第三章：負載與應力分析 (Load and Stress Analysis)
本章節討論機械設計中負載與應力的基本分析，內容包括平衡與自由體圖的建立，梁的剪力與彎矩計算，以及應力的分類與分析方法。主要議題包括：

應力分類：正應力、剪應力與三維應力的描述。
應力分析工具：莫爾圓用於平面應力分析、奇異函數描述複雜負載分佈。
梁與構件分析：包括彎矩、剪力、扭矩的計算，考慮應力集中效應。
壓力容器與旋轉環：計算壓力與應力分佈。
熱效應與溫度變化：分析溫度對應力分佈的影響。

（課堂上勾選之第三章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 3-4

Sketch a free-body diagram of each element in the figure. Compute the magnitude and direction of each force using an algebraic or vector method, as specified.

**中文翻譯**：請畫出圖中每個元素的自由體圖，並使用代數或向量方法計算每個力的大小和方向（依據題目要求）。


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### 計算過程

#### Step 1: 求出 $R_A$ & $R_E$

1. 首先，根據題意畫出整個桁架的自由體圖（F.B.D）。

2. 計算垂直高度 $h$，使用 $30^\circ$ 的角度進行計算。
$$
h = \frac{4.5}{\tan 30^\circ} = 7.794 \, \text{m}
$$

3. 接著取點 $A$ 的力矩平衡，列出方程並求解 $R_E$ 。
$$
\sum M_A = 0
$$

$$
9R_E - 7.794(400 \cos 30^\circ) - 4.5(400 \sin 30^\circ) = 0
$$

$$
R_E = 400 \, \text{N} \quad \text{Ans.}
$$

4. 在水平方向的力平衡中，列出方程並求解 $R_{Ax}$ 。
$$
\sum F_x = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{Ax} + 400 \cos 30^\circ = 0
$$

$$
R_{Ax} = -346.4 \, \text{N}
$$

5. 同理，在垂直方向的力平衡中，列出方程並求解 $R_{Ay}$ 。
$$
\sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{Ay} + 400 - 400 \sin 30^\circ = 0
$$

$$
R_{Ay} = -200 \, \text{N}
$$

6. 最後，透過畢氏定理求得最後的 $R_A$。
$$
R_A = \sqrt{346.4^2 + 200^2} = 400 \, \text{N} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2: 求出連桿 4 上的 $R_C$ 和 $R_D$ 分量

1. 畫出連桿 4 的自由體圖。

2. 取點 $C$ 的力矩平衡，列出方程並求解 $R_D$ 。
$$
\sum M_C = 0
$$

$$
400(4.5) - (7.794 - 1.9) R_D = 0
$$

$$
R_D = 305.4 \, \text{N} \quad \text{Ans.}
$$

3. 在水平方向和垂直方向的力平衡中，分別列出方程並求解 $R_C$ 的分量。
$$
\sum F_x = 0 \quad \Rightarrow \quad (R_{Cx})_4 = 305.4 \, \text{N}
$$

$$
\sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad (R_{Cy})_4 = -400 \, \text{N}
$$

$\,$
#### Step 3: 求出連桿 2 上的 $R_C$ 分量

1. 畫出連桿 2 的自由體圖。

2. 在水平方向的力平衡中，列出方程並求解 $R_C$ 的 $x$ 分量。
$$
\sum F_x = 0 \quad \Rightarrow \quad (R_{Cx})_2 + 305.4 - 346.4 = 0
$$

$$
(R_{Cx})_2 = 41 \, \text{N}
$$

3. 在垂直方向的力平衡中，列出方程並求解 $R_C$ 的 $y$ 分量。
$$
\sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad (R_{Cy})_2 = 200 \, \text{N}
$$

$\,$
### 最終結果


---

$\,$
## Problem 3-6

For the beam shown, find the reactions at the supports and plot the shear-force and bending-moment diagrams. Label the diagrams properly and provide values at all key points.

**中文翻譯**：對於圖中所示的樑，找出支撐處的反作用力，並繪製剪力圖和彎矩圖。正確標示圖中的數值並在所有關鍵點提供數值。


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### 計算過程

#### Step 1: 求出支撐處的反作用力 $R_O$

1. 根據題意畫出整個桁架的自由體圖（F.B.D）


2. 在垂直方向上進行力的平衡，列出方程並求解 $R_O$。
$$
\sum F_y = 0
$$

$$
R_O = 500 + 40(6) = 740 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
$$

3. 取支點 $O$ 的力矩平衡，列出方程並求解彎矩 $M_O$。
$$
\sum M_O = 0
$$

$$
M_O = 500(8) + 40(6)(17) = 8080 \, \text{lbf} \cdot \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2: 繪製剪力圖和彎矩圖

1. 計算各點的彎矩，並標記於剪力圖和彎矩圖上。

1. 點 1 的彎矩 $M_1$：
$$
M_1 = -8080 + 740(8) = -2160 \, \text{lbf} \cdot \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

2. 點 2 的彎矩 $M_2$：
$$
M_2 = -2160 + 240(6) = -720 \, \text{lbf} \cdot \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

3. 點 3 的彎矩 $M_3$，並檢查整體平衡：
$$
M_3 = -720 + \frac{1}{2}(240)(6) = 0 \quad \text{checks!}
$$

4. 根據上述計算結果，畫出剪力圖和彎矩圖：

$\,$
### 最終結果

- 支撐處的反作用力：$R_O = 740 \, \text{lbf}$
- 支點 $O$ 的力矩：$M_O = 8080 \, \text{lbf} \cdot \text{in}$
- 剪力圖與彎矩圖已標示於圖中。

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## Problem 3-15

For each of the plane stress states listed below, draw a Mohr’s circle diagram properly labeled, find the principal normal and shear stresses, and determine the angle from the x-axis to $\sigma_1$. Draw stress elements as in Figure 3–11*c* and *d* and label all details.

(a) $\sigma_x = 20 \, \text{kpsi}, \, \sigma_y = -10 \, \text{kpsi}, \, \tau_{xy} = 8 \, \text{kpsi} \; \text{ccw}$

**中文翻譯**：對於下列各平面應力狀態，繪製正確標示的莫爾圓圖，找出主應力和剪應力，並確定從 x 軸到 $\sigma_1$ 的角度。按照圖 3–11*c* 和 *d* 的方式畫出應力元素，並標示所有細節。

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### 計算過程

1. 根據題目提供之應力與剪應力參數，繪製莫爾圓：

2. 計算中心位置 $C$ 和線段長度 $\bar{CD}$：
$$
C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{20 + (-10)}{2} = 5 \, \text{kpsi}
$$

$$
\bar{CD} = \frac{|\sigma_x - \sigma_y|}{2} = \frac{20 + 10}{2} = 15 \, \text{kpsi}
$$

3. 計算莫爾圓的半徑 $R$：
$$
R = \sqrt{\tau_{xy}^2 + \bar{CD}^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17 \, \text{kpsi}
$$

