### 論文：EDF和RM多處理器調度算法：調查和性能評估

### 詳細說明這篇論文的內容

### 1. 介紹 (Introduction)
即時系統的正確運行不僅取決於邏輯結果，還取決於結果產生的時間。這些系統運行在高複雜度的環境中，如軍事過程控制、機器人技術、航空系統、分佈式系統和多媒體應用，通常需要多處理器系統來滿足計算需求。例如，DD-21陸地驅逐艦需要使用500到1000個處理器。即時系統在多處理器上的應用不僅因為這些應用的高計算需求，還因為成本降低和設計工具的普及。

### 2. 多處理器系統調度 (Scheduling on Multiprocessor Systems)
在多處理器系統中，滿足即時任務集合的截止日期需要調度算法來確定每個任務在哪個處理器上執行（分配問題），以及何時和以何種順序執行（調度問題）。這個問題非常困難，主要原因包括：
- 單處理器上的研究成果不一定能應用於多處理器。
- 多處理器中出現了不同的調度異常。
- 分配問題的解決需要高計算複雜度的算法。

### 3. 系統模型 (System Model)
這部分描述了本文使用的系統模型及其限制條件：
- 任務是獨立的，即一個任務的到達不影響其他任務。
- 任務的上下文切換成本可忽略不計。
- 任務之間不共享除CPU外的資源。
- 任務是周期性和可搶占的。
- 任務在固定數量和無限數量的處理器上執行。

### 4. 多處理器上的分區調度 (Partitioned Scheduling on Multiprocessors)
分區調度需要選擇每個處理器上的調度算法，並分配任務到處理器。本文研究了許多最佳啟發式算法，包括First-Fit (FF)、Best-Fit (BF)、Next-Fit (NF) 和 Worst-Fit (WF) 等，並介紹了多種可調度性條件，特別針對Rate Monotonic (RM) 和 Earliest Deadline First (EDF) 調度策略。

#### 分區調度算法特性比較

| 特性 | First-Fit (FF) | Best-Fit (BF) | Next-Fit (NF) | Worst-Fit (WF) |
|------------------|---------------------------------------------------|-----------------------------------------------|--------------------------------------------|------------------------------------------------|
| **分配策略** | 分配到索引最低的非空bin，若超過容量則分配到空bin | 分配到最小剩餘容量的非空bin，若無則分配到空bin | 將物件分配到當前bin，不適合則分配到下一個bin | 分配到最大剩餘容量的bin |
| **優點** | 計算簡單，執行速度快 | 高資源利用率，優先使用最小剩餘空間的bin | 執行速度快，只需檢查當前bin | 減少產生新bin的可能性 |
| **缺點** | 容量利用率可能不高，可能產生很多部分填滿的bin | 計算複雜度高，需要檢查所有bin | 容量利用率可能不高，不檢查之前的bin | 容量利用率可能低，特別是在高容量的情況下 |
| **計算複雜度** | 低 | 高 | 低 | 高 |
| **執行速度** | 快 | 慢 | 快 | 慢 |

這些算法各有其適用的場景和特點，選擇使用哪種算法取決於具體應用需求和系統要求。

#### 分區調度的最佳啟發式算法

1. **First-Fit (FF)**：
- **概念**：將任務分配到第一個能夠容納它的處理器。
- **優點**：實現簡單，計算速度快。
- **缺點**：可能導致資源利用率不高，容易產生碎片化。

2. **Best-Fit (BF)**：
- **概念**：將任務分配到能夠容納它的最適合（剩餘空間最小）的處理器。
- **優點**：資源利用率較高，能有效減少碎片化。
- **缺點**：實現較為複雜，計算開銷較大。

3. **Worst-Fit (WF)**：
- **概念**：將任務分配到剩餘空間最多的處理器。
- **優點**：減少處理器的過載可能性。
- **缺點**：可能導致資源利用率不高。

4. **Next-Fit (NF)**：
- **概念**：將任務分配到當前處理器，如果不合適則分配到下一個處理器。
- **優點**：計算速度快，實現簡單。
- **缺點**：資源利用率可能不高。

