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title: 04_助教課_CH6
tags: [2. 第二次考試範圍]

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第六章：疲勞破壞 (Fatigue Failure Resulting from Variable Loading)
本章探討材料在變動負載下的疲勞破壞機制及設計方法，重點分析循環負載對壽命的影響。主要內容包括：

疲勞壽命方法：Strain-Life Method、Stress-Life Method、Linear-Elastic Fracture Mechanics 
S-N 圖與耐久極限：描述材料的疲勞壽命與性能。
疲勞應力修正因子：考慮表面品質、尺寸效應與應力集中等因素。
應力波動與疲勞準則：引入疲勞準則和波動應力圖分析變動負載對失效的影響。
累積疲勞損傷：介紹 Palmgren-Miner 法則評估疲勞損傷。

（課堂上勾選之第六章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 6-16

The rotating shaft shown in the figure is machined from AISI 1020 CD steel. It is subjected to a force of $F = 6 \, \text{kN}$. Find the minimum factor of safety for fatigue based on infinite life. If the life is not infinite, estimate the number of cycles. Be sure to check for yielding.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HkgxTxGbyl.png =666x)

**中文翻譯**：如圖所示，有一使用 AISI 1020 CD 鋼材，透過機械加工製成之旋轉軸，受到 $F = 6 \, \text{kN}$ 之外部負載。計算其最小之疲勞安全係數，以評估此旋轉軸在該負載下是否具備無限壽命。若無，則預估此軸可使用之循環次數（即其壽命），並確認是否會產生降伏。

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### 計算過程

**已知條件**
- 外部負載：$F = 6 \, \text{kN}$
- 降伏強度：$S_y = 390 \, \text{MPa}$
- 抗拉強度：$S_{ut} = 470 \, \text{MPa}$
- 圓角半徑：$r = 3 \, \text{mm}$（即圖中標示之3R）

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#### Step 1. 求解軸的反作用力

1. 繪製軸的自由體圖（F.B.D.）：
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1gJjlGWJg.png =500x)

2. 根據自由體圖計算反作用力：
設 $R_A$ 和 $R_D$ 為支撐處的反作用力，則：

$$
\sum M_A = 0,
$$
   
$$
\Rightarrow -6 \cdot 325 + R_D \cdot 500 = 0 \quad \Rightarrow R_D = 3.9 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
$$
$$
\sum F_y = 0,
$$
   
$$
\Rightarrow R_A + R_D - 6 = 0 \quad \Rightarrow R_A = 2.1 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
$$

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#### Step 2. 求解交變應力（Alternating stress, $\sigma_a$）
由於此旋轉軸是在旋轉過程中被施予外部負載，且該外部負載為一常數，故彎曲應力之類型為 **「完全反向應力（completely reversed stress）」** 。==**請注意**==，此時產生的應力是為「動態應力」，意即，**因外部負載產生的應力將隨著軸的旋轉而變化。** 應力的變化可視為一個弦波，而在此處要求的應力便是該弦波的最大值（最大振幅）。

完全反向應力的示意圖，可參考教科書第 6-7 節之 **圖 6-17\(c)**：
![Screenshot_20241101_153740_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/BkkiBWGZ1l.jpg =350x)

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1. 根據自由體圖的結果，繪製剪力彎矩圖：
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkMck-fZkg.png =400x)

2. 計算應力 $\sigma_{\text{ar}}$：
   從旋轉軸的結構中可以看出，在 $B$ 點位置，軸的直徑由 $35 \, \text{mm}$ 變為 $50 \, \text{mm}$ ，一般而言，在直徑變化的區域最容易產生 **應力集中（stress concentration）** 之現象，軸將容易在旋轉時因疲勞而破壞。==**故此時須評估的彎曲應力則為最容易產生應力集中的區域，而非最大彎矩處。**==
   
   從彎矩圖中得知，$B$ 點處的彎矩值為：
   $$
   M_B = (180+20) \cdot 2.1 = 420 \, \text{kN} \cdot \text{mm}
   $$
   
   則：
   
   $$
   \sigma_{\text{ar}} = \frac{M_B \cdot c}{I} = 99.78 \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   $$

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#### Step 3. 求解疲勞應力集中係數 $K_f$

疲勞應力集中係數（fatigue stress-concentration factor, $K_f$）可透過以下數學式表達：
$$
K_f = 1 + \frac{K_t - 1}{1 + \sqrt{a}/\sqrt{r}}
$$

其中，
- $r$ 值為旋轉直徑變化處之圓角。
- $K_t$ 為理論應力集中係數（Theoretical stress-concentration factor，僅適用於靜態負載的情況下。）
- $\sqrt{a}$ 為 Neuber 常數。

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將上述公式所需之係數 $K_t$ 以及 $\sqrt{a}$ 求出： 
   1. 根據已知的幾何參數，透過 **圖表 A-15-9** 查得 $K_t$：
   $$
   r/d = 0.086, \quad d/D = 1.43 \quad \Rightarrow K_t = 1.7 \quad \text{ Ans.}
   $$
   
   2. Neuber 常數 $\sqrt{a}$：
   因為旋轉軸的抗拉強度為 $S_{ut} = 470 \, \text{MPa}$，則可透過 **公式 6-35** 求得：
   $$
   \begin{align}
   \sqrt{a} &= 1.24 - 2.25 \times 10^{-3} S_{ut} + 1.60 \times 10^{-6} S_{ut}^2 - 4.11 \times 10^{-10} S_{ut}^3 \\
   \\
   &= 0.4933 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   
   3. 將求得係數代回至公式中：
   $$
   \begin{align}
   K_f &= 1 + \frac{K_t - 1}{1 + \sqrt{a}/\sqrt{r}} \\
   \\
   &= 1 + \frac{1.7 - 1}{1 + 0.4933 / \sqrt{3}} = 1.5448 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

   4. 則旋轉過程中，工件所受之最大應力 $\sigma_{\text{rev}}$ 為：
   $$
   \sigma_{\text{rev}} = K_f \cdot \sigma_{\text{ar}} = 154.143 \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   $$

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#### Step 4. 計算疲勞限修正因子 $S_e$

==**計算 $S_e$ 時的準作業流程（SOP）基本如下：**==

1. $S_e$ 可由 **Marin's equation**，即 **公式6-17** 求得：
（順待一提，右圖之工件為疲勞限之標準測試工件。）
![image](https://hackmd.io/_uploads/Skal1HzWkg.png =500x)

2. $k_a$ 為表面因子（surface factor）。
根據工件的表面加工方式來查 **表6-2** 搭配 **公式6-18** 求得：
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJ3GyBGbkl.png =500x)

3. $k_b$ 為形狀因子（size factor）。
根據結構的幾何造型，透過 **公式6-19** 求得：
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkVEJHGZkg.png =500x)

4. $k_c$ 為負載因子（load factor）。
根據結構的負載形式，透過 **公式6-25** 求得：
![image](https://hackmd.io/_uploads/r16HJBMb1l.png =500x)

5. $S_e'$ 為標準測試工件實驗出來的理論疲勞限。
根據結構本身材質的抗拉強度 $S_{ut}$ 代入 **公式6-10** 求得 ：
![image](https://hackmd.io/_uploads/HJewJHM-1x.png =500x)

6. 將上述求得之各項係數代入 **公式6-17**，求得修正之疲勞限：
   $$
   \begin{align}
   S_e &= k_a \cdot k_b \cdot k_c \cdot S_e'\\
   \\
   &= 0.8 \cdot 0.85 \cdot 1 \cdot 235 = 160 \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   
   註：一般而言，溫度因子（temperature factor, $k_d$） 及可靠度因子（reliability factor, $k_e$）因其影響的程度較低，故一般忽略不計，除非題目敘述或設計時有特別需要針對這兩項因子額外進行考量。
   
