Convolutional Codes 是一種糾錯碼技術，用於在數據傳輸中檢測和糾正錯誤。它與 Turbo Code 不同，主要依靠在編碼過程中加入冗餘信息，利用這些冗餘信息來實現錯誤檢測和糾正。讓我們一步一步來理解Convolutional Codes。

### 1. **基本概念**
Convolutional Codes 通過對數據流進行卷積操作（即一種線性操作），生成冗餘比特。這些冗餘比特使得接收端可以檢測和糾正傳輸過程中的錯誤。

### 2. **結構組成**
一個典型的卷積編碼器由以下幾個部分組成：
- **移位寄存器（Shift Registers）**：
- 用於存儲當前和之前的輸入比特。
- 移位寄存器的狀態決定了當前比特和之前若干個比特的組合。
- **模2加法器（Mod-2 Adders）**：
- 用於將移位寄存器的內容進行模2加（即XOR操作），產生輸出比特。

### 3. **編碼過程**
1. **輸入序列**：假設輸入序列為 \(\mathbf{u} = u_1, u_2, u_3, \ldots\)。
2. **狀態更新**：每次輸入一個比特，移位寄存器的狀態根據新的輸入比特更新。
3. **生成冗餘比特**：根據當前移位寄存器的狀態，使用模2加法器生成一組或多組冗餘比特。
4. **輸出比特**：輸出包含了原始比特和生成的冗餘比特。例如，對每個輸入比特生成兩個冗餘比特，則輸出的碼率為1/3。

#### 示例：
假設一個簡單的(2, 1, 3)卷積碼，表示每次輸入1個比特，輸出2個比特，約束長度（constraint length）為3。
- **移位寄存器**：長度為2的移位寄存器，用於存儲當前比特和前兩個比特。
- **生成多項式**：定義模2加法器的連接方式，例如，生成多項式為\(G_1 = (1, 0, 1)\)和\(G_2 = (1, 1, 1)\)。

當輸入比特序列為`1101`時，編碼過程如下：
- 初始狀態：`00`
- 輸入1：`1`，狀態變為`01`，輸出`11`（因為`G_1`生成`1`，`G_2`生成`1`）。
- 輸入1：`1`，狀態變為`11`，輸出`01`（因為`G_1`生成`0`，`G_2`生成`1`）。
- 輸入0：`0`，狀態變為`10`，輸出`11`（因為`G_1`生成`1`，`G_2`生成`1`）。
- 輸入1：`1`，狀態變為`01`，輸出`00`（因為`G_1`生成`0`，`G_2`生成`0`）。

### 4. **解碼過程**
解碼器的主要任務是根據接收到的比特序列，恢復出原始的輸入序列。常用的解碼方法有：
- **維特比算法（Viterbi Algorithm）**：這是一種基於最大似然估計的解碼算法，通過遍歷所有可能的狀態路徑，找到最可能的原始比特序列。
- **軟性輸出解碼（Soft-Output Decoding）**：利用接收到的信號強度信息，提高解碼的準確性。

#### 維特比算法步驟：
1. **初始化**：設置初始狀態的度量（通常為零），其他狀態的度量為無窮大。
2. **狀態轉移和度量更新**：根據接收到的比特，計算每個可能的轉移路徑的度量，更新狀態度量。
3. **追溯（Traceback）**：完成整個序列的度量計算後，通過追溯找到最可能的狀態路徑，恢復原始比特序列。

### 5. **優點和缺點**
- **優點**：
- 能夠有效檢測和糾正傳輸錯誤。
- 解碼器相對簡單，適合硬件實現。

- **缺點**：
- 隨著約束長度的增加，編碼和解碼的複雜度顯著增加。
- 在低碼率情況下，性能可能不如Turbo Code和LDPC碼。

### 6. **應用**
Convolutional Codes 廣泛應用於各種通信系統中，例如：
- 移動通信，如GSM和CDMA系統。
- 衛星通信和深空通信。
- 數據存儲設備，如光盤和硬盤。

### 7. **總結**
Convolutional Codes 是一種強大的錯誤檢測和糾正技術，通過在數據流中引入冗餘信息，利用卷積操作和模2加法器生成冗餘比特。在解碼過程中，使用維特比算法等技術，可以高效地檢測和糾正傳輸過程中的錯誤，確保數據的完整性和可靠性。