4. 計算主應力 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$：
$$
\sigma_1 = 5 + 17 = 22 \, \text{kpsi}
$$

$$
\sigma_2 = 5 - 17 = -12 \, \text{kpsi}
$$

5. 計算主應力方向 $\phi_p$：
$$
\phi_p = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{\tau_{xy}}{\bar{CD}}\right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{8}{15}\right) = 14.04^\circ \, \text{cw}
$$

6. 確定剪應力 $\tau_1$：
$$
\tau_1 = R = 17 \, \text{kpsi}
$$

7. 確定從 $x$ 軸到 $\sigma_1$ 的角度 $\phi_s$：
$$
\phi_s = 45^\circ - 14.04^\circ = 30.96^\circ \, \text{ccw}
$$

$\,$
### 最終結果

- 主應力：$\sigma_1 = 22 \, \text{kpsi}$，$\sigma_2 = -12 \, \text{kpsi}$
- 剪應力：$\tau_1 = 17 \, \text{kpsi}$
- 主應力方向：$14.04^\circ \, \text{cw}$
- 從 $x$ 軸到 $\sigma_1$ 的角度：$30.96^\circ$ $\text{ccw}$

根據上述計算結果，繪製應力元素：

| 主應力之應力元素 | 剪應力之應力元素 |
| :-: | :-: |
|  |  |

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$\,$
## Problem 3-18

For each of the stress states listed below, find all three principal normal and shear stresses. Draw a complete Mohr’s three-circle diagram and label all points of interest.

(a) $\sigma_x = -80 \, \text{MPa}, \, \sigma_y = -30 \, \text{MPa}, \, \tau_{xy} = 20 \, \text{MPa} \, \text{ccw}$

**中文翻譯**：對於下列每個應力狀態，找出所有三個主應力和剪應力，並繪製完整的三維莫爾圓，標示所有關鍵點。

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### 計算過程

1. 根據題目提供之應力與剪應力參數，繪製三維之莫爾圓：

2. 計算中心位置 $C$ 和線段長度 $\bar{CD}$：
$$
C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{-80 + (-30)}{2} = -55 \, \text{MPa}
$$

$$
\bar{CD} = \frac{|\sigma_x - \sigma_y|}{2} = \frac{|80 - 30|}{2} = 25 \, \text{MPa}
$$

3. 計算莫爾圓的半徑 $R$：
$$
R = \sqrt{\tau_{xy}^2 + \bar{CD}^2} = \sqrt{20^2 + 25^2} = 32.02\, \text{MPa}
$$

4. 計算主應力 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 和 $\sigma_3$：
$$
\sigma_1 = 0 \, \text{MPa}
$$

$$
\sigma_2 = -55 + 32.02 = -22.98 \approx -23.0 \, \text{MPa}
$$

$$
\sigma_3 = -55 - 32.0 = -87.0 \, \text{MPa}
$$

5. 計算剪應力 $\tau_{1/2}$、$\tau_{2/3}$ 和 $\tau_{1/3}$：
$$
\tau_{1/2} = \frac{|\sigma_1 - \sigma_2|}{2} = \frac{23}{2} = 11.5 \, \text{MPa}
$$

$$
\tau_{2/3} = R = 32.02 \, \text{MPa}
$$

$$
\tau_{1/3} = \frac{|\sigma_3 - \sigma_1|}{2} = \frac{87}{2} = 43.5 \, \text{MPa}
$$

$\,$
### 最終結果

- 主應力：$\sigma_1 = 0 \, \text{MPa}$，$\sigma_2 = -23.0 \, \text{MPa}$，$\sigma_3 = -87.0 \, \text{MPa}$
- 剪應力：$\tau_{1/2} = 11.5 \, \text{MPa}$，$\tau_{2/3} = 32.0 \, \text{MPa}$，$\tau_{1/3} = 43.5 \, \text{MPa}$
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$\,$
## Problem 3-35

For each section illustrated, find the second moment of area, the location of the neutral axis, and the distances from the neutral axis to the top and bottom surfaces. Consider that the section is transmitting a positive bending moment about the z-axis, $M_z$, where $M_z = 10 \, \text{kip} \cdot \text{in}$ if the dimensions of the section are given in ips units, or $M_z = 1.13 \, \text{kN} \cdot \text{m}$ if the dimensions are in SI units. Determine the resulting stresses at the top and bottom surfaces and at every abrupt change in the cross-section.

(b) 分題:

**中文翻譯**：對於每個所示的截面，找出截面的二次矩、中性軸的位置，以及從中性軸到上表面和下表面的距離。考慮該截面沿著 z 軸傳遞正彎矩 $M_z$，其中當截面尺寸為 ips 單位時，$M_z = 10 \, \text{kip} \cdot \text{in}$，若尺寸為 SI 單位，則 $M_z = 1.13 \, \text{kN} \cdot \text{m}$。計算頂部和底部表面的應力以及截面每個突然變化處的應力。

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### 計算過程

#### Step 1. 將梁之截面進行分隔，並標示出各形心位置

$\,$
#### Step 2. 求出中性軸位置 $\bar{y}$

1. 計算截面各部分的面積：
$$
A_d = 0.375(1.875) = 0.703125 \, \text{in}^2
$$

$$
A_b = 0.375(1.75) = 0.65625 \, \text{in}^2
$$

$$
A = 2(0.703125) + 0.65625 = 2.0625 \, \text{in}^2
$$

2. 計算中性軸位置 $\bar{y}$：
$$
\bar{y} = \frac{2(0.703125)(0.9375) + 0.65625(0.6875)}{2.0625} = 0.858 \, \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 3. 求出從中性軸到上/下表面的距離

1. 計算到頂部和底部表面的距離：
$$
D_1 = \bar{y} = 0.8580 \, \text{in}
$$

$$
D_2 = h - \bar{y} = 1.0170 \, \text{in}
$$

$\,$
#### Step 4. 計算截面二次矩 $I$ 和應力

1. 計算各部分截面的二次矩：
$$
I_a = \frac{0.375(1.875)^3}{12} = 0.206 \, \text{in}^4
$$

$$
I_b = \frac{1.75(0.375)^3}{12} = 0.00769 \, \text{in}^4
$$

2. 應用平行軸定理求整體的截面二次矩 $I$：
$$
I = \sum_{i=1}^{n} I_{A_i} + A_i d_i^2 = 0.206 + 0.2064 + 0.00688 = 0.448 \, \text{in}^4 \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 5. 計算不同位置的應力

計算頂部和底部的應力：
$$
\sigma_\text{top} = \frac{M_z \cdot D_1}{I} = \frac{10 \times 0.8580}{0.448} = 19.17 \, \text{kpsi}
$$

$$
\sigma_\text{bottom} = \frac{M_z \cdot D_2}{I} = \frac{10 \times 1.0170}{0.448} = 22.72 \, \text{kpsi}
$$

$\,$
### 最終結果

- 中性軸位置：$\bar{y} = 0.858 \, \text{in}$
- 到頂部和底部的距離：$D_1 = 0.8580 \, \text{in}$，$D_2 = 1.0170 \, \text{in}$
- 截面二次矩：$I = 0.448 \, \text{in}^4$
- 頂部應力：$\sigma_\text{top} = 19.17 \, \text{kpsi}$
- 底部應力：$\sigma_\text{bottom} = 22.72 \, \text{kpsi}$

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$\,$
## Problem 3-37

For the beam illustrated in the figure, find the locations and magnitudes of the maximum tensile bending stress due to $M$ and the maximum shear stress due to $V$.