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#### Step 5. 計算其最小之疲勞安全係數，並評估是否具備無限壽命

1. 計算最小疲勞安全係數 $n_f$：
   最小疲勞安全係數為修正疲勞限與工件受動態負載時產生之最大應力之間的比值，即：
   $$
   \begin{align}
   n_f &= \frac{S_e}{\sigma_{\text{rev}}} \\
   \\
   &= \frac{160}{154.143} = 1.038 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. 評估旋轉軸是否具無限壽命：
   由於最小疲勞安係數 $n > 1$，可知此旋轉軸在動態負載下具有無限壽命。 $\quad \text{ Ans.}$

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### 最終結果

- **最小疲勞安全係數**：$n = 1.038$，且旋轉軸在動態負載下具無限壽命。

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## Problem 6-20

A bar of steel has the minimum properties $S_e = 40$ kpsi, $S_y = 60$ kpsi, and $S_{ut} = 80$ kpsi. The bar is subjected to a steady torsional stress of 15 kpsi and an alternating bending stress of 25 kpsi. Find the factor of safety guarding against a static failure, and either the factor of safety guarding against a fatigue failure or the expected life of the part. For the fatigue analysis, use:

(a) Goodman criterion. 
(b) Gerber criterion. 
\(c) Morrow criterion.

**中文翻譯**：一根鋼棒的最低材料性質為 $S_e = 40 \, \text{kpsi}$、$S_y = 60 \, \text{kpsi}$ 及 $S_{ut} = 80 \, \text{kpsi}$。此鋼棒受到穩定的扭轉應力 15 kpsi 及交變彎曲應力 25 kpsi。求靜態破壞的安全係數，並求疲勞破壞的安全係數或此零件的預期壽命。疲勞分析使用以下方法：

(a) Goodman 準則 
(b) Gerber 準則 
\(c) Morrow 準則

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### 計算過程

**已知條件**

- 材料性質：
  - 疲勞極限：$S_e = 40 \, \text{kpsi}$
  - 降伏強度：$S_y = 60 \, \text{kpsi}$
  - 抗拉強度：$S_{ut} = 80 \, \text{kpsi}$
- 作用應力：
  - 穩定扭轉應力：$\tau = 15 \, \text{kpsi}$
  - 交變彎曲應力：$\sigma_a = 25 \, \text{kpsi}$

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#### Step 1. 計算分析時所需的各項應力

1. 條列所需之應力公式：
   - **簡化 Von Mises 應力公式：**
   根據 **公式5-15**，
   $$
   \sigma' = \bigg( \sigma^2_x - \sigma_x \sigma_y + \sigma^2_y + 3 \tau^2_{xy} \ \bigg)^{1/2}
   $$
   由於受力方向只有單一軸向，故以上方程式可以簡化為：
   $$
   \sigma' = \bigg( \sigma^2 + 3 \tau^2 \bigg) ^{1/2}
   $$
   - **交變應力（Alternating stress）：**
   $$
   \sigma_a = \Bigg| \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2} \Bigg|
   $$

   - **平均應力（mean stress）：**
   $$
   \sigma_m = \frac{\sigma_{max} + \sigma_{min}}{2}
   $$

2. 將已知條件代入上述公式後，將結果彙整如下（單位：kpsi）：
   | 應力類型 | 交變 (alternating) | 平均 (mean) | 最大 (maximum) |
   | :--------: | :------------------: | :-----------: | :--------------: |
   | 彎曲     | $\sigma_a = 25$   | $\sigma_m = 0$ | $\sigma_{\max} = 25$ |
   | 剪應力   | $\tau_a = 0$       | $\tau_m = 15$ | $\tau_{\max} = 15$   |
   | Von Mises | $\sigma_a' = 25$ | $\sigma_m' = 25.9807$ | $\sigma_{\max}' = 36.0555$ |

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#### Step 2. 使用指定方法計算安全係數

1. 靜態安全係數 $n_s$：
   $$
   \begin{align}
   n_s &= \frac{S_y}{\sigma'_{\max}} \\
   \\
   &= \frac{60}{36.0555} = 1.6641 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. 利用指定之準則計算疲勞安全係數 $n_f$：

   (a) **Goodman 準則（公式6-41）**
   $$
   \begin{align}
   n_f &= \left( \frac{\sigma_a'}{S_e} + \frac{\sigma_m'}{S_{ut}} \right)^{-1} \\
   \\
   &= \left( \frac{25}{40} + \frac{25.9807}{80} \right)^{-1} = 1.0529 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   (b) **Gerber 準則（公式6-48）**
   $$
   \begin{align}
   n_f &= \frac{1}{2} \left( \frac{S_{ut}}{\sigma_m'} \right)^2 \left( \frac{\sigma_a'}{S_e} \right) \cdot \left( -1 + \sqrt{1 + \left( \frac{2 \sigma_m' S_e}{S_{ut} \sigma_a'} \right)^2} \right) \\
   \\
   &= 0.5 \cdot \left( \frac{80}{25.9807} \right)^2 \cdot \frac{25}{40} \cdot \left( -1 + \sqrt{1 + \left( \frac{2 \cdot 25.9807 \cdot  40}{80 \cdot 25} \right)^2} \right) = 1.3103 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   \(c) **Morrow 準則（公式6-46）**
   $$
   \begin{align}
   n_f &= \left( \frac{\sigma_a'}{S_e} + \frac{\sigma_m'}{\sigma_f'} \right)^{-1} \\
   \\
   &= \left( \frac{25}{40} + \frac{25.9807}{80 + 50} \right)^{-1} = 1.2123 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   其中，$\sigma_f'$ 可透過 **公式6-44** 求得：
   $$
   \sigma_f' = S_{ut} + 345 \, \text{MPa}
   $$

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### 最終結果

- **靜態安全係數**：$n_s = 1.6641$
- **疲勞安全係數**：
  | Criterion | Goodman 準則 | Gerber 準則 | Morrow 準則 |
  | :-: | :-: | :-: | :-: |
  | $n_f$ | $1.0529$ | $1.3103$ | $1.2123$ |

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## Problem 6-25

The cold-drawn AISI 1040 steel bar shown in the figure is subjected to a completely reversed axial load fluctuating between 28 kN in compression to 28 kN in tension. Estimate the fatigue factor of safety based on achieving infinite life and the yielding factor of safety. If infinite life is not predicted, estimate the number of cycles to failure.

![image](https://hackmd.io/_uploads/rygMguQWyx.png =440x)

**中文翻譯**：圖示的冷拉 AISI 1040 鋼棒在軸向負載下完全反向波動，壓縮至 28 kN 和拉伸至 28 kN。計算其最小之疲勞安全係數，以評估此旋轉軸在該負載下是否具備無限壽命。若無，則預估此軸可使用之循環次數（即其壽命），並確認是否會產生降伏。

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### 計算過程

**已知條件**

- 材料性質：
  - 抗拉強度：$S_{ut} = 590 \, \text{MPa}$
  - 降伏強度：$S_y = 490 \, \text{MPa}$
- 作用應力：
  - 軸向負載：$\pm 28 \, \text{kN}$
- 幾何尺寸：
  - 圓棒直徑：25 mm
  - 孔徑：6 mm
  - 厚度：10 mm

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#### Step 1. 計算靜態安全係數

1. 計算標稱截面積 $A_{\text{nom}}$：
   $$
   A_{\text{nom}} = (25 - 6) \times 10 = 190 \, \text{mm}^2
   $$

2. 計算最大應力 $\sigma_{\max}$：
   $$
   \sigma_{\max} = \frac{F_{\max}}{A_{\text{nom}}} = \frac{28 \times 10^3}{190} = 147.3684 \, \text{MPa}
   $$

3. 靜態安全係數 $n_s$：
   $$
   n_s = \frac{S_y}{\sigma_{\max}} = \frac{490}{147.3684} = 3.325 \quad \text{ Ans.}
   $$