---
當然可以，讓我們通過一個具體的例子來了解卷積碼（Convolutional Codes）的編碼和解碼過程。

### 範例：卷積碼的編碼和解碼

#### 設置
假設我們使用一個(2, 1, 3)卷積碼，這意味著：
- 輸入一個比特，輸出兩個比特（碼率為1/2）。
- 約束長度為3，表示當前狀態取決於當前輸入和之前兩個輸入（共三個輸入）。

#### 編碼器結構
卷積碼的編碼器由兩個生成多項式\(G_1\)和\(G_2\)決定：
- \(G_1 = (1, 1, 1)\)（模2加法表示為1，即在這些位置上的輸入比特進行XOR運算）。
- \(G_2 = (1, 0, 1)\)。

這意味著：
- 第一個輸出比特由當前輸入比特和前兩個輸入比特進行XOR運算得到。
- 第二個輸出比特由當前輸入比特和前一個輸入比特進行XOR運算得到。

#### 編碼過程
假設輸入比特序列為\[1, 0, 1, 1\]，我們一步步來進行編碼：

1. **初始狀態**：移位寄存器初始為\[0, 0\]。

2. **輸入第一個比特1**：
- 狀態：\[1, 0, 0\]。
- 輸出：\(G_1\)：\(1 \oplus 0 \oplus 0 = 1\)，\(G_2\)：\(1 \oplus 0 = 1\)。
- 結果：\[1, 1\]。

3. **輸入第二個比特0**：
- 狀態：\[0, 1, 0\]。
- 輸出：\(G_1\)：\(0 \oplus 1 \oplus 0 = 1\)，\(G_2\)：\(0 \oplus 1 = 1\)。
- 結果：\[1, 1\]。

4. **輸入第三個比特1**：
- 狀態：\[1, 0, 1\]。
- 輸出：\(G_1\)：\(1 \oplus 0 \oplus 1 = 0\)，\(G_2\)：\(1 \oplus 0 = 1\)。
- 結果：\[0, 1\]。

5. **輸入第四個比特1**：
- 狀態：\[1, 1, 0\]。
- 輸出：\(G_1\)：\(1 \oplus 1 \oplus 0 = 0\)，\(G_2\)：\(1 \oplus 1 = 0\)。
- 結果：\[0, 0\]。

編碼後的輸出序列為\[1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0\]。

#### 解碼過程
我們使用維特比算法來解碼這個序列。

1. **初始化**：
- 設置初始狀態的度量（通常為零），其他狀態的度量為無窮大。

2. **狀態轉移和度量更新**：
- 對每個接收到的比特對，計算每個可能的狀態轉移的度量，更新狀態度量。
- 例如，對接收到的第一對比特\[1, 1\]：
- 假設從狀態0（初始狀態）轉移到狀態1，輸出比特應為\[1, 1\]。
- 計算度量：實際輸出\[1, 1\]與理論輸出\[1, 1\]的差異為0。

3. **追溯（Traceback）**：
- 完成所有度量計算後，通過追溯找到最可能的狀態路徑，恢復原始比特序列。
- 根據累積度量最小的路徑，依次選擇每一步的最可能狀態，恢復輸入序列。

#### 維特比算法示例
假設接收序列\[1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0\]未受噪聲影響，我們解碼時每一步的狀態和轉移如下：
1. 接收到\[1, 1\]，從狀態0轉移到狀態1，累積度量最小，選擇狀態1。
2. 接收到\[1, 1\]，從狀態1轉移到狀態2，累積度量最小，選擇狀態2。
3. 接收到\[0, 1\]，從狀態2轉移到狀態3，累積度量最小，選擇狀態3。
4. 接收到\[0, 0\]，從狀態3轉移到狀態0，累積度量最小，選擇狀態0。

最終解碼得到的比特序列為\[1, 0, 1, 1\]，與原始輸入比特序列一致。

### 總結
通過這個具體的例子，我們看到Convolutional Codes如何通過卷積操作生成冗餘比特，並通過維特比算法進行解碼，確保在傳輸過程中的數據完整性和可靠性。