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title: 02_助教課_CH4
tags: [1. 第一次考試範圍]

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第四章：撓曲與剛性 (Deflection and Stiffness)
本章討論結構和元件的變形與剛性分析，重點在於計算受力後的變形量與剛性設計。主要內容包括：

彈性計算：分析拉伸、壓縮、扭轉及彎曲下的應力與應變。
梁變形分析方法：疊加法（通過分段分析簡化計）、奇異函數法（用於複雜負載的變形量計算）
能量法：利用應變能與 Castigliano's Theorem 定理計算結構的變形量。
壓桿穩定性：探討長柱、中柱和短柱的不穩定性問題。
衝擊負載：分析瞬時負載對結構的影響。

（課堂上勾選之第四章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 4-3

A torsion-bar spring consists of a prismatic bar, usually of round cross section, that is twisted at one end and held fast at the other to form a stiff spring. An engineer needs a stiffer one than usual and so considers building in both ends and applying the torque somewhere in the central portion of the span, as shown in the figure. This effectively creates two springs in parallel. If the bar is uniform in diameter, that is, if $d = d_1 = d_2$, determine how the spring rate and the end reactions depend on the location $x$ at which the torque is applied.(b) Determine the spring rate, the end reactions, and the maximum shear stress, if 
$$
d = 0.5 \, \text{in}, \quad x = 5 \, \text{in}, \quad l = 10 \, \text{in}, \quad T = 1500 \, \text{lbf} \cdot \text{in}, \quad G = 11.5 \, \text{Mpsi}.
$$

![image](https://hackmd.io/_uploads/Sk9jc1aCR.png =400x)


**中文翻譯**：扭力桿彈簧由稜柱狀的桿組成，通常為圓形截面，一端扭轉，另一端固定以形成堅固的彈簧。工程師需要比通常更堅固的彈簧，因此考慮兩端固定，並在跨度的中央部分施加扭矩，如圖所示。這有效地創建了兩個並聯的彈簧。若桿的直徑均勻，即 $d = d_1 = d_2$，請求出彈簧剛性和端部反作用力與施加扭矩位置 $x$ 的關係。求解彈簧剛性、端部反作用力以及最大剪應力，若
$$
d = 0.5 \, \text{in}, \quad x = 5 \, \text{in}, \quad l = 10 \, \text{in}, \quad T = 1500 \, \text{lbf} \cdot \text{in}, \quad G = 11.5 \, \text{Mpsi}.
$$

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### 計算過程

#### Step 1. 求扭轉剛性

1. **推導剛性 $k$ 與 $x$ 的關係**：

   一圓形桿件之扭轉剛性可描述為：
   $$
   k = \frac{T}{\theta} = \frac{GJ}{l}
   $$
   
   題目敘述提到，為了提高整體架構的剛性，在桿件中央施加了額外的扭矩，這使原始桿件的剛性被一分為二，等效於兩組剛性並聯。並聯後的整體剛性，根據線性疊加原理，則施加額外扭矩後的整體剛性可描述為：
   
   $$
   \begin{align}
   k &= k_1 + k_2, \\
   &= \frac{GJ_1}{x} + \frac{GJ_2}{(l - x)}
   \end{align}
   $$
   
   由於圓形桿件之截面極慣性矩為 $J = {\pi d^4}/{32}$，且因 $d_1 = d_2 = d$，將以上條件代入上述之方程式，該圓形桿件的整體剛性 $k$ 相對於位置 $x$ 的方程式則為：
   $$
   k = \frac{\pi d^4 G}{32} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{l - x} \right). \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 2. 推導末端反作用力之方程式

1. **找出兩作用力之間的關係**：

   根據扭矩和剛性的關係，扭轉角度可表示為：
   $$
   \theta = \frac{T l}{GJ}
   $$
   
   由於 $T_1$ 和 $T_2$ 所產生之扭轉角度相同，因此
   $$
   \theta = \frac{T_1}{GJ} x = \frac{T_2}{GJ} (l - x).
   $$

   解得 $T_1$ 和 $T_2$ 之間的關係為：
   $$
   T_1 = T_2 \frac{l - x}{x}.
   $$

2. **靜力平衡關係**：
   兩反作用力之合力即為外部施加之額外扭矩，即 $T_1 + T_2 = T$，將$T_1$ 和 $T_2$ 之間的關係代入，
   $$
   T_2 \left( \frac{l - x}{x} \right) + T_2 = T.
   $$

   解聯立方程式，得：
   $$
   T_2 = T \frac{x}{l}, \quad T_1 = T \frac{l - x}{l}. \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 3. 計算給定參數下的剛性、端部反作用力和最大剪應力

**已知參數**：$d = 0.5 \, \text{in}$，$x = 5 \, \text{in}$，$l = 10 \, \text{in}$，$T = 1500 \, \text{lbf} \cdot \text{in}$，$G = 11.5 \, \text{Mpsi}$。

1. **扭轉剛性**：
   $$
   \begin{align}
   k &= \frac{\pi d^4 G}{32} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{l - x} \right) \\
   \\
   &= \frac{\pi (0.5)^4 (11.5 \times 10^6)}{32} \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{10 - 5} \right) \\
   \\
   &= 28.2 \cdot (10^3) \; \text{lbf} \cdot \text{in/rad}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. **末端之反作用力**：
   $$
   T_2 = T \frac{x}{l} = 1500 \times \frac{5}{10} = 750 \, \text{lbf} \cdot \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   $$
   
   $$
   T_1 = T \frac{l - x}{l} = 1500 \times \frac{10-5}{10} = 750 \, \text{lbf} \cdot \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   $$
   
3. **最大剪應力**：
   $$
   \tau = \frac{16T}{\pi d^3} = \frac{16(1500)}{\pi (0.5)^3} = 61.12 \, \text{kpsi}. \quad \text{ Ans.}
   $$

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$\,$

## Problem 4-11

A simply supported beam loaded by two forces is shown in the figure. Select a pair of structural steel channels mounted back to back to support the loads in such a way that the deflection at midspan will not exceed ${1}/{2}$ in and the maximum stress will not exceed 15 kpsi. Use superposition.

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJfDZz6AR.png =500x)

**中文翻譯**：如圖所示，一根簡支梁受兩個力的作用。選擇一對背對背安裝的結構槽鐵，以支撐負載，使跨中變形量不超過 ${1}/{2}$ 英寸，且最大應力不超過 15 kpsi。使用疊加原理進行分析。

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### 計算過程

#### Step 1. 分析各負載引起的反作用力與變形量
1. **根據題目敘述畫出自由體圖（Free body diagram, F.B.D）**：

   ![Screenshot_20241004_151626_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/S13u8z6RC.jpg =450x)
   
   從圖中可以看到，該系統承受了兩個負載，分別為 $450 \, \text{lbf}$ 以及 $300 \,  \text{lbf}$ 。以下將個別分析單獨之作用力對於整個系統所造成的變形量。

2. **第一負載 $F_1 = 300 \, \text{lbf}$ 的反作用力與變形量**：
   
   參考 **表 A-9-5** 的資訊：
   ![Screenshot_20241004_151050_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/HyE3HMa0R.jpg =450x)
   
   可得：
   $$
   R_{11} = R_{12} = 150 \, \text{lbf}.
   $$
   
   $$
   y_1 = -\frac{Fl^3}{48EI} = -\frac{2.88}{I} \, \text{in}.
   $$

2. **第二負載 $F_2 = 450 \, \text{lbf}$ 的反作用力與變形量**：
   
   參考 **表 A-9-6** 的資訊：
   ![Screenshot_20241004_152826_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/rJJ4YzTR0.jpg =450x)

   可得：
   $$
   R_{21} = 315 \, \text{lbf}, \quad R_{22} = 135 \, \text{lbf}.
   $$

   $$ 
   y_2 = -\frac{3.42}{I} \, \text{in}.
   $$

$\,$
#### Step 2. 找出最大彎矩並繪製剪力彎矩圖

1. 計算各支反作用力：
   $$
   R_O = R_{11} + R_{21} = 465 \, \text{lbf}, \quad R_C = R_{12} + R_{22} = 285 \, \text{lbf}.
   $$