5. **First-Fit Decreasing Utilization (FFDU)**：
- **概念**：首先按利用率降序排序任務，然後使用First-Fit方法進行分配。
- **優點**：能夠更好地平衡負載，提高資源利用率。
- **缺點**：需要先排序，計算複雜度增加。

6. **Rate Monotonic First Fit (RMFF)**：
- **概念**：結合Rate Monotonic調度策略，使用First-Fit方法進行分配。
- **優點**：適用於週期性任務，能夠提高可調度性。
- **缺點**：實現較為複雜，需要考慮任務的週期。

### RMNF-L&L, RMFF-L&L 和 RMBF-L&L 算法

#### 概述
這段描述了三種基於Rate Monotonic (RM) 調度策略並使用Liu & Layland (L&L) 可調度性條件的在線算法：RMNF-L&L, RMFF-L&L 和 RMBF-L&L。這些算法是在前面描述的RMNF, RMFF 和 RMBF 算法的基礎上改進而來，主要區別在於使用了L&L 可調度性條件。

#### 詳細解說
這三種算法分別是：

1. **RMNF-L&L (Rate Monotonic Next Fit - Liu & Layland)**
2. **RMFF-L&L (Rate Monotonic First Fit - Liu & Layland)**
3. **RMBF-L&L (Rate Monotonic Best Fit - Liu & Layland)**

這些算法可以作為在線算法使用，而不需要在分配之前對任務集進行排序。

#### 可調度性條件 (L&L)
- L&L 可調度性條件用於這三種算法中，替代了前面提到的IP (Initial Partitioning) 可調度性條件。L&L條件主要針對負載平衡和資源分配進行優化。

#### 算法性能
- **RMNF-L&L** 的性能公式為：
\[
\mathcal{A}_{\text{RMNF-L&L}} = \frac{2}{\ln 2}
\]
- **RMFF-L&L** 的性能公式為：
\[
\mathcal{A}_{\text{RMFF-L&L}} \leq 2 + \frac{(3 - 2^{3/2})}{(2 (2^{1/3} - 1))} \approx 2.33
\]
- **RMBF-L&L** 的性能與 RMFF-L&L 相同。

#### 計算複雜度
- **RMNF-L&L** 的計算複雜度為 \( O(n) \)
- **RMFF-L&L** 和 **RMBF-L&L** 的計算複雜度為 \( O(n \log n) \)

#### 主要特點
1. **RMNF-L&L (Rate Monotonic Next Fit - Liu & Layland)**:
- **策略**: 使用Next Fit方法將任務分配到處理器，並使用L&

L可調度性條件。
- **計算複雜度**: \( O(n) \)
- **性能**: \(\frac{2}{\ln 2}\)

2. **RMFF-L&L (Rate Monotonic First Fit - Liu & Layland)**:
- **策略**: 使用First Fit方法將任務分配到處理器，並使用L&L可調度性條件。
- **計算複雜度**: \( O(n \log n) \)
- **性能**: \(\leq 2 + \frac{(3 - 2^{3/2})}{(2 (2^{1/3} - 1))} \approx 2.33\)

3. **RMBF-L&L (Rate Monotonic Best Fit - Liu & Layland)**:
- **策略**: 使用Best Fit方法將任務分配到處理器，並使用L&L可調度性條件。
- **計算複雜度**: \( O(n \log n) \)
- **性能**: 與RMFF-L&L相同。

#### 總結
這三種算法通過使用L&L可調度性條件，改進了任務分配的效率和可調度性。RMNF-L&L 的計算複雜度最低，適合需要快速分配的場景，而RMFF-L&L 和 RMBF-L&L 則提供了更高的資源利用率，適合資源有限但任務負載較高的環境。這些算法在多處理器系統中提供了不同的選擇，以滿足不同的應用需求。

