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title: 06_助教課_CH8
tags: [2. 第二次考試範圍]

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第八章：螺栓、緊固件與非永久接頭設計 (Screws, Fasteners, and the Design of Nonpermanent Joints)
本章著重於非永久性接頭的設計，特別是螺栓與緊固件的應用及性能分析。主要內容包括：

螺紋標準與定義：介紹各類螺紋型式及相關規範。
螺栓鎖固機構設計：分析螺旋的機械特性與扭矩傳遞效率，並選擇適當規格以滿足設計需求。
接頭剛性分析：螺栓剛性（計算螺栓在受力下的變形）、結構剛性（分析被連接部件的變形量與受力情況）
螺栓扭矩與張力關係：建立合理的預緊力控制方法。
螺栓強度與預緊力：確保螺栓在靜態負載與疲勞負載下的安全性，同時評估變動負載下的可用壽命。
 
（課堂上勾選之第八章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 8-4

A single-threaded power screw is 25 mm in diameter with a pitch of 5 mm. A vertical load on the screw reaches a maximum of 5 kN. The coefficients of friction are 0.06 for the collar and 0.09 for the threads. The frictional diameter of the collar is 45 mm. Find the overall efficiency and the torque to “raise” and “lower” the load.

**中文翻譯**：有一單螺紋動力螺桿，其直徑為 25 mm，螺距為 5 mm，螺桿上的垂直負載達到最大 5 kN。櫬套與螺紋的摩擦係數分別為 0.06 以及 0.09。襯套的摩擦直徑為 45 mm。求總效率以及升降負載所需之扭矩。

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### 計算過程

**已知條件**
- 負載：$F = 5 \, \text{kN}$
- 螺距：$l = 5 \, \text{mm}$
- 中徑：$d_m = d - {p}/{2} = 25 - {5}/{2} = 22.5 \, \text{mm}$
- 摩擦係數：螺紋 $f = 0.09$，襯套 $f_c = 0.06$
- 襯套摩擦直徑：$d_c = 45 \, \text{mm}$

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#### Step 1. 計算上升時所需的扭矩 $T_R$

1. 根據 **公式8-1** 計算上升負載：

$$
\begin{align}
T_R &= \frac{Fd_m}{2} \left( \frac{l + \pi f d_m}{\pi d_m - fl} \right) \\
\\
& = \frac{5(22.5)}{2} \left[ \frac{5 + \pi (0.09) 22.5}{\pi (22.5) - 0.09 (5)} \right] = 9.10 \, \text{N} \cdot \text{m}
\end{align}
$$
2. 考慮到櫬套產生的摩擦效應，利用公式 **公式8-6**：

$$
\begin{align}
T_c &= \frac{F f_c d_c}{2} \\
\\
&= \frac{5(0.06)45}{2} = 6.75 \, \text{N} \cdot \text{m}
\end{align}
$$
3. 實際所需之上升扭矩則為：

$$
(T_{R})_{total} = T_R + T_c = 15.85 \, \text{N} \cdot \text{m} \quad \text{Ans.}
$$

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#### Step 2. 計算下降時所需的扭矩 $T_L$

1. 根據 **公式8-2** 計算下降負載：

$$
\begin{align}
T_L &= \frac{Fd_m}{2} \left( \frac{\pi f d_m - l}{\pi d_m + fl} \right) \\
\\
&= \frac{5(22.5)}{2} \left[ \frac{\pi (0.09) 22.5 - 5}{\pi (22.5) + 0.09 (5)} \right] = 1.08 \, \text{N} \cdot \text{m}
\end{align}
$$
2. 櫬套產生的摩擦效應相同，故實際所需之下降扭矩則為：

$$
(T_{L})_{total} = T_L + T_c = 7.83 \, \text{N} \cdot \text{m} \quad \text{Ans.}
$$


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#### Step 3. 計算總效率 $e$

由於 $T_L > 0$ ，因此螺紋具備 **自鎖性（self-locking）**。依照 **公式8-4** 計算效率 $e$：

$$
\begin{align}
e &= \frac{Fl}{2 \pi T_{Rr}} \\
\\
&= \frac{5(5)}{2 \pi (15.85)} = 0.251 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

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### 最終結果

- 升負載所需扭矩：$T_R = 15.85 \, \text{N} \cdot \text{m}$
- 降負載所需扭矩：$T_L = 7.83 \, \text{N} \cdot \text{m}$
- 總效率：$e = 0.251$

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## Problem 8-7

For the C clamp shown, a force is applied at the end of the ${3}/{8}$ in diameter handle. The screw is a ${3}/{4}$ in-6 Acme thread (see Figure 8-3), and is 10 in long overall, with a maximum of 8 in possible in the clamping region. The handle and screw are both made from cold-drawn AISI 1006 steel. The coefficients of friction for the screw and the collar are 0.15. The collar, which in this case is the anvil striker’s swivel joint, has a friction diameter of 1 in. It is desired that the handle will yield before the screw will fail. Check this by the following steps:

(a) Determine the maximum force that can be applied to the end of the handle to reach the point of yielding of the handle.

(b) Using the force from part (a), determine the clamping force.

\(c) Using the force from part (a), determine the factor of safety for yielding at the interface of the screw body and the base of the first engaged thread, assuming the first thread carries 38 percent of the total clamping force.

(d) Determine a factor of safety for buckling of the screw.

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJl7trnWkx.png =200x) ![Screenshot_20241109_103100_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/BJUOYSnZyl.jpg =320x)

**中文翻譯**：有一 C 型夾鉗如圖所示，於直徑 ${3}/{8}$ 英寸之手柄末端處施加一力。該夾鉗選用的螺桿為 $\frac{3}{4}$ in-6 的愛克姆螺紋（又稱梯形螺紋，請參考圖 8-3-b），總長為 10 英寸，並在夾緊區域最多可以移動 8 英寸。手柄與螺桿均由冷拉 AISI 1006 鋼材製成。螺桿和襯套的摩擦係數為 0.15。與螺桿相接之襯套為鍛造製轉動接頭，摩擦直徑為 1 英寸。該 C 型夾鉗的設計條件是為：在手柄產生降伏破壞之前螺桿不會先損壞。請通過以下步驟檢查確認條件是否符合：

(a) 計算手柄末端在達到降伏破壞之前，可施加之最大負載。

(b) 使用(a)部分求得之負載來計算可容許之夾緊力。

\(c) 假設第一段螺紋承擔了總夾緊力的 38%，使用(a)部分求得之負載，計算螺桿本體與螺紋基座接觸之的降伏安全係數。

(d) 計算螺桿的屈曲安全係數。

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### 計算過程

**已知條件**
- 材料性質：降伏強度 $S_y = 41 \, \text{ksi}$
- 手柄直徑：$d = 0.375 \, \text{in}$
- 摩擦係數：螺紋 $f = 0.15$，襯套 $f_c = 0.15$
- 襯套摩擦直徑：$d_c = 1 \, \text{in}$