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#### Step 2. 計算疲勞安全係數

==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==

1. 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
   - 理論疲勞限 $S_e' = 295 \, \text{MPa}$
   - 表面因子 $k_a = 0.76$
   - 形狀因子 $k_b = 1$
   - 負載因子 $k_c = 0.85$

2. 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   S_e = k_a \cdot k_b \cdot k_c \cdot S_e' = 0.76 \times 1 \times 0.85 \times 295 = 190.6 \, \text{MPa}
   $$

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#### Step 3. 求解疲勞應力集中係數 $K_f$

1. 查指定圖表以取得所需之係數：
   - 根據 **圖6-26**： $q = 0.83$
   - 根據 **圖A-15-1**： $d/w = 0.24 \Rightarrow K_t = 2.24$

2. 將所得之係數代入 **公式6-32**：
   $$
   K_f = 1 + q \cdot (K_t - 1) = 1 + 0.83 \cdot (2.24 - 1) = 2.20
   $$

$\,$
#### Step 4. 計算其最小之疲勞安全係數，並評估是否具備無限壽命
所受之最大與最小負載之絕對值均相同，其動態應力之類型為「完全反向應力」，因此，平均應力（mean stress, $\sigma_m$）為零。評估最小之疲勞安全係數時則使用交變應力（alternating stress, $\sigma_{ar}$）來計算。

1. 最大應力 $\sigma_{\text{rev}}$：
   $$
   \begin{align}
   \sigma_{\text{rev}} &= K_f \cdot \sigma_{\text{ar}} \\
   \\
   &= K_f \cdot \left| \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} \right| = 324.2 \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. 計算最小疲勞安全係數 $n_f$：
   最小疲勞安全係數為修正疲勞限與工件受動態負載時產生之最大應力之間的比值，即：
   $$
   \begin{align}
   n_f &= \frac{S_e}{\sigma_{\text{rev}}} \\
   \\
   &= \frac{190.6}{324.2} = 0.588 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   
2. 評估是否具備無限壽命：
   由於最小疲勞安係數 $n < 1$，可知此工件在動態負載下可能產生降伏 $\quad \text{ Ans.}$

$\,$
#### Step 5. 計算循環次數（因工件在動態負載下無法達到無限壽命）

因無法達到無限壽命，故須計算結構損壞前的循環次數（即其最終可使用之有限壽命, $N$）
==**計算有限壽命的標準作業流程可參考以下步驟：**==

1. 透過 **圖6-23** 或 **公式6-11** 求得係數 $f$：
   $$
   \begin{align}
   f &= 1.06 - 4.1 \times 10^{-4} S_{ut} + 1.5 \times 10^{-7} S_{ut}^2 \\
   \\
   &= 0.87
   \end{align}
   $$
   
2. 使用 **公式6-13** 求得係數 $a$：
   $$
   \begin{align}
   a &= \frac{(f S_{ut})^2}{S_e} \\
   \\
   &= \frac{[0.87 \times 590]^2}{190.6} = 1382
   \end{align}
   $$

3. 使用 **公式6-14** 求得係數 $b$：
   $$
   \begin{align}
   b &= -\frac{1}{3} \log \left( \frac{f S_{ut}}{S_e} \right) \\
   \\
   &= -\frac{1}{3} \log \left( \frac{0.87 \times 590}{190.6} \right) = -0.1434
   \end{align}
   $$
   
4. 最後使用 **公式6-15** ，將所有已知參數代入，求得有限之循環次數 $N$：
   $$
   \begin{align}
   N &= \left( \frac{\sigma_{\text{ar}}}{a} \right)^{1/b} \\
   \\
   &= \left( \frac{324.2}{1386} \right)^{1 / -0.143} = 24608 \, \text{cycles} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$


$\,$
### 最終結果

- **靜態安全係數**：$n_s = 3.325$
- **疲勞安全係數**：$n_f = 0.588$
- **預估循環壽命**：$N = 24608 \, \text{cycles}$

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$\,$
## Problem 6-28

The figure shows a formed round-wire cantilever spring subjected to a varying force. The hardness tests made on 50 springs gave a minimum hardness of 400 Brinell. It is apparent from the mounting details that there is no stress concentration. A visual inspection of the springs indicates that the surface finish corresponds closely to a hot-rolled finish. Ignore curvature effects on the bending stress. What number of applications is likely to cause failure? Solve using:

(a) Modified Goodman criterion. 
(b) Gerber criterion.

![image](https://hackmd.io/_uploads/Hy721O7-Jx.png =570x)

**中文翻譯**：圖示為一根圓形懸臂彈簧，受到變化的力作用。對50根彈簧進行硬度測試後得到最小硬度為400布氏硬度。從安裝細節顯示無應力集中，並從外觀檢查得知表面粗糙度接近熱軋表面。忽略彈簧彎曲應力的曲率效應，求破壞的應用次數。使用以下方法解決：

(a) 修正的Goodman準則 
(b) Gerber準則

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### 計算過程

**已知條件**

- 材料性質：
  - 抗拉強度 $S_{ut} = 0.5 \times \text{HB} = 0.5 \times 400 = 200 \, \text{kpsi}$
  - 熱軋表面處理
- 作用應力：
  - 最大力 $F_{\max} = 40 \, \text{lbf}$
  - 最小力 $F_{\min} = 20 \, \text{lbf}$
- 幾何尺寸：
  - 等效直徑 $d_e = 3/8 \times 0.370 = 0.1388$ in **（計算 $k_b$ 時會用到）**

$\,$
#### Step 1. 計算疲勞限 $S_e$，交變應力 $\sigma_a$ 和平均應力 $\sigma_m$

1. 計算疲勞限 $S_e$：
   ==**計算方式請參考 Problem 6-16**==
   $$
   S_e = S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c = 100 \times 0.35 \times 1 \times 1 = 35 \, \text{kpsi}
   $$

2. 將使用之公式列出：
   - 計算交變負載：
   $$
   F_a = \bigg| \frac{F_{max} - F_{min}}{2} \bigg|
   $$
   
   - 計算平均負載：
   $$
   F_m = \bigg| \frac{F_{max} + F_{min}}{2} \bigg|
   $$

   - 計算彎矩：
   $$
   M = F \cdot l
   $$
   
   - 計算應力：
   $$
   \sigma = \frac{32M}{\pi d^3}
   $$

3. 將已知參數代入，並計算所需之係數：
計算後的結果條列如下表：

   | 應力類型 | 負載 (lbf) | 彎矩 (lbf-in) | 應力 (kpsi) |
   | :--------: | :----------: | :-------------: | :-----------: |
   | 交變應力（Alternating Stress）| $F_a = 10$ | $M_a = 120$   | $\sigma_a = 23.1787$ |
   | 平均應力（Mean Stress）       | $F_m = 30$ | $M_m = 360$   | $\sigma_m = 69.5358$ |

$\,$
#### Step 2. 使用指定方法計算疲勞安全係數

(a) **Goodman 準則**

   $$
   \begin{align}
   n_{f,a} &= \left( \frac{\sigma'_a}{S_e} + \frac{\sigma'_m}{S_{ut}} \right)^{-1} \\
   \\
   &= \left( \frac{23.18}{35} + \frac{69.54}{200} \right)^{-1} = 0.9902 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

(b) **Gerber 準則**

   $$
   \begin{align}
   n_{f,b} &= \frac{1}{2} \left( \frac{S_{ut}}{\sigma_m'} \right)^2 \left( \frac{\sigma_a'}{S_e} \right) \cdot \left( -1 + \sqrt{1 + \left( \frac{2 \sigma_m' S_e}{S_{ut} \sigma_a'} \right)^2} \right) \\
   \\
   &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{200}{69.54} \right) \cdot \frac{23.18}{35} \cdot \left( -1 + \sqrt{1 + \left( \frac{2 \cdot 69.54 \cdot 35}{200 \cdot 23.18} \right)^2} \right) = 1.2337 \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 3. 計算循環次數 $N$