2. 計算彎矩：
   - 在 $A$ 點處：
     $$
     M_1 = 465 \times 6 \times 12 = 33480 \, \text{lbf} \cdot \text{in}.
     $$
   - 在 $B$ 點處：
     $$
     M_2 = M_1 + 15 \times 12 = 34200 \, \text{lbf} \cdot \text{in} \quad (M_{\text{max}}).
     $$

3. 根據上述資訊繪製剪力彎矩圖：
   ![Screenshot_20241004_153328_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/SJaUqM6AC.jpg =450x)


$\,$
#### Step 3. 選擇合適的槽鐵

1. **條件 (a)：** 變形量 $y_{\text{10ft}} < {-1}/{2} \, \text{in}$：
   樑之總變形量為：
   $$
   y_{\text{10ft}} = y_1 + y_2 < -0.5,
   $$
   
   $$
   -\frac{2.88}{I} + \frac{-3.42}{I} < -0.5.
   $$
   
   解得：
   
   $$
   I > 12.60 \, \text{in}^4.
   $$

2. **條件 (b)：** 應力 $\sigma_{\text{max}} \leq 15 \, \text{kpsi}$：
   最大彎矩 $M_{\text{max}}$ 已知為 $34200 \, \text{lbf} \cdot \text{in}$，因此可求截面模數：
   $$
   \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{Z} < 15 \, \text{kpsi},
   $$
   
   $$
   Z = \frac{M_{\text{max}}}{\sigma_{\text{max}}} = \frac{34200}{15000} = 2.28 \, \text{in}^3.
   $$
   
   解得：
   $$
   Z > 2.28 \, \text{in}^3.
   $$

3. **選擇槽鐵**：
   由於槽鐵為一對背對背組合，因此需將慣性矩 $I$ 除以 2：
   $$
   I_{\text{mount}} = \frac{I}{2} = 6.30 \, \text{in}^4.
   $$
   從 **表 A-7** 中選擇 $5 \, \text{in - }  6.7 \, \text{lbf/ft}$ 的槽鐵，參數如下：
   $$
   I = 2 \times 7.49 = 14.98 \, \text{in}^4, \quad Z = 2 \times 3.00 = 6.00 \, \text{in}^3.
   $$
   ![Screenshot_20241004_154555_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/H1rDTf60R.jpg =690x)


$\,$
#### Step 4. 驗證選擇的槽鐵
根據選型的條件進行驗證：
- **條件 (a)：** 變形量 $y_{\text{10ft}} < {-1}/{2} \, \text{in}$
- **條件 (b)：** 應力 $\sigma_{\text{max}} \leq 15 \, \text{kpsi}$

1. **變形量驗證**：
   $$
   y_{\text{max}} = \frac{6.3}{7.49} \times \left(-0.5\right) = -0.4205 \, \text{in} < -0.5 \, \text{in}.
   $$

2. **應力驗證**：
   $$
   \sigma_{\text{max}} = \frac{34.2}{2 \times 3} = 5.7 \, \text{kpsi} < 15 \, \text{kpsi}.
   $$

$\,$
### 最終結果

根據計算結果，最終選型之 $5 \, \text{in - } 6.7 \, \text{lbf/ft}$ C型槽鐵符合設計要求。

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$\,$

## Problem 4-13

A rectangular steel bar supports the two overhanging loads shown in the figure. Using superposition, find the deflection at the ends and at the center.

**中文翻譯**：如圖所示，一根矩形鋼桿承受兩個懸臂負載。使用疊加法，求出兩端和中點的變形量。

![image](https://hackmd.io/_uploads/By42ZXa0R.png =500x)

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### 計算過程

#### Step 1. 計算慣性矩 $I$

- 槓桿的截面尺寸為 $b = 6 \, \text{mm}$，$h = 32 \, \text{mm}$。計算截面的慣性矩：
  $$
  I = \frac{1}{12}bh^3 = \frac{1}{12}(6)(32)^3 = 16.384 \times 10^3 \, \text{mm}^4.
  $$

$\,$
#### Step 2. 計算末端點的變形量

1. **根據題目敘述畫出自由體圖（Free body diagram, F.B.D）**：
![Screenshot_20241004_161307_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/Bkso7m6C0.jpg =430x)

   從圖中可以看到，該系統承受了兩個負載，均為 $400 \, \text{lbf}$ 。以下將個別分析單獨之作用力對於整個系統所造成的變形量。

2. 計算梁末端 ($O$ 與 $C$ 點) 之變形量：
   參考 **表 A-9-10** 中的梁公式：
   ![Screenshot_20241004_160639_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/rkfXMQa0C.jpg =500x)

   結構為對稱形式，因此兩側的變形量 $y_c$ 相同。==**然而，**== 施加負載的同時，結構會因為角度的變形量而產生額外的變形量 $y_{O_1}$，此變形量必須同時被考慮。該微小變形量可以近似為：
   
   $$
   y_{O_1} = -\theta_A a
   $$
   
   則末端點的總變形量為，
   $$
   \begin{align}
   y_{end} &= y_{O_1} + y_c \\
   \\
   &= -\theta_A a - \frac{Fa^2}{3EI}(l + a),
   \end{align}
   $$
   
   其中
   
   $$
   \theta_A = \left. \frac{dy_{AB}}{dx} \right|_{x=0} = \frac{Fa}{6EIl}\left( l^2 - 3x^2 \right)
   $$
   
   $\,$
   整合以上關係，可得末端點的變形量方程式：
   
   $$
   y_{end} = -\frac{Fa^2}{6EI}(3l + 2a).
   $$
   
   $\,$
   將已知參數代入，$E = 207 \, \text{GPa}$，$F = 400 \, \text{N}$，$a = 300 \, \text{mm}$，$l = 500 \, \text{mm}$，得：
   
   $$
   \begin{align}
   y_{end} &= -\frac{400 \times (300)^2}{6 \times (207 \times 10^3) \times (16.384 \times 10^3)} \cdot \Big[3(500) + 2(300)\Big] \\
   \\
   &= -3.72 \, \text{mm}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 3. 計算中點的變形量

中點變形量由兩段梁的變形量 $y_{AB}$ 疊加求得：
$$
y_{middle} = 2 \times \frac{Fax}{6EIl} \left(l^2 - x^2\right) \Bigg|_{x = {l}/{2}}.
$$

化簡後可得：
$$
\begin{align}
y_{middle} &= \frac{3Fa l^2}{24EI} \\
\\
&= \frac{3 \times 400 \times (300) \times (500)^2}{24 \times 207 \times 10^3 \times 16.384 \times 10^3} \\ 
\\
&= 1.11 \, \text{mm}. \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- **末端的變形量**：$y_{end} = -3.72 \, \text{mm}$
- **中點的變形量**：$y_{middle} = 1.11 \, \text{mm}$

---
$\,$
## Problem 4-24

For the steel countershaft specified in the table, find the deflection and slope of the shaft at point $A$. Use superposition with the deflection equations in Table A-9. Assume the bearings constitute simple supports.