**愛克姆螺紋之相關參數（參考圖 8-3-b）**
- 螺距：$p = l = {1}/{6} = 0.1667 \, \text{in}$
- 中徑：$d_m = d - {p}/{2} = 0.75 - {1}/{12} = 0.6667 \, \text{in}$
- 根徑：$d_r = d - p = 0.75 - {1}/{6} = 0.5833 \, \text{in}$
- 摩擦角：$\alpha = 29^\circ / 2 = 14.5^\circ$

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#### (a) 計算手柄末端在達到降伏破壞之前，可施加之最大負載

1. 首先計算手柄的最大彎矩，位於手柄嵌入螺桿本體的位置，手柄施力點與螺桿穿孔入口之距離即為力臂長。則最大彎矩為：
$$
M_{\text{max}} = (3 \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} ) \times F_\text{max} = 3.125 \, F_\text{max}
$$

2. 透過材料性質 $S_y$ 計算降伏應力：
$$
\frac{32 \cdot M_{\text{max}}}{\pi d^3} = S_y
$$

$$
\frac{32 \cdot 3.125 \cdot F_\text{max}}{\pi (0.375)^3} = 41 \cdot 10^3 \quad
\quad \Rightarrow \quad F_\text{max} = 67.9 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
$$

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#### (b) 計算可容許之夾緊力

1. 根據愛克姆螺紋之相關參數，代入 **公式8-5** 與 **公式8-6** 來計算鎖緊所需的扭矩 $T_\text{total}$：
$$
\begin{align}
T_\text{total} &= T_R + T_c \\
\\
&= \frac{F_\text{clamp} \, d_m}{2} \Bigg( \frac{l + \pi f d_m \sec \alpha}{\pi d_m - f l \sec \alpha} \Bigg) + \frac{F_\text{clamp} f_c d_c}{2} \\
\\
&= \frac{F_\text{clamp} \cdot 0.6667}{2} \Bigg( \frac{0.1667 + \pi \cdot 0.15 \cdot 0.6667 \cdot \sec 14.5^\circ }{\pi \cdot 0.6667 - 0.15 \cdot 0.1667 \cdot \sec 14.5^\circ} \Bigg) + \frac{F_\text{clamp} \cdot 0.15 \cdot 1}{2} \\
\\
&\Rightarrow \quad 0.1542 \; F_\text{clamp}
\end{align}
$$

2. 最大扭矩同時也為力臂乘上最大負載，故可以得到夾緊力的關係式：
$$
T_\text{total} = 0.1542 \; F_\text{clamp} = 3\frac{1}{2} \times F_\text{max} \\
$$

代入 $F_\text{max} = 67.9 \, \text{lbf}$，可得到容許之夾緊力：
$$
\begin{align}
\Rightarrow
F_\text{clamp} = \frac{3.5 \times 67.9}{0.1542} = 1542 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

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#### \(c) 計算降伏安全係數

1. 螺紋的彎曲應力 **（公式8-11）**：
   考慮第一段螺紋負載為 38% 的總夾緊力，即 $F = 0.38 \, F_\text{clamp}$：
   $$
   \begin{align}
   \sigma_x &= \frac{6 F}{\pi d_r n_t p} \\
   \\
   &= \frac{6 \cdot 0.38 \cdot 1542}{\pi \cdot 0.5833 \cdot 1 \cdot 0.1667} = 11510 \, \text{psi} = 11.5 \, \text{kpsi}
   \end{align}
   $$
   
2. 軸向應力 **（公式8-8）**：
   $$
   \begin{align}
   \sigma_y &= \frac{4F}{\pi d_r^2} \\
   \\ 
   &= \frac{4 \cdot 1542}{\pi \cdot 0.5833^2} = -5770 \, \text{psi} = -5.77 \, \text{kpsi}
   \end{align}
   $$

3. 扭轉應力 **（公式8-7）**：
   $$
   \begin{align}
   \tau_{yz} &= \frac{16T}{\pi d_r^3} \\
   \\
   &= \frac{16 \cdot 237.7}{\pi \cdot 0.5833^3} = 6100 \, \text{psi} = 6.10 \, \text{kpsi}
   \end{align}
   $$

4. 切向剪應力 **（公式8-12）**：
   考慮第一段螺紋負載為 38% 的總夾緊力，即 $T = 0.38 \, T_\text{total}$：
   $$
   \begin{align}
   \tau_{xz} &= \frac{4T}{\pi d_r^2 n_t p} \\
   \\
   &= \frac{4 \cdot 0.38 \cdot 237.7}{\pi \cdot 0.5833^2 \cdot 1 \cdot 0.1667} = -2030 \, \text{psi} = -2.03 \, \text{kpsi}
   \end{align}
   $$

5. 計算三維之 von Mises 等效應力 **（公式5-14）**：

   $$
   \begin{align}
   \sigma' &= \frac{1}{\sqrt{2}}\Big[ (\sigma_x - \sigma_y) + (\sigma_y - \sigma_z) + (\sigma_z - \sigma_x) + 6(\tau^2_{xy} + \tau^2_{yz} + \tau^2_{xz}) \Big]^{1/2} \\
   \\
   &= \frac{1}{\sqrt{2}} \Big\{ \big[ 11.5 - (-5.77) \big]^2 + \big[ -5.77 - 0 \big]^2 + 6\big[ (6.10)^2 + (-2.03)^2 \big] \Big\}^{1/2} \\
   \\
   &= 18.9 \, \text{kpsi}
   \end{align}
   $$

6. **最後，計算降伏安全係數**：
   $$
   n_y = \frac{S_y}{\sigma'} = \frac{41}{18.9} = 2.2 \quad \text{Ans.}
   $$

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#### (d) 計算屈曲安全係數

1. 計算臨界負載：
==**詳細計算過程之流程說明請參考Problem 4-129 Step 2.**==
螺桿一端固定於 C 型夾鉗上，另一端則為可活動之轉動接頭，故根據 **表4-2** 的建議參數，選擇 $C = 1.2$ 。分析屈曲的過程中忽略螺紋帶來的影響。

   - 計算 **特定細長比 (specified slenderness ration)** $\left( \frac{l}{k} \right)_1$
     $$ 
     \left( \frac{l}{k} \right)_1 = \left( \frac{2 \pi^2 C E}{S_y} \right)^{1/2} = 131.7
     $$

   - 計算 **實際結構之細長比 (slenderness ratio)**

     $$ 
     k = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{\pi d^4 /64}{\pi d^2 /4}} = \frac{d}{4} = 0.1458 \, \text{in}, 
     \quad \quad
     \frac{l}{k} = \frac{8}{0.1458} = 54.9
     $$