因 $n_{f,a} < n_{f,b}$，可知當使用 Goodman 準則可能會造成結構破壞。故根據 Goodman 準則來評估其最大使用壽命。




1. 根據 Goodmann 準則，計算等效之完全反向應力 $\sigma_{ar}$ **(公式6-59)**：
   $$
   \begin{align}
   \sigma_{ar} &= \frac{\sigma_a}{1 - (\sigma_m / S_{ut})} \\
   \\
   &= \frac{23.18}{1 - (69.54 / 200)} = 35.54 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. 最終計算循環壽命 $N$：==**（註：計算方式請參考 Problem 6-25 之 Step 5.）**==
   利用 **公式6-11**、**公式6-13**、**公式6-14** 求得係數 $f$、$a$ 和 $b$：
   $$
   f = 0.78, \quad
   a = 695.3, \quad
   b = -0.2164, \quad
   $$
   
   最後代入 **公式6-15**
   
   $$
   N = \left( \frac{\sigma_{ar}}{a} \right)^{1 / b} = 928764 \, \text{cycles} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
### 最終結果

- **Goodman 疲勞安全係數**：$n_{f,a} = 0.9902$
- **Gerber 疲勞安全係數**：$n_{f,g} = 1.2337$
- **預估循環壽命**：$N = 928764$ cycles

---
$\,$
## Problem 6-30

The figure shows the free-body diagram of a connecting-link portion having stress concentration at three sections. The dimensions are $r = 0.25$ in, $d = 0.40$ in, $h = 0.50$ in, $w_1 = 3.50$ in, and $w_2 = 3.0$ in. The forces $F$ fluctuate between a tension of 5 kip and a compression of 16 kip. Neglect column action and find the least factor of safety if the material is cold-drawn AISI 1018 steel.

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryf-d_7WJl.png =555x)

**中文翻譯**：圖中顯示一個連接部件的自由體圖，其在三個截面處存在應力集中。尺寸為 $r = 0.25$ in，$d = 0.40$ in，$h = 0.50$ in，$w_1 = 3.50$ in 和 $w_2 = 3.0$ in。力 $F$ 在 5 kip 的張力和 16 kip 的壓力之間波動。忽略縱向的變形作用，若材料為冷拉 AISI 1018 鋼，求最小的安全係數。

---

### 計算過程

**已知條件**

- 材料性質：
  - 抗拉強度 $S_{ut} = 64 \, \text{kpsi}$
  - 降伏強度 $S_y = 54 \, \text{kpsi}$
- 作用應力：
  - 張力 $F_{\text{max}} = 5 \, \text{kip}$
  - 壓力 $F_{\text{min}} = -16 \, \text{kip}$

$\,$
#### Step 1. 求解疲勞限 $S_e$

==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==

1. 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
   - 理論疲勞限 $S_e' = 32 \, \text{kpsi}$
   - 表面因子 $k_a = 0.81$
   - 形狀因子 $k_b = 1$
   - 負載因子 $k_c = 0.85$

2. 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   S_e = S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c = 32 \times 0.81 \times 1 \times 0.85 = 22.032 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 2. 考慮指定區域的應力集中效應

**(a) 圓角處的應力集中效應：**

1. 查指定圖表以取得所需之係數：
   - 根據 **圖6-26**： $q = 0.85$
   - 根據 **圖A-15-5**： $w/w_2 = 1.17 \quad r/w_2 = 0.083 \Rightarrow K_t = 1.85$

2. 將所得之係數代入 **公式6-32**：
   $$
   K_f = 1 + q \cdot (K_t - 1) = 1.72 \quad \text{ Ans.}
   $$

3. 計算最大和最小應力：
   $$
   \sigma_{\max} = \frac{F_{\max}}{w_2 h} = 3.33 \, \text{kpsi}, \quad \sigma_{\min} = \frac{F_{\min}}{w_2 h} = -10.67 \, \text{kpsi}
   $$

4. 計算交變應力和平均應力：
   $$
   \sigma_a = K_f \cdot \left| \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} \right| = 12.04 \, \text{kpsi},
   \quad
   \sigma_m = K_f \cdot \left| \frac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2} \right| = -6.31 \, \text{kpsi}
   $$

5. 計算疲勞安全係數 $n_{f,1}$：
   由於平均應力為負值，故以交變應力作為安全係數的評估依據。
   $$
   n_{f,1} = \frac{S_e}{\sigma_a} = \frac{22.032}{12.04} = 1.83 \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
**(b) 孔洞處的應力集中效應：**

1. 查指定圖表以取得所需之係數：
   - 根據 **圖6-26**： $q = 0.85$
   - 根據 **圖A-15-1**： $d/w_1 = 0.11 \Rightarrow K_t = 2.68$

2. 將所得之係數代入 **公式6-32**：
   $$
   K_f = 1 + q \cdot (K_t - 1) = 2.43 \quad \text{ Ans.}
   $$

3. 計算最大和最小應力：
   $$
   \sigma_{\max} = \frac{F_{\max}}{(w_1 - d) h} = 3.23 \, \text{kpsi}, \quad \sigma_{\min} = \frac{F_{\min}}{(w_1 - d) h} = -10.32 \, \text{kpsi}
   $$

4. 計算交變應力和平均應力：
   $$
   \sigma_a = K_f \cdot \left| \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} \right| = 16.5 \, \text{kpsi},
   \quad
   \sigma_m = K_f \cdot \left| \frac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2} \right| = -8.62 \, \text{kpsi}
   $$

5. 計算疲勞安全係數 $n_{f,2}$：
   由於平均應力為負值，故以交變應力作為安全係數的評估依據。
   $$
   n_{f,2} = \frac{S_e}{\sigma_a} = \frac{22.032}{16.5} = 1.33 \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 3. 評估何處最容易發生破壞

由於 $n_{f,2} < n_{f,1}$，因此更有可能在孔洞處因疲勞而產生破壞。

$\,$
### 最終結果

- **疲勞安全係數（圓角處）**：$n_{f,1} = 1.83$
- **疲勞安全係數（孔洞處）**：$n_{f,2} = 1.33$
- **可能損壞的位置**：孔洞處（由於該位置有較低的安全係數）

---

$\,$
## Problem 6-35
A steel part is loaded with a combination of bending, axial, and torsion such that the following stresses are created at a particular location:

- **Bending**: Completely reversed, with a maximum stress of 60 MPa
- **Axial**: Constant stress of 20 MPa
- **Torsion**: Repeated load, varying from 0 MPa to 70 MPa

Assume the varying stresses are in phase with each other. The part contains a notch such that:

$K_{f,\text{bending}} = 1.4$, $K_{f,\text{axial}} = 1.1$, and $K_{f,\text{torsion}} = 2.0$.

The material properties are $S_y = 300$ MPa and $S_u = 400$ MPa. The completely adjusted endurance limit is found to be $S_e = 160$ MPa. Find the factor of safety for fatigue based on infinite life, using the Goodman criterion. If the life is not infinite, estimate the number of cycles, using the Walker criterion to find the equivalent completely reversed stress. Be sure to check for yielding.

