普物的波筆記

[TOC] # 普物的波筆記 # 波與粒子的比較 ## 攜帶能量兩個都可以攜帶能量，但波只傳遞能量，而粒子傳遞能量也傳遞實體(具有質量的物體 ## Localized 粒子在空間、時間中有特定的位置，而波則沒有。 # 波的種類 1. 機械波(需要媒介：水波、繩波、聲波) 2. 電磁波(不需要媒介物、藉著交互感應傳遞：光波) 3. 物質波 --- # 機械波(符合牛頓運動定律) ## TRANSVERSE WAVE(橫波) ![](https://i.imgur.com/KJhwGb1.jpg) ### 橫波方程(標準的正弦波) #### 專有名詞： ![](https://i.imgur.com/xEYxSCM.png) Phase為相位 #### 一般式 $y(x,t)=y_{m}sin(kx\pm \omega t+\phi)$ $\phi由初始狀態決定、k=\dfrac{2\pi}{\lambda}、\omega由訊號源決定$ 而式中的正負號由傳遞方向而定：針對一固定點A(x固定)，當波向正x軸傳遞時，隨時間流逝相位必定會減少。從以上描述得負號時，波向正x軸傳遞，反之亦然。 ### 波速如何求？ #### 從同相位的觀點觀察下圖 ![](https://i.imgur.com/AmYTxtS.png) 波速是指某特定相位(Phase)在1秒中移動的距離從某特定相位得 $kx-\omega t+\phi =const$ 所求$v=\dfrac{dx}{dt}$對上式之t微分得 $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{\omega}{k}$ 可以輕易的發現當傳播方向為負x方向時 $\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{\omega}{k}$ #### 從定義的觀點 $v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{\omega}{k}$ ### 任意的橫波方程從波速的討論推廣出任意的橫波方程皆可表示成 $y(x,t) = h(kx\pm \omega t)$ h意味者任意函數如： $y(x,t) = (ax+bt)^{\dfrac{1}{2}}$ 用GeoGebra 模擬該方程(設a=1,b=-1)之動畫 ![](https://i.imgur.com/GGgaVYJ.gif) 該波往右傳遞 --- ## 拉緊的繩波波速 ### 因次分析(Dimensional Analysis) 速度的因次為$LT^{-1}$ 因次分析就是拿可能與波速有關的因素的因次湊成與波速相同的因次題外話，關於因次分析的有趣實例可看 [【科普講座】張首晟教授: 從沙粒看世界](https://www.youtube.com/watch?v=kLs4bf9g1aw) 我們無法在繩沒有張力時傳遞波，從這可提出波速應有張力($MLT^{-2}$)的因次在裏頭。接下來目標為削去M的因次，顯然繩子的質量很難定義(畢竟繩子無限長，波也可以無限傳下去啊!) 那繩子的密度呢？從實驗同樣的波在細繩、粗繩的傳遞速度明顯不同 ![](https://i.imgur.com/NWaglrz.gif) 合理猜測波速與線密度有關($ML^{-1}$) 拼湊後可得 $v=C\sqrt{\dfrac{\tau}{\mu}}$ $\tau 為張力、\mu為線密度$ C則為無因次的常數 (代表就算有因素跟C有關，其因次也在數學式中抵銷掉了) ### 從牛頓第二定律推導 **當觀察者以波速v向前移動，會看到繩上各質點沿著波形移動。** 由於是慣性座標(等速v)，其計算出的加速度與實際上的力相同。 **考慮質點在波形最高點時的狀況** 將該瞬時運動視為圓周運動的一部分，即圖片所示。 ![](https://i.imgur.com/0NxTF3w.png) $m\dfrac{v^{2}}{R}=2\tau\theta$ $\mu R2\theta \dfrac{v^2}{R} = 2\tau\theta$ 得 $v=\sqrt{\dfrac{\tau}{\mu}}$ --- ## Energy and Power of a Wave Traveling Along a string 考慮一繩波方程：$y(x,t)=y_{m}sin(kx-\omega t)$ 為求通過的能量，我們需先算出繩子在一個週期長度的能量 (這裡算得是一個週期平均傳遞的能量) $dK=\dfrac{1}{2}dmu^{2}=\dfrac{1}{2}\mu dxu^{2} \\ u=\dfrac{\partial y(x,t)}{\partial t}=-y_{m}\omega \space cos(kx-\omega t)$ 代入 $\int dK=\dfrac{1}{2}\mu (y_{m}\omega)^{2}\int_{0}^{\lambda}cos^{2}(kx-\omega t)dx \\ \because t=const \\ \therefore dx=\dfrac{1}{k} d(kx-\omega t) \\ let\space d\theta = d(kx-\omega t)\\K=\dfrac{1}{2}\mu (y_{m}\omega)^{2}\dfrac{1}{k}\int_{0}^{2\pi} cos^{2}(\theta)d\theta=\dfrac{1}{2}\mu (y_{m}\omega)^{2}\dfrac{\pi}{k}$ 其一周期傳遞的能量為K，其每秒平均傳遞能量為 $\dfrac{K}{T}=\dfrac{1}{4}\mu v(y_{m}\omega)^{2}$ 然後繩子除了動能外，明顯還有位能(繩子有形變)。