### Rate Monotonic (RM) 算法的可調度性條件

#### 概述
這段文字介紹了Rate Monotonic (RM) 調度算法中使用的各種可調度性條件，包括L&L (Liu & Layland) 條件, IP (Increasing Period) 條件, 和PO (Period Oriented) 條件。這些條件用於確保多處理器系統中任務集的可調度性。

#### 1. 可調度性條件 L&L (Liu & Layland)

- **描述**: L&L條件是一種基於處理器利用率的可調度性條件，用於在RM調度算法下調度的任務集。
- **條件**: 當任務集滿足以下條件時，不會錯過任何截止日期：
- **定理1 (Condition L&L)**: 如果一組任務在RM算法下是可調度的，則其最小利用率可達到 \( n (2^{1/n} - 1) \)。當 \( n \) 趨於無限時，最小利用率接近 \( \ln 2 \)。

#### 2. 可調度性條件 IP (Increasing Period)

- **描述**: IP條件要求任務的週期按增序排列，這樣任務集的時間約束需要事先知道。
- **條件**: 當任務集滿足以下條件時，其在RM算法下有可行的調度：
- **定理2 (Condition IP)**: 當 \( n \) 趨於無限時，最小利用率接近 \( 2 e^{-u} - 1 \)。

#### 3. 可調度性條件 PO (Period Oriented)

- **描述**: PO條件由Burchard等人提出，用於RMST和RMGT多處理器算法的發展。該條件考慮了如果所有任務的週期彼此接近，可以提高任務集的利用率。
- **條件**: 當任務集滿足以下條件時，其在RM算法下有可行的調度
- **定理3 (Condition PO)**: 根據以上條件，可以確定任務集是否可調度。

### 總結
這些可調度性條件（L&L、IP 和 PO）為在多處理器系統中使用RM調度算法的任務集提供了不同的可調度性檢查方法。L&L條件是基於利用率的檢查，IP條件則要求任務的週期按增序排列，而PO條件則考慮了週期接近的任務集的利用率提升。這些條件在確保系統任務不會錯過截止日期方面發揮了重要作用。

### 5. 多處理器上的全局調度 (Global Scheduling on Multiprocessors)
全局調度允許任務在不同的處理器之間遷移。本文描述了這種調度方式的優缺點和一些出現的調度異常，如Dhall效應和Critical Instant效應。這部分介紹了RM和EDF策略下的全局調度方案及其最佳啟發式算法。

#### 全局調度的最佳啟發式算法

1. **Global Earliest Deadline First (Global EDF)**：
- **概念**：任務可以在處理器之間遷移，根據最早截止時間進行全局調度。
- **優點**：能夠靈活調整，最大化即時性任務的調度成功率。
- **缺點**：遷移開銷較大，計算複雜度高。

2. **Global Rate Monotonic (Global RM)**：
- **概念**：任務可以在處理器之間遷移，根據週期進行全局調度，週期越短優先級越高。
- **優點**：適用於週期性任務，能夠提高系統的穩定性和可預測性。
- **缺點**：遷移開銷較大，計算複雜度高。

3. **Adaptive Task Clustering (ATC)**：
- **概念**：根據任務的特性和當前系統負載，動態調整任務的分配和遷移。
- **優點**：動態適應系統變化，提高資源利用率和調度成功率。
- **缺點**：實現較為複雜，需要不斷監控和調整系統狀態。

4. **Global Least Laxity First (Global LLF)**：
- **概念**：任務可以在處理器之間遷移，根據剩餘時間和截止時間的差值進行調度，差值越小優先級越高。
- **優點**：能夠有效應對高負載情況，提高任務調度成功率。
- **缺點**：計算複雜度高，需要不斷計算和比較任務的剩餘時間和截止時間。

5. **Proportionate Fair (Pfair)**：
- **概念**：根據任務的比例公平性進行調度，確保每個任務在其週期內獲得公平的處理器時間。
- **優點**：能夠確保即時性任務的公平調度，提高系統穩定性。
- **缺點**：實現較為複雜，需要精確計算每個任務的公平性。