**中文翻譯**：一個鋼製零件承受彎曲、軸向和扭轉的組合負載，並在某一特定位置產生以下應力：

- **彎曲**：完全反向，最大應力為 60 MPa
- **軸向**：恆定應力為 20 MPa
- **扭轉**：重複負載，變化範圍從 0 MPa 到 70 MPa

假設各應力同相。零件包含一個凹槽，其應力集中係數為：

$K_{f,\text{bending}} = 1.4$, $K_{f,\text{axial}} = 1.1$，以及 $K_{f,\text{torsion}} = 2.0$。

材料性質為 $S_y = 300$ MPa 和 $S_u = 400$ MPa。完全調整後的疲勞極限為 $S_e = 160$ MPa。使用 Goodman 準則計算基於無限壽命的疲勞安全係數。如果無法達到無限壽命，使用 Walker 準則估算循環壽命，並計算等效的完全反向應力。請確保檢查是否降伏。

---

### 計算過程

**已知條件**

- 材料性質：
$S_y = 300 \; \text{MPa}, \quad S_{ut} = 400 \; \text{MPa}, \quad S_e = 160 \; \text{MPa}$

- 應力集中係數：
$K_{f,\text{bending}} = 1.4, \quad K_{f,\text{axial}} = 1.1，\quad K_{f,\text{torsion}} = 2.0$

$\,$
結構所受之動態應力類型可參考教科書 ==**6-7 節之 圖6-17**==：
![Screenshot_20241103_083337_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/SJc-SSNW1x.jpg)

根據題目提供的資訊，搭配上圖，可以將各種不同的受力方式所造成的應力整理如下表：
| 受力方式/應力類型 | 交變應力 (Alternating stress) | 平均應力 (Mean stress) |
| :-: |:-: | :-: |
| 彎曲 (Bending) | $\sigma_{a1} = 60$ MPa | $\sigma_{m1} = 0$ MPa |
| 軸向 (Axial) | $\sigma_{a2} = 0$ MPa | $\sigma_{m2} = 20$ MPa |
| 扭轉 (Torsion) | $\tau_a = 35$ MPa | $\tau_m = 35$ MPa |

$\,$
#### Step 1. 計算 von Mises 應力

von Mises 等效應力 $\sigma$' 可以透過下公式進行表達：
$$
\sigma' = \bigg( \sigma^2 + 3 \tau^2 \bigg) ^{1/2}
$$

軸向與彎曲負載所產生的交變應力可以進行疊加。包含扭轉造成的應力，透過應力集中係數進行修正，可將上述等效應力公式整理為：
$$
\sigma'_a = \bigg[ \; (\sigma_{\text{a1, max}})^2 + (\sigma_{\text{a2, max}})^2 + 3 \tau_{a, max}^2 \; \bigg] ^{1/2}
$$

其中，
$\sigma'_a$ 為等效交變應力。
$\sigma_{\text{a1, max}}$ 為，因彎曲所造成之最大交變應力，即 $K_{f,\text{bending}} \cdot \sigma_{a1}$
$\sigma_{\text{a2, max}}$ 為，因軸向受力所造成之最大交變應力，即 $K_{f,\text{axial}} \cdot \sigma_{a2}$
$\tau_{a, max}$ 為，因扭轉所造成之最大交變剪應力，即 $K_{f,\text{torsion}} \cdot \tau_a$

$\,$
同理，等效平均應力也可進行整理：

$$
\sigma'_m = \bigg[ \; (\sigma_{\text{m1, max}})^2 + (\sigma_{\text{m2, max}})^2 + 3 \tau_{m, max}^2 \; \bigg] ^{1/2}
$$

其中，
$\sigma'_m$ 為等效平均應力。
$\sigma_{\text{m1, max}}$ 為，因彎曲所造成之最大平均應力，即 $K_{f,\text{bending}} \cdot \sigma_{m1}$
$\sigma_{\text{m2, max}}$ 為，因軸向受力所造成之最大平均應力，即 $K_{f,\text{axial}} \cdot \sigma_{m2}$
$\tau_{m, max}$ 為，因扭轉所造成之最大平均剪應力，即 $K_{f,\text{torsion}} \cdot \tau_m$

$\,$
代入已知的條件進入上述之兩條公式中，可得到等效交變應力以及等效平均應力，分別為：
$$
\sigma_a' = 147.5 \, \text{MPa},
\quad \quad
\sigma_m' = 123.2 \, \text{MPa}. \quad \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算安全係數

1. **降伏安全係數 $n_y$**：
   $$
   n_y = \frac{S_y}{\sigma_a' + \sigma_m'} = \frac{300}{147.5 + 123.2} = 1.11 \quad \text{ Ans.}
   $$

2. **疲勞安全係數 (基於 Goodman 準則)**：
   使用 Goodman 準則計算疲勞安全係數 $n_f$：
   $$
   n_f = \left( \frac{\sigma'_a}{S_e} + \frac{\sigma'_m}{S_{ut}} \right)^{-1} = 0.81 \quad \text{ Ans.}
   $$
   
   由於 $n_f < 1$，無法達到無限壽命，需要計算循環次數。

$\,$
#### Step 3. 使用 Walker 準則估算循環壽命

1. 使用 Walker 準則求得等效完全反向應力 $\sigma_{ar}$：
   - 先計算 $\gamma$：
     $$
     \gamma = -0.0002 S_{ut} + 0.8818 = 0.8018
     $$
   - 計算 $\sigma_{ar}$：
     $$
     \sigma_{ar} = (\sigma_m + \sigma_a)^{1-\gamma} \cdot (\sigma_a^{\gamma}) = 166.4 \, \text{MPa}
     $$

2. 最終計算循環壽命 $N$：==**（註：計算方式請參考 Problem 6-25 之 Step 5.）**==
   利用 **公式6-11**、**公式6-13**、**公式6-14** 求得係數 $f$、$a$ 和 $b$：
   $$
   f = 0.9, \quad
   a = 810, \quad
   b = -0.1174, \quad
   $$
   
   最後代入 **公式6-15**
   
   $$
   N = \left( \frac{\sigma_{ar}}{a} \right)^{1 / b} = 715507 \, \text{cycles} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
### 最終結果

- **降伏安全係數**：$n_y = 1.11$
- **基於 Goodman 準則求得之最小疲勞安全係數**：$n_f = 0.81$
- **預估循環壽命**：$N = 715507$ cycles

---

$\,$
## Problem 6-47

For the problem specified in the table, build upon the results of the original problem to determine the minimum factor of safety for fatigue based on infinite life, using the Goodman criterion. If the life is not infinite, conservatively estimate the number of cycles. The force $F$ is applied as a repeated load. The material is AISI 1018 CD steel. The fillet radius at the wall is 0.1 in, with theoretical stress concentrations of 1.5 for bending, 1.2 for axial, and 2.1 for torsion.

**中文翻譯**：
根據下表中指定的原始題目，根據其計算結果，透過 Goodman 準則計算其最小之疲勞安全係數，以評估此結構在該負載下是否具備無限壽命。若無，則保守預估此軸可使用之循環次數（即其壽命）。外部施加之負載 $F$ 為覆變負載；結構之材料為 AISI 1018 CD 鋼材；圓軸與牆壁連接處之圓角半徑為 0.1 英吋；彎曲、軸向拉伸及扭轉之理論應力集中係數分別為 1.5、1.2、以及 2.1。

| Problem Number | Original Problem Number |
|----------------|-------------------------|
| 6-47*          | 3-91                    |

$\,$
（註：例題 3-91 的內容一併整理給各位，認真上進的同學們有興趣再自己看 -w-）
:::spoiler

$\,$
## Problem 3-91

The cantilevered bar in the figure is made from a ductile material and is statically loaded with $F_y = 200 \, \text{lbf}$ and $F_x = F_z = 0$. Analyze the stress situation in rod $AB$ by obtaining the following information.