由於繩上各質點都是作簡諧運動，簡諧運動的平均動能與平均位能相同即： $P_{avg}=\dfrac{1}{2}\mu v(y_{m}\omega)^{2}$ 得出重要結論： $P_{avg}\propto y_{m}^2$ 可以利用能量守恆，得到在不同介質傳遞時，震幅的變化。 --- # THE WAVE EQUATION 波方程意味著，只要某個函數符合這個方程，其就是波。 ## 模型：微小脈衝波、方法：牛頓第二定律考慮平衡點附近的繩質點： ![](https://i.imgur.com/pPHqTXj.png) 用牛頓第二定律： $\sum\vec{F}=m\vec{a} \\ \vec{F_{1}}+\vec{F_{2}}=m\vec a$ 由於是平衡點附近，其斜率非常小，可得下列近似： $F_{1x}\approx \tau\space \space F_{2x}\approx \tau \\ \tau=|F_{1}|=|F_2|$ $\mu dx\cdot a_y=F_{2y}+F_{1y}=\tau(\dfrac{dy}{dx}|_{2}-\dfrac{dy}{dx}|_{1})\\\mu\dfrac{d^2y}{dt^2}=\tau\dfrac{d^2y}{dx^2}\\ \dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{d^2y}{dt^{2}}$ ## 波方程的推廣(三維空間) 上式可以改寫成(波函數改成用$\Psi 表示$)： $\dfrac{d^2\Psi}{dx^2}+\dfrac{d^2\Psi}{dy^2}+\dfrac{d^2\Psi}{dz^2}=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{d^2\Psi}{dt^2}$ 如果學過向量分析了話，就可以寫成： $\nabla^2\Psi=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{d^2\Psi}{dt^2}$ 上述的微分改成偏微分會比較正確。 --- # 波的干涉 ## 疊加原理(Principle of superposition) 當兩波($y_{1}\space and \space y_{2}$)相遇： $y^\prime(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)$ ### 三角函數公式 For ex： $y_{1}=y_{m}sin(kx-\omega t)\\ y_{2}=y_{m}sin(kx-\omega t+\phi)\\y^\prime=y_{m}(sin(kx-\omega t)+sin(kx-\omega t+\phi))\\\because sin\space \alpha +sin\space \beta =2sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\cdot cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)\\ \therefore y^\prime(x,t)=[2y_{m}cos\frac{1}{2}\phi]sin(kx-\omega t+\frac{1}{2}\phi)$ ### 相量(Phasor) **概念與簡諧運動時的投影圓相同。** 其想法是將向量的其中一分量對應至純量： ![](https://i.imgur.com/ciQgvRI.png) 圖中便是利用正弦函數對應到Y向量的特性。由於疊加原理與向量加法是同個概念，當兩波相遇時，即可用作圖解決。 For ex： ![](https://i.imgur.com/sNoChwQ.png) 畫成這樣時，便能用幾何求解。 # 傅立葉分析(Fourier Analysis) ## 傅立葉級數(Fourier Series) 傅立葉級數的意思是： **任何週期波f(x)，都能以下列形式呈現** $$f(x)=\sum^{N}_{i=0} a_{i}sin(n_{i}x)$$ For ex：鋸齒波 ![](https://i.imgur.com/6W9n99U.png) $y(x)=-\dfrac{1}{\pi}sin(\omega t)-\dfrac{1}{2\pi}sin(2\omega t)-\dfrac{1}{3\pi}sin(3\omega t)\cdots$ # 駐波跟共振(Standing Waves and Resonance) ## 駐波方程駐波是兩個一模一樣的波從相反方向相遇： $y_1=y_m sin(kx-\omega t)\\y_{2}=y_{m}sin(kx+\omega t)$ 其合成波為 $y^\prime=2y_{m}sin(kx)cos(\omega t)$ 觀察方程式便可知道其波形不會移動，呈現此類形狀震盪： ![](https://i.imgur.com/7wTgBij.png) 上圖是與牆面的反射造成的共振。 ## 駐波的特性、專有名詞(即共振) 專有名詞： 1. 不會動的叫節點(nodes) 2. 最大震幅的叫腹點(antinodes) 共振的定義是：一物理系統在特定頻率下，比其他頻率有著更大的振幅。而駐波就常是特定情況的共振。 ## 反射類型 ### 入射至固定端如字面意思，當波傳遞至固定端後，端點不會移動。由於機械波符合牛頓運動定律，可用質點碰撞牆壁思考：反射波與入射波的波形 1. 上下相反 2. 左右顛倒 3. 行進方向相反。 ### 入射至自由端如字面意思，當波傳遞至自由端後，端點會自由移動。