## Vpython-振盪 #### by 蘇昱全 Switch --- ### 第一部分：彈簧 --- ### 物理世界 彈簧是一種奇妙的東西，遵守神奇的定律： ***虎克定律*** 也就是其恢復力與形變量成正比。 ---- 其中，我們比較熟悉的應該是\\(F = k\cdot x\\)， 其中$k$稱做彈力常數，$x$稱為形變量$\dots \dots$ # 但 這是純量形式 ---- 我們在VPython的世界裡，絕大多數都是向量 也就是說，原本的虎克定律其實應該長這樣 \\[ \vec{F}=-k\, \cdot \,\vec{x} \\] $\vec{x}\,$的意思是形變量的向量，也就是$\vec{l}-\vec{l_0}$ 與空氣阻力一樣，負號代表力恆與形變方向相反 但要注意，兩向量的方向都是沿著彈簧的軸的方向 ---- ### 「質量」的重要性 你會發現，此時彈力\\(\vec{F}\\)就不再與質量有關了， 所以根據牛頓第二運動定律\\(\vec{F}=m\vec{a}\\)， $\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m}=\dfrac{-k\cdot \vec{x}}{m}$，即質量與加速度成反比。 (這些話好像似曾相識) (對，~~我從上一篇偷來的~~) ---- ### 物理小教室：簡諧運動(S.H.M.) 當一個物體的受力與位移量為一次方關係且方向相反時，此時我們稱此物體進行簡諧運動。 英文：$\text{Simple Harmonic Motion}$ 更高階的說法，當一個物體的運動模式(一維)滿足 \\(\overset{\cdot\cdot}{x}+{\omega}^{2} x = 0\\) 此時這個微分方程的解為 \\(x=A\cos (\omega t+\phi)\\) --- ## 實作技巧 ---- ### 新玩具 標題都叫做彈簧了，當然要來學彈簧 它的對應名稱叫做$\texttt{helix}$，一如既往，參數很多 ``` spring = helix(pos=vec(x,y,z),axis=vec(a,b,c),radius=r,thickness=k,coils=t,color) ``` 其中各參數的意義如下 ---- * $\texttt{pos}$：彈簧「左端點」的位置 * $\texttt{axis}$：彈簧方向(及長度) * $\texttt{radius}$：彈簧半徑 * $\texttt{thickness}$：彈簧粗細 * $\texttt{coils}$：彈簧匝數 ---- 幾項小提醒： 1. $\texttt{axis}$的長度將直接代表彈簧的長度，不過你也可以多設定一個$\texttt{length}$來訂定長度 2. 其實很多元素都有$\texttt{axis}$這個參數，你可以用之前的$\texttt{box}$試試看 --- ## 實作部分 ---- ### 實作一：把球黏到彈簧上 ---- 彈簧跟球終究是兩個不同的物件，VPython也不像Microsoft一樣可以把物件組成群組，那要怎樣確保球一定會在彈簧上呢？ ---- 我們可以用「彈簧」的參數來定義「物體」的位置 ``` spring = helix(pos = vec(x, y, z), axis = vec(a, b, c), radius = r, thickness = k, coils = t, color = color.red) ball = sphere(pos = spring.pos + spring.axis, ...) ``` 這樣就可以直接把球嵌在彈簧裡，而$\texttt{while}$裡，則會用「物體」跟「彈簧」的位置定義$\texttt{axis}$ ``` while ...: ... spring.axis = ball.pos - spring.pos ``` 想一想，差異何在？ ---- ## 實作二：簡諧運動 ---- 這一次，除了地板以外，我們還需要一道牆，把彈簧貼上去 ``` wall = box(pos = vec(-L/2 + 0.05*L/2, 0.05*L/2 + 0.05*L, 0), size = vec(0.05*L, 0.1*L, 0.5*L), color = vec(0.5, 0.5, 0)) ``` 也要記得定義一個彈簧原長 ---- 而在操作過程中，你可以給球一個初始速度，或是一個初始位移，讓模型開始振動 ---- 接下來就是重點，根據公式，\\(\vec{F} = -k\vec{x}\\) ``` while True: ... spring.axis = ball.pos - spring.pos F = -k*(mag(spring.axis) - l)*norm(spring.axis) ``` 不直接向量相減是避免今天運動不是一維，相減出來的方向就不是彈力方向了，所以一樣的原則： **計算量值 $\to$ 決定方向** ---- 程式碼 ``` r = 1 l = 20 L = 40 k = 10 v0 = vec(5, 0, 0) x0 = vec(0, 0, 0) m = 1 t = 0 dt = 0.001 scene = canvas(title = "helix", width = 400, height = 400, center = vec(0, 5, 0), background = color.cyan) flr = box(pos = vec(0, 0, 0), size = vec(L, 0.05*L, 0.5*L), color = vec(0.5, 0.5, 0)) wall = box(pos = vec(-L/2 + 0.05*L/2, 0.05*L/2 + 0.05*L, 0), size = vec(0.05*L, 0.1*L, 0.5*L), color = vec(0.5, 0.5, 0)) spring = helix(pos = wall.pos, axis = vec(l, 0, 0), radius = r, coils = l/(2*0.1*l), thickness = 0.5*r, color = color.red) ball = sphere(pos = spring.pos + spring.axis + x0, radius = r + 1, v = v0, a = vec(0, 0, 0), texture = textures.wood) while True: rate(1/dt) spring.axis = ball.pos - spring.pos F = -k*(mag(spring.axis) - l)*norm(spring.axis) ball.a = F/m ball.v += ball.a*dt ball.pos += ball.v*dt t += dt ``` --- [成果展示](https://www.glowscript.org/#/user/andysu960816/folder/MyPrograms/program/helix) --- # 謝謝大家