#### 分區調度與全局調度的比較

| 特性 | 分區調度 (Partitioned Scheduling) | 全局調度 (Global Scheduling) |
|------------------|------------------------------------------------------|---------------------------------------------------|
| **任務分配** | 任務分配到特定處理器，不會遷移 | 任務可以在處理器之間遷移

|
| **負載平衡** | 可能導致負載不均衡 | 動態負載平衡，利用率更高 |
| **上下文切換開銷** | 無上下文切換開銷 | 有上下文切換開銷 |
| **計算複雜度** | 較低，簡化為單處理器調度問題 | 較高，需考慮全局調度策略 |
| **可預測性** | 高，可預測性和可分析性好 | 低，由於動態遷移可預測性差 |
| **適用場景** | 任務負載相對均衡，系統行為需要高度可預測 | 任務負載動態變化大，需要動態調整資源利用 |

### 6. 模擬實驗 (Simulation Experiments)
本文通過廣泛的模擬實驗來測量不同調度算法在固定和無限數量處理器下的性能。實驗分析了各算法在不同條件下的可調度性和效率，並比較了分區調度和全局調度的性能表現。

| 算法 | 條件 | 複雜度 | 性能 (\(\mathcal{A}\)) | 描述 |
|-----------------|------------------|------------------------|-------------------------|---------------------------------------------------------------------|
| **RMNF** | IP | \(O(n \log n)\) | 2.67 | 任務按週期排序，使用next-fit方法分配。 |
| **RMFF** | IP | \(O(n \log n)\) | 2.33 | 任務按週期排序，使用first-fit方法分配。 |
| **RMBF** | IP | \(O(n \log n)\) | 2.33 | 任務按週期排序，使用best-fit方法分配。 |
| **RM-FFDU** | UO | \(O(n \log n)\) | 5/3 | 任務按利用率排序，使用first-fit方法分配。 |
| **FFDUF** | L&L | \(O(n \log n)\) | 2.0 | 任務按利用率排序，使用first-fit方法分配。 |
| **RMST** | PO | \(O(n \log n)\) | \(1/(1-\alpha)\) | 任務按對數週期排序，優先分配小利用率任務。 |
| **RMGT** | PO and Le | \(O(n \log n)\) | 7/4 | 通用任務，按分區和最小執行時間排序。 |
| **RBOUND-MP** | RBOUND | \(O(n(m + \log n))\) | N/A | 使用資源限制進行分配，高複雜度。 |
| **RMNF-L&L** | L&L | \(O(n)\) | 2.88 | 基於負荷條件的next-fit分配方法。 |
| **RMFF-L&L** | L&L | \(O(n \log n)\) | 2.33 | 基於負荷條件的first-fit分配方法。 |
| **RMBF-L&L** | L&L | \(O(n \log n)\) | 2.33 | 基於負荷條件的best-fit分配方法。 |
| **RMGT/M** | PO | \(O(n)\) | \(1/(1-\alpha) + 1/(1-(\ln 2)/M)\) | 為多處理器設計的通用任務算法。 |
| **EDF-FF** | \(U \leq 1\) | \(O(n \log n)\) | 1.7 | 基於最早截止時間優先的first-fit分配方法。 |
| **EDF-BF** | \(U \leq 1\) | \(O(n \log n)\) | 1.7 | 基於最早截止時間優先的best-fit分配方法。 |
| **EDF-WF** | \(U \leq 1\) | \(O(n \log n)\) | N/A | 基於最早截止時間優先的worst-fit分配方法。 |
| **EDF-NF** | \(U \leq 1\) | \(O(n)\) | N/A | 基於最早截止時間優先的next-fit分配方法。 |