   - 選擇適當的公式來計算 **臨界負載 (critical pressure)**
     由於 $\frac{l}{k} < \left( \frac{l}{k} \right)_1$，使用 **Johnson's 公式**：
     $$
     \begin{align}
     P_{cr} &= A \cdot \Bigg[ S_y - \left( \frac{S_y l}{2 \pi k} \right)^2 \cdot \frac{1}{C E} \Bigg] \\
     \\
     &= 9995 \, \text{lbf}. \quad \text{Ans.}
     \end{align}
     $$

2. 屈曲安全係數：
   $$
   n_b = \frac{P_\text{cr}}{F} = \frac{9995}{1542} = 6.5 \quad \text{Ans.}
   $$
   由於手柄的降伏安全係數 $n_y$ 小於螺桿的屈曲安全係數 $n_b$，故可確認在螺紋產生屈曲破壞之前，手柄會先因降伏而破壞。


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### 最終結果

- **(a)** 手柄末端的降伏力：$F_\text{max} = 67.9 \, \text{lbf}$
- **(b)** 夾緊力：$F_\text{clamp} = 1542 \, \text{lbf}$
- **\(c)** 降伏安全係數：$n_y = 2.2$
- **(d)** 屈曲安全係數：$n_b = 6.5$

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## Problem 8-11

An M14 × 2 hex-head bolt with a nut is used to clamp together two 15-mm steel plates.

(a) Determine a suitable length for the bolt, rounded up to the nearest 5 mm. 
(b) Determine the bolt stiffness. 
\(c) Determine the stiffness of the members.

**中文翻譯**：使用 M14 × 2 六角頭螺栓和螺帽夾緊兩塊 15 mm 厚的鋼板。

(a) 計算適合的螺栓長度，向上取整數數到最接近的 5 mm。 
(b) 計算螺栓的剛性。 
\(c) 計算結構的剛性。

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### 計算過程

**已知條件**
- 螺栓直徑：$d = 14 \, \text{mm}$
- 螺距：$p = 2 \, \text{mm}$
- 材料性質：$E = 207 \, \text{GPa}$

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#### (a) 計算螺栓的長度

根據 **表格A-31**，螺帽的高度 $H = 12.8 \, \text{mm}$。要求螺栓長度 $L$ 必須至少包含板材厚度和螺帽高度：
$$
L \geq l + H = 2(15) + 12.8 = 42.8 \, \text{mm}
$$

取整數數至最接近的 5 mm，可得：
$$
L = 45 \, \text{mm} \quad \text{Ans.}
$$

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#### (b) 計算螺栓剛性

1. 計算螺紋嚙合部分的長度，使用公式 $L_T = 2d + 6$：
   $$
   L_T = 2(14) + 6 = 34 \, \text{mm}
   $$

2. 計算自由長度，從螺栓總長度中扣除嚙合部分的長度：
   $$
   l_d = L - L_T = 45 - 34 = 11 \, \text{mm}
   $$
   
3. 計算非螺紋部分的長度：
   $$
   l_t = l - l_d = 2(15) - 11 = 19 \, \text{mm}
   $$

4. 計算螺栓有效截面積：
   從 **表8-1** 可知螺栓的應力面積為：
   $$
   A_t = 115 \, \text{mm}^2
   $$
   
   而螺栓根部截面積為：
   $$
   A_d = \frac{\pi (14^2)}{4} = 153.9 \, \text{mm}^2
   $$

5. 計算螺栓剛性 $k_b$，使用 **公式8-17**：
   $$
   \begin{align}
   k_b &= \frac{A_d A_t E}{A_d l_t + A_t l_d} \\
   \\
   &= \frac{153.9 \cdot 115 \cdot 207}{153.9(19) + 115(11)} = 874.6 \, \text{MN/m} \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### \(c) 計算結構的剛性

使用 **公式8-22** 計算結構剛性 $k_m$，其中 $l = 2(15) = 30 \, \text{mm}$：
$$
\begin{align}
k_m &= \frac{0.5774 \pi E d}{2 \ln \Big[ 5 (0.5774 l + 0.5 d)/(0.5774 l + 2.5 d) \Big]} \\
\\
&= \frac{0.5774 \pi \cdot 207 \cdot 14}{2 \ln \Big[ 5 \left( 0.5774 \cdot 30 + 0.5 \cdot 14 \right)/ \big( 0.5774 \cdot 30 + 2.5 \cdot 14 \big) \Big]} \\
\\
&= 3116.5 \, \text{MN/m} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- 螺栓長度：$L = 45 \, \text{mm}$
- 螺栓剛性：$k_b = 874.6 \, \text{MN/m}$
- 結構剛性：$k_m = 3116.5 \, \text{MN/m}$

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$\,$
## Problem 8-19

A 30-mm thick AISI 1020 steel plate is sandwiched between two 10-mm thick 2024-T3 aluminum plates and compressed with a bolt and nut with no washers. The bolt is M10 × 1.5, property class 5.8.

(a) Determine a suitable length for the bolt, rounded up to the nearest 5 mm. 
(b) Determine the bolt stiffness. 
\(c) Determine the stiffness of the members.

**中文翻譯**：一塊厚度為 30 mm 的 AISI 1020 鋼板夾在兩塊厚度為 10 mm 的 2024-T3 鋁板之間，並用螺栓和螺帽壓緊（無墊圈）。螺栓規格為 M10 × 1.5，性質等級為 5.8。

(a) 計算適合的螺栓長度，向上取整數到最接近的 5 mm。 
(b) 計算螺栓的剛性。 
\(c) 計算結構的剛性。

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### 計算過程

**已知條件**
- 螺栓直徑：$d = 10 \, \text{mm}$
- 螺距：$p = 1.5 \, \text{mm}$

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#### (a) 計算螺栓的長度

查 **表A-31** 可得螺帽高度 $H = 8.4 \, \text{mm}$。螺栓長度 $L$ 必須至少包含夾緊兩個鋁板和一個鋼板的厚度，以及螺帽的高度：
$$
L \geq l + H = (10 + 30 + 10) + 8.4 = 58.4 \, \text{mm}
$$

取整數至最接近的 5 mm，可得：
$$
L = 60 \, \text{mm} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### (b) 計算螺栓剛性
==**詳細計算過程之流程說明請參考Problem 8-11 (a).**==
1. 計算螺紋嚙合部分的長度 $L_T$、自由長度 $l_d$ 以及 非螺紋部分的長度 $l_t$：
   $$
   L_T = 2d + 6 = 26 \, \text{mm}
   \quad \quad
   l_d = L - L_T = 34 \, \text{mm}
   \quad \quad
   l_t = l - l_d = 16 \, \text{mm}
   $$