![image](https://hackmd.io/_uploads/BymTVtAAR.png =400x)

**中文翻譯**：對於表格中所指定的鋼製副軸，找出在 $A$ 點處的變形量和斜率。使用疊加法並參考表 A-9 的變形公式，假設軸承構成簡支支撐。

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### 計算過程

- 已知負載：$T_1 = 2880 \, \text{N}$，$T_2 = 432 \, \text{N}$ 
- 截面之慣性矩：$I = {\pi d^4}/{64} = {\pi (30)^4}/{64} = 39.76 \times 10^3 \, \text{mm}^4$ 
- 材料的楊氏係數：$E = 207 \, \text{GPa}$ 
- ==**解題方向：**== 各別考慮兩皮帶輪上之負載所造成的影響，再將兩者的結果相加起來。

| 施加負載 $F$ |變形量 $y_A$ | 微小之角度變化量（斜率）$\theta_A$  |
| :-: | :-: | :-: |
| $(T_1 + T_2)$ | $y_{A1}$ | $\theta_{A1}$ |
| $(1800 + 270)$ | $y_{A2}$ | $\theta_{A2}$ |
| 總和 | $y_A = y_{A1} + y_{A2}$ | $\theta_A = \theta_{A1} + \theta_{A2}$ |


$\,$
#### Step 1. 計算負載 $F_1 = T_1 + T_2$ 所造成的影響

1. 參考 **表 A-9-6**：
   ![Screenshot_20241005_172751](https://hackmd.io/_uploads/Sy48_FR0C.png =500x)
   要求的是 $\bar{BC}$ 段的變形量。
   
2. 計算微小的角度變化量 $\theta_{A1}$ 
   欲求之 $\theta_{A1}$ 即為上表中之 $C$ 點的變形量，也就是 $y_{BC}$ 相對於 $x$ 的微分，其中 $x = l$，寫成數學是則為：
   
   $$
   \begin{align}
   \theta_{A1} &= \frac{dy_{BC}}{dx} \\
   \\
   &= \left. \frac{d}{dx} \left[ \frac{F_1 a_1 (l - x)}{6EI} \left( x^2 + a_1^2 - 2lx \right) \right] \right|_{x = l} \\
   \\
   &= \frac{F_1 a_1}{6EIl} (l^2 - a_1^2).
   \end{align}
   $$
   將已知條件代入，可得：
   $$
   \begin{align}
   \theta_{A1} &= \frac{F_1 a_1}{6EIl} (l^2 - a_1^2) \\
   \\
   &= \frac{-3312 \times 230}{6 \times (207 \times 10^3) \times (39.76 \times 10^3) \times (510)} \cdot \left( 510^2 - 230^2 \right) \\
   \\
   &= -6.2814 \cdot 10^{-3} \; \text{rad}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   
3. 計算變形量 $y_{A1}$ 
   由於受力產生的角度變化量極小，其變形的效應可以近似為線性，則 $y_{A1}$ 為：
   $$
   \begin{align}
   y_{A1} &= \theta_{A1} \cdot (a_2) \\
   \\
   &= -6.2814 \cdot 10^{-3} \times 300 \\
   \\
   & = -1.88 \; \text{mm}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 2. 計算負載 $F_2 = 1800 + 270$ 所造成的影響

1. 參考 **表 A-9-10**：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/Bkb0kcR0A.png =500x)
   要求的是 $\bar{BC}$ 段的變形量。
   
2. 計算微小的角度變化量 $\theta_{A2}$ 
   欲求之 $\theta_{A2}$ 即為上表中之 $y_{BC}$ 相對於 $x$ 的微分，其中 $x = l+a$，寫成數學是則為：
   
   $$
   \begin{align}
   \theta_{A2} &= \frac{dy_{BC}}{dx} \\
   \\
   &= \left. \frac{d}{dx} \left[ \frac{F_2(l - x)}{6EI} \left[ (x-l)^2 - a_2(3x-l) \right] \right] \right|_{x = l+a_2} \\
   \\
   &= \frac{F_2}{6EI} \left. \left[ 3(x-l)^2 - 3a_2(x-l) - a_2(3x-l) \right] \right|_{x = l+a_2} \\
   \\
   &= -\frac{F_2}{6EI} (3a_2^2 + 2la_2).
   \end{align}
   $$
   將已知條件代入，可得：
   $$
   \begin{align}
   \theta_{A2} &= -\frac{F_2}{6EI} (3a_2^2 + 2la_2) \\
   \\
   &= -\frac{2070}{6 \times (207 \times 10^3) \times (39.76 \times 10^3)} \left[ 3(300)^2 + 2(510)(300) \right] \\
   \\
   &= -0.0242 \; \text{rad}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   
3. 計算變形量 $y_{A2}$ 
   參考上表之 $y_c$ 公式：
   $$
   \begin{align}
   y_{A2} &= \frac{F_2 a_2^2}{3EI}(l + a_2) \\
   \\
   &= -\frac{2070 \times (300)^2}{3 \times (207 \times 10^3) \times (39.76 \times 10^3)} (510 + 300) \\
   \\
   &= -6.1117 \; \text{mm}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 3. 計算總和之施加負載效應
| 施加負載 $F$ (N) |變形量 $y_A$ (mm) | 微小之角度變化量（斜率）$\theta_A$ (rad) |
| :-: | :-: | :-: |
| $(2880 + 432)$ | $-1.88$ | $-0.0062$ |
| $(1800 + 270)$ | $-6.11$ | $-0.0242$ |
| 總和 | $y_A = -7.99$ | $\theta_A = -0.0304$ |


$\,$
### 最終結果

- **$A$ 點的變形量**：$y_A = -7.99 \, \text{mm}$
- **$A$ 點的斜率**：$\theta_A = -0.0304 \, \text{rad}$

---
$\,$
## Problem 4-39

For the steel countershaft specified in the table, assume the bearings have a maximum slope specification of 0.06° for good bearing life. Determine the minimum shaft diameter.

**中文翻譯**：對於表格中指定的鋼製副軸，假設軸承的最大斜率規範為 0.06° 以確保良好的軸承壽命。求最小軸徑。

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### 計算過程

1. **轉換斜率到弧度制**：
   $$
   \theta_{\text{new}} = 0.06 \times \left(\frac{\pi}{180}\right) = 0.00105 \, \text{rad}.
   $$

2. **已知條件**：
   - 從 Problem 4-33 中，$I = 0.1198 \, \text{in}^4$，最大斜率 $\theta_{max} = 0.0222 \, \text{rad}$。

3. **計算最小軸徑**：
   參考 Problem 4-35 的解法，公式如下：
   $$
   d_{\text{new}} = \left( \frac{64}{\pi} \frac{\theta_{\text{old}}}{\theta_{\text{new}}} I_{\text{old}} \right)^{1/4}.
   $$

4. **代入已知數值**：
   $$
   d_{\text{new}} = \left( \frac{64}{\pi} \frac{0.0222}{0.00105} \times 0.1198 \right)^{1/4}.
   $$

   計算得：
   $$
   d_{\text{new}} = 2.68 \, \text{in}.
   $$

$\,$
### 最終結果

- **最小軸徑**：$d_{\text{new}} = 2.68 \, \text{in}$

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$\,$
## Problem 4-43

The cantilevered handle in Problem 3-95 is made from mild steel. Let $F_y = 250 \, \text{lbf}$, $F_x = F_z = 0$. Determine the angle of twist in bar $OC$, ignoring the fillets but including the changes in diameter along the 13-in effective length. Compare the angle of twist if the bar $OC$ is simplified to be all of uniform 1-in diameter. Use superposition to determine the vertical deflection (along the $y$ axis) at the tip, using the simplified bar $OC$.

