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title: 08_助教課_CH11
tags: [3. 期末考範圍]

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第十一章：滾動接觸軸承 (Rolling-Contact Bearings)
本章重點探討滾動接觸軸承的類型、設計與性能分析，提供選型和設計的理論支持。主要內容包括：

軸承類型：介紹球軸承、圓柱滾子軸承、錐形滾子軸承等主要種類及其特性。
軸承壽命分析：額定壽命（基於基本動負荷額定值計算壽命）、可靠性與壽命（利用威布爾分佈描述軸承壽命）、變動負載影響（分析負載變化時對壽命的影響）
軸承選型：根據徑向與軸向負載選擇適合的軸承類、評估負荷分佈與承載能力。
潤滑與安裝：討論潤滑對軸承性能的影響、描述軸承安裝方法及密封結構設計。
設計評估：檢查選定軸承是否滿足設計要求。

（課堂上勾選之第十一章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 11-3
An angular-contact, inner ring rotating, 02-series ball bearing is required for an application in which the life requirement is 40 kh at 520 rev/min. The design radial load is 725 lbf. The application factor is 1.4. The reliability goal is 0.90. Find the multiple of rating life $x_D$ required and the catalog rating $C_{10}$ with which to enter Table 11–2. Choose a bearing and estimate the existing reliability in service.

**中文翻譯**：一個角接觸、內圈旋轉的 02 系列滾珠軸承應用於壽命需求為 40 kh、轉速為 520 rev/min 的情況。設計徑向負載為 725 lbf，應用係數為 1.4，可靠性目標為 0.90。求需要的額定壽命倍數 $x_D$ 以及對應的型錄額定值 $C_{10}$，並選擇一個適合的軸承，估算其使用狀態下的可靠性。

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### 計算過程

**已知條件**
- 設計壽命 $L_D = 40,000 \, \text{h}$，轉速 $n_D = 520 \, \text{rev/min}$
- 設計徑向負載 $F_D = 725 \, \text{lbf}$
- 應用係數 $a_f = 1.4$
- 可靠性目標 $R_D = 0.90$

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#### Step 1. 計算壽命倍數 $x_D$

由公式：
$$
\begin{align}
x_D &= \frac{L_D}{L_R} = \frac{60 L_D n_D}{L_{10}} \\
\\
&= \frac{60 \times 40,000 \times 520}{10^6} = 1248. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算設計徑向負載 $F_D$

$$
\begin{align}
F_D &= a_f \cdot F \\
\\
&= 1.4 \cdot 725 = 1015 \, \text{lbf} = 4.52 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算型錄額定值 $C_{10}$

透過 **公式11-9**：
$$
\begin{align}
C_{10} &= F_D \left[ \frac{x_D}{x_0 + (\theta - x_0)[\ln(1/R_D)]^{1/b}} \right]^{1/a} \\
\\
&= 1015 \left[ \frac{1248}{0.02 + (4.459 - 0.02) [\ln(1/0.9)]^{1/1.483}} \right]^{1/3} \\
\\
&= 10,930 \, \text{lbf} = 48.6 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

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#### Step 4. 選擇軸承並估算可靠性

從 **表11-2** 選擇 $C_{10} = 55.9 \, \text{kN}$ 的 02-60 mm 軸承。

使用 **公式11-21** 計算可靠性：
$$
\begin{align}
R &= \exp \left\{ - \left[ \frac{x_D \left( a_f F_D / C_{10} \right)^a - x_0}{\theta - x_0} \right]^b \right\} \\
\\
&= \exp \left\{ - \left[ \frac{1248 \left( 4.52 / 55.9 \right)^3 - 0.02}{4.439} \right]^{1.483} \right\} \\
\\
&= 0.945. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$


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### 最終結果

| 壽命倍數 $x_D$ |   額定值 $C_{10}$   | 選擇軸承 | 實際可靠性 |
|:--------------:|:-------------------:|:--------:|:----------:|
|     $1248$     | $48.6 \, \text{kN}$ | 02-60 mm |  $0.945$   |

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## Problem 11-9
Two ball bearings from different manufacturers are being considered for a certain application. Bearing $A$ has a catalog rating of $2.0 \, \text{kN}$ based on a catalog rating system of 3000 hours at 500 rev/min. Bearing $B$ has a catalog rating of $7.0 \, \text{kN}$ based on a catalog that rates at $10^6$ cycles. For a given application, determine which bearing can carry the larger load.