**中文翻譯**：對於圖中所示的樑，找出因彎矩 $M$ 產生的最大拉伸應力的位置和大小，以及因剪力 $V$ 產生的最大剪應力的位置和大小。

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### 計算過程

#### Step 1. 求截面的二次矩 $I$ 和截面積 $A$
$$
I = \frac{1}{12} (1)(2)^3 = 0.6667 \, \text{in}^4
$$

$$
A = 1(2) = 2 \, \text{in}^2
$$

$\,$
#### Step 2. 求支點的反作用力
1. 取點 $O$ 的力矩平衡：
$$
\sum M_O = 0
$$

$$
8R_A - 100(8)(12) = 0
$$

$$
R_A = 1200 \, \text{lbf}
$$

2. 水平方向之力平衡：

$$
\sum F_y = 0 \quad \Rightarrow \quad R_O = 1200 - 100(8) = 400 \, \text{lbf}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算最大拉伸彎曲應力與最大剪應力
1. 最大彎曲應力位於樑的頂部點 $A$：
$$
\sigma_\text{max} = \frac{Mc}{I} = \frac{3200(1)}{0.6667} = 4800 \, \text{psi} \quad \text{Ans.}
$$

2. 由於剪力 $V$，最大剪應力發生在 $A$ 點，$y = 0$：
$$
\tau_\text{max} = \frac{3V}{2A} = \frac{3}{2} \left( \frac{800}{2} \right) = 600 \, \text{psi} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 4. 根據上述計算結果，畫出剪力圖和彎矩圖：

$\,$
### 最終結果

- **最大拉伸彎曲應力**：$\sigma_\text{max} = 2400 \, \text{psi}$，位於樑的頂部。
- **最大剪應力**：$\tau_\text{max} = 600 \, \text{psi}$，位於 $A$ 點，$y = 0$。

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$\,$
## Problem 3-45

For the beam shown, determine (a) the maximum tensile and compressive bending stresses, (b) the maximum shear stress due to $V$, and \(c) the maximum shear stress in the beam.


**中文翻譯**：對於圖中所示的樑，求出 (a) 最大拉伸和壓縮彎曲應力，(b) 由剪力 $V$ 產生的最大剪應力，以及 \(c) 樑中的最大剪應力。

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### 計算過程

#### Step 1. 靜力分析

1. 求反作用力 $R_1$ 和 $R_2$：
$$
R_1 = \frac{300(30)}{2} + \frac{40}{30} \times 1800 = 6900 \, \text{lbf}
$$

$$
R_2 = \frac{300(30)}{2} - \frac{10}{30} \times 1800 = 3900 \, \text{lbf}
$$

$$
a = \frac{3900}{300} = 13 \, \text{in}
$$

2. 計算彎矩：
$$
M_B = -1800(10) = -18000 \, \text{lbf} \cdot \text{in}
$$

$$
M_{x=27 \, \text{in}} = \frac{1}{2}(3900)(13) = 25350 \, \text{lbf} \cdot \text{in}
$$

3. 計算力平衡之後，畫出剪力彎矩圖：

$\,$
#### Step 2. 計算樑截面之相關參數

1. 將複雜截面進行分割：
將上圖分割為兩個 $3\,\times \, 1 \, \text{in}$ 的矩形，各矩形的的形心位置分別位於 $y=0.5 \, \text{in}$ 以及 $y=2.5 \, \text{in}$ 之位置。

2. 求截面積與中性軸位置：
$$
\bar{y} = \frac{0.5(3) + 2.5(3)}{6} = 1.5 \, \text{in}
$$

3. 求截面的二次矩：
$$
I_1 = \frac{1}{12} (3)(1^3) = 0.25 \, \text{in}^4
$$

$$
I_2 = \frac{1}{12} (1)(3^3) = 2.25 \, \text{in}^4
$$

4. 應用平行軸定理求總截面二次矩 $I_x$：
$$
I_x = \left[0.25 + 3(1.5 - 0.5)^2\right] + \left[2.25 + 3(2.5 - 1.5)^2\right] = 8.5 \, \text{in}^4
$$

$\,$
#### Step 3. 分析題目要求之各項應力

**(a) 最大拉伸和壓縮彎曲應力**

1. 在 $x = 10 \, \text{in}$，$y = 1.5 \, \text{in}$：
$$
\sigma_x = \frac{-18000(1.5)}{8.5} = -3176 \, \text{psi}
$$

2. 在 $x = 10 \, \text{in}$，$y = 2.5 \, \text{in}$：
$$
\sigma_x = \frac{-18000(2.5)}{8.5} = 5294 \, \text{psi} \quad \text{Ans.}
$$

3. 在 $x = 27 \, \text{in}$，$y = 1.5 \, \text{in}$：
$$
\sigma_x = \frac{25350(1.5)}{8.5} = 4474 \, \text{psi}
$$

4. 在 $x = 27 \, \text{in}$，$y = 2.5 \, \text{in}$：
$$
\sigma_x = \frac{25350(2.5)}{8.5} = -7456 \, \text{psi} \quad \text{Ans.}
$$

- **最大拉伸應力**：5294 psi
- **最大壓縮應力**：-7456 psi

$\,$
**(b) 最大剪應力（由 $V$ 產生）**

1. 根據剪力彎矩圖，最大剪應力發生在 $B$ 處的中性軸：
$$
V_{\text{max}} = 5100 \, \text{lbf}
$$

$$
Q = \bar{y}' A' = 1.25(2.5)(1) = 3.125 \, \text{in}^3
$$

$$
\tau_{\text{max}} = \frac{VQ}{Ib} = \frac{5100(3.125)}{8.5(1)} = 1875 \, \text{psi} \quad \text{Ans.}
$$

**==註：== 此處的 $A'$ 係指總截面形心位置 $\bar{y}$ 至總截面頂部的區域面積，而 $\bar{y}'$ 則為此區域面積的形心與 $\bar{y}$ 之間的距離，可參考下圖。**

$\,$
**\(c) 樑中的最大剪應力**

在 $x = 27 \, \text{in}$ 位置有三個潛在的關鍵點：

**(i) 在彎曲應力最大的頂部：**
- 最大彎曲應力為 -7456 psi，剪應力為 0：
$$
\tau_{\text{max}} = \frac{|\sigma_x|}{2} = \frac{7456}{2} = 3728 \, \text{psi}
$$