當端點自由移動，就能把端點想成新的波源，自然而然就有下列特性：反射波與入射波的波形 1. 上下相同 2. 左右顛倒 3. 行進方向相反。 ## 如何製造駐波 ### 共鳴氣柱實驗 ![](https://i.imgur.com/8ReyMx7.jpg) 實驗要點： 1. 水面對空氣來說如同牆壁，也就是若要使其產生駐波，那水面必定得是節點。 2. 從駐波方程式的$sin(kx)$可知第一、二$\cdots$個共振點需要的空氣柱長度。 | | 空氣柱長度 | | -------- | -------- | | 第一共振點| $\dfrac{1}{4}\lambda$ | | 第二共振點 | $\dfrac{3}{4}\lambda$ | | 第三共振點 | $\dfrac{5}{4}\lambda$ | | 第N共振點 | $\dfrac{1}{4}\lambda+\dfrac{n-1}{2}\lambda$ | 實驗方法、目的： 1. 透過連通管原理改變空氣住長度，使音叉位置處的聲音產生共鳴。 2. 反覆操作步驟1，直至3個數據以上。 3. 觀察數據、歸納出波長，再利用音叉的頻率，算出聲音速度。 ## 補充(反共振) ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Antiresonance_pendula.gif/250px-Antiresonance_pendula.gif) 利用外加的彈簧振子，使其與目標物的外力抵銷，達到反共振的目的。 # 聲波 ## 聲音的速度這裡用個簡單的一維模型作為推導： ![](https://i.imgur.com/fFCrUk5.png) 觀察者以聲速移動，當觀察者以聲速移動時，會看到一空氣塊以v運動，遇到另一個靜止空氣塊，此時兩空氣塊會有壓力差，因為要將v傳遞下去。從上述模型可列出下列式子： $m=\Delta\rho Adx\\F=-\Delta PA=\rho Ad x\dfrac{d^2x}{dt^2}\\ -\Delta P\dfrac{dx}{dt}=\rho(\dfrac{dx}{dt})^2d(\dfrac{dx}{dt})\\-\Delta P\dfrac{v}{dv}=\rho v^2\\ v^2=\dfrac{-\Delta P\dfrac{v}{dv}}{\rho}$ 由於氣體體積是由當下的自由活動體積決定，所以 $\dfrac{v}{dv}=\dfrac{vAdt}{\Delta vAdt}=\dfrac{V}{\Delta V}\\let\space -\Delta P\dfrac{V}{dV}=B(體積模數)\\ v=\sqrt{\dfrac{B}{\rho}}$ ## 證明聲波方程與壓力的關係 ### 證明所用的模型有個聲波傳到一厚度為$\Delta x$的空氣塊，聲波造成其前後兩端震盪的位移不同，導致體積有所改變。 ### 推導過程利用體積模數與體積和壓力的關係得： $\Delta P=-B\dfrac{\Delta V}{V}$ 設聲波方程造成的位移為： $S(x,t)=S_{m}cos(kx-\omega t)$ 整理目前有的資訊得： $V=A\Delta x\\\Delta V=A\Delta s\\ \Delta P=-B\dfrac{\Delta s}{\Delta x}\\取極限後得\\\Delta P=-B\dfrac{\partial s}{\partial x}\\\Delta P(x,t)=BS_{m}k\space sin(kx-\omega t)\\用v=\sqrt{\dfrac{B}{\rho}}，將B換掉\\\Delta P(x,t)=v^2\rho S_{m}k\space sin(kx-\omega t)$ ## 干涉(Interference) ![](https://i.imgur.com/wakXXPq.png) 從這張圖與文字可以知道影響干涉的因素便是**波程差** $\Delta L=L_{2}-L_{1} \\ Define\space \phi \space (phase\space angle)\\ \dfrac{\phi}{2\pi}=\dfrac{\Delta L}{\lambda}$ $when\space \phi=n\cdot 2\pi(n=0,1,2…)\\ 完全建設性干涉(fully \space constructive)\\ \\ \phi=(n+\dfrac{1}{2})\cdot 2\pi(n=0,1,2...)\\完全破壞性干涉(fully\space destructive)$ ## 聲音的強度(Intensity) 聲波在能量的傳遞可以寫成 $P_{avg}=\dfrac{1}{2} \rho Av\omega ^2(S_{m})^2$ 可是一般來說我們無法接受完整的聲波，因為聲源是通常向四周傳遞，又或者指向某個方向。由此設聲音的強度為單位面積收到的能量： $I=\dfrac{P}{A}$ 比較強度的單位常用decibel scale(分貝)，由於人耳對強度的接受範圍實在太大了，所以定成： $\beta =(10dB)log(\dfrac{I}{I_0}) \\ I_0為人類能聽到最小的聲音大小$ ### 聲音強度的計算當你對著前方大叫時，很明顯你前方的人會比後方的人更容易耳聾，那斜前方45度的人和從頭上飛過的小鳥誰更容易耳聾呢？答案是：鬼才知道。從這樣的例子便可以知曉要知道聲波在介質中怎麼分佈、傳遞是多麼困難的事，只能在些特定情況才能知道I的具體大小如：點聲源 -> $I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$ 在封閉管子內的傳遞 ->$I=\dfrac{P}{A}$ 其他情況，都難以知道I的分佈情形。