**中文翻譯**：兩個由不同製造商生產之滾珠軸承將被考慮應用於某個使用場景。軸承 $A$ 的型錄額定值為 $2.0 \, \text{kN}$，係基於 3000 小時、500 rev/min 的型錄評級系統訂定之；軸承 $B$ 的型錄額定值為 $7.0 \, \text{kN}$，係基於 $10^6$ 週期的型錄評級系統訂定之。在相同的使用場景之下，評估哪個軸承可以承受更大的負載。

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### 計算過程

**已知條件**
- 軸承 $A$:
  - $F_A = 2.0 \, \text{kN}$
  - 型錄壽命 $L_A = 3000 \, \text{hr}$，轉速 $n_A = 500 \, \text{rev/min}$
- 軸承 $B$:
  - 型錄額定值 $C_B = 7.0 \, \text{kN}$
  - 型錄壽命 $L_R = 10^6 \, \text{cycles}$

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#### Step 1. 確定軸承 $A$ 的等效型錄額定值

使用 **公式11-3** 重新評估軸承 $A$ 的型錄額定值，以統一評估的標準為 $10^6$ 週期：
$$
C_A = F_A \left( \frac{L_A}{L_R} \right)^{1/a} = F_A \left( \frac{L_A n_A 60}{L_R} \right)^{1/a}
$$

代入數值 ($a = 3$)：
$$
\begin{align}
C_A &= 2.0 \left( \frac{(3000)(500)(60)}{10^6} \right)^{1/3} \\
\\
&= 8.96 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

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#### Step 2. 比較兩個軸承的額定值

- 軸承 $A$ 的等效型錄額定值 $C_A = 8.96 \, \text{kN}$。
- 軸承 $B$ 的型錄額定值 $C_B = 7.0 \, \text{kN}$。

因此，$C_A > C_B$，軸承 $A$ 可以承受更大的負載。

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### 最終結果

| 軸承 | 等效型錄額定值 ($\text{kN}$) |      結論      |
|:----:|:----------------------------:|:--------------:|
| $A$  |            $8.96$            | 可承受更大負載 |
| $B$  |            $7.0$             |  負載能力較弱  |

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## Problem 11-12
For the bearing application specifications given in the table for the assigned problem, determine the Basic Load Rating for a ball bearing with which to enter a bearing catalog of manufacturer 2 in Table 11–6. Assume an application factor of one.

![image](https://hackmd.io/_uploads/BkRJhoq71l.png)

**中文翻譯**：根據表中提供的軸承應用規範，計算用於進入製造商 2 的型錄（表11–6）的基本額定負載。假設應用係數為 1。

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### 計算過程

**已知條件**
- 徑向負載：$F_D = 4 \, \text{kN}$
- 設計壽命：$L_D = 8,000 \, \text{hr}$
- 轉速：$n_D = 500 \, \text{rev/min}$
- 可靠性：$R = 0.90$
- 應用係數 $a_f = 1$

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#### Step 1. 計算型錄額定負載 $C_{10}$

使用 **公式11-3**：
$$
C_{10} = F_D \left( \frac{L_D n_D 60}{L_R} \right)^{1/a}
$$

其中：
$$
L_R = 10^6 \, \text{cycles}, \quad \quad
a = 3
$$
代入已知條件：
$$
\begin{align}
C_{10} &= 4 \left( \frac{(8,000)(500)(60)}{10^6} \right)^{1/3} \\
\\
&= 24.9 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

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### 最終結果

- 欲求之型錄基本額定負載 $C_{10}$ 為 $24.9 \text{ kN}$。

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## Problem 11-23
An 02-series single-row deep-groove ball bearing with a 30-mm bore (see Tables 11–1 and 11–2 for specifications) is loaded with a 2-kN axial load and a 5-kN radial load. The inner ring rotates at 400 rev/min.