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1nB4K0CA.png =400x)

**中文翻譯**：問題 3-95 中的懸臂手柄由低碳鋼製成。設 $F_y = 250 \, \text{lbf}$，$F_x = F_z = 0$。計算桿件 $OC$ 的扭轉角，忽略倒角，但包含 13 英寸有效長度上的直徑變化。若桿件 $OC$ 被簡化為直徑均為 1 英寸的情況，則比較其扭轉角度。使用疊加法計算簡化桿件 $OC$ 在尖端沿 $y$ 軸的垂直變形量。

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### 計算過程

$\,$
#### Step 1. 計算桿件 $OC$ 的扭轉變形量 (忽略倒角)

1. 計算各段桿件的極慣性矩：
   $$
   J_{OA} = J_{BC} = \frac{\pi (1.5)^4}{32} = 0.9470 \, \text{in}^4,
   $$
   
   $$
   J_{AB} = \frac{\pi (1)^4}{32} = 0.0982 \, \text{in}^4.
   $$

2. 使用疊加原理求解總扭轉變形量 $\theta$：
   $$
   \begin{align}
   \theta &= \theta_{OA} + \theta_{AB} + \theta_{BC} \\
   \\
   &= \bigg(\frac{Tl}{GJ} \bigg)_{OA} + \bigg(\frac{Tl}{GJ} \bigg)_{AB} + \bigg(\frac{Tl}{GJ} \bigg)_{BC} \\
   \\
   &= \frac{250 \times 12}{11.5 \times 10^6 \times 0.4970} + \frac{250 \times 9}{11.5 \times 10^6 \times 0.09817} + \frac{250 \times 2}{11.5 \times 10^6 \times 0.4970} \\ 
   \\
   &= 0.026 \; \text{rad}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 2. 計算桿件 $OC$ 的扭轉變形量 (簡化)

1. 假設桿件為直徑均為 1 英寸的情況，則：
   $$
   \theta_s = \frac{T l}{GJ} = \frac{250 \times 12}{11.5 \times 10^6 \times 0.0982} = 0.0345 \; \text{rad}. \quad \text{ Ans.}
   $$

2. 比較兩者之誤差：
   $$
   \theta_{\text{err}} = \frac{\theta_s}{\theta} = \frac{0.0345}{0.0260} = 1.33. \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 3. 計算 $D$ 點在 $y$ 軸方向的變形量

1. 計算桿件 $OC$ 和 $CD$ 的截面慣性矩：
   $$
   I_{OC} = \frac{\pi (1)^4}{64} = 0.049 \, \text{in}^4, \quad I_{CD} = \frac{\pi (0.75)^4}{64} = 0.0155 \, \text{in}^4.
   $$

2. 透過公式 4-23，推導位能 $U$ 之方程式：
   $$
   \begin{align}
   U &= \int \frac{M^2}{2EI} \, dx = \int_0^{l_{OC}} \frac{(F_y \cdot x_d)^2}{2EI} \, dx \\ 
   \\
   &= \frac{F_y^2}{2EI} \cdot \frac{l_{OC}^3}{3}
   \end{align}
   $$

3. 對位能方程式進行偏微分，求得各區段之變形量後再進行疊加，便可得欲求之變形量 $y_D$：

   $OC$ 段的變形量 $y_{D1}$ 
   $$
   \begin{align}
   y_{D1} &= \frac{\partial U}{\partial F_y} = \frac{F_y \cdot l_{OC}^3}{3EI_{OC}}. \\
   \\
   &= \frac{250 \times (13)^3}{3 \times 30 \times 10^6 \times 0.049} = 0.1246 \, \text{in}.
   \end{align}
   $$

   $\,$
   $CD$ 段的變形量 $y_{D2}$
   $$
   \begin{align}
   y_{D2} &= \frac{\partial U}{\partial F_y} = \frac{F_y \cdot l_{CD}^3}{3EI_{CD}}. \\
   \\
   &= \frac{250 \times (12)^3}{3 \times 30 \times 10^6 \times 0.01553} = 0.3096 \, \text{in}.
   \end{align}
   $$

   $\,$
   同時，需考慮 $CD$ 段的彎曲造成的變形量 $y_{D3}$
   $$
   y_{D3} = \theta_s \cdot l_{CD} = 0.0345 \times 12 = 0.42 \, \text{in}.
   $$

   $\,$
   合併各部分的變形量，可得總變形量為：
   $$
   \begin{align}
   y_D &= y_{D1} + y_{D2} + y_{D3} \\
   \\
   &= 0.1246 + 0.3096 + 0.42 = 0.8543 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
### 最終結果

- **桿件 $OC$ 的總扭轉變形量**：$\theta = 0.0260 \; \text{rad}$
- **簡化桿件 $OC$ 的扭轉變形量**：$\theta_s = 0.0345 \; \text{rad}$， 誤差為 $1.33$ 倍
- **$D$ 點在 $y$ 軸的垂直變形量**：$y_D = 0.8543 \; \text{in}$

---
$\,$
## Problem 4-51

The figure shows an aluminum beam $OB$ with a rectangular cross section, pinned to the ground at one end, and supported by a round steel rod with hooks formed on the ends. A load is applied as shown. Use superposition to determine the vertical deflection at point $B$.

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJVz7YZJJx.png =400x)

**中文翻譯**：圖中顯示一鋁製梁 $OB$，其橫截面為矩形，一端固定在地面上，另一端由一帶有掛鉤的圓鋼桿支撐。施加的負載如圖所示。使用疊加法來計算點 $B$ 的垂直變形量。

---
### 計算過程

#### Step 1. 鋼桿的變形量

1. 使用平衡方程計算 $F_{AC}$：
   $$
   \Sigma M_O = 0, \quad 6F_{AC} - 100 \times 11 = 0, \quad F_{AC} = 183.3 \, \text{lbf}.
   $$

2. 鋼桿 $AC$ 的伸長量導致 $A$ 點在負 $y$ 方向上的變形量為：
   $$
   y_A = - \left(\frac{FL}{AE}\right)_{AC} = -\frac{183.3 \times 12}{\left[\pi (0.5)^2 / 4\right] \times 30 \times 10^6} = -3.7348 \times 10^{-4} \, \text{in}.
   $$

3. 根據相似三角形，點 $B$ 的變形量為點 $A$ 變形量的三倍：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/BJxgMKZJJl.png =300x)
   $$
   \frac{y_A}{6} = \frac{y_{B1}}{18}, \quad y_{B1} = -1.124 \times 10^{-3} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   $$   

$\,$
#### Step 2. 鋁梁的變形量
1. 參考 **表 A-9-10**：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/Bkb0kcR0A.png =500x)

2. 利用上表之公式，計算鋁梁的變形量 $y_{B2}$：
   $$
   y_{B2} = l_{BD} \theta_{BD} + y_B,
   $$
   其中，
   $$
   \theta_{BD} = \left.\frac{d}{dx} \left(\frac{F(x - l)}{6EI} \left[(x - l)^2 - a(3x - l) \right] \right) \right|_{x = l + a} + \frac{-Fa^2}{3EI} (l + a).
   $$

3. 帶入已知數值進行計算：
   $$
   y_{B2} = 7 \times \frac{Fa}{6EI} (l + 3a) - \frac{Fa^2}{3EI} (l + a),
   $$
   $$
   y_{B2} = -1.4375 \times 10^{-2} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 3. 計算總變形量

最終 $B$ 點的總變形量為：
   $$
   y_B = y_{B1} + y_{B2} = -0.00112 - 0.01438 = -0.0155 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
### 最終結果

- **$B$ 點的垂直變形量**：$y_B = -0.0155 \, \text{in}$

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$\,$
## Problem 4-71

Use Castigliano’s theorem to verify the maximum deflection for the uniformly loaded beam 7 of Appendix Table A-9. Neglect shear.

**中文翻譯**：利用 Castigliano 定理驗證附錄表 A-9 中均佈載重樑的最大變形量，忽略剪切力。

---
### 計算過程

#### Step 1. 加入虛擬力 $Q$

放置虛擬力 $Q$ 在樑的中點，以更容易計算特定位置的變形量。由於 $Q$ 是虛構的，因此實際上 $Q = 0$。

在放置虛擬力 $Q$ 時，反作用力可以表示為：
$$
R_1 = \frac{w l}{2} + \frac{Q}{2}.
$$

彎矩 $M$ 可以表示為：
$$
M = \left( \frac{w l}{2} + \frac{Q}{2} \right) x - \left(\frac{w x^2}{2}\right).
$$

對於虛擬力 $Q$ 求偏微分，可以得到：
$$
\frac{\partial M}{\partial Q} = \frac{x}{2}.
$$

$\,$
#### Step 2. 應用 Castigliano 定理求解

利用 Castigliano 定理計算虛擬力引起的變形量：
$$
\delta_i = \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int_0^{l/2} \frac{1}{EI} \left( M \frac{\partial M}{\partial F_i} \right) dx.
$$

對於單一反作用力在中點處引起的變形量：
$$
\delta = \int_0^{l/2} \frac{1}{EI} \left[ \left( \frac{w l}{2} + \frac{Q}{2} \right) x - \frac{w x^2}{2} \right] \frac{x}{2} dx.
$$