2. 計算螺栓的有效截面積：
   從 **表8-2** 查得根部截面積以及應力截面積分別為：
   $$
   A_d = \frac{\pi (10^2)}{4} = 78.54 \, \text{mm}^2
   \quad \quad
   A_t = 58 \, \text{mm}^2
   $$

3. 計算螺栓剛性 $k_b$，使用 **公式8-17**：
   $$
   \begin{align}
   k_b &= \frac{A_d A_t E}{A_d l_t + A_t l_d} \\
   \\
   &= \frac{78.54 \cdot 58.0 \cdot 207}{78.54(16) + 58.0(34)} = 292.1 \, \text{MN/m} \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### \(c) 計算結構的剛性
對於此題，結構剛性示意圖如下：
![Screenshot_20241111_150124_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/B1-k271M1x.jpg =555x)
由尺寸可知，組合後的結構為上下對稱，可假設以中心假想線為基準做區分，上下兩區域所得到的材質等效剛性理應相同，故先個別計算出鋁與鋼材之等效剛性（分別為圖中黃色與綠色螢光筆區域，令其為 $k_1$ 與 $k_2$），將所得剛性串聯（令其為 $k_m'$），最後將結果再進行一次串聯，即可得到整個鎖固件結構之等效剛性 $k_m$ 。

$\,$
材料性質相關參數可整理如下表：
| 材質 | 厚度 | 根徑 | 大端直徑 | 楊氏係數 |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 鋁（AL2024-T3） | $t = 10 \, \text{mm}$ | $d = 10 \, \text{mm}$ | $D = 15 \, \text{mm}$ | $E = 71 \, \text{GPa}$ |
| 鋼（AISI 1020） | $t = 30/2 \, \text{mm}$ | $d = 10 \, \text{mm}$ | $D = 26.55 \, \text{mm}$ | $E = 207 \, \text{GPa}$ |

$\,$
1. 使用 **公式8-20** 計算螢光筆區域之等效剛性：
   $$
   k = \frac{0.5774 \pi Ed}{\ln \Big\{ \big[(1.155t + D - d)(D + d) \big]  / \big[ (1.155t + D + d)(D - d) \big] \Big\} }
   $$
   可得鋁材與鋼材之剛性 $k_1$ 以及 $k_2$ 分別為： 
   $$
   \begin{align}
   k_1 = 1576 \, \text{MN/m}
   \quad \quad
   k_2 = 11440 \, \text{MN/m}
   \end{align}
   $$

2. 計算上半部之等效剛性 $k_m'$：
   由於結構彼此相接，故整體之等效剛性為個別剛性的串聯，即個別剛性倒數和的倒數：
   $$
   k_m' = \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{1576} + \frac{1}{11440} \right)^{-1} = 1385 \, \text{MN/m}
   $$

3. 計算整體結構剛性 $k_m$： 
   由於上下兩部分相同，因此：
   $$
   k_m = \left( \frac{1}{k_m'} + \frac{1}{k_m'} \right)^{-1} = \frac{k_m'}{2} = \frac{1385}{2} = 692.5 \, \text{MN/m} \quad \text{Ans.}
   $$

$\,$
### 最終結果

- 螺栓長度：$L = 60 \, \text{mm}$
- 螺栓剛性：$k_b = 292.1 \, \text{MN/m}$
- 結構剛性：$k_m = 692.5 \, \text{MN/m}$

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$\,$
## Problem 8-26

A $\frac{3}{4}$-in-16 UNF series SAE grade 5 bolt has a $\frac{3}{4}$-in ID steel tube 10 in long, clamped between washer faces of bolt and nut by turning the nut snug and adding one-third of a turn. The tube OD is the washer-face diameter $d_w = 1.5d = 1.5(0.75) = 1.125 \, \text{in} = \text{OD}$.

(a) Determine the bolt stiffness, the tube stiffness, and the joint constant $C$. 
(b) When the one-third turn-of-nut is applied, what is the initial tension $F_i$ in the bolt?

![Screenshot_20241113_161726_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/S12slJMMJe.jpg =300x)

**中文翻譯**：有一根鋼管，其內徑為 $\frac{3}{4}$ 英寸、長度為 10 英寸。中間貫穿一根 $\frac{3}{4}$-in-16 UNF 系列 SAE 等級 5 的螺栓。該鋼管置於螺栓頭與螺帽的墊片面中間並轉動螺帽使其鎖固，並額外加上三分之一圈來夾緊。鋼管外徑 OD 等於墊片面直徑 $d_w = 1.5d = 1.5(0.75) = 1.125 \, \text{in} = \text{OD}$。

(a) 計算螺栓剛性、鋼管剛性以及接合係數 $C$。 
(b) 當施加三分之一圈時，螺栓中的初始張力 $F_i$ 是多少？

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### 計算過程

**已知條件**
- 鋼管長度：$l = 10 \, \text{in}$
- 螺帽高度：$H = 41/64 \, \text{in}$（查表 A-31）
- 螺栓直徑：$d = 0.75 \, \text{in}$
- 墊片面直徑（鋼管外徑）：$d_w = 1.125 \, \text{in}$
- 螺距：每英吋 16 齒 $\Rightarrow p = 1/16 \, \text{in}$
- 材料性質：$E = 30 \times 10^6 \, \text{psi}$

$\,$
#### (a) 計算螺栓剛性、鋼管剛性以及接合係數 $C$

1. **螺栓剛性 $k_b$** ==**（ 詳細計算過程之流程說明請參考Problem 8-11 (a). ）**==
計算螺栓的總長度 $L$：
$$
L \geq l + H = 10.641 \, \text{in} 
\quad \Rightarrow \quad
L = 10.75 \, \text{in}
$$
計算螺紋嚙合部分的長度 $L_T$、自由長度 $l_d$ 以及 非螺紋部分的長度 $l_t$：
$$
L_T = 2d + 0.5 = 2 \, \text{in}
\quad \quad
l_d = L - L_T = 8.75 \, \text{in}
\quad \quad
l_t = l - l_d = 1.25 \, \text{in}
$$
計算螺栓的有效截面積：
從 **表8-2** 查得根部截面積以及應力截面積分別為：
$$
A_d = \frac{\pi (0.75)^2}{4} = 0.4418 \, \text{in}^2, 
\quad \quad  
A_t = 0.373 \, \text{in}^2
$$
計算螺栓剛性 $k_b$，使用 **公式8-17**：
$$
\begin{align}
k_b = \frac{A_d A_t E}{A_d l_t + A_t l_d} = 1.296 \, \text{Mlbf/in} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