(a) Determine the equivalent radial load that will be experienced by this particular bearing.
(b) Determine the predicted life (in revolutions) that this bearing could be expected to give in this application with a 99 percent reliability.

**中文翻譯**：一個02系列單列深溝滾珠軸承，其內徑為 30 mm（規格見表 11–1 和 11–2），承受 2 kN 軸向負載和 5 kN 徑向負載。內圈以 400 rev/min 的速度旋轉。

(a) 計算該軸承的等效徑向負載。
(b) 在99%可靠性下，預測該軸承在此應用中的壽命（以轉數表示）。

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### 計算過程

**已知條件**
- 軸向負載：$F_a = 2 \, \text{kN}$
- 徑向負載：$F_r = 5 \, \text{kN}$
- 轉速：$n_D = 400 \, \text{rev/min}$
- 可靠性：$R_D = 0.99$
- 基本額定負載：$C_{10} = 19.5 \, \text{kN}$
- 靜額定負載：$C_0 = 10.0 \, \text{kN}$

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#### (a) 計算等效徑向負載 $F_e$

1. 計算 $F_a / C_0$：
   $$
   F_a / C_0 = 2 / 10 = 0.2
   $$

2. 從 **表11-1** 查得 $e = 0.34 \sim 0.38$。
   計算 $F_a / V F_r$：
   $$
   F_a / V F_r = 2 / (1 \cdot 5) = 0.4
   $$
   因為 $F_a / V F_r > e$，從 **表11-1** 插值得：
   $$
   X_2 = 0.56,
   \quad \quad 
   Y_2 = 1.27
   $$

3. 利用 **公式11-12** 計算 $F_e$：
   $$
   \begin{align}
   F_e &= X_2 V F_r + Y_2 F_a \\
   \\
   &= (0.56)(1)(5) + (1.27)(2) = 5.34 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

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#### (b) 計算預測壽命

1. 使用 **公式11-10** 計算壽命倍數 $x_D$：
   $$
   \begin{align}
   x_D &= \left( \frac{C_{10}}{a_f F_D} \right)^a \left[ x_0 + (\theta - x_0)(1 - R_D)^{1/b} \right] \\
   \\
   &= \left( \frac{19.5}{(1)(5.34)} \right)^3 \left[ 0.02 + (4.459 - 0.02)(1 - 0.99)^{1/1.483} \right] \\
   \\
   &= 10.66 \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

2. 使用 $x_D$ 計算壽命 $L_D$：
   $$
   \begin{align}
   L_D &= \frac{x_D (10^6)}{n_D (60)} \\
   \\
   &= \frac{10.66 (10^6)}{(400)(60)} = 444 \, \text{hours} \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
### 最終結果

- 該軸承的等效徑向負載為 $F_e = 5.34 \, \text{kN}$。
- 在 99% 可靠性下，預測該軸承在此應用中的壽命為 $L_D = 444$ 小時。

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## Problem 11-34
The figure shows a geared countershaft with an overhanging pinion at $C$. Select an angular-contact ball bearing from Table 11–2 for mounting at $O$ and an 02-series cylindrical roller bearing from Table 11–3 for mounting at $B$. The force on gear $A$ is $F_A = 600 \, \text{lbf}$, and the shaft is to run at a speed of $420 \, \text{rev/min}$. Solution of the statics problem gives force of bearings against the shaft at $O$ as $R_O = -387 \hat{j} + 467  \hat{k} \, \text{ lbf}$, and at $B$ as $R_B = 316 \hat{j} - 1615 \hat{k} \, \text{ lbf}$. Specify the bearings required, using an application factor of $1.2$, a desired life of $40 \, \text{kh}$, and a combined reliability goal of $0.95$, assuming distribution data from manufacturer 2 in Table 11–6.