#### Step 3. 整合並求得最大變形量

由於載重為均佈，且反作用力相等，因此最大變形量為兩倍的計算結果：
$$
y_{\text{max}} = 2 \cdot \delta.
$$

將 $Q$ 設為虛擬力且不存在，則方程變為：
$$
y_{\text{max}} = \frac{1}{2EI} \int_0^{l/2} w x^2 - w x^3 dx.
$$

計算該積分：
$$
y_{\text{max}} = \frac{w}{2EI} \left[ \frac{l x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^{l/2} = \frac{5 w l^4}{384 EI}. \quad \text{Ans.}
$$

---
$\,$
## Problem 4-76

Determine the deflection at midspan for the beam of Problem 4-69 using Castigliano's theorem.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJ9gdqG11g.png)

**中文翻譯**：使用 Castigliano 定理，求解問題 4-69 中梁在跨中點的變形量。

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### 計算過程：

**已知條件：**

- $I_{AB} = {\pi (1.375^4)}/{64} = 0.1755 \, \text{in}^4$
- $I_{BC} = {\pi (1.75^4)}/{64} = 0.4604 \, \text{in}^4$
- $E = 30 \, \text{Mpsi}$
- **施加虛擬力 Q 向下，位於梁的中點 (x = 8)**

#### Step 1: 放置虛擬力 (Fictitious force)

1. 繪製自由體圖，並計算反作用力 $R_A$：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/B1dAPczykg.png)
   
   由於系統為兩側對稱，故可簡化如上圖所示。根據靜力平衡，可得：
   $$
   R_A = \frac{wl}{2} + \frac{Q}{2}
   $$

2. 截面 AB 和 BC 的彎矩方程式：

- **截面 AB, $x \in [0, 3]$:**
   $$
   M_{AB} = R_A \cdot x, \quad \quad
   \frac{\partial M_{AB}}{\partial Q} = \frac{1}{2}x
   $$

- **截面 BC, $x \in [3, 8]$:**
   $$
   M_{BC} = R_A \cdot x - \frac{w(x-3)}{2}(x-3), \quad \quad
   \frac{\partial M_{BC}}{\partial Q} = \frac{1}{2}x
   $$

$\,$
#### Step 2: 使用 Castigliano 定理

1. **對截面 AB:**
   $$
   \begin{align}
   \delta_{AB} &= \frac{1}{EI_{AB}} \int_0^3 M_{AB} \cdot \frac{\partial M_{AB}}{\partial Q} dx \\
   \\
   &= \frac{1}{EI_{AB}} \int_0^3 \left( \frac{wl}{2} + \frac{Q}{2} \right) x \cdot \left( \frac{1}{2}x \right) \, dx
   \end{align}
   $$
   由於 $Q$ 為假想力，即 $Q = 0$，則：
   $$
   \begin{align}
   \delta_{AB} &= \frac{1}{EI_{AB}} \int_0^3 \frac{wl}{4} x^2 \, dx \\
   \\
   &= \frac{wl}{4EI_{AB}} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 \\
   \\
   &= 3.8462 \times 10^{-4} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
2. **對截面 BC:**
   $$
   \begin{align}
   \delta_{BC} &= \frac{1}{EI_{BC}} \int_3^8 M_{BC} \cdot \frac{\partial M_{BC}}{\partial Q} dx \\
   \\
   &= \frac{1}{EI_{BC}} \int_3^8 \left[ \left( \frac{wl}{2} + \frac{Q}{2} \right) \cdot x - \frac{w(x-3)}{2}(x-3) \right] \cdot \left( \frac{1}{2}x \right) \, dx \\
   \end{align}
   $$
   由於 $Q$ 為假想力，即 $Q = 0$，則：
   $$
   \begin{align}
   \delta_{BC} &= \frac{1}{4EI_{BC}} \int_3^8 \left( wl \cdot x - w(x-3)^2 \right) x \, dx \\
   \\
   &= \frac{1}{4EI_{BC}} \left[ \frac{wl x^3}{3} - w \cdot \frac{(x-3)^3}{3} \right]_3^8 \\
   \\
   &= 7.6021 \times 10^{-4} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 3: 計算結構之總變形量

由於結構對稱，故在中點所產生之總變形量為：
$$
\delta_C = 2(\delta_{AB} + \delta_{BC}) = 2 \left( 3.8462 \times 10^{-4} + 7.6021 \times 10^{-4} \right) = 2.2896 \times 10^{-3} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

- $\bar{AB}$ 和 $\bar{BC}$ 的變形量分別為 $\delta_{AB} = 3.8462 \times 10^{-4} \, \text{in}$ 和 $\delta_{BC} = 7.6021 \times 10^{-4} \, \text{in}$
- 中點的總變形量 $\delta_C = 2.2896 \times 10^{-3} \, \text{in}$

---
$\,$
## Problem 4-77

Using Castigliano’s theorem, determine the deflection of point $B$ in the direction of the force $F$ for the steel bar shown.

![image](https://hackmd.io/_uploads/SydKxsMyke.png =420x)

**中文翻譯**：使用 Castigliano 定理，計算鋼棒中 $B$ 點在 $F$ 力方向上的變形。

---

### 計算過程
**概念：**
由於力在三個軸上作用，因此我們需要先分別考慮 $OA$ 和 $AB$ 段中的每個力分量的影響，然後將結果結合。

**已知條件：**
- $F = 15 \, \text{lbf}$
- $E = 30 \, \text{Mpsi}$ 
- $G = 11.5 \, \text{Mpsi}$
- $A = 0.1963 \, \text{in}^2$
- $J = 6.135 \times 10^{-3} \, \text{in}^4$
- $I = 3.068 \times 10^{-3} \, \text{in}^4$
- $L_1 = 15 \, \text{in}$ 
- $L_2 = 7 \, \text{in}$

**自由體圖：**
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJlHuoG1Jl.png =320x)


$\,$
#### Step 1: 計算 $F_x = {3}/{5}F$

1. **在 $OA$ 段，沿 $x$ 軸的拉伸變形**：
   已知：
   $$
   F_x = 0.6F, \quad \frac{\partial F_x}{\partial F} = 0.6
   $$

   由公式 $4-29$：
   $$
   \begin{align}
   \delta_1 &= \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int \frac{1}{AE} \left( F_x \frac{\partial F}{\partial F_i} \right) dx \\
   \\
   &= \frac{F_x L_1}{AE} \cdot \frac{\partial F_x}{\partial F} = \frac{0.6F \cdot 15}{0.1963 \times 30 \times 10^6} \cdot 0.6 \\
   \\
   &= 1.375 \times 10^{-5} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. **在 $OA$ 段，沿 $x-z$ 平面中的反應彎矩**：
   已知：
   $$
   M_{xz} = 7 \cdot F_x = 4.2F, \quad \frac{\partial M_{xz}}{\partial F} = 4.2
   $$

   由公式 $4-31$：
   $$
   \begin{align}
   \delta_2 &= \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int \frac{1}{EI} \left( M \cdot \frac{\partial M}{\partial F_i} \right) \; dx \\
   \\
   &= \frac{M_{xz} L_1}{EI} \cdot \frac{\partial M_{xz}}{\partial F} = \frac{4.2F \cdot 15}{30 \times 10^6 \times 3.068 \times 10^{-3}} \cdot 4.2 \\
   \\
   &= 4.312 \times 10^{-2} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

3. **在 $AB$ 段，沿 $y$ 軸的彎矩**：
   已知：
   $$
   M_{By} = F_x \cdot x_B, \quad \frac{\partial M_{By}}{\partial F} = 0.6x_B
   $$

   由公式 $4-31$：
   $$
   \begin{align}
   \delta_3 &= \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int \frac{1}{EI} \left( M \cdot \frac{\partial M}{\partial F_i} \right) \; dx \\
   \\
   &= \frac{0.6F_x}{EI} \int_0^{L_2} x_B^2 \; dx_B \\
   \\
   &= 6.708 \times 10^{-3} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 2: 計算 $F_y = {4}/{5}F$