**(ii) 在中性軸處：**
- 彎曲應力為 0，已知剪應力為 1875 psi：
$$
\tau_{\text{max}} = 1875 \, \text{psi}
$$

**(iii) 在上翼緣處：**
- 彎曲應力為：
$$
\sigma_x = \frac{-18000(-0.5)}{8.5} = -1059 \, \text{psi}
$$

- 橫向剪應力為：
$$
Q = \bar{y}' A' = 1(3)(1) = 3.0 \, \text{in}^3
$$

$$
\tau = \frac{VQ}{Ib} = \frac{5100(3.0)}{8.5(1)} = 1800 \, \text{psi}
$$
**==註：== 此處的 $A'$ 係指底部法蘭面 (flange) 的區域面積，而 $\bar{y}'$ 則為此區域面積的形心與 $\bar{y}$ 之間的距離，可參考上圖。**

- 計算最大剪應力：
$$
\tau_{\text{max}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau^2} = \sqrt{\left(\frac{1059}{2}\right)^2 + 1800^2} = 1876 \, \text{psi}
$$

- 最終關鍵位置在 $x = 27 \, \text{in}$，頂部表面，$\tau_{\text{max}} = 3728 \, \text{psi}$。

$\,$
### 最終結果

- **(a) 最大拉伸應力**：5294 psi；**最大壓縮應力**：-7456 psi
- **(b) 最大剪應力**：1875 psi
- **\(c) 樑中的最大剪應力**：3728 psi，位於 $x = 27 \, \text{in}$ 的頂部表面

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$\,$
## Problem 3-53

The part shown is loaded at point $C$ with 300 N in the positive $x$ direction and at point $E$ with 200 N in the positive $y$ direction. The diameter of the bar $ABD$ is 12 mm. Evaluate the likelihood of failure in section $AB$ by providing the following information:

(a) Determine the precise location of the critical stress element at the cross section at $A$ (i.e., specify the radial distance and the angle from the vertical $y$ axis).

(b) Sketch the critical stress element and determine magnitudes and directions for all stresses acting on it.

\(c) Sketch the Mohr’s circle for the critical stress element, approximately to scale. Label the locations of all three principal stresses and the maximum shear stress.

(d) For the critical stress element, determine the three principal stresses and the maximum shear stress.


**中文翻譯**：如圖所示的構件在點 $C$ 受 300 N 的正 $x$ 方向力，在點 $E$ 受 200 N 的正 $y$ 方向力。桿 $ABD$ 的直徑為 12 mm。評估 $AB$ 截面的失效可能性，並提供以下資訊：

(a) 確定截面 $A$ 處臨界應力元素的精確位置（即，指定徑向距離和垂直 $y$ 軸的角度）。

(b) 繪製臨界應力元素，並確定作用於其上的所有應力的大小和方向。

\(c) 為臨界應力元素繪製莫爾圓，近似比例。標記所有三個主應力和最大剪應力的位置。

(d) 對於臨界應力元素，確定三個主應力和最大剪應力。

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### 計算過程

#### (a) 確定臨界應力元素的位置

1. 建立系統之自由體圖，並進行靜力分析：

- 已知參數：
$$
F_1 = 300\hat{i} \, N, \quad F_2 = 200\hat{j} \, N
$$

$$
M_1 = 50(F_1) = + 15000 \, \hat{j} \, \text{ N-mm}
$$

$$
M_2 = 55(F_2) = + 11000\hat{i} \, \text{ N-mm}
$$

$$
T_1 = 60(F_2) = + 12000 \, \hat{i} \, \text{ N-mm}
$$

- 透過靜力分析求得未知參數：
$$
\Sigma{T_x} = 0 \quad \Rightarrow \quad
T_A = -T_1 = -12000\hat{i} \, \text{ N-mm}
$$

$$
\Sigma{M_y} = 0 \quad \Rightarrow \quad
M_{A1} = -M_1 = -15000\hat{j} \, \text{ N-mm}
$$

$$
\Sigma{M_z} = 0 \quad \Rightarrow \quad
M_{A2} = -M_2 = -11000\hat{i} \, \text{ N-mm}
$$

$$
R_A = -(F_1 + F_2) = -(300\hat{i} + 200\hat{j}) \, \text{N}
$$（$R_A$ 在 $x \text{-} y$ 平面上。）

2. 計算合力矩和角度：
$$
|M| = \sqrt{M_{A1}^2 + M_{A2}^2} = \sqrt{15,000^2 + 11,000^2} = 18601 \, \text{N-mm}
$$

$$
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{M_{A1}}{M_{A2}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{15,000}{11,000}\right) = 36.25^\circ
$$

**臨界點** 距離 $90^\circ$ 從 $\theta$ 計算，因此從垂直 $y$ 軸為 $\phi = 90^\circ + \theta = 126.25^\circ$。

$\,$
#### (b) 求出各應力大小並繪製臨界應力元素

1. 彎曲應力：
$$
\sigma_\text{bend} = \frac{32 M_A}{\pi d^3} = \frac{32 \times 18,601.08}{\pi \times (0.012)^3} \times 10^{-6} = 109.6 \, \text{MPa}
$$

2. 軸向應力：
$$
\sigma_\text{axial} = \frac{F_1}{A} = \frac{4(300)}{\pi (0.012)^2} \times 10^{-6} = 2.65 \, \text{MPa}
$$

3. 合應力：
$$
\sigma_\text{total} = \sigma_\text{bend} + \sigma_\text{axial} = 109.6464 + 2.6525 = 112.3 \, \text{MPa}
$$

4. 剪應力：
$$
\tau = \frac{16 T_A}{\pi d^3} = \frac{16 \times 12,000}{\pi \times (0.012)^3} \times 10^{-6} = 35.4 \, \text{MPa}
$$

5. 根據上述結果即可畫出應力元素，其中 $\sigma = 112.3 \, \text{MPa}$，$\tau = 35.4 \, \text{MPa}$。

$\,$
#### \(c) 莫爾圓圖

1. 根據應力元素，計算莫爾圓的中心和半徑：
$$
\sigma_x = 112.3 \, \text{MPa}, \quad \sigma_y = 0, \quad \tau = 35.4 \, \text{MPa}
$$

$$
C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{112.3}{2} = 56.2 \, \text{MPa}
$$

$$
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau^2} = \sqrt{\left(\frac{112.3}{2}\right)^2 + 35.4^2} = 66.4 \, \text{MPa}
$$

2. 根據上述計算結果繪製莫爾圓：

$\,$
#### (d) 求出三個主應力和最大剪應力

1. 三個主應力：
$$
\sigma_1 = C + R = 56.2 + 66.4 = 122.6 \, \text{MPa}
$$

$$
\sigma_2 = 0
$$

$$
\sigma_3 = C - R = 56.15 - 66.38 = -10.2 \, \text{MPa}
$$

2. 最大剪應力：
$$
\tau_\text{max} = R = 66.4 \, \text{MPa}
$$

$\,$
### 最終結果

- **(a)** 臨界點位置：距垂直 $y$ 軸 $126.25^\circ$。
- **(b)** 合應力：$112.3 \, \text{MPa}$；剪應力：$35.4 \, \text{MPa}$。
- **\(c)** 莫爾圓圖已繪製。
- **(d)** 主應力：$\sigma_1 = 122.6 \, \text{MPa}$，$\sigma_2 = 0$，$\sigma_3 = -10.2 \, \text{MPa}$；最大剪應力：$66.4 \, \text{MPa}$。

---

$\,$
## Problem 3-79

A countershaft carrying two V-belt pulleys is shown in the figure. Pulley $A$ receives power from a motor through a belt with the belt tensions shown. The power is transmitted through the shaft and delivered to the belt on pulley $B$. Assume the belt tension on the loose side at $B$ is 15 percent of the tension on the tight side.