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryYhsTcmye.png =633x)

**中文翻譯**：圖中顯示一齒輪副軸，其在 $C$ 處有一懸臂齒輪。選擇一個角接觸滾珠軸承（見表11–2）安裝於 $O$，以及一個02系列圓柱滾柱軸承（見表11–3）安裝於 $B$。齒輪 $A$ 的作用力為 $F_A = 600 \, \text{lbf}$，軸以 $420 \, \text{rev/min}$ 運轉。靜力問題的解給出了作用於軸承上的力，$O$ 處為 $R_O = -387 \hat{j} + 467  \hat{k} \, \text{ lbf}$，$B$ 處為 $R_B = 316 \hat{j} - 1615 \hat{k} \, \text{ lbf}$。使用應用係數 $1.2$、設計壽命 $40 \, \text{kh}$ 和總可靠性目標 $0.95$，指定所需的軸承。

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### 計算過程

**已知條件**
- 設計壽命：$L_D = 40000 \, \text{hr}$
- 轉速：$n_D = 420 \, \text{rev/min}$
- 應用係數：$a_f = 1.2$
- 可靠性目標：$R = 0.95$

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#### Step 1. 計算壽命倍數 $x_D$
公式：
$$
\begin{align}
x_D &= \frac{L_D n_D 60}{10^6}\\
\\
&= \frac{40,000 \cdot 420 \cdot 60}{10^6} = 1008. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算作用力的合力
根據題目敘述，已知 $O$ 處與 $B$ 處的反作用力分別為：
$$
R_O = -387 \hat{j} + 467  \hat{k},
\quad \quad
R_B = 316 \hat{j} - 1615 \hat{k}
$$
則透過畢氏定理，可得兩處之反作用力大小為：
$$
R_O = \sqrt{(-387)^2 + (467)^2} = 607 \, \text{lbf},
\quad \quad
R_B = \sqrt{(316)^2 + (-1615)^2} = 1646 \, \text{lbf}. \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算型錄額定值 $C_{10}$
總系統的目標可靠度為 $R = 0.95$，考量到此系統需要至少兩個軸承，則單一軸承的可靠度須至少為：
$$
R_{\text{individual}} = R_{\text{universal}} ^ {1/n}
$$

$$
\Rightarrow \quad R = 0.95 ^ {1/2} = 0.975
$$

**(a) 在 $O$ 處：**

使用 **公式11-9**：
$$
\begin{align}
C_{10} &= a_f R \left( \frac{x_D}{x_0 + (\theta - x_0)[\ln(1/R)]^{1/b}} \right)^{1/a} \\
\\
&= 1.2 (607) \left( \frac{1008}{0.02 + (4.459 - 0.02)[\ln(1/0.975)]^{1/1.483}} \right)^{1/3}\\
\\
&= 9978 \, \text{lbf} = 44.4 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$
從 **表11-2**，選擇 $02$-$55 \, \text{mm}$ 角接觸滾珠軸承，其基本額定負載為 $46.2 \, \text{kN}$。

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**(b) 在 $B$ 處：**

同樣使用 **公式11-9**，代入並計算：
$$
\begin{align}
C_{10} &= 1.2 (1646) \left( \frac{1008}{0.02 + (4.459 - 0.02)[\ln(1/0.975)]^{1/1.483}} \right)^{1/3} \\
\\
&= 20827 \, \text{lbf} = 92.7 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$
從 **表11-3**，選擇 $02$-$75 \, \text{mm}$ 或 $03$-$55 \, \text{mm}$ 圓柱滾柱軸承。

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### 最終結果

| 位置 | 合力 (lbf) | $C_{10}$ (kN) | 建議軸承 |
|:----:|:----------:|:-------------:|:---------------------------------------------------------:|
| $O$  |   $607$    |    $44.4$     |              $02$-$55 \, \text{mm}$ 滾珠軸承              |
| $B$  |   $1646$   |    $92.7$     | $02$-$75 \, \text{mm}$ 或 $03$-$55 \, \text{mm}$ 滾柱軸承 |

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## Problem 11-44
Estimate the remaining life in revolutions of an 02-30 mm angular-contact ball bearing already subjected to 200,000 revolutions with a radial load of 18 kN, if it is now to be subjected to a change in load to 30 kN.