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJ5XsdNWke.png =555x)

**中文翻譯**：圖中的懸臂桿由延展性材料製成，並且在靜態負載 $F_y = 200 \, \text{lbf}$ 下運作，而 $F_x = F_z = 0$。請分析桿件 $AB$ 的應力情況，並求得以下資訊。

**(a)** 確定臨界應力元素的精確位置。
**(b)** 畫出臨界應力元素，並確定所有作用應力的大小和方向（如果可以合理忽略橫向剪應力，請加以說明）。
**\(c)** 對臨界應力元素，確定主應力和最大剪應力。

---

### 計算過程

#### Step 1. 決定臨界應力元素的位置

1. 桿件 $AB$ 沿全長承受恆定扭矩，並在壁處承受最大彎矩。
2. 扭轉剪應力與彎曲應力在外表面達到最大。
3. 橫向剪應力相對於彎曲和扭轉應力非常小，因此不影響臨界位置的確定。
4. 臨界應力元素將位於 $y$ 軸上的頂部（壓縮）或底部（拉伸）表面，本題選擇底部元素進行分析。

$\,$
#### Step 2. 計算臨界應力元素的應力（忽略橫向剪應力）

1. 彎曲應力 $\sigma_x$：
   $$
   \sigma_x = \frac{Mc}{I} = \frac{M(d/2)}{p d^4 / 64} = \frac{32M}{p d^3} = \frac{32(8)(200)}{p (1)^3} = 16297 \, \text{psi} = 16.3 \, \text{kpsi}
   $$
   
2. 扭轉剪應力 $t_{xz}$：
   $$
   \tau_{xz} = \frac{Tr}{J} = \frac{T(d/2)}{p d^4 / 32} = \frac{16T}{p d^3} = \frac{16(5)(200)}{p (1)^3} = 5093 \, \text{psi} = 5.09 \, \text{kpsi}
   $$
   
3. 臨界應力元素的應力示意圖如下：
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkkbsdVbkg.png)

$\,$
#### Step 3. 計算主應力與最大剪應力

1. 主應力 $\sigma_1$ 與 $\sigma_2$：
   $$
   \sigma_{1, 2} = \frac{\sigma_x}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + (\tau_{xz})^2} = \frac{16.3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{16.3}{2}\right)^2 + (5.09)^2}
   $$
   
   $$
   \Rightarrow \quad \sigma_1 = 17.8 \, \text{kpsi},
   \quad
   \sigma_2 = -1.46 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
   $$
   
2. 最大剪應力 $\tau_{\text{max}}$：
   $$
   \begin{align}
   \tau_{\text{max}} &= \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + (\tau_{xz})^2} \\
   \\
   &= \sqrt{\left(\frac{16.3}{2}\right)^2 + (5.09)^2} = 9.61 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
### 最終結果

- 主應力 $\sigma_1 = 17.8 \, \text{kpsi}$，$\sigma_2 = -1.46 \, \text{kpsi}$
- 最大剪應力 $\tau_{\text{max}} = 9.61 \, \text{kpsi}$

---

:::

---

### 計算過程

**已知條件**
- 外部施加之負載 $F$ 變為 **覆變負載（Repeated load）**：
![Screenshot_20241103_132755_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/rJigqFEWJe.jpg =377x)
覆變負載示意圖可參考 6-7 節之 **圖6-17(b)**

- 材料性質：
$S_{ut} = 64 \, \text{kpsi}, \quad S_{y} = 54 \, \text{kpsi}$

- 理論應力集中係數：
$(K_t)_{\text{bending}} = 1.5, \quad (K_t)_{\text{axial}} = 1.2, \quad (K_{ts})_{\text{torsion}} = 2.1$

$\,$
#### Step 1. 根據 Problem 3-91 的結果，計算交變與平均應力

作用於結構上的力變為覆變負載，於 $0$ 到 $200 \, \text{lbf}$ 的區間內反覆進行變化，則最大應力與最大剪應力則為 Problem 3-91 的應力計算結果：
$$
\sigma_{\text{max}} = \sigma_{\text{x}} = 16.3 \, \text{kpsi}, \quad \tau_{\text{max}} =\tau_{\text{xz}} = 5.09 \, \text{kpsi}
$$
因最小外部負載 $F_{\text{min}}=0$ ，最小應力則為：
$$
\sigma_{\text{min}} = \tau_{\text{min}} = 0
$$
因外部負載係朝 $y$ 方向施力，故結構不會受到拉伸變形影響。則交變應力與平均應力為：
   $$
   \sigma_{a1} = \sigma_{m1} = \left|\frac{\sigma_{\text{max}}}{2}\right| = 8.15 \, \text{kpsi}, \quad \tau_a = \tau_m = \left|\frac{\tau_{\text{max}}}{2}\right| = 2.55 \, \text{kpsi}
   $$

$\,$
#### Step 2. 求解應力集中係數 $K_f$

1. **因彎曲造成的應力集中係數 $(K_f)_{\text{ bending}}$**：
利用 **公式6-35** **公式6-33** 求得未知係數，$\sqrt{a}$ 及 $q$，分別為：
$$
\sqrt{a} = 0.1037, \quad \quad q = 0.75
$$
理論應力集中係數題目中已經提供，是為：
$$
K_t = (K_t)_{\text{bending}} = 1.5
$$
將所有係數代入 **公式6-32**：
$$
(K_f)_{\text{bending}} = 1 + q \cdot (K_t - 1) = 1.38 \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$

2. **因扭轉造成的應力集中係數 $(K_{fs})_{\text{ torsion}}$**：
利用 **公式6-36** **公式6-33** 求得未知係數，$\sqrt{a}$ 及 $q$，分別為：
$$
\sqrt{a} = 0.0780, \quad \quad q = 0.80
$$
理論應力集中係數題目中已經提供，是為：
$$
K_{ts} = (K_{ts})_{\text{torsion}} = 2.1
$$
將所有係數代入 **公式6-32**：
$$
(K_{fs})_{\text{torsion}} = 1 + q \cdot (K_{ts} - 1) = 1.88 \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$

3. **因軸向拉伸造成的應力集中係數 $(K_{f})_{\text{ Axial}}$**：
因為結構並未受到軸向負載的影響，故此項可簡化忽略不計。

$\,$
#### Step 3. 計算 von Mises 等效應力
將我們在前兩步驟中得到的各項重要係數透過表格整理如下表：
| 受力方式/項目  |   交變應力（kpsi）   |   平均應力（kpsi）   | 應力集中係數 |
| :-: |:-: | :-: | :-: |
| 彎曲 (Bending) | $\sigma_{a1} = 8.15$ | $\sigma_{m1} = 8.15$ | $K_f = 1.5$ |
| 軸向 (Axial) | $\sigma_{a2} = 0$ | $\sigma_{m2} = 0$ | `N/A` |
| 扭轉 (Torsion) | $\tau_a = 2.55$ | $\tau_m = 2.55$ | $K_{fs} = 1.88$ |

$\,$
1. Von Mises 應力公式（針對交變應力與平均應力）：
==**註：詳細的公式推導與說明請參考 Problem 6-35 之 step 1.**==
$$
\begin{align}
\sigma'_a &= \bigg[ \; (\sigma_{\text{a1, max}})^2 + (\sigma_{\text{a2, max}})^2 + 3 \tau_{a, max}^2 \; \bigg] ^{1/2} \\
\\
\sigma'_m &= \bigg[ \; (\sigma_{\text{m1, max}})^2 + (\sigma_{\text{m2, max}})^2 + 3 \tau_{m, max}^2 \; \bigg] ^{1/2}
\end{align}
$$
將已知數據代入上述之兩組公式，可得：
   $$
   \sigma'_a = \sigma'_m = 13.98 \, \text{kpsi} \quad \text{Ans.}
   $$

2. 確認結構是否有 **降伏 (yielding)** 現象發生：
   將等效交變應力與等效平均應力相加，作為評判的標準，即：
   $$
   \sigma'_{\text{max}} = \sigma'_a + \sigma'_m = 27.96 \; \text{kpsi}
   $$