**分區**
#### 實驗結果（16處理器）

| 算法 | 利用率因子 (\(\alpha\)) | 性能排名 | 備註 |
|-----------------|--------------------------|----------|---------------------------------------------------------------------|
| **RMGT** | 0.2, 0.5 | 最佳 | 在低 \(\alpha\) 值下表現最佳，高 \(\alpha\) 值時性能下降。 |
| **RMST** | 0.2, 0.5 | 最佳 | 在低 \(\alpha\) 值下與 RMGT 表現相似。 |
| **RBOUND-MP** | 0.8, 1.0 | 最佳 | 在高 \(\alpha\) 值下性能最佳。 |
| **RM-FFDU** | \(\leq 0.5\) | 第三 | 在低 \(\alpha\) 值下表現良好，高 \(\alpha\) 值時排名第二。 |
| **RMBF** | 所有 | 第四至第六 | 表現穩定，一般排名中等。 |
| **RMFF** | 所有 | 第五至第七 | 與 RMBF 類似，排名略低。 |
| **RMNF** | 所有 | 最差 | 在所有情況下表現最差。 |

#### 實驗結果（1000處理器）

| 算法 | 利用率因子 (\(\alpha\)) | 性能排名 | 備註 |
|-----------------|--------------------------|----------|---------------------------------------------------------------------|
| **RMGT** | 0.2, 0.5 | 最佳 | 在低 \(\alpha\) 值下表現最佳，高 \(\alpha\) 值時性能下降。 |
| **RMST** | 0.2, 0.5 | 最佳 | 在低 \(\alpha\) 值下與 RMGT 表現相似。 |
| **RBOUND-MP** | 0.8, 1.0 | 最佳 | 在高 \(\alpha\) 值下性能最佳。 |
| **RM-FFDU** | 0.2, 0.5 | 第二至第三 | 表現穩定，略遜於 RMGT 和 RMST。 |
| **RMFF** | 所有 | 第二至第四 | 與 RMBF 類似，通常中等表現。 |
| **RMBF** | 所有 | 第二至第四 | 表現穩定，通常中等表現。 |
| **RMNF** | 所有 | 最差 | 在所有情況下表現最差。 |

**全局**
#### 實驗結果（16處理器）

| **圖表** | **算法** | **利用率 (\(\alpha\))** | **性能排名** | **備註** |
|-------------------|---------------------------|-------------------------|--------------|--------------------------------------------------------------------|
| **Fig. 29, 30** | AdaptiveTkC | 0.2, 0.5, 0.8, 1.0 | 最佳 | 在所有 \(\alpha\) 值下表現最佳。 |
| **Fig. 29, 30** | RM-US[m/(3m-2)] | 0.8, 1.0 | 較佳 | 在高利用率 (\(\alpha = 0.8, 1.0\)) 時表現略好於 RM。 |
| **Fig. 29** | RMST | 0.2 | 較佳 | 在 \(\alpha = 0.2\) 時表現略好於 RM。 |
| **Fig. 31, 32** | EDF | 0.2, 0.5 | 較佳 | 在 \(\alpha = 0.2, 0.5\) 時表現良好。 |
| **Fig. 31, 32** | EDF-US[m/(2m-1)] | 0.8, 1.0 | 最

佳 | 在高利用率 (\(\alpha = 0.8, 1.0\)) 時表現最佳。 |

#### 實驗結果（1000處理器）

| **圖表** | **算法** | **利用率 (\(\alpha\))** | **性能排名** | **備註** |
|-------------------|---------------------------|-------------------------|--------------|--------------------------------------------------------------------|
| **Fig. 41, 42** | AdaptiveTkC | 0.2, 0.5, 0.8, 1.0 | 最佳 | 在所有 \(\alpha\) 值下表現最佳。 |
| **Fig. 41, 42** | RM-US[m/(3m-2)] | 0.8, 1.0 | 較佳 | 在高利用率 (\(\alpha = 0.8, 1.0\)) 時表現略好於 RM。 |
| **Fig. 43, 44** | EDF | 0.2, 0.5 | 較佳 | 在 \(\alpha = 0.2, 0.5\) 時表現良好。 |
| **Fig. 43, 44** | EDF-US[m/(2m-1)] | 0.8, 1.0 | 最佳 | 在高利用率 (\(\alpha = 0.8, 1.0\)) 時表現最佳。 |