**中文翻譯**：估算一個 02-30 mm 角接觸滾珠軸承的剩餘壽命（以轉數表示）。該軸承已經承受 18 kN 徑向負載並運行 200,000 轉，現在徑向負載改變為 30 kN，計算剩餘壽命。

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### 計算過程

**已知條件**
- 初始負載：$F_1 = 18 \, \text{kN}$。
- 新負載：$F_2 = 30 \, \text{kN}$。
- 已運行壽命：$l_1 = 200,000 \, \text{rev}$。
- 基本額定負載：$C_{10} = 20.3 \, \text{kN}$。
- 使用 Palmgren-Miner 循環比總和規則。

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#### Step 1. 確定常數 $K$

根據 **公式11-1** 可知：
$$
F^a L = C_{10}^a L_{10} = K
$$

代入 $a = 3$：
$$
K = (20.3)^3 (10^6) = 8.365 \times 10^9 \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算 $L_1$ 和 $L_2$

1. **計算 $L_1$（在 $F_1 = 18 \, \text{kN}$ 的壽命）：**
   $$
   L_1 = \frac{K}{F_1^a} = \frac{8.365 \times 10^9}{18^3} = 1.434 \times 10^6 \, \text{rev}.
   $$

2. **計算 $L_2$（在 $F_2 = 30 \, \text{kN}$ 的壽命）：**
   $$
   L_2 = \frac{K}{F_2^a} = \frac{8.365 \times 10^9}{30^3} = 0.310 \times 10^6 \, \text{rev}.
   $$

$\,$
#### Step 3. 使用 Palmgren-Miner 規則計算剩餘壽命

使用 **公式6-68**：
$$
\begin{align}
&\frac{l_1}{L_1} + \frac{l_2}{L_2} = 1, \\
\\
&\frac{200,000}{1.434 \times 10^6} + \frac{l_2}{0.310 \times 10^6} = 1, \\
\\
&\Rightarrow \quad l_2 = 0.267 \times 10^6 \, \text{rev}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- 剩餘壽命為 $267,000 \, \text{rev}$

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$\,$
## Problem 11-46
A countershaft is supported by two tapered roller bearings using an indirect mounting. The radial bearing loads are $560 \, \text{lbf}$ for the left-hand bearing and $1095 \, \text{lbf}$ for the right-hand bearing. An axial load of $200 \, \text{lbf}$ is carried by the left bearing. The shaft rotates at $400 \, \text{rev/min}$ and is to have a desired life of $40 \, \text{kh}$. Use an application factor of $1.4$ and a combined reliability goal of $0.90$, assuming distribution data from manufacturer 1 in Table 11–6. Using an initial $K = 1.5$, find the required radial rating for each bearing. Select the bearings from Figure 11–15.

**中文翻譯**：一個副軸由兩個圓錐滾柱軸承以間接安裝方式支撐。左側軸承的徑向負載為 $560 \, \text{lbf}$，右側軸承的徑向負載為 $1095 \, \text{lbf}$，左側軸承還承受 $200 \, \text{lbf}$ 的軸向負載。軸以 $400 \, \text{rev/min}$ 的速度旋轉，目標壽命為 $40 \, \text{kh}$。使用應用係數 $1.4$ 和總可靠性目標 $0.90$。初始 $K = 1.5$，計算每個軸承所需的徑向額定值，並從圖11–15中選擇軸承。

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### 計算過程

**已知條件**
- 左側軸承徑向負載：$F_{rA} = 560 \, \text{lbf}$。
- 右側軸承徑向負載：$F_{rB} = 1095 \, \text{lbf}$。
- 軸向負載：$F_{ae} = 200 \, \text{lbf}$。
- 設計壽命：$L_D = 40,000 \, \text{h}$。
- 轉速：$n_D = 400 \, \text{rev/min}$。
- 應用係數：$a_f = 1.4$。
- 可靠性目標：$R = 0.90$，對應單軸承可靠性 $R_{\text{individual}} = \sqrt{0.90} = 0.949$。

$\,$
#### Step 1. 計算壽命倍數 $x_D$

公式：
$$
\begin{align}
x_D &= \frac{L_D}{L_R} = \frac{L_D n_D (60)}{90 (10^6)} \\
\\
&= \frac{40,000 \cdot 400 \cdot 60}{90 \cdot 10^6} = 10.67. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算初始負載 $F_i$
利用 **公式11-18** 計算兩側軸承之初始負載，分別為：

1. 左側軸承：
   $$
   F_{iA} = \frac{0.47 F_{rA}}{K_A} = \frac{0.47 \cdot 560}{1.5} = 175.5 \, \text{lbf}.
   $$