1. 降伏安全係數 $n_y$：
   $$
   n_y = \frac{S_y}{\sigma'_{\text{max}}} = \frac{54}{27.96} = 1.93 \quad \text{Ans.}
   $$
   由於安全係數大於 1，故此結構受到動態應力時，不會產生降伏現象。 $\quad \text{Ans.}$

$\,$
#### Step 4. 求解疲勞限 $S_e$

==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==

1. 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
   - 理論疲勞限 $S_e' = 32 \, \text{kpsi}$
   - 表面因子 $k_a = 0.81$
   - 形狀因子 $k_b = 0.98$
   - 負載因子 $k_c = 1$（當結構同時受到多種不同的負載類型時）

2. 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   S_e = S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c = 32 \times 0.81 \times 0.98 \times 1 = 25.4 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 5. 基於 Goodman 準則的疲勞安全係數 $n_f$

2. **疲勞安全係數 (基於 Goodman 準則)**：
   使用 Goodman 準則計算疲勞安全係數 $n_f$：
   $$
   n_f = \left(\frac{\sigma'_a}{S_e} + \frac{\sigma'_m}{S_{ut}}\right)^{-1} = \left(\frac{13.98}{25.4} + \frac{13.98}{64}\right)^{-1} = 1.3 \quad \text{Ans.}
   $$

$\,$
### 最終結果

- 降伏安全係數：$n_y = 1.93$
- 疲勞安全係數：$n_f = 1.3$
- 因為 $n_y$ 和 $n_f$ 都大於 1，因此預測此結構具有無限壽命。

---

$\,$
## Problem 6-56

In the figure shown, shaft A, made of AISI 1020 hot-rolled steel, is welded to a fixed support and is subjected to loading by equal and opposite forces $F$ via shaft $B$. A theoretical stress-concentration factor $K_{ts}$ of 1.6 is induced in the shaft by the $\frac{1}{8}$-in weld fillet. The length of shaft A from the fixed support to the connection at shaft B is 2 ft. The load $F$ cycles from 150 to 500 lbf.

(a)	For shaft A, find the factor of safety for infinite life using the Goodman fatigue failure criterion.
(b)	Repeat part (a) using the Gerber fatigue failure criterion. 

![image](https://hackmd.io/_uploads/rk5WJxSZJx.png =555x)

**中文翻譯**：如圖所示，A 軸由 AISI 1020 熱軋鋼製成，焊接於固定支架上，並透過 B 軸承受大小相等、方向相反的力 $F$。焊縫圓角處引起的理論應力集中係數 $K_{ts}$ 為 1.6。從固定支架到與 B 軸連接處的距離為 2 英尺。負載 $F$ 在 150 到 500 lbf 之間循環變化。

(a) 對軸 A，使用修正的 Goodman 疲勞破壞準則，求出無限壽命下的安全係數。
(b) 重做 (a) 的部分，使用 Gerber 疲勞破壞準則。

---

### 計算過程

**已知條件**

- 材料性質：$S_{ut} = 55 \, \text{kpsi}，\quad S_y = 30 \, \text{kpsi}$
- 理論應力集中係數：$K_{ts} = 1.6$
- 轉軸 $A$ 的直徑：$d = 7/8 \; \text{in}$
- 槓桿 $B$ 的臂長：$l = 2 \; \text{ft}$
- 施加負載：$F_{\text{min}} = 150 \, \text{lbf}, \quad F_{\text{max}} = 500 \, \text{lbf}$
![Screenshot_20241103_211709_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/H1lg_grZkg.jpg =377x)
應力變化的示意圖可參考 6-7 節之 **圖6-17(a)**

$\,$
註：摘錄課本內容，純扭矩作用下的計算流程：（有興趣的自己看）
:::spoiler
![Screenshot_20241103_221438_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/HkyFr-SWyl.jpg)
:::

$\,$
#### Step 1. 求解應力集中係數 $K_f$

1. **因扭轉造成的應力集中係數 $K_{fs}$**：
利用 **公式6-36** **公式6-33** 求得未知係數，$\sqrt{a}$ 及 $q$，分別為：
$$
\sqrt{a} = 0.0780, \quad \quad q = 0.80
$$
理論應力集中係數題目中已經提供，是為：
$$
K_{ts} = 2.1
$$
將所有係數代入 **公式6-32**：
$$
(K_{fs})_{\text{torsion}} = 1 + q \cdot (K_{ts} - 1) = 1.48 \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算軸 A 所承受的交變應力與平均應力

1. 將使用之公式列出：

   - 計算轉軸所受之最大與最小扭矩：
   $$
   T_\text{max} = F_\text{max} \cdot l\, , \quad \quad T_\text{min} = F_\text{min} \cdot l
   $$
   
   - 結構所受之最大與最小剪應力：
   $$
   \tau_{\text{max}} = K_{fs} \cdot \frac{16 \cdot T_\text{max}}{\pi d^3}\, ,
   \quad \quad
   \tau_{\text{min}} = K_{fs} \cdot \frac{16 \cdot T_\text{min}}{\pi d^3}
   $$

   - 將資訊彙總於表格內：

   | :D | 負載 (lbf) | 扭矩 (lbf-in) | 應力 (kpsi) |
   | :-: | :-: | :-: | :-: |
   | 最大值 | $F_{\text{max}} = 500$ | $T_{\text{max}} = 1000$ | $\tau_{\text{max}} = 11.25$ |
   | 最小值 | $F_{\text{min}} = 150$ | $T_{\text{min}} = 300$ | $\tau_{\text{min}} = 3.38$  |


2. 計算交變剪應力與平均剪應力：
   $$
   \tau_a = \bigg| \frac{\tau_{max} - \tau_{min}}{2} \bigg|\, ,
   \quad \quad
   \tau_m = \bigg| \frac{\tau_{max} + \tau_{min}}{2} \bigg|
   $$
   代入已知條件，最終可得：
   $$
   \tau_a = 3.94 \, \text{kpsi}\, ,
   \quad 
   \tau_m = 7.32 \, \text{kpsi} \quad \quad \text{ Ans.}
   $$

3. 透過最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, MSS）檢查降伏安全係數 $n_s$：
   $$
   n_s = \frac{S_y}{2 \tau_{\text{max}}} = 1.333 \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 3. 求解疲勞限 $S_e$

==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==

1. 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
   - 理論疲勞限 $S_e' = 27.5 \, \text{kpsi}$
   - 表面因子 $k_a = 0.81$
   - 形狀因子 $k_b = 0.99$
   - 負載因子 $k_c = 0.59$

2. 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   S_e = S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c = 27.5 \times 0.81 \times 0.99 \times 0.59 = 13 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 4. 根據指定之準則，求取無限壽命下的疲勞安全係數

由於結構僅受剪應力作用，極限強度 $S_{ut}$ 需要進行修正。根據 **公式6-58**：
$$
\begin{align}
S_{su} &= 0.67 S_{ut} \\
\\
&= 0.67 \times 55 = 36.9 \, \text{kpsi}
\end{align}
$$

- **Goodman 準則**：
   $$
   \begin{align}
   n_{f,a} &= \left(\frac{\tau_a}{S_e} + \frac{\tau_m}{S_{su}}\right)^{-1} \\
   \\
   &= \left(\frac{3.94}{13.0} + \frac{7.32}{36.9}\right)^{-1} = 1.99 \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$
- **Gerber 準則**：
   $$
   \begin{align}
   n_{f,b} &= \frac{1}{2} \left(\frac{S_{su}}{\tau_m}\right)^2 \frac{\tau_a}{S_{e}} \left[ \; -1 + \sqrt{1 + \left(\frac{2 \tau_m S_{e}}{S_{su} \tau_a}\right)^2} \; \right] \\
   \\
   &= \frac{1}{2} \left(\frac{36.9}{7.32}\right)^2 \frac{3.94}{13.0} \left[ \; -1 + \sqrt{1 + \left(\frac{2 \times 7.32 \times 13.0}{36.9 \times 3.94}\right)^2} \; \right] = 2.49 \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
### 最終結果

- Goodman 準則下的疲勞安全係數：$n_{f,a} = 1.99$
- Gerber 準則下的疲勞安全係數：$n_{f,b} = 2.49$

---

$\,$
## Problem 6-59

A flat leaf spring has fluctuating stress of $\sigma_{\text{max}} = 360 \, \text{MPa}$ and $\sigma_{\text{min}} = 160 \, \text{MPa}$ applied for $8 \times 10^4$ cycles. If the load changes to $\sigma_{\text{max}} = 320 \, \text{MPa}$ and $\sigma_{\text{min}} = -200 \, \text{MPa}$, how many cycles should the spring survive, using the modified Goodman criterion? The material is AISI 1020 CD and has a fully corrected endurance strength of $S_e = 175 \, \text{MPa}$. Assume that $f = 0.9$.