這些表格總結了在16個和1000個處理器上運行的全局調度算法在不同利用率 (\(\alpha\)) 下的性能排名和備註。這些結果幫助理解各算法在不同條件下的性能表現，提供了選擇適當調度算法的參考依據。
#### 一般結果

- **分區算法（16處理器）**
- RM算法在高 \(\alpha\) 值下性能提升。
- EDF算法在低 \(\alpha\) 值下表現更佳。

- **全局算法（16處理器）**
- RM算法在高 \(\alpha\) 值下性能提升。
- EDF算法在小 \(\alpha\) 值下表現更佳。

- **分區 vs 全局**
- 對於 \(\alpha \leq 0.2\)，分區RM算法（RMST和RMGT）的性能優於最佳全局算法（AdaptiveTkC）。
- 對於 \(\alpha = 0.5\)，最佳全局算法（AdaptiveTkC）的性能優於最佳分區算法（RMST和RMGT）。
- 對於 \(\alpha > 0.5\)，最佳全局算法（AdaptiveTkC）的性能優於最佳分區算法（RBOUND-MP）。

這些表格清晰地總結了在不同實驗條件下，各種調度算法的性能結果。

### 7. 結論 (Conclusions)

在結論部分，本文總結了對多處理器系統中即時任務調度的深入研究和性能評估，主要聚焦於Rate Monotonic (RM) 和 Earliest Deadline First (EDF) 兩種調度策略。以下是主要結論的詳細說明：

1. **分區調度與全局調度的比較**:
- **分區調度**: 在分區調度方案中，所有任務實例都在相同的處理器上執行。這種方法的優點是能將多處理器問題簡化為多個單處理器問題，使得已知的單處理器調度算法可以應用。缺點是需要解決高計算複雜度的任務分配問題，且可能導致資源使用不均衡。
- **全局調度**: 在全局調度方案中，任務實例可以在不同處理器之間遷移。這種方法的優點是更靈活，可以更好地利用處理器資源。缺點是遷移任務帶來的開銷較大，且會增加系統的複雜性和不可預測性。

2. **RM與EDF調度策略的性能分析**:
- **Rate Monotonic (RM)**: RM是一種靜態優先級調度策略，根據任務週期的長短來分配優先級。實驗結果顯示，RM在分區調度方案中表現較好，因為可以有效利用單處理器調度算法的研究成果。然而，在全局調度方案中，RM可能會遇到Dhall效應，即使系統總利用率很低，某些任務仍然可能會錯過截止日期。
- **Earliest Deadline First (EDF)**: EDF是一種動態優先級調度策略，根據任務的截止日期來分配優先級。實驗結果顯示，EDF在分區和全局調度方案中都表現出色，特別是在全局調度中，由於其動態優先級特性，可以更靈活地適應任務變化。然而，EDF在多處理器系統中也可能遇到Dhall效應，但其程度通常低於RM。

3. **啟發式算法的效果**:
- 本文研究了多種啟發式算法（如First-Fit, Best-Fit, Next-Fit, Worst-Fit）在不同調度方案中的性能，並通過模擬實驗比較了它們的效果。實驗結果表明，這些啟發式算法在處理器利用率和任務調度成功率方面各有優劣。
- 最佳啟發式算法通常取決於具體應用場景和系統需求。例如，在處理器數量有限且任務集合已知的情況下，First-Fit算法的表現較好；而在動態任務環境中，Best-Fit和Worst-Fit算法可能更合適。

4. **未來研究方向**:
- 針對RM和EDF調度策略的改進: 對於多處理器系統中的RM和EDF調度策略，可以進一步研究如何減少Dhall效應的影響，提高系統的總體利用率和任務調度成功率。
- 研究新的啟發式算法: 可以探索新的啟發式算法或對現有算法進行改進，以適應不同的應用場景和系統需求。
- 多處理器系統中的混合調度策略: 可以研究結合分區和全局調度優點的混合調度策略，以充分利用多處理器系統的資源，提高系統性能。