(a) Determine the tensions in the belt on pulley $B$, assuming the shaft is running at a constant speed.

(b) Find the magnitudes of the bearing reaction forces, assuming the bearings act as simple supports.

(\c) Draw shear-force and bending-moment diagrams for the shaft. If needed, make one set for the horizontal plane and another set for the vertical plane.

(d) At the point of maximum bending moment, determine the bending stress and the torsional shear stress.

(e) At the point of maximum bending moment, determine the principal stresses and the maximum shear stress.


**中文翻譯**：圖中顯示了一個承載兩個V形皮帶輪的副軸。皮帶輪$A$由馬達通過皮帶傳遞動力，並通過軸將動力傳遞給皮帶輪$B$。假設在$B$的鬆弛側上的皮帶張力為緊側張力的 15%。

(a) 確定皮帶輪$B$上的皮帶張力，假設軸以恆定速度運轉。

(b) 求出軸承反作用力的大小，假設軸承作為簡單支撐。

\(c) 為軸繪製剪力和彎矩圖。如有需要，請分別繪製水平面和垂直面的圖。

(d) 在最大彎矩處，確定彎曲應力和扭轉剪應力。

(e) 在最大彎矩處，確定主應力和最大剪應力。

---
### 計算過程

#### (a) 確定皮帶輪 $B$ 上的張力

1. 根據題目敘述，鬆弛側張力 $T_1$ 是緊側張力 $T_2$ 的 15%：
$$
T_1 = 0.15\,T_2
$$

2. 根據平衡條件，取點 $A$ 的力矩：
$$
\sum T = 0 \quad \Rightarrow \quad (500 - 75)(4) - (T_2 - T_1)(5) = 1700 - (T_2 - 0.15T_2)(5) = 0
$$

3. 解方程求 $T_2$：
$$
1700 - 4.25T_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad T_2 = 400 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
$$

4. 計算 $T_1$：
$$
T_1 = 0.15 \times 400 = 60 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### (b) 求出軸承反作用力

1. 首先，畫出結構的自由體圖：

2. 取點 $A$ 的力矩平衡：
$$
\sum M_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad -575(10) + 460(28) - R_C(40) = 0
$$
解方程求 $R_C$：
$$
R_C = 178.25 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
$$

3. 計算 $R_0$：
$$
\sum F = 0 \quad \Rightarrow \quad R_0 + 575 - 460 + 178.25 = 0
$$

$$
R_0 = -293.25 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### \(c) 剪力和彎矩圖

根據先前之計算結果，繪製剪力圖和彎矩圖：

依上圖的結果可知，最大彎矩發生在 $x = 10 \, \text{in}$，其值為 $M = 2932.5 \, \text{lbf-in}$。

$\,$
#### (d) 最大彎矩處的彎曲應力和扭轉剪應力

1. 彎曲應力：
$$
\sigma = \frac{Mc}{I} = \frac{32M}{\pi d^3} = \frac{32 \times 2932.5}{\pi (1.25)^3} = 15294 \, \text{psi} = 15.3 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

2. 扭轉剪應力：
$$
\tau = \frac{T}{J} = \frac{16T}{\pi d^3} = \frac{16 \times 1700}{\pi (1.25)^3} = 4433 \, \text{psi} = 4.43 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### (e) 最大彎矩處的主應力和最大剪應力

1. 主應力：
$$
\sigma_1, \sigma_2 = \frac{\sigma_x}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \frac{15.3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{15.3}{2}\right)^2 + (4.43)^2}
$$

計算得：
$$
\sigma_1 = 16.5 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

$$
\sigma_2 = -1.19 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

2. 最大剪應力：
$$
\tau_\text{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{15.3}{2}\right)^2 + (4.43)^2} = 8.84 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

- **(a)** 緊側張力 $T_2 = 400 \, \text{lbf}$，鬆側張力 $T_1 = 60 \, \text{lbf}$。
- **(b)** 軸承反作用力 $R_C = 178.25 \, \text{lbf}$，$R_0 = -293.25 \, \text{lbf}$。
- **\(c)** 剪力和彎矩圖已繪製，最大彎矩發生在 $x = 10 \, \text{in}$，$M = 2932.5 \, \text{lbf-in}$。
- **(d)** 彎曲應力 $\sigma = 15.3 \, \text{kpsi}$，扭轉剪應力 $\tau = 4.43\, \text{kpsi}$。
- **(e)** 主應力 $\sigma_1 = 16.5\, \text{kpsi}$，$\sigma_2 = -1.19\, \text{kpsi}$，最大剪應力 $\tau_\text{max} = 8.84\, \text{kpsi}$。

---

$\,$
## Problem 3-88

A torque $T = 100 \, \text{N} \cdot \text{m}$ is applied to the shaft $EFG$, which is running at constant speed and contains gear $F$. Gear $F$ transmits torque to shaft $ABCD$ through gear $C$, which drives the chain sprocket at $B$, transmitting a force $P$ as shown. Sprocket $B$, gear $C$, and gear $F$ have pitch diameters of $a = 150$, $b = 250$, and $c = 125 \, \text{mm}$, respectively. The contact force between the gears is transmitted through the pressure angle $\phi = 20^\circ$. Assuming no frictional losses and considering the bearings at $A$, $D$, $E$, and $G$ to be simple supports, locate the point on shaft $ABCD$ that contains the maximum tensile bending and maximum torsional shear stresses. Combine these stresses and determine the maximum principal normal and shear stresses in the shaft.