1. **在 $OA$ 段，沿 $x$ 軸的扭轉**：
   已知：
   $$
   T_x = 7 \cdot F_y = 5.6F, \quad \frac{\partial T_x}{\partial F} = 5.6
   $$

   由公式 $4-30$：
   $$
   \begin{align}
   \delta_4 &= \frac{\partial U}{\partial M_i} = \int \frac{1}{GJ} \left( T \frac{\partial T}{\partial M_i} \right) dx \\
   \\
   &= \frac{T_x L_1}{GJ} \cdot \frac{\partial T_x}{\partial F} \\
   \\
   &= 0.1 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. **在 $OA$ 段，沿 $z$ 軸的彎矩**：
   已知：
   $$
   M_{Bz} = F_y \cdot x_A, \quad \frac{\partial M_{Bz}}{\partial F} = 0.8x_A
   $$

   由公式 $4-31$：
   $$
   \begin{align}
   \delta_5 &= \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int \frac{1}{EI} \left( M \cdot \frac{\partial M}{\partial F_i} \right) \; dx \\
   \\
   &= \frac{0.8F_y}{EI} \int_0^{L_1} x_A^2 \; dx_A \\
   \\
   &= 0.1173 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

3. **在 $AB$ 段，沿 $x$ 軸的彎矩**：
   已知：
   $$
   M_{Bx} = F_y \cdot x_B, \quad \frac{\partial M_{Bx}}{\partial F} = 0.8x_B
   $$

   由公式 $4-31$：
   $$
   \begin{align}
   \delta_6 &= \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int \frac{1}{EI} \left( M \cdot \frac{\partial M}{\partial F_i} \right) \; dx \\
   \\
   &= \frac{0.8F_y}{EI} \int_0^{L_2} x_B^2 dx_B \\
   \\
   &= 1.193 \times 10^{-3} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 3: 總變形量計算

將所有結果相加：
$$
\delta_B = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3 + \delta_4 + \delta_5 + \delta_6 = 0.2683 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
$$


$\,$
### 最終結果

- $B$ 點的總變形量 $\delta_B = 0.2683 \, \text{in}$。

---

$\,$
## Problem 4-88

The part shown in the figure is made from cold-drawn AISI 1020 steel. Use Castigliano’s method to directly find the deflection of point $D$ in the $y$ direction. Organize your work in the following manner:

(a) Determine the component of the deflection at $D$ due to the energy in section $AB$. 
(b) Determine the component of the deflection at $D$ due to the energy in section $BC$. 
\(c) Determine the component of the deflection at $D$ due to the energy in section $BD$. 
(d) Determine the total deflection at $D$ due to all of the components combined.

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryo25_XyJe.png =500x)

**中文翻譯**：圖示中的零件由冷拉 AISI 1020 鋼製成。使用 Castigliano 方法，直接計算 $D$ 點在 $y$ 方向上的變形。按照以下方式組織你的工作：

(a) 計算 $D$ 點由 $AB$ 段產生的變形分量。
(b) 計算 $D$ 點由 $BC$ 段產生的變形分量。
\(c) 計算 $D$ 點由 $BD$ 段產生的變形分量。 
(d) 計算 $D$ 點的總變形量。

---

### 計算過程
**已知條件：**
- $E = 30 \, \text{Mpsi}$ 
- $G = 11.5 \, \text{Mpsi}$
- $I_z = 0.0153 \, \text{in}^4$ 
- $J = 0.0982 \, \text{in}^4$ 

**自由體圖：**
![image](https://hackmd.io/_uploads/ByDY9dQykl.png =450x)

$\,$
#### Step 1. 計算 $AB$ 段的變形量

1. **力 $F$ 在 $B$ 點的貢獻**：

   已知：
   $$
   M_{Bz} = (F - 300)x_B, \quad \frac{\partial M_{Bz}}{\partial F} = x_B
   $$

   由公式 $4-31$，變形量為：
   $$
   \begin{align}
   &\delta_i = \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int \frac{1}{EI} \left( M \cdot \frac{\partial M}{\partial F_i} \right) \; dx \\
   \\
   &\Rightarrow \delta_{D1,1} = \frac{F - 300}{EI} \left( \frac{-x^3}{3} \right) \Bigg|_0^6 \quad = -4.8879 \times 10^{-3} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. **力 $F$ 在 $C$ 點的貢獻**：

   已知：
   $$
   M_Cy = -500x_B, \quad \frac{\partial M_Cy}{\partial F} = 0
   $$

   因此，
   $$
   \delta_{D1,2} = 0. \quad \text{ Ans.}
   $$

3. **力 $F$ 在 $D$ 點的貢獻**：

   已知：
   $$
   T_x = 4F, \quad \frac{\partial T_{Dx}}{\partial F} =4
   $$ 
   
   且扭矩為常數，應用公式 $4-30$：
   $$
   \begin{align}
   \theta_i &= \frac{\partial U}{\partial M_i} = \int \frac{1}{GJ} \left( T \frac{\partial T}{\partial M_i} \right) dx \\
   \\
   &= \frac{\partial U}{\partial F_i} = \Big( T\frac{\partial T}{\partial F_i} \frac{l}{GJ} \Big)\quad\Rightarrow \delta_{D1,3} = 0.01701 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

4. **因此，$AB$ 段的總變形量為：**
   $$
   y_{D1} = \delta_{D1,1} + \delta_{D1,2} + \delta_{D1,3} = 0.0121 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 2. 計算 $BC$ 段的變形量

由於 $BC$ 段不影響 $D$ 點的變形，因此：
$$
y_{D2} = 0. \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算 $BD$ 段的變形量

- **力 $F$ 在 $D$ 點的貢獻**：

   已知：
   $$
   M_{Dx} = F \cdot x_D, \quad \frac{\partial M_{Dx}}{\partial F} = x_D
   $$

   由公式 $4-31$，變形量為：
   $$
   \delta_i = \frac{\partial U}{\partial F_i} = \int \frac{1}{EI} \left( M \cdot \frac{\partial M}{\partial F_i} \right) \; dx \\
   $$
   
   $$
   \begin{align}
   \Rightarrow y_{D3} &= \frac{1}{EI} \int_0^4 \Big( (F \cdot x_D) \cdot x_D \Big) \, dx_D \quad = 3.4953 \times 10^{-3} \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 4. 總變形量計算

將所有結果相加：
$$
y_D = y_{D1} + y_{D2} + y_{D3} = 0.0121 + 0 + 0.0035 = 0.0156 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

- $D$ 點的總變形量 $y_D = 0.0156 \, \text{in}. \quad \text{ Ans.}$

---

$\,$
## Problem 4-92

The steel curved bar shown has a rectangular cross section with a radial height $h = 6 \, \text{mm}$, and a thickness $b = 4 \, \text{mm}$. The radius of the centroidal axis is $R = 40 \, \text{mm}$. A force $P = 10 \, \text{N}$ is applied as shown. Find the vertical deflection at $B$. Use Castigliano’s method for a curved flexural member, and since $R/h < 10$, do not neglect any of the terms.