總體來說，本文的研究為多處理器系統中的即時任務調度提供了全面的性能評估和寶貴的參考資料，並指出了未來可能的研究方向。

---
**Dhall效應 (Dhall Effect):**
即使整個系統的利用率非常低，多處理器即時調度算法仍然可能無法按時完成所有任務。
**Critical Instant 效應 (Critical Instant Effect):**
高優先級任務的到達時間安排使得低優先級任務的完成時間受到最大影響的現象。
**週期異常 (Period Anomalies):**
指的是當系統中任務的週期增加時，系統的總利用率減少，但任務反而錯過截止日期的現象。

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### Dhall效應 (Dhall Effect)

Dhall效應是即時多處理器調度中一個著名的問題，它揭示了在多處理器系統中使用Rate Monotonic (RM)或Earliest Deadline First (EDF)調度策略時，可能出現的性能退化現象。以下是Dhall效應的詳細說明：

#### 定義與描述

Dhall效應最早由S.K. Dhall和C.L. Liu在1978年的研究中提出。它描述了一種情況，即使整個系統的利用率非常低，多處理器即時調度算法仍然可能無法按時完成所有任務。這通常出現在RM和EDF調度策略下。

#### 具體例子

讓我們考慮一個簡單的例子來說明Dhall效應：

- 假設我們有 \(m+1\) 個週期性任務，需要在 \(m\) 個處理器上調度。
- 任務的週期和執行時間如下：
- 對於任務 \(τ_i\)（其中 \(1 \leq i \leq m\)），週期 \(T_i = 1\)，執行時間 \(C_i = 2ε\)。
- 對於任務 \(τ_{m+1}\)，週期 \(T_{m+1} = 1 + ε\)，執行時間 \(C_{m+1} = 1\)。
- 假設所有任務在時間 \(t = 0\) 同時到達。

這些任務的調度過程如下：
1. 任務 \(τ_i\) 將立即執行，並在 \(2ε\) 時間單位後完成。
2. 在 \(2ε\) 時間後，任務 \(τ_{m+1}\) 開始執行，並需要 \(1 - 2ε\) 的時間完成其執行。

然而，由於任務 \(τ_{m+1}\)

的執行時間是 \(1\)，而實際上它只有 \(1 - 2ε\) 的可用時間，因此它會錯過其截止日期。

#### 效果與影響

- **低利用率下的調度失敗**: Dhall效應展示了一個反直覺的現象，即使系統總利用率很低（接近0），任務調度仍然可能失敗。
- **非最優的調度策略**: RM和EDF在多處理器系統中的表現可能並不總是最佳，特別是在面臨高優先級任務密集且低優先級任務有較大執行需求的情況下。

#### 解決方法

研究者提出了多種方法來緩解Dhall效應的影響，包括：
- **改進的調度算法**: 開發新的啟發式算法，或者對現有的RM和EDF算法進行修改，以更好地平衡處理器負載和優先級。
- **混合調度策略**: 結合分區調度和全局調度的優點，以最大化系統資源利用率和任務的可調度性。

總體而言，理解Dhall效應對於改進多處理器即時調度算法的性能具有重要意義。通過深入研究和分析這種效應，研究者可以設計出更有效的調度策略，來提高系統的穩定性和效率。

### Critical Instant 效應 (Critical Instant Effect)

Critical Instant 效應是即時系統調度中的一個重要概念，特別是在多處理器系統中。這個效應描述了某些情況下即使在看似可行的調度策略下，任務也可能無法按時完成。以下是關於Critical Instant 效應的詳細說明：

#### 定義與描述

Critical Instant 效應是指在即時多處理器調度中，高優先級任務的到達時間安排使得低優先級任務的完成時間受到最大影響的現象。在這些情況下，任務可能會受到多個高優先級任務的執行影響，導致其無法在截止時間內完成。