**中文翻譯**：施加在軸 $EFG$ 上的扭矩 $T = 100 \, \text{N} \cdot \text{m}$，該軸以恆定速度運行並包含齒輪 $F$。齒輪 $F$ 通過齒輪 $C$ 將扭矩傳遞至軸 $ABCD$，進而驅動鏈輪 $B$，傳遞力 $P$，如圖所示。鏈輪 $B$、齒輪 $C$ 和齒輪 $F$ 的節徑分別為 $a = 150$、$b = 250$、$c = 125 \, \text{mm}$。齒輪間的接觸力通過壓力角 $\phi = 20^\circ$ 傳遞。假設沒有摩擦損失，並且將 $A$、$D$、$E$ 和 $G$ 上的支撐視為簡單支撐，找出軸 $ABCD$ 上的點，該點包含最大拉伸彎曲應力和最大扭轉剪應力。將這些應力組合起來，確定軸內的最大主應力和剪應力。

---

### 計算過程

#### Step 1. 根據題意畫出自由體圖

#### Step 2. 計算齒輪間的力

1. 計算 $F_t$ 和 $F_n$：
$$
F_t = \frac{T}{c/2} = \frac{100}{0.125/2} = 1600 \, \text{N}
$$

$$
F_n = 1600 \tan 20^\circ = 582.4 \, \text{N}
$$

2. 計算扭矩 $T_C$ 和力 $P$：
$$
T_C = F_t \left(\frac{b}{2}\right) = 1600 \left( \frac{0.250}{2} \right) = 200 \, \text{N} \cdot \text{m}
$$

$$
P = \frac{T_C}{a/2} = \frac{200}{0.150/2} = 2667 \, \text{N}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算支撐反力

1. 透過力矩平衡找到 $D$ 點的反作用力：
$$
\sum (M_A)_z = 0,
$$

$$
450R_{Dy} - 582.4(325) - 2667(75) = 0
\quad \Rightarrow \quad R_{Dy} = 865.1 \, \text{N}
$$

$$
\sum (M_A)_y = 0,
$$

$$
-450R_{Dz} + 1600(325) = 0
\quad \Rightarrow \quad R_{Dz} = 1156 \, \text{N}
$$

2. 透過靜力平衡找到 $A$ 點的反作用力
$$
\sum F_y = 0,
$$

$$
R_{Ay} + 865.1 - 582.4 - 2667 = 0
\quad \Rightarrow \quad R_{Ay} = 2384 \, \text{N}
$$

$$
\sum F_z = 0,
$$

$$
R_{Az} + 1156 - 1600 = 0
\quad \Rightarrow \quad R_{Az} = 444 \, \text{N}
$$

$\,$
#### Step 4. 求出最大彎矩和應力

1. 計算彎矩：
$$
M_B = \bar{AB} \sqrt{R_{Ay}^2 + R_{Az}^2} = 0.075\sqrt{2384^2 + 444^2} = 181.9 \, \text{N} \cdot \text{m}
$$

$$
M_C = \bar{CD} \sqrt{R_{Dy}^2 + R_{Dz}^2} = 0.125\sqrt{865.1^2 + 1156^2} = 180.5 \, \text{N} \cdot \text{m}
$$

2. 計算應力：
- 彎曲應力 $\sigma_B$：
$$
\sigma_B = \frac{32M_B}{\pi d^3} = \frac{32(181.9)}{\pi (0.030^3)} = 68.6 \times 10^6 \, \text{Pa} = 68.6 \, \text{MPa}
$$

- 扭轉應力 $\tau_B$：
$$
\tau_B = \frac{16T_B}{\pi d^3} = \frac{16(200)}{\pi (0.030^3)} = 37.7 \times 10^6 \, \text{Pa} = 37.7 \, \text{MPa}
$$

3. 最大主應力：
$$
\sigma_\text{max} = \frac{\sigma_B}{2} + \sqrt{ \left(\frac{\sigma_B}{2}\right)^2 + \tau_B^2 } = \frac{68.6}{2} + \sqrt{\left(\frac{68.6}{2}\right)^2 + 37.7^2} = 85.27 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

4. 最大剪應力：
$$
\sigma_\text{max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_B}{2}\right)^2 + \tau_B^2 } = \sqrt{\left(\frac{68.6}{2}\right)^2 + 37.7^2} = 50.97 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

- 最大拉伸彎曲應力：$\sigma_B = 68.6 \, \text{MPa}$
- 最大扭轉剪應力：$\tau_B = 37.7 \, \text{MPa}$
- 最大主應力：$\sigma_\text{max} = 85.27 \, \text{MPa}$
- 最大剪應力：$\sigma_\text{max} = 50.97 \, \text{MPa}$

---

$\,$
## Problem 3-95

The cantilevered bar in the figure is made from a ductile material and is statically loaded with $F_x = 250 \, \text{lbf}$ and $F_z = 0$. Analyze the stress situation in the small diameter at the shoulder at $A$ by obtaining the following information.

(a) Determine the precise location of the critical stress element at the cross-section at $A$.

(b) Sketch the critical stress element and determine magnitudes and directions for all stresses acting on it. (Transverse shear may be neglected if you can justify this decision.)

\(c) For the critical stress element, determine the principal stresses and the maximum shear stress.


**中文翻譯**：該圖中的懸臂梁由延性材料製成，並承受靜負載 $F_x = 250 \, \text{lbf}$ 和 $F_z = 0$。通過獲得以下資訊來分析 $A$ 處肩部小直徑的應力狀況。

(a) 確定 $A$ 截面上關鍵應力元素的精確位置。

(b) 繪製關鍵應力元素並確定作用在其上的所有應力的大小和方向（如果可以證明，則可以忽略橫向剪力）。

\(c) 對於關鍵應力元素，確定主應力和最大剪應力。

---

### 解題過程

#### (a) 確定關鍵應力元素的位置

$A$ 處的截面將經歷彎曲、扭轉和橫向剪力。扭轉剪應力和彎曲應力在外表面會達到最大值。由於橫向剪應力相對於彎曲和扭轉較小，並且由於長徑比相對較高，因此橫向剪力不會主導關鍵位置的確定。關鍵應力元素將位於 $y$ 軸上的頂部（壓縮）或底部（拉伸）。我們將選擇底部元素進行分析。

$\,$
#### (b) 繪製關鍵應力元素並計算應力大小

橫向剪應力在頂部和底部表面的關鍵應力元素處為零。

1. 計算彎曲應力 $\sigma_x$：
$$
\sigma_x = \frac{Mc}{I} = \frac{M(d/2)}{\pi d^4/64} = \frac{32M}{\pi d^3} = \frac{32(11)(250)}{\pi (1)^3} = 28{,}011 \, \text{psi} = 28.0 \, \text{kpsi}
$$

2. 計算扭轉剪應力 $\tau_{zx}$：
$$
\tau_{zx} = \frac{Tr}{J} = \frac{T(d/2)}{\pi d^4/32} = \frac{16T}{\pi d^3} = \frac{16(12)(250)}{\pi (1)^3} = 15{,}279 \, \text{psi} = 15.3 \, \text{kpsi}
$$


$\,$
#### \(c) 計算主應力和最大剪應力

1. 計算主應力 $\sigma_1, \sigma_2$：
$$
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{zx}^2 } = \frac{28.0}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{28.0}{2}\right)^2 + (15.3)^2 }
$$

$$
\sigma_1 = 34.7 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

$$
\sigma_2 = -6.7 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

2. 計算最大剪應力 $\tau_\text{max}$：
$$
\tau_\text{max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau_{zx}^2 } = \sqrt{ \left(\frac{28.0}{2}\right)^2 + (15.3)^2 } = 20.7 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

- 彎曲應力：$\sigma_x = 28.0 \, \text{kpsi}$
- 扭轉剪應力：$\tau_{zx} = 15.3 \, \text{kpsi}$
- 主應力：$\sigma_1 = 34.7 \, \text{kpsi}$，$\sigma_2 = -6.7 \, \text{kpsi}$
- 最大剪應力：$\tau_\text{max} = 20.7 \, \text{kpsi}$

---

$\,$
## Problem 3-113

An AISI 1040 cold-drawn steel tube has an OD = 50 mm and wall thickness 6 mm. What maximum external pressure can this tube withstand if the largest principal normal stress is not to exceed 80 percent of the minimum yield strength of the material?