2. **鋼管剛性 $k_m$**
使用 **公式4-4** 計算鋼管的剛性：
$$
k_m = \frac{A_m E_m}{l} = \frac{\left({\pi}/{4}\right) (1.125^2 - 0.75^2) \cdot 30}{10} = 1.657 \, \text{Mlbf/in} \quad \text{Ans.}
$$

3. **計算接合係數 $C$**
使用接合係數的公式（**第8-7節 公式f**）：
$$
C = \frac{k_b}{k_b + k_m} = \frac{1.296}{1.296 + 1.657} = 0.439 \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### (b) 計算當施加三分之一圈時，螺栓中的初始張力 $F_i$
鋼管鎖固的示意圖如下：
![image](https://hackmd.io/_uploads/SyB0JwlGkx.png)

根據原始的題目敘述，鎖固後額外施加 1/3 圈，將產生額外的變形量 $\delta$ ，而這變形量由螺栓與鋼管在鎖緊時所產生的變形量所貢獻。已知螺距為 $p = 1/16 \, \text{in}$，由此可知，額外產生的變形量為：
$$
\delta = \delta_b + \delta_m = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16}
$$
由於螺栓與鋼管在鎖固後是相連的，故兩者之剛性互為串聯。根據虎克定律：
$$
F = k \delta,
$$
$$
\begin{align}
\Rightarrow \quad
F_i &= \left( \frac{1}{k_b} + \frac{1}{k_m} \right)^{-1} \cdot \delta \\
\\
&= \frac{k_b k_m}{k_b + k_m} \cdot \delta \\
\\
&= \left( \frac{1.296 \cdot 1.657}{1.296 + 1.657} \cdot 10^6 \right) \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16} \right) \\
\\
&= 15150 \, \text{lbf} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- 螺栓剛性：$k_b = 1.296 \, \text{Mlbf/in}$
- 鋼管剛性：$k_m = 1.657 \, \text{Mlbf/in}$
- 接合係數：$C = 0.439$
- 初始張力：$F_i = 15150 \, \text{lbf}$

---
$\,$
## Problem 8-29

For a bolted assembly with six bolts, the stiffness of each bolt is $k_b = 3 \, \text{Mlbf/in}$ and the stiffness of the members is $k_m = 12 \, \text{Mlbf/in}$ per bolt. An external load of 80 kips is applied to the entire joint. Assume the load is equally distributed to all the bolts. It has been determined to use $\frac{7}{8}$-in-13 UNC grade 8 bolts with rolled threads. Assume the bolts are preloaded to 75 percent of the proof load.

(a) Determine the yielding factor of safety. 
(b) Determine the overload factor of safety. 
\(c) Determine the factor of safety based on joint separation.

**中文翻譯**：有一個組合件透過六顆螺栓進行鎖固，每顆螺栓的剛性為 $k_b = 3 \, \text{Mlbf/in}$，同時產生的結構剛性為 $k_m = 12 \, \text{Mlbf/in}$。今施加一額外負載 80 kips 於整個接合處，假設此負載均勻分佈於所有螺栓。螺栓規格為滾軋製之 $\frac{7}{8}$-in-13 UNC 等級 8。假設螺栓預壓至保證負載的 75%。

(a) 計算降伏安全係數。 
(b) 計算過載安全係數。
\(c) 計算接合處之安全係數。

---

### 計算過程

**已知條件**
- 螺栓數量：$N = 6$
- 每顆螺栓的剛性：$k_b = 3 \, \text{Mlbf/in}$
- 每顆螺栓對應的結構剛性：$k_m = 12 \, \text{Mlbf/in}$
- 額外施加之負載：$P_\text{total} = 80 \, \text{kips}$

$\,$
#### Step 1. 計算各項所需之參數
1. 每顆螺栓分配的負載：
   $$
   P = \frac{P_\text{total}}{N} = \frac{80}{6} = 13.33 \, \text{kips/bolt}
   $$

2. 從 **表8-2** 以及 **表8-9** ，查得有效截面積與保證強度，分別為：
   $$
   A_t = 0.141 \, \text{in}^2
   \quad \quad
   S_p = 120 \, \text{kpsi}
   $$

3. 接合係數 $C$ ：
   $$
   C = \frac{k_b}{k_b + k_m} = \frac{3}{3 + 12} = 0.2
   $$

4. 透過 **公式8-31**，計算每顆螺栓的預壓力 $F_i$
$$
\begin{align}
F_i &= 0.75 \cdot A_t \cdot S_p \\
\\
&= 0.75 \cdot 0.141 \cdot 120 = 12.77 \, \text{kips}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算降伏安全係數 $n_p$

根據 **公式8-28** 計算降伏安全係數 $n_p$：
$$
\begin{align}
n_p &= \frac{S_p A_t}{C P + F_i} \\
\\
&= \frac{120 \cdot 0.141}{0.2 \cdot 13.33 + 12.77} = 1.10 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算過載安全係數 $n_L$

根據 **公式8-29** 計算過載安全係數 $n_L$：
$$
\begin{align}
n_L &= \frac{S_p A_t - F_i}{C P} \\
\\
&= \frac{120 \cdot 0.141 - 12.77}{0.2 \cdot 13.33} = 1.60 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 4. 計算接合處之安全係數 $n_0$

根據 **公式8-30** 計算接合分離的安全係數 $n_0$：
$$
\begin{align}
n_0 &= \frac{F_i}{P (1 - C)} \\
\\
&= \frac{12.77}{13.33 \times (1 - 0.2)} = 1.20 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- 降伏安全係數：$n_p = 1.10$
- 過載安全係數：$n_L = 1.60$
- 接合處之安全係數：$n_0 = 1.20$

---
$\,$
## Problem 8-32

For a bolted assembly, the stiffness of each bolt is $k_b = 4 \, \text{Mlbf/in}$ and the stiffness of the members is $k_m = 12 \, \text{Mlbf/in per bolt}$. The joint is subject to occasional disassembly for maintenance and should be preloaded accordingly. A fluctuating external load is applied to the entire joint with $P_\text{max} = 80$ kips and $P_\text{min} = 20$ kips. Assume the load is equally distributed to all the bolts. It has been determined to use $\frac{7}{8}$-in-13 UNC grade 8 bolts with rolled threads.

(a) Determine the minimum number of bolts necessary to avoid yielding of the bolts. 
(b) Determine the minimum number of bolts necessary to avoid joint separation.