![image](https://hackmd.io/_uploads/BktvPKm11g.png =350x)

**中文翻譯**：圖中顯示的鋼製彎曲梁具有矩形截面，徑向高度 $h = 6 \, \text{mm}$，厚度 $b = 4 \, \text{mm}$。重心軸的半徑為 $R = 40 \, \text{mm}$。如圖所示施加力 $P = 10 \, \text{N}$。求 $B$ 點的垂直位移。使用 Castigliano 方法對彎曲梁進行計算，並且由於 $R/h < 10$，不要忽略任何項目。

---

**使用 Castigliano 定理之位移公式 (Eq 4-38)：**
$$
\begin{align}
\delta = \frac{\partial U}{\partial F} &= \int \frac{M}{A e E} \left( \frac{\partial M}{\partial F} \right) \, d\theta + \int \frac{F_\theta R}{A E} \left( \frac{\partial F_\theta}{\partial F} \right) \, d\theta \\
\\
&- \int \frac{1}{A E} \left( \frac{\partial M_{F_\theta}}{\partial F} \right) \, d\theta + \int \frac{C F_r R}{A G} \left( \frac{\partial F_r}{\partial F} \right) \, d\theta
\end{align}
$$

**自由體圖：**
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJKKYtQkke.png =370x)

$\,$
### 計算過程

#### Step 1. 收集所需的資訊

1. 根據受力圖 (F.B.D.)，力的分量分別為：
   $$
   P_r = P \sin \theta, \quad P_\theta = P \cos \theta, \quad M = P \cdot R \cos \theta
   $$
   則各個力和彎矩的偏微分為：
   $$
   \frac{\partial P_r}{\partial P} = \sin \theta, \quad \frac{\partial P_\theta}{\partial P} = \cos \theta, \quad \frac{\partial M}{\partial P} = R \cos \theta
   $$

2. 從幾何截面計算所需參數：
   結構為方形截面，參考 **表 3-4** 以及 **表 4-1** :
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/SkZtitQyyx.png =480x)
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/BkXHhFm1yl.png =480x)

   $\,$
   $$
   A = 24 \, \text{mm}^2, \quad r_o = 40 + 0.5 \times 6 = 43 \, \text{mm}, \quad r_i = 40 - 0.5 \times 6 = 37 \, \text{mm}
   $$

   $$
   r_n = \frac{h}{\ln\left( {r_o}/{r_i} \right)} = 39.925 \, \text{mm}, \quad e = R - r_n = 40 - 39.925 = 0.0751 \, \text{mm}, \quad C = 1.2
   $$
 
3. 材料性質 (steel)：
   $$
   E = 207 \, \text{GPa}, \quad G = 79.3 \, \text{GPa}, \quad
   $$

$\,$
#### Step 2. 代入公式 $4-38$ 計算

$$
\begin{align}
\delta = &\frac{1}{A e E} \int_0^{\pi/2} P \cdot R^2 \cos^2 \theta \, d\theta + \frac{1}{A E} \int_0^{\pi/2} P \cdot R \cos^2 \theta \, d\theta \\
\\
&- \frac{1}{A E} \int_0^{\pi/2} P^2 \cdot R \cos \theta \, d\theta + \frac{C R}{A G} \int_0^{\pi/2} P \cdot \sin^2 \theta \, d\theta
\end{align}
$$
進一步簡化：
$$
\begin{align}
\delta = &\frac{P R^2}{A e E} \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta + \frac{P R}{A E} \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta \\
\\
&- \frac{P^2 R}{A E} \int_0^{\pi/2} \cos \theta \, d\theta + \frac{C P R}{A G} \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta
\end{align}
$$
再進一步化簡並代入積分的結果：
$$
\delta = \frac{P R^2}{A e E} \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{P R}{A E} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{P^2 R}{A E} \cdot 1 + \frac{C P R}{A G} \cdot \frac{\pi}{4}
$$
將所有已知參數代入後，可得總變形量為：
$$
\delta = -0.0337 + 6.32 \times 10^{-5} - 8.05 \times 10^{-4} + 1.98 \times 10^{-4} = -0.03427 \, \text{mm}
$$


$\,$
### 最終結果

- $B$ 點的垂直位移 $\delta = -0.03427 \, \text{mm}$

---

$\,$
## Problem 4-117

The figure shows a 1/2-by-1-in rectangular steel bar welded to fixed supports at each end. The bar is axially loaded by the forces $F_A = 12 \, \text{kip}$ and $F_B = 6 \, \text{kip}$ acting on pins at $A$ and $B$. Assuming that the bar will not buckle laterally, find the reactions at the fixed supports, the stress in section $AB$, and the deflection of point $A$. Use procedure 1 from Section 4–10.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HkzKMqmJJl.png =500x)

**中文翻譯**：圖中顯示一根 $1/2 \times 1 \, \text{in}$ 的矩形鋼條焊接在每端的固定支架上。該鋼條軸向受 $F_A = 12 \, \text{kip}$ 和 $F_B = 6 \, \text{kip}$ 的力作用在 $A$ 和 $B$ 的銷釘上。假設該鋼條不會側向屈曲，求固定支座的反力，$AB$ 段的應力，以及 $A$ 點的變形量。使用 4-10 節中的步驟 1。

---

### 計算過程

**自由體圖：**
![image](https://hackmd.io/_uploads/B1qEM5mkkl.png)
只考慮施加負載的效果。

$\,$
#### Step 1. 參考教科書提供之流程進行作用力的計算

- **步驟 1：**
將 $R_0$ 假設為冗餘之反作用力。

- **步驟 2：**
計算結構靜力平衡：
$$
\Sigma F = 0, \quad R_0 + 12 - 6 - R_c = 0, \quad R_0 = -6 + R_c \; (\text{kip})
$$

- **步驟 3：**
在 $C$ 點的變形量則為：
$$
\begin{align}
\delta_C &= \delta_{L=15} + \delta_{L=10} + \delta_{L=20} \\
\\
&= \frac{-R_c \cdot 15}{A E} + \frac{(-6 - R_c) \cdot 10}{A E} + \frac{(12 - 6 - R_c) \cdot 20}{A E} = 0 \\
\\
\Rightarrow &-45 R_c + 60 = 0, \quad R_c = \frac{4}{3} \, \text{kip}. \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

- **步驟 4：**
由於 $R_c = {4}/{3} \, \text{kip}$ 則 $R_0$ 為：
$$
R_0 = -6 + \frac{4}{3} = -\frac{14}{3} \; \text{kip}. \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2. 求出區段 $\bar{AB}$ 中的應力

示意圖：
![image](https://hackmd.io/_uploads/Hk08vcQJyl.png =270x)

$$
\sigma = \frac{F_{AB}}{A} = \frac{F_B + F_c}{1 \times 0.5} = \frac{6 + \frac{4}{3}}{0.5} = 14.67 \; \text{kip/in}^2. \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算 $A$ 點之變形量

$$
\delta = \frac{R_0 \cdot L_A}{A E} = \frac{\frac{14}{3} \cdot 20}{0.5 \cdot 30 \times 10^3} = 6.2 \times 10^{-3} \; \text{in}. \quad \text{Ans.}
$$

---


### 教科書提供之流程（摘自 Section 4-10）

1. Choose the redundant reaction(s). There may be alternative choices (See Example 4–14).
2. Write the equations of static equilibrium for the remaining reactions in terms of the applied loads and the redundant reaction(s) of step 1.
3. Write the deflection equation(s) for the point(s) at the locations of the redundant reaction(s) of step 1 in terms of the applied loads and the redundant reaction(s) of step 1. Normally the deflection(s) is (are) zero. If a redundant reaction is a moment, the corresponding deflection equation is a rotational deflection equation.
4. The equations from steps 2 and 3 can now be solved to determine the reactions.