**中文翻譯**：一根 AISI 1040 冷拔鋼管的外徑為 50 mm，壁厚為 6 mm。若該管的最大主應力不得超過材料最小屈服強度的 80%，該管能承受的最大外部壓力是多少？

---

### 解題過程

1. 從資料表 A-20 中查得 $S_y = 490 \, \text{MPa}$。

2. 由公式 (3-49) 且 $p_i = 0$：
$$
\sigma_r = \frac{r_o^2 p_o}{r_o^2 - r_i^2} \left( 1 + \frac{r_i^2}{r^2} \right)
$$

最大應力將出現在 $r = r_i$ 。

3. 計算最大應力 $\sigma_{r, \text{max}}$ 並推導最大外部壓力 $p_o$：
$$
\sigma_{r, \text{max}} = \frac{2r_o^2 p_o}{r_o^2 - r_i^2} \quad \Rightarrow \quad p_o = \frac{\sigma_{r, \text{max}} (r_o^2 - r_i^2)}{2r_o^2}
$$

將 $\sigma_{r, \text{max}} = 0.8 S_y$ 代入並計算：
$$
p_o = \frac{0.8 \cdot (-490) \cdot (25^2 - 19^2)}{2(25^2)} = 82.8 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

- 最大外部壓力：$p_o = 82.8 \, \text{MPa}$

---
$\,$
## Problem 3-124

The table lists the maximum and minimum hole and shaft dimensions for a variety of standard press and shrink fits. The materials are both hot-rolled steel. Find the maximum and minimum values of the radial interference and the corresponding interface pressure. Use a collar diameter of 100 mm for the metric sizes and 4 in for those in inch units.

| 問題編號 | 配合類型 | 基準尺寸 | 孔徑 $D_\text{max}$ | 孔徑 $D_\text{min}$ | 軸徑 $d_\text{max}$ | 軸徑 $d_\text{min}$ |
| -------- | -------- | -------- | ------------------- | ------------------- | ------------------- | ------------------- |
| 3-124 | 50H7/p6 | 50 mm | 50.025 mm | 50.000 mm | 50.042 mm | 50.026 mm |

**中文翻譯**：表中列出了多種標準間隙配合和收縮配合的孔和軸的最大和最小尺寸。材料均為熱軋鋼。找出徑向間隙的最大和最小值以及相應的界面壓力。對於公制尺寸，使用 100 mm 的套環直徑；對於英制尺寸，使用 4 英寸。

---

### 解題過程

#### 尺寸與材料屬性


| 外徑 $r_o$ | 內徑 $r_i$ | 標稱半徑 $R$ | 蒲松比 $\nu$ | 彈性模數 $E$ |
| ---------- | ---------- | ------------ | ------------ | ------------ |
| 50 mm | 0 | 25 mm | 0.292 | 207 GPa |

$\,$
1. **使用公式：**
由公式 (3-57)：
$$
p = \frac{E \delta}{2R^3} \left[ \frac{r_o^2 - R^2}{r_o^2 - r_i^2} \right]
$$

2. **套用已知參數**，計算壓力：
$$
p = 3605.8 \, \text{MPa}
$$

3. **間隙計算：**
- 最大間隙 $\delta_\text{max}$：
$$
\delta_\text{max} = \frac{1}{2} |d_\text{max} - D_\text{min}| = \frac{1}{2} |50.042 - 50.000| = 0.021 \, \text{mm}
$$
對應的壓力：$P = 65.2 \, \text{MPa}$

- 最小間隙 $\delta_\text{min}$：
$$
\delta_\text{min} = \frac{1}{2} |d_\text{max} - d_\text{min}| = \frac{1}{2} |50.042 - 50.026| = 0.0005 \, \text{mm}
$$
對應的壓力：$P = 1.55 \, \text{MPa}$

$\,$
### 最終結果

- **最大間隙**：$0.021$ mm，對應壓力 $P = 65.2 \, \text{MPa}$
- **最小間隙**：$0.0005$ mm，對應壓力 $P = 1.55 \, \text{MPa}$

---
$\,$
## Problem 3-134

A utility hook was formed from a round rod of diameter $d = 20$ mm into the geometry shown in the figure. What are the stresses at the inner and outer surfaces at section A-A if $F = 4 \, \text{kN}$, $L = 250$ mm, and $D_i = 75$ mm?


**中文翻譯**：一個工具鉤由直徑為 $d = 20$ mm 的圓棒製成，如圖所示。若 $F = 4 \, \text{kN}$，$L = 250$ mm，$D_i = 75$ mm，求截面 A-A 內外表面的應力。

---

### 解題過程

**給定條件：**
- $d = 20$ mm
- $r_i = 37.5$ mm
- $r_o = 57.5$ mm
- $R = d/2 = 10$ mm

**圖解各尺寸定義：**

**計算過程：**

1. **從表 3-4 查得，當 $R = 10$ mm 時：**
- 計算 $r_c$：
$$
r_c = r_i + R = 37.5 + 10 = 47.5 \, \text{mm}
$$

- 計算 $r_n$：
$$
r_n = \frac{R^2}{2 \left( r_c - \sqrt{r_c^2 - R^2} \right)} = \frac{10^2}{2 \left( 47.5 - \sqrt{47.5^2 - 10^2} \right)} = 46.9677 \, \text{mm}
$$

2. **求解相關尺寸：**
- $e = r_c - r_n = 47.5 - 46.96772 = 0.5323$ mm
- $c_i = r_n - r_i = 46.9677 - 37.5 = 9.4677$ mm
- $c_o = r_o - r_n = 57.5 - 46.9677 = 10.5323$ mm
- 橫截面積：
$$
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (20)^2}{4} = 314.1593 \, \text{mm}^2
$$
- 彎矩：
$$
M = F r_c = 4000 \times 47.5 = 190 \, 000 \, \text{N} \cdot \text{mm}
$$

3. **計算軸向應力：**
$$
\sigma_{\text{axial}} = \frac{F}{A} = \frac{4000}{314.16} = 12.7323 \, \text{MPa}
$$

4. **利用公式 (3-65) 計算彎曲應力，並與軸向應力結合：**
- 內表面應力 $\sigma_i$：
$$
\sigma_i = \frac{F}{A} + \frac{M c_i}{A e r_i} = \frac{4000}{314.16} + \frac{190 \, 000 \times 9.4677}{314.16 \times 0.5323 \times 37.5} = 300 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

- 外表面應力 $\sigma_o$：
$$
\sigma_o = \frac{F}{A} - \frac{M c_o}{A e r_o} = \frac{4000}{314.16} - \frac{190 \, 000 \times 10.5323}{314.16 \times 0.5323 \times 57.5} = -195 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

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### 最終結果

- 內表面應力：$\sigma_i = 300 \, \text{MPa}$
- 外表面應力：$\sigma_o = -195 \, \text{MPa}$

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## Problem 3-149

A carbon steel ball with a 25-mm diameter is pressed together with an aluminum ball with a 40-mm diameter by a force of 10 N. Determine the maximum shear stress, and the depth at which it will occur for the aluminum ball. Assume Figure 3–38, which is based on a typical Poisson’s ratio of 0.3, is applicable to estimate the depth at which the maximum shear stress occurs for these materials.