**中文翻譯**：


有一個組合件，每顆螺栓的剛性為 $k_b = 4 \, \text{Mlbf/in}$，同時產生的結構剛性為 $k_m = 12 \, \text{Mlbf/in}$。該組件需定期拆卸進行維護，因此應適當進行預壓。外加負載為波動負載，最大值為 80 kips，最小值為 20 kips，假設此負載均勻分佈於所有螺栓。螺栓規格為滾軋製之 $\frac{7}{8}$-in-13 UNC 等級 8。假設螺栓預壓至保證負載的 75%。

(a) 計算避免螺栓降伏所需的最小螺栓數量。 
(b) 計算避免接合處分離所需的最小螺栓數量。

---

### 計算過程

**已知條件**
- 每顆螺栓的剛性：$k_b = 4 \, \text{Mlbf/in}$
- 每顆螺栓對應的結構剛性：$k_m = 12 \, \text{Mlbf/in}$
- 額外施加之負載：$P \in \left[ 20, \, 80 \right] \, \text{kips}$

$\,$
#### Step 1. 計算各項所需之參數
1. 從 **表8-2** 以及 **表8-9** ，查得有效截面積與保證強度，分別為：
   $$
   A_t = 0.141 \, \text{in}^2
   \quad \quad
   S_p = 120 \, \text{kpsi}
   $$

2. 接合係數 $C$ ：
   $$
   C = \frac{k_b}{k_b + k_m} = \frac{4}{4 + 12} = 0.25
   $$

3. 透過 **公式8-31**，計算每顆螺栓的預壓力 $F_i$
$$
\begin{align}
F_i &= 0.75 \cdot A_t \cdot S_p \\
\\
&= 0.75 \cdot 0.141 \cdot 120 = 12.77 \, \text{kips}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算避免降伏所需的最小螺栓數量

為了避免螺栓產生降伏，假設降伏安全係數 $n_p = 1$。透過 **公式8-28**：
$$
P_\text{total} = N \left( \frac{S_p \ A_t - F_i}{C} \right)
$$

解出螺栓數量 $N$：
$$
N = \frac{P_\text{total} \ C}{0.25 \ S_p \ A_t} = \frac{80 \cdot 0.25}{0.25 \cdot 120 \cdot 0.141} = 4.70
$$

取至最接近的整數：
$$
N = 5 \, \text{bolts} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算避免接合分離所需的最小螺栓數量

為了避免接合面產生分離，假設接合處之安全係數 $n_0 = 1$。透過 **公式8-30**：
$$
P_\text{total} = N \left( \frac{F_i}{1 - C} \right)
$$

解出螺栓數量 $N$：
$$
N = \frac{P_\text{total} \ (1 - C)}{F_i} = \frac{80 \ (1 - 0.25)}{12.77} = 4.70
$$

取至最接近的整數：
$$
N = 5 \, \text{bolts} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

- 避免降伏所需的最小螺栓數量：$N = 5$
- 避免接合處分離所需的最小螺栓數量：$N = 5$

---
$\,$
## Problem 8-48

For the bolted assembly in Problem 8-29, assume the external load is a repeated load. Determine the fatigue factor of safety for the bolts using the following failure criteria:

(a) Goodman 
(b) Gerber 
\(c) ASME-elliptic

**中文翻譯**：對於題目 8-29 的螺栓組裝，假設外部負載為重複載重。使用以下破壞準則計算螺栓的疲勞安全係數：

(a) Goodman 準則
(b) Gerber 準則
\(c) ASME-elliptic 準則

---

### 計算過程

**已知條件** 
從 **Problem 8-29** 中，已知：
- $P_\text{max} = 13.33 \, \text{kips}$ 
- 接合係數 $C = 0.2$ 
- 預壓力 $F_i = 12.77 \, \text{kips}$ 
- 有效截面積 $A_t = 0.141 \, \text{in}^2$

查表數據（表 8-17 和表 8-9）：
- 疲勞強度 $S_e = 23.2 \, \text{kpsi}$ 
- 極限拉伸強度 $S_\text{ut} = 150 \, \text{kpsi}$ 
- 保證強度 $S_p = 120 \, \text{kpsi}$ 

$\,$
#### Step 1. 計算應力
根據題目敘述，外部負載的類型為重複載重，其型態可參考 **圖6-17(a)**：
![Screenshot_20241103_211709_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/ByyMHKgG1l.jpg =420x)

1. 靜態應力 $\sigma_i$：
   $$
   \sigma_i = \frac{F_i}{A_t} = \frac{12.77}{0.141} = 90.0 \, \text{kpsi}
   $$

2. 交變應力 $\sigma_a$，根據 **公式8-39**：
   $$
   \sigma_a = \frac{C P}{2 A_t} = \frac{0.2 \times 13.33}{2 \times 0.141} = 9.39 \, \text{kpsi}
   $$

3. 平均應力 $\sigma_m$，根據 **公式8-41**：
   $$
   \sigma_m = \sigma_a + \sigma_i = 9.39 + 90.0 = 99.39 \, \text{kpsi}
   $$

$\,$
#### Step 2. Goodman 準則

根據 Goodman 準則（**公式8-45**），疲勞安全係數 $n_f$ 為：
$$
\begin{align}
n_f &= \frac{S_e (S_\text{ut} - \sigma_i)}{\sigma_a (S_\text{ut} + S_e)} \\
\\
&= \frac{23.2 (150 - 90.0)}{9.39 (150 + 23.2)} = 0.856 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 3. Gerber 準則

根據 Gerber 準則（**公式8-46**），疲勞安全係數 $n_f$ 為：
$$
\begin{align}
n_f &= \frac{1}{2 \sigma_a S_e} \left[ S_\text{ut} \sqrt{S_\text{ut}^2 + 4 S_e (\sigma_i + S_e)} - S_\text{ut}^2 - 2 \sigma_i S_e \right] \\
\\
&= \frac{1}{2 \times 9.39 \times 23.2} \left[ 150 \sqrt{150^2 + 4 \times 23.2 \times (23.2 + 90.0)} - 150^2 - 2 \times 90.0 \times 23.2 \right] \\
\\
&= 1.32 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 4. ASME-elliptic 準則

根據 ASME-elliptic 準則 （**公式8-47**），疲勞安全係數 $n_f$ 為：
$$
\begin{align}
n_f &= \frac{S_e}{\sigma_a (S_p^2 + S_e^2)} \left( S_p \sqrt{S_p^2 + S_e^2 - \sigma_i^2} - \sigma_i S_e \right) \\
\\
&= \frac{23.2}{9.39 \cdot (120^2 + 23.2^2)} \left( 120 \sqrt{120^2 + 23.2^2 - 90^2} - 90 \cdot  23.2 \right) \\
\\
&= 1.30 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- Goodman 準則下之疲勞安全係數：$n_f = 0.856$
- Gerber 準則下之疲勞安全係數：$n_f = 1.32$
- ASME-elliptic 準則下之疲勞安全係數：$n_f = 1.30$

---
$\,$
## Problem 8-51

For a bolted assembly with eight M8 × 1.25 class 9.8 bolts with rolled threads, the stiffness of each bolt is $k_b = 1.5 \, \text{MN/mm}$ and the stiffness of the members is $k_m = 3.9 \, \text{MN/mm per bolt}$. The joint is subject to occasional disassembly for maintenance and should be preloaded accordingly. An external load of 50 kN is repeatedly applied to the entire joint. Determine the fatigue factor of safety using the following criteria:

