為 $V$ 的子空間。
答案是 X 喔，還須確認
1. ||$V$ 和 $W$ over 一樣的 field。||
2. ||有相同的運算規則||

## 資源
再放一次喔
其他篇指路：[國中生能懂的線性代數系列](https://hackmd.io/@1s-physics/linear-algebra-introduction)