(a) Use Miner’s method.
(b) Use Manson’s method. 

**中文翻譯**：一片扁平彈簧在波動應力 $\sigma_{\text{max}} = 360 \, \text{MPa}$ 和 $\sigma_{\text{min}} = 160 \, \text{MPa}$，之下，使用了 $8 \cdot(10^4)$ 次循環。如果將負載變為 $\sigma_{\text{max}} = 320 \, \text{MPa}$ 和 $\sigma_{\text{min}} = -200 \, \text{MPa}$，試問該彈簧在 modified Goodman 準則下，還可承受多少次循環？材料為 AISI 1020 CD，其完全修正之疲勞限為 $S_e = 175 \, \text{MPa}$。假設 $f = 0.9$。

(a) 使用 Miner’s 方法。
(b) 使用 Manson’s 方法。

---

### 計算過程

**已知條件**
- **第一組負載**：$\sigma_{\text{max}} = 360 \, \text{MPa}, \quad  \sigma_{\text{min}} = 160 \, \text{MPa}$
- **第二組負載**：$\sigma_{\text{max}} = 320 \, \text{MPa}, \quad  \sigma_{\text{min}} = -200 \, \text{MPa}$
- **材料性質**：$S_e = 175 \, \text{MPa}, \quad S_{ut} = 470 \, \text{MPa}, \quad f = 0.9$
- **已使用之循環次數**：$n_1 = 80000 \; \text{cycles}$

$\,$
#### Step 1. 預估不同負載之下的循環次數（使用壽命）

**(a) 第一組負載 $(\sigma_{\text{max}} = 360 \, \text{MPa}, \, \sigma_{\text{min}} = 160 \, \text{MPa})$**

1. 計算交變應力與平均應力：
   $$
   \sigma_{a, \text{1st}} = \frac{360 - 160}{2} = 100 \, \text{MPa}; \quad \sigma_{m, \text{1st}} = \frac{360 + 160}{2} = 260 \, \text{MPa}
   $$
2. 使用 Goodman 準則計算等效應力：
   $$
   \sigma_{ar, \text{1st}} = \frac{\sigma_{a, \text{1st}}}{1 - {\sigma_{m, \text{1st}}}/{S_{ut}}} = 223.8095 \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   $$
3. 計算疲勞安全係數 $n_f$：
   $$
   n_f = \frac{S_e}{\sigma_{ar, \text{1st}}} = 0.7819
   $$
   由於 $n_f < 1$，無法達到無限壽命，需要計算循環次數。
4. 計算循環壽命 $N$：==**（註：計算方式請參考 Problem 6-25 之 Step 5.）**==
   利用 **公式6-13**、**公式6-14** 求得係數 $a$ 和 $b$：
   $$
   a = 1022.5, \quad
   b = -0.1278, \quad
   $$
   
   最後代入 **公式6-15**
   
   $$
   N_1 = \left( \frac{\sigma_{ar, \text{1st}}}{a} \right)^{1 / b} = 146783 \, \text{cycles} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
**(b) 第二組負載 $(\sigma_{\text{max}} = 320 \, \text{MPa}, \, \sigma_{\text{min}} = -200 \, \text{MPa})$**

1. 計算交變應力與平均應力：
   $$
   \sigma_{a, \text{2nd}} = \frac{320 - (-200)}{2} = 260 \, \text{MPa}; \quad \sigma_{m, \text{2nd}}  = \frac{320 + (-200)}{2}= 60 \, \text{MPa}
   $$
2. 使用 Goodman 準則計算等效應力：
   $$
   \sigma_{ar, \text{2nd}} = \frac{\sigma_{a, \text{2nd}}}{1 - {\sigma_{m, \text{2nd}}}/{S_{ut}}} = 298.0488 \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   $$
3. 計算疲勞安全係數 $n_f$：
   $$
   n_f = \frac{S_e}{\sigma_{ar, \text{2nd}}} = 0.5872
   $$
   由於 $n_f < 1$，無法達到無限壽命，需要計算循環次數。
4. 計算循環壽命 $N$：
   因為負載條件與結構並無差異，故係數 $f$、$a$ 和 $b$ 不變，僅應力值 $\sigma_{ar, \text{2nd}}$。將已知條件代入 **公式6-15**：
 
   $$
   N_2 = \left( \frac{\sigma_{ar, \text{2nd}}}{a} \right)^{1 / b} = 15520 \, \text{cycles} \quad \text{ Ans.}
   $$


$\,$
#### Step 2. 透過指定方法，預估剩餘的循環次數（使用壽命）

**(a) Miner’s Method**
![Screenshot_20241103_234809_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/B1gbIsfSWyg.jpg)

根據上述的說明，令 $c = 1$，即可列出以下等式：
$$
\frac{n_1}{N_1} + \frac{n_2}{N_2} = 1
$$
代入步驟一求得之不同負載的循環次數，可得：
$$
\frac{80000}{146783} + \frac{n_2}{15520} = 1
\quad \quad \Rightarrow 
n_2 = 7086.28 \approx 7000 \, \text{cycles} \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
**(b) Manson’s Method**
![tempFileForShare_20241104-000214](https://hackmd.io/_uploads/H1Q3AzHbJe.jpg)

根據上述說明，建立循環次數 $N$ 對疲勞強度 $S_f$ 之圖形。首先計算以第一組負載預估之使用壽命，減去以使用的循環次數：
$$
\Delta N = N_1 - n_1 = 146783 - 80000 = 66783 \; \text{cycles}
$$
建立的圖形如下：
![Screenshot_20241104_000422_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/rJAz17Bbye.jpg =445x)

根據上圖中的兩個資料點，搭配 **公式6-12**，可列出以下聯立方程式：
$$
\begin{cases}
\; 0.9 S_{ut} = a \cdot (10^3)^b & \text{--- (1)} \\
\\
\; 223.8 = a \cdot (66783)^b & \text{--- (2)}
\end{cases}
$$
將上述兩式進行相除：
$$
\frac{(1)}{(2)} \Rightarrow \quad \frac{0.9 \cdot 470}{223.8} = \left(\frac{1000}{66783}\right)^b
\Rightarrow \quad b \cdot \log(0.0149) = \log(1.89)
$$

解得：
$$
b = -0.1513, \quad a = 1203.23
$$
代入以上參數，求得第二組負載下的剩餘循環次數：
   $$
   \begin{align}
   n_2 &= \left( \frac{\sigma_{ar, \text{2nd}}}{a} \right)^{1 / b} \\
   \\
   &= \left(\frac{298.0488}{1203.23}\right)^{{1}/{-0.1513}} = 10132 \approx 10000 \, \text{cycles} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
### 最終結果

- 使用 Miner’s 方法，第二組負載下的剩餘循環次數 $n_2 = 7000 \, \text{cycles}$
- 使用 Manson’s 方法，第二組負載下的剩餘循環次數 $n_2 = 10000 \, \text{cycles}$

---