**中文翻譯**：一個直徑為 25 mm 的碳鋼球與直徑為 40 mm 的鋁球以 10 N 的力壓在一起。求最大剪應力以及該剪應力在鋁球內部發生的深度。假設圖 3–38 的內容可用於評估這些材料中最大剪應力發生的深度，其中蒲松比為 0.3。

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### 解題過程

**已知條件：**
- 碳鋼球：$d_1 = 25$ mm, $\nu_1 = 0.292$, $E_1 = 207$ GPa
- 鋁球：$d_2 = 40$ mm, $\nu_2 = 0.333$, $E_2 = 71.7$ GPa
- 壓力：$F = 10$ N

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**計算過程：**

1. **計算接觸半徑 $a$：**
使用公式 (3-68)：
$$
a = \sqrt[3]{\frac{3F}{8} \left( \frac{(1 - \nu_1^2) / E_1 + (1 - \nu_2^2) / E_2}{1/d_1 + 1/d_2} \right)}
$$

將已知數值帶入公式：
$$
a = \sqrt[3]{\frac{3(10)}{8} \left( \frac{(1 - 0.292^2) / 207000 + (1 - 0.333^2) / 71700}{1/25 + 1/40} \right)} = 0.0990 \, \text{mm}
$$

2. **計算最大接觸壓力 $p_{\text{max}}$：**
使用公式 (3-69)：
$$
p_{\text{max}} = \frac{3F}{2\pi a^2} = \frac{3(10)}{2\pi (0.0990)^2} = 487.2 \, \text{MPa}
$$

3. **確定最大剪應力的位置：**
根據圖 3-38，最大剪應力發生在深度 $z = 0.48a$：
$$
z = 0.48a = 0.48 \times 0.0990 = 0.0475 \, \text{mm} \quad \text{Ans.}
$$
圖 3-38：

4. **求解主應力：**
使用公式 (3-70) 和 (3-71) 在深度 $z/a = 0.48$ 處：
$$
\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_x = \sigma_y = -p_{\text{max}} \left[ 1 - \frac{z}{a} \tan^{-1} \left( \frac{1}{z/a} \right) (1 + \nu) - \frac{1}{2 \left( 1 + ({z^2}/{a^2}) \right)} \right]
$$
$$
\sigma_3 = \sigma_z = \frac{-p_{\text{max}}}{1 + ({z^2}/{a^2})}
$$

帶入已知數值進行計算：
$$
\sigma_1 = \sigma_2 = -487.2 \left[ 1 - 0.48 \tan^{-1} \left( \frac{1}{0.48} \right) \left( 1 + 0.333 \right) - \frac{1}{2 \left( 1 + 0.48^2 \right)} \right] = -101.3 \, \text{MPa}
$$
$$
\sigma_3 = \frac{-487.2}{1 + 0.48^2} = -396.0 \, \text{MPa}
$$

5. **計算最大剪應力 $\tau_{\text{max}}$：**
使用公式 (3-72)：
$$
\tau_{\text{max}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{-101.3 - (-396.0)}{2} = 147.4 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

**備註**：為了更準確地驗證深度假設，可以使用公式 (3-70)、(3-71) 和 (3-72) 計算不同深度的應力分佈。對於鋁球 $\nu = 0.333$，最大剪應力發生在 $z = 0.492a$，此時
$$
\tau_{\text{max}} = 0.3025 p_{\text{max}} = 0.3025 \times 487.2 = 147.38 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

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### 最終結果

- 最大剪應力：$\tau_{\text{max}} = 147.4 \, \text{MPa}$
- 剪應力發生的深度：$z = 0.0475$ mm

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## Problem 3-154

A pair of mating steel spur gears with a 0.75-in face width transmits a load of 40 lbf. For estimating the contact stresses, make the simplifying assumption that the teeth profiles can be treated as cylindrical with instantaneous radii at the contact point of interest of 0.47 in and 0.62 in, respectively. Estimate the maximum contact pressure and the maximum shear stress experienced by either gear.

**中文翻譯**：一對齒輪寬為 0.75 英吋的鋼製直齒輪傳遞 40 lbf 的負載。為了估算接觸應力，做一個簡化假設，認為齒形可以在接觸點處視為圓柱形，接觸半徑分別為 0.47 英吋和 0.62 英吋。估算齒輪所承受的最大接觸壓力和最大剪應力。

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### 解題過程

**已知條件：**
- $\nu_1 = \nu_2 = 0.292$
- $E_1 = E_2 = 30 \, \text{Mpsi}$
- $F = 40 \, \text{lbf}$
- 面寬 $l = 0.75 \, \text{in}$
- 半徑 $d_1 = 2(0.47) = 0.94 \, \text{in}$，$d_2 = 2(0.62) = 1.24 \, \text{in}$

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**計算過程：**

1. **計算接觸半徑 $b$：**
使用公式 (3-73)：
$$
b = \sqrt{\frac{2F}{\pi l} \left( \frac{(1 - \nu_1^2) / E_1 + (1 - \nu_2^2) / E_2}{1/d_1 + 1/d_2} \right)}
$$

將已知數值帶入公式：
$$
b = \sqrt{\frac{2(40)}{\pi (0.75)} \left( \frac{(1 - 0.292^2) / 30 \times 10^6 + (1 - 0.292^2) / 30 \times 10^6}{1/0.94 + 1/1.24} \right)} = 1.052 \times 10^{-3} \, \text{in}
$$

2. **計算最大接觸壓力 $p_{\text{max}}$：**
使用公式 (3-74)：
$$
p_{\text{max}} = \frac{2F}{\pi b l} = \frac{2(40)}{\pi (1.052 \times 10^{-3})(0.75)} = 32,275 \, \text{psi} = 32.3 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

3. **計算最大剪應力 $\tau_{\text{max}}$：**
根據圖 3-40，最大剪應力與最大接觸壓力的關係為：
$$
\tau_{\text{max}} = 0.3 p_{\text{max}} = 0.3 \times 32,275 = 9,682.5 \, \text{psi} = 9.68 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
$$

圖 3-40：

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### 最終結果

- 最大接觸壓力：$p_{\text{max}} = 32.3 \, \text{kpsi}$
- 最大剪應力：$\tau_{\text{max}} = 9.68 \, \text{kpsi}$

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