In step 3 the deflection equations can be solved in any of the standard ways. (Here $\delta = {PL}/{AE}$)

**中文翻譯：**

1. 選擇冗餘反作用力。可能有其他的選擇（參見範例 4–14）。
2. 根據施加的負載以及步驟 1 中選擇的冗餘反作用力，寫出其餘反作用力的靜力平衡方程式。
3. 根據冗餘反作用力所在的位置寫出變形量方程式，這些變形量方程式將透過結構上所施加之負載以及冗餘反作用力表示之。一般而言，這些變形量為零。如果冗餘反作用力是彎矩，則相應的變形量方程式則為角度變化量之方程式。
4. 對步驟 2 和步驟 3 所建立之方程式，進行聯立方程式的求解，來得到欲求之反作用力。

在步驟 3 中，變形量可以通過任何標準方法求解。（例如 $\delta = {PL}/{AE}$）

---

$\,$
## Problem 4-129

Link OB is 20 mm wide and 10 mm thick, and is made from low-carbon steel with $S_y = 200 \, \text{MPa}$. The pin joints are constructed with sufficient size and fit to provide good resistance to out-of-plane bending. Determine the factor of safety for out-of-plane buckling.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJ2x097y1g.png =450x)

**中文翻譯**：連桿 OB 寬 20 mm，厚 10 mm，由低碳鋼製成，屈服強度 $S_y = 200 \, \text{MPa}$。銷釘接頭具有足夠的尺寸和配合，能夠提供良好的抗平面外彎曲能力。求解平面外屈曲的安全係數。

---

### 計算過程

#### Step 1. 計算連桿 $\bar{BC}$ 內部的作用力
自由體圖：
![image](https://hackmd.io/_uploads/SyGwRcQyyg.png)

建立靜力平衡方程式：
$$
\Sigma M_A = 0,
$$

$$
-1200 \cdot 0.4 - F_{BC} \cos 30^\circ \cdot 0.4 = 0 \quad \quad
\Rightarrow F_{BC} = 1385.64 \, \text{N} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算安全係數

計算安全係數時，有以下兩種公式可使用，如下圖所示，當 $l/k$ 在某個臨界值範圍內時，==**選擇適用的公式進行計算**==。
![image](https://hackmd.io/_uploads/By8pacXyye.png =650x)

- **Euler’s Formula (Eq 4-44):**
   $$
   \frac{P_{cr}}{A} = \frac{C \pi^2 E}{(l/k)^2}
   $$

- **Johnson’s Formula (Eq 4-48):**
   $$
   \frac{P_{cr}}{A} = S_y - \left( \frac{S_y l}{2 \pi k} \right)^2 \cdot \frac{1}{C E}
   $$

==**請注意：**== 上圖中的 $\left(\frac{l}{k}\right)_1$ 以及 $\left(\frac{l}{k}\right)_2$ 均為**符號**！

$\,$
1. 計算 **特定細長比 (specified slenderness ratio)** $\left( \frac{l}{k} \right)_1$
   根據公式 Eq 4-45：
   $$
   \left( \frac{l}{k} \right)_1 = \left( \frac{2 \pi^2 C E}{S_y} \right)^{1/2} = 156.576 \quad \text{Ans.}
   $$
   其中的 $C$ 值需要查表，**須根據結構的固定方式選擇**：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/rk--IjX11x.png =500x)


2. 計算 **實際結構之細長比 (slenderness ratio)**
   $$
   k = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{b h^3}{12} \cdot \frac{1}{b h}} = \frac{h}{\sqrt{12}} = 2.887 \times 10^{-3} \, \text{m}
   $$

   $$
   \frac{l}{k} = \frac{0.8}{2.887 \times 10^{-3}} = 277.178 \quad \text{Ans.}
   $$

3. 選擇適當的公式來計算 **安全係數 (factor of safety)** 
   由於實際結構的細長比大於特定細長比，故使用 Euler’s 公式進行安全係數的計算：
   
   $$
   \frac{l}{k} > \left( \frac{l}{k} \right)_1
   $$   
   首先計算臨界負載 $P_{cr}$，並與結構實際所受的負載進行相除，便可得到安全係數 $n$：
   $$
   P_{cr} = 6384.41 \, \text{N}
   $$

   $$
   n = \frac{P_{cr}}{F_{BC}} = \frac{6384.41}{1385.64} = 4.6076 \quad \text{Ans.}
   $$

$\,$
### 最終結果

- $F_{BC} = 1385.64 \, \text{N}$
- $\left( \frac{l}{k} \right)_1 = 156.576$
- $\frac{l}{k} = 277.178$
- 安全係數 $n = 4.6076$

---
## Problem 4-127

Link 2, shown in the figure, is 25 mm wide, has 12-mm-diameter bearings at the ends, and is cut from low-carbon steel bar stock having a minimum yield strength of 165 MPa. The end-condition constants are $C = 1$ and $C = 1.2$ for buckling in and out of the plane of the drawing, respectively.

(a) Using a design factor $n_d = 4$, find a suitable thickness for the link.
(b) Are the bearing stresses at $O$ and $B$ of any significance?

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJKuqs71yg.png =480x)

**中文翻譯：** 連桿 2 如圖所示，寬度為 25 mm，兩端有直徑 12 mm 的軸承，使用低碳鋼棒料製成，最小屈服強度為 165 MPa。對於平面內外的屈曲，端部條件常數分別為 $C = 1$ 和 $C = 1.2$。

(a) 使用設計係數 $n_d = 4$，找出適合連桿的厚度。
(b) $O$ 和 $B$ 處的軸承應力是否重要？

---

### 計算過程：

**已知條件：**
- $E = 207 \, \text{GPa}$
- $S_y = 165 \, \text{MPa}$
- $C = 1$（平面內），$C = 1.2$（平面外）
- 給定 $b = 12 \, \text{mm}$
- ==**解題方向：請參考上一題。**== 

**結構 $ABC$ 之自由體圖：**
![image](https://hackmd.io/_uploads/H1vnx3mkkg.png)

$\,$
#### Step 1. 計算連桿 $\bar{OB}$ 內部所受之作用力

$$
\Sigma M_A = 0, \quad -800 \cdot 0.75 - F_{OB} \cdot \cos 29.05^\circ \cdot 0.5 = 0
$$

$$
\Rightarrow F_{OB} = 1372.75 \, \text{N}. \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2. 給定設計參數 $n_d = 4$，求最適合之連桿 $\bar{OB}$ 的厚度
根據設計參數，則連桿 $\bar{OB}$ 必須承受的最小負載 $F_d$ 為：
$$
F_d = F_{OB} \cdot n_d = 5491 \, \text{N}
$$

考慮不同失效情境進行屈曲分析：

1. **在 $x-y$ 平面上的屈曲分析 (內平面：$C = 1, \; b = 12 \, \text{mm}, \; h = 25\, \text{mm}$)**

   - 計算 **特定細長比 (specified slenderness ration)** $\left( \frac{l}{k} \right)_1$

     $$ 
     \left( \frac{l}{k} \right)_1 = 157.365 \quad \text{(from Eq. 4-45)}
     $$

   - 計算 **實際結構之細長比 (slenderness ratio)**

     $$ 
     k = \frac{h}{\sqrt{12}} = 7.217 \times 10^{-3} \, \text{m}, \quad \frac{l}{k} = 142.658
     $$

   - 選擇適當的公式來計算 **臨界負載 (critical pressure)**

     由於 $\frac{l}{k} < \left( \frac{l}{k} \right)_1$，使用 **Johnson's 公式**：

     $$ 
     P_{cr,1} = 29.1598 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
     $$

$\,$

2. **在 $x-z$ 平面上的屈曲分析 (外平面: $C = 1.2, \; b = 25 \, \text{mm}, \; h = 12 \, \text{mm}$)**

   - 計算 **特定細長比 (specified slenderness ration)** $\left( \frac{l}{k} \right)_2$:

     $$ 
     \left( \frac{l}{k} \right)_2 = 192.385 \quad \text{(from Eq. 4-45)}
     $$

   - 計算 **實際結構之細長比 (slenderness ratio)**

     $$ 
     k = \frac{h}{\sqrt{12}} = 3.464 \times 10^{-3} \, \text{m}, \quad \frac{l}{k} = 297.218
     $$

   - 選擇適當的公式來計算 **臨界負載 (critical pressure)**

     由於 $\frac{l}{k} > \left( \frac{l}{k} \right)_2$，使用 **Euler's 公式**：

     $$ 
     P_{cr,2} = 8.3257 \, \text{kN}. \quad \text{Ans.}
     $$

$\,$
3. 根據上述的內外平面之屈曲分析，評估連桿 $\bar{OB}$ 的厚度是否可行

由於 $P_{cr,2} > P_{cr,1} > F_{OB}$，無論內外平面的臨界屈曲負載均大於設計所需之最小負載，故連桿厚度為 $b = 12 \, \text{mm}$ 是可行的。$\quad \text{Ans.}$

---