2. 右側軸承：
   $$
   F_{iB} = \frac{0.47 F_{rB}}{K_B} = \frac{0.47 \cdot 1095}{1.5} = 343.1 \, \text{lbf}.
   $$

$\,$
#### Step 3. 計算右側軸承 $B$
根據 **公式11-19(b)**：
$$
F_{eB} = F_{rB},
\quad \Rightarrow \quad
F_{eB} = 1095 \, \text{lbf}.
$$
接下來使用 **公式11-10** 計算型錄額定值 $C_{10}$：
$$
C_{10} = a_f F_{eB} \left[ \frac{x_D}{x_0 + (\theta - x_0)(1 - R)^{1/b}} \right]^{1/a} \\
$$
代入已知數值，其中的幾項參數，根據教科書的說明：
$$
x_0 = 0, \quad \theta = 4.48, \quad b = 1.5, \quad a = 10/3
$$
計算後可得基本額定負載為：
$$
C_{10} = 3607 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
$$
根據計算結果，從 **圖11–15** 選擇型號 32305，該軸承之額定負載為 $3910 \, \text{lbf}$。

$\,$

#### Step 4. 更新左側軸承 $A$

選定右側軸承後，使用 $K_B = 1.95$，更新右側軸承的負載：
$$
\begin{align}
F_{iB} &= \frac{0.47 F_{rB}}{K_B} \\
\\
&= \frac{0.47 (1095)}{1.95} = 263.9 \, \text{lbf}.
\end{align}
$$
根據 **公式11-19a** 計算左側軸承的等效徑向負載：
$$
\begin{align}
F_{eA} &= 0.4 F_{rA} + K_A (F_{iB} + F_{ae}) \\
\\
&= 0.4 (560) + 1.5 (263.9 + 200) = 920 \, \text{lbf}.
\end{align}
$$
接下來使用 **公式11-10** 計算左側軸承的型錄額定值 $C_{10}$：
$$
\begin{align}
C_{10} &= a_f F_{eA} \left[ \frac{x_D}{x_0 + (\theta - x_0)(1 - R)^{1/b}} \right]^{1/a} \\
\\
&= 1.4 (920) \left[ \frac{10.67}{0 + (4.48 - 0)(1 - 0.949)^{1/1.5}} \right]^{3/10} \\
\\
&= 3030 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$
根據計算結果，從 **圖11–15** 選擇型號 M86643，該軸承之額定負載為 $3250 \, \text{lbf}$。

$\,$
### 最終結果

|  軸承位置  | 選擇軸承型號 | 選定軸承之額定負載 (lbf) | 計算所得之結果負載 (lbf) |
|:----------:|:------------:|:------------------------:|:------------------------:|
| 左側 ($A$) |    M86643    |          $3250$          |          $3030$          |
| 右側 ($B$) |    32305     |          $3910$          |          $3607$          |

---

$\,$
## Problem 11-49
An outer hub rotates around a stationary shaft, supported by two tapered roller bearings as shown in Figure 11–23. The device is to operate at $250 \, \text{rev/min}$, $8 \, \text{hours/day}$, $5 \, \text{days/week}$, for $5 \, \text{years}$, before bearing replacement is necessary. A reliability of $90\%$ on each bearing is acceptable. A free body analysis determines the radial force carried by the upper bearing to be $12 \, \text{kN}$ and the radial force at the lower bearing to be $25 \, \text{kN}$. In addition, the outer hub applies a downward force of $5 \, \text{kN}$. Assuming bearings are available from manufacturer 1 in Table 11–6 with $K = 1.5$, find the required radial rating for each bearing. Assume an application factor of $1.2$.