#### 具體例子

讓我們考慮一個簡單的例子來說明Critical Instant 效應：

- 假設有五個週期性任務 \(τ_1, τ_2, τ_3, τ_4, τ_5\) 被安排在兩個處理器上。任務的週期和執行時間如下：
- \(τ_1\): 週期 \(T_1 = 5\)，執行時間 \(C_1 = 3\)
- \(τ_2\): 週期 \(T_2 = 5\)，執行時間 \(C_2 = 1\)
- \(τ_3\): 週期 \(T_3 = 6\)，執行時間 \(C_3 = 2\)
- \(τ_4\): 週期 \(T_4 = 11\)，執行時間 \(C_4 = 4\)
- \(τ_5\): 週期 \(T_5 = 10\)，執行時間 \(C_5 = 2\)

假設所有任務在時間 \(t = 0\) 同時到達。以下是調度過程：

1. 任務 \(τ_1\) 和 \(τ_2\) 在高優先級下開始執行。
2. 任務 \(τ_1\) 在時間 \(t = 3\) 完成，任務 \(τ_2\) 在時間 \(t = 4\) 完成。
3. 任務 \(τ_3\) 在時間 \(t = 6\) 到達並開始執行。
4. 任務 \(τ_4\) 在時間 \(t = 11\) 到達並開始執行。
5. 任務 \(τ_5\) 在時間 \(t = 10\) 到達，並被高優先級任務 \(τ_1\) 和 \(τ_4\) 延遲，無法按時完成其截止日期。

在這個例子中，任務 \(τ_5\) 由於高優先級任務 \(τ_1\) 和 \(τ_4\) 的存在，其執行時間被延後，導致其無法在截止日期內完成，這就是Critical Instant 效應的體現。

#### 效果與影響

- **任務延遲**: Critical Instant 效應會導致低優先級任務被高優先級任務延遲，增加了低優先級任務的完成時間。
- **系統性能下降**: 當系統中存在Critical Instant 效應時，即使總利用率較低，系統的實際性能也會下降，導致更多的任務無法按時完成。

#### 解決方法

研究者提出了多種方法來緩解Critical Instant 效應的影響，包括：
- **改進的調度算法**: 開發能夠更好處理Critical Instant 效應的調度算法，如優化優先級分配或引入動態調度策略。
- **任務優先級調整**: 根據系統的實時狀態動態調整任務的優先級，以減少高優先級任務對低優先級任務的影響。
- **混合調度策略**: 結合不同調度策略的優點，以更好地應對Critical Instant 效應。

總體來說，理解Critical Instant 效應對於改進多處理器即時調度算法的性能具有重要意義。通過深入研究和分析這種效應，研究者可以設計出更有效的調度策略，提高系統的穩定性和效率。

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### 週期異常 (Period Anomalies)

#### 定義與描述
在即時多處理器調度中，週期異常指的是當系統中任務的週期增加時，系統的總利用率減少，但任務反而錯過截止日期的現象。

#### 具體例子
考慮以下例子來說明週期異常：
- 假設有三個週期性任務 \(τ_1, τ_2, τ_3\)，它們的週期和執行時間如下：
- \(τ_1\): 週期 \(T_1 = 3\)，執行時間 \(C_1 = 1\)
- \(τ_2\): 週期 \(T_2 = 6\)，執行時間 \(C_2 = 2\)
- \(τ_3\): 週期 \(T_3 = 12\)，執行時間 \(C_3 = 4\)

假設系統在時間 \(t = 0\) 開始執行，並且任務 \(τ_3\) 的週期增加到 \(T_3 = 24\)。雖然系統的總利用率減少，但由於任務 \(τ_3\) 的相對優先級增加，導致其錯過截止日期。

#### 效果與影響
- **任務錯過截止日期**：週期異常會導致系統中的某些任務錯過截止日期，即使系統的總利用率減少。
- **調度策略的適應性**：需要改進調度策略以應對週期異常，確保系統在任務週期變化時仍能按時完成所有任務。

這些效應展示了多處理器調度中的複雜性和挑戰，理解和解決這些問題對於提高即時系統的穩定性和性能至關重要。