(a) Goodman 
(b) Gerber 
\(c) Morrow

**中文翻譯**：有一個組合件使用了八顆螺栓，其規格為滾軋製之 M8 × 1.25 等級 9.8 ，每顆螺栓的剛性為 $k_b = 1.5 \, \text{MN/mm}$，同時產生的結構剛性為 $k_m = 3.9 \, \text{MN/mm}$。該組件需定期拆卸進行維護，因此應適當進行預壓。50 kN 的外部負載反復施加於整個接合處。請使用以下破壞準則計算疲勞安全係數：

(a) Goodman 
(b) Gerber 
\(c) Morrow

---

### 計算過程

**已知條件**
- 螺栓數量：$N = 8$
- 每顆螺栓的剛性：$k_b = 1.5 \, \text{MN/mm}$
- 每顆螺栓對應的結構剛性：$k_m = 3.9 \, \text{MN/mm}$
- 額外施加之負載：$P \in \left[ 0, \, 50 \right] \, \text{kN}$

$\,$
#### Step 1. 計算各項所需之參數
1. 從 **表8-1**、**表8-11** 以及 **表8-17** ，查得有效截面積、極限拉伸強度、保證強度以及疲勞強度，分別為：
   $$
   A_t = 36.6 \, \text{mm}^2
   \quad
   S_\text{ut} = 900 \, \text{MPa}
    \quad
   S_p = 650 \, \text{MPa}
   \quad
   S_e = 140 \, \text{MPa}
   $$

2. 每顆螺栓承受的負載為：
   $$
   P = \frac{P_\text{max}}{N} = \frac{50}{8} = 6.25 \, \text{kN}
   $$

3. 接合係數 $C$ ：
   $$
   C = \frac{k_b}{k_b + k_m} = \frac{1.5}{1.5 + 3.9} = 0.278
   $$

4. 透過 **公式8-31**，計算每顆螺栓的預壓力 $F_i$
   $$
   \begin{align}
   F_i &= 0.75 \cdot A_t \cdot S_p \\
   \\
   &= 0.75 \cdot 36.6 \cdot 650 (10^{-3}) = 17.84 \, \text{kN}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 2. 計算應力

1. **靜態應力** $\sigma_i$：
   $$
   \sigma_i = \frac{F_i}{A_t} = \frac{17.84 \times 10^3}{36.6} = 487.5 \, \text{MPa}
   $$

2. **交變應力** $\sigma_a$，根據 **公式8-39**：
   $$ 
   \sigma_a = \frac{C P}{2 A_t} = \frac{0.278 \times 6.25 \times 10^3}{2 \times 36.6} = 23.74 \, \text{MPa}
   $$

$\,$
#### Step 3. Goodman 準則

根據 Goodman 準則（**公式8-45**），疲勞安全係數 $n_f$ 為：
$$
\begin{align}
n_f &= \frac{S_e (S_\text{ut} - \sigma_i)}{\sigma_a (S_\text{ut} + S_e)} \\
\\
&= \frac{140 (900 - 487.5)}{23.74 (900 + 140)} = 2.34 \quad \text{Ans.} \\
\\
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 4. Gerber 準則

根據 Gerber 準則（**公式8-46**），疲勞安全係數 $n_f$ 為：
$$
\begin{align}
n_f &= \frac{1}{2 \sigma_a S_e} \left[ S_\text{ut} \sqrt{S_\text{ut}^2 + 4 S_e (\sigma_i + S_e)} - S_\text{ut}^2 - 2 \sigma_i S_e \right] \\
\\
&= \frac{1}{2 \times 23.74 \times 140} \left[ 900 \sqrt{900^2 + 4 \times 140 \times (487.5 + 140)} - 900^2 - 2 \times 487.5 \times 140 \right] \\
\\
&= 3.52 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 5. Morrow 準則

將 Goodman 準則中的 $S_\text{ut}$ 替換為修正應力 $\sigma_f'$ 。根據 **公式6-44** 得到：
$$
\sigma_f' = S_\text{ut} + 345 = 900 + 345 = 1245 \, \text{MPa}
$$

$$
\begin{align}
\Rightarrow
n_f &= \frac{S_e (\sigma_f' - \sigma_i)}{\sigma_a (\sigma_f' + S_e)} \\
\\
&= \frac{140 (1245 - 487.5)}{23.74 (1245 + 140)} = 3.23 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- Goodman 準則下之疲勞安全係數：$n_f = 2.34$
- Gerber 準則下之疲勞安全係數：$n_f = 3.52$
- Morrow 準則下之疲勞安全係數：$n_f = 3.23$

---
$\,$
## Problem 8-61

The section of the sealed joint shown in the figure is loaded by a force cycling between 4 and 6 kips. The members have $E = 16$ Mpsi. All bolts have been carefully preloaded to $F_i = 25$ kip each.

(a) Determine the yielding factor of safety. 
(b) Determine the overload factor of safety. 
\(c) Determine the factor of safety based on joint separation. 
(d) Determine the fatigue factor of safety using the Goodman criterion.

![tempFileForShare_20241113-161942](https://hackmd.io/_uploads/SJeEZkzf1g.jpg =377x)

**中文翻譯**：

如圖所示的密封接頭部分承受週期性變動的負載，範圍在 4 到 6 kips 之間。結構材料的彈性模數為 $E = 16$ Mpsi。所有螺栓均已預先加壓至 $F_i = 25$ kip。

(a) 計算降伏安全係數。 
(b) 計算過載安全係數。 
\(c) 計算接合處之安全係數。 
(d) 使用 Goodman 準則計算疲勞安全係數。

---

### 計算過程

**已知條件**
- 彈性模數：$E = 16 \, \text{Mpsi}$
- 螺栓直徑：$d = 0.75 \, \text{in}$
- 長度：$l = 1.5 \, \text{in}$
- 預壓力：$F_i = 25 \, \text{kip}$
- 外加負載範圍：$P \in [4, 6] \, \text{kips}$

$\,$
#### Step 1. 計算各項所需之參數：

1. 使用 **公式8-22** 計算結構剛性 $k_m$：
$$
\begin{align}
k_m &= \frac{0.5774 \pi E d}{2 \ln \Big[ 5 (0.5774 l + 0.5 d)/(0.5774 l + 2.5 d) \Big]} \\
\\
&= \frac{0.5774 \pi \cdot 16 \cdot 0.75}{2 \ln \Big[ 5 \left( 0.5774 \cdot 1.5 + 0.5 \cdot 0.75 \right)/ \big( 0.5774 \cdot 1.5 + 2.5 \cdot 0.75 \big) \Big]} \\
\\
&= 13.32 \, \text{Mlbf/in}
\end{align}
$$