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJadEyimkl.png =555x)

**中文翻譯**：一個外殼環繞固定軸旋轉，由兩個圓錐滾柱軸承支撐，如圖 11–23 所示。設備以 $250 \, \text{rev/min}$ 運行，每天 $8$ 小時，每週 $5$ 天，運行 $5$ 年後需更換軸承。每個軸承接受 $90\%$ 的可靠性。一個自由體分析指出，上軸承承受的徑向力為 $12 \, \text{kN}$，下軸承承受的徑向力為 $25 \, \text{kN}$。此外，外殼施加 $5 \, \text{kN}$ 的向下力。假設可用的軸承來自製造商 1 表 11–6，且 $K = 1.5$，求每個軸承的所需徑向額定值。假設應用係數為 $1.2$。

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### 計算過程

**已知條件**
- 下軸承徑向負載：$F_{rA} = 25 \, \text{kN}$。
- 上軸承徑向負載：$F_{rB} = 12 \, \text{kN}$。
- 軸向負載：$F_{ae} = 5 \, \text{kN}$。
- 轉速：$n = 250 \, \text{rev/min}$。
- 每天運行：$8 \, \text{h}$，每週 $5 \, \text{days}$，運行 $5 \, \text{years}$。
- 應用係數：$a_f = 1.2$。
- $K = 1.5$，可靠性：$R = 90\%$。

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#### Step 1. 計算每軸承的初始負載 $F_i$
使用 **公式11-18** 計算軸承之初始負載：
$$
F_{i} = \frac{0.47 F_{r}}{K}
$$

將已知條件代入，可得到欲求之上下軸承初始負載，分別為：
$$
F_{iA} = \frac{0.47 (25)}{1.5} = 7.83 \, \text{ kN},
\quad \quad
F_{iB} = \frac{0.47 (12)}{1.5} = 3.76 \, \text{ kN}
$$

$\,$
#### Step 2. 判斷應用公式

根據 **公式11-19** 和 **公式11-20** 的條件：
如果 $F_{iA} \leq F_{iB} + F_{ae}$，使用 **公式11-19**；
反之，當 $F_{iA} > F_{iB} + F_{ae}$，則使用 **公式11-20** 。

代入數值檢查：
$$
F_{iA} \leq F_{iB} + F_{ae} \quad \Rightarrow \quad 7.83 \leq 3.76 + 5 = 8.76 \, \text{kN}.
$$
根據上述的判別結果，使用 **公式11-19**。

$\,$
#### Step 3. 計算等效徑向負載

1. 下軸承 ($A$) 的等效徑向負載：
   使用 **公式11-19a**：
   $$
   \begin{align}
   F_{eA} &= 0.4 F_{rA} + K_A (F_{iB} + F_{ae}) \\
   \\
   &= 0.4 (25) + 1.5 (3.76 + 5) = 23.1 \, \text{kN}.
   \end{align}
   $$

2. 上軸承 ($B$) 的等效徑向負載：
   使用 **公式11-19b**：
   $$
   F_{eB} = F_{rB}
   \\
   = 12 \, \text{kN}.
   $$

$\,$
#### Step 4. 計算設計壽命 $L_D$

將其單位轉換為以圈數表示：
$$
\begin{align}
L_D &= n \cdot (60 \, \text{min/h}) \cdot (8 \, \text{h/day}) \cdot (5 \, \text{day/week}) \cdot (52 \, \text{week/year}) \cdot (5 \, \text{years}) \\
\\
&= 250 \cdot 60 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 52 \cdot 5 = 156 \times 10^6 \, \text{rev}.
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 5. 計算所需型錄額定值 $C_{10}$
使用 **公式11-3** 計算所需之型錄額定負載：
$$
F_{R} = a_f F_{e} \left( \frac{L_D}{L_R} \right)^{1/a} \\
$$
將已知條件代入，可得到欲求之上下軸承所需之型錄額定負載，分別為：
$$
\begin{align}
F_{\text{RA}} = 1.2 (25) \left( \frac{156 \times 10^6}{90 \times 10^6} \right)^{3/10} = 35.4 \, \text{kN} \\
\\
F_{\text{RB}} = 1.2 (12) \left( \frac{156 \times 10^6}{90 \times 10^6} \right)^{3/10} = 17.0 \, \text{kN}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

|   軸承位置   | 等效徑向負載 $F_e$ (kN) | 型錄額定值 $C_{10}$ (kN) |
|:------------:|:-----------------------:|:------------------------:|
| 下軸承 ($A$) |         $23.1$          |          $35.4$          |
| 上軸承 ($B$) |         $12.0$          |          $17.0$          |