2. **螺栓剛性 $k_b$** ==**（ 詳細計算過程之流程說明請參考Problem 8-11 (a). ）**==：
計算螺紋嚙合部分的長度 $L_T$、自由長度 $l_d$ 以及 非螺紋部分的長度 $l_t$：
$$
L_T = 2d + 0.5 = 1.75 \, \text{in}
\quad \quad
l_d = L - L_T = 0.75 \, \text{in}
\quad \quad
l_t = l - l_d = 0.75 \, \text{in}
$$
計算螺栓的有效截面積：
從 **表8-2** 查得根部截面積以及應力截面積分別為：
$$
A_d =  0.442 \, \text{in}^2, 
\quad \quad  
A_t = 0.373 \, \text{in}^2
$$
計算螺栓剛性 $k_b$，使用 **公式8-17**：
$$
\begin{align}
k_b = \frac{A_d A_t E}{A_d l_t + A_t l_d} = 8.09 \, \text{Mlbf/in} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

3. 計算接合係數 $C$：
$$
C = \frac{k_b}{k_b + k_m} = 0.378
$$

4. **交變應力** $\sigma_a$ （**公式8-35**）：
   $$
   \sigma_a = \frac{C (P_\text{max} - P_\text{min})}{2 A_t} = 1.013 \, \text{kpsi}
   $$

5. **平均應力** $\sigma_m$ （**公式8-36**）：
   $$
   \sigma_m = \frac{C (P_\text{max} + P_\text{min})}{2 A_t} + \frac{F_i}{A_t} = 72.09 \, \text{kpsi}
   $$

$\,$
#### Step 2. 根據題目要求，計算各項安全係數

1. **(a)** 降伏安全係數 $n_p$（**公式8-51**）
$$
\begin{align}
n_p &= \frac{S_p}{\sigma_m + \sigma_a} \\
\\
&= \frac{85}{72.09 + 1.013} = 1.16 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

2. **(b)** 過載安全係數 $n_L$（**公式8-29**）
$$
\begin{align}
n_L &= \frac{S_p A_t - F_i}{C P_\text{max}} \\
\\
&= \frac{85 \times 0.373 - 25}{0.378 \times 6} = 2.96 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

3. **\(c)** 接合處分離的安全係數 $n_0$（**公式8-30**）
$$
\begin{align}
n_0 &= \frac{F_i}{P_\text{max} (1 - C)} \\
\\
&= \frac{25}{6 (1 - 0.378)} = 6.70 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

4. **(d)** Goodman 準則下的疲勞安全係數 $n_f$
從 **表8-9** 與 **表8-17** 查得疲勞強度以及極限拉伸強度分別為：
$$
S_e = 18.6 \, \text{kpsi}, 
\quad \quad  
S_\text{ut} = 120 \, \text{kpsi}
$$
利用 **公式8-38**：
$$
\begin{align}
n_f &= \frac{S_e (S_\text{ut} - \sigma_i)}{S_\text{ut} \sigma_a + S_e (\sigma_m - \sigma_i)} \\
\\
&= \frac{18.6 (120 - 67.0)}{120 \cdot 1.013 + 18.6 (72.09 - 67.0)} = 4.56 \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

- 降伏安全係數：$n_p = 1.16$
- 過載安全係數：$n_L = 2.96$
- 接合處之安全係數：$n_0 = 6.70$
- Goodman 準則下的疲勞安全係數：$n_f = 4.56$

---
$\,$
## Problem 8-67

The figure shows a bolted lap joint that uses SAE grade 5 bolts. The members are made of cold-drawn AISI 1020 steel. Assume the bolt threads do not extend into the joint. Find the safe tensile shear load $F$ that can be applied to this connection to provide a minimum factor of safety of 2 for the following failure modes: shear of bolts, bearing on bolts, bearing on members, and tension of members.

![Screenshot_20241113_162100_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/rkTubkzf1l.jpg =555x)

**中文翻譯**：有一搭接結構，使用螺栓接合，其規格為 SAE 等級 5；結構則由冷拔 AISI 1020 鋼製成。假設在接合區域內，螺栓的受力部分為無螺紋的光滑區域。假設最小安全係數為 2，並考慮以下破壞情形：螺栓上的剪切效應、螺栓上的承載效應、結構上的承載效應，以及結構的拉伸效應，根據計算結果，評估能夠施加於該接頭上的安全拉伸剪力 $F$。

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### 計算過程

**已知條件**
- 結構：
  1. 降伏強度：$S_y = 57 \, \text{kpsi}$，
  2. 剪切降伏強度 $S_{sy} = 0.577 S_y = 32.89 \, \text{kpsi}$
- 螺栓（SAE 等級 5）
  1. 降伏強度：$S_y = 92 \, \text{kpsi}$， 
  2. 剪切降伏強度 $S_{sy} = 0.577 S_y = 53.08 \, \text{kpsi}$
- 設計安全係數：$n = 2$
  
$\,$
#### Step 1. 螺栓上的剪切效應（shear of bolts）

1. 計算螺栓的剪切截面積 $A_s$：
   $$
   A_s = 2 \times \frac{\pi (0.25)^2}{4} = 0.0982 \, \text{in}^2
   $$

2. 計算螺栓剪切效應下之安全負載 $F_s$：
   $$
   (F_s)_b = \frac{A_s S_{sy}}{n} = \frac{0.0982 \times 53.08}{2} = 2.61 \, \text{kips}
   $$

$\,$
#### Step 2. 螺栓上的承載效應（bearing on bolts）

1. 計算承壓面積 $A_b$：
   $$
   A_b = 2 \times (0.25)(0.25) = 0.125 \, \text{in}^2
   $$

2. 計算螺栓上承載效應下之安全負載 $F_b$：
   $$
   (F_b)_b = \frac{A_b S_{y}}{n} = \frac{0.125 \times 92}{2} = 5.75 \, \text{kips}
   $$

$\,$
#### Step 3. 結構上的承載效應（bearing on members）

1. 計算結構上承載效應下之安全負載 $F_b$：
   $$
   (F_b)_m = \frac{A_b S_{y}}{n} = \frac{0.125 \times 57}{2} = 3.56 \, \text{kips}
   $$

$\,$
#### Step 4. 結構的拉伸效應（tension of members）

1. 計算結構的拉伸截面積 $A_t$ ：
   $$
   A_t = (1.25 - 0.25)(0.25) = 0.25 \, \text{in}^2
   $$

2. 計算結構的拉伸失效安全負載 $F_t$：
   $$
   (F_t)_m = \frac{A_t S_y}{n} = \frac{0.25 \times 57}{2} = 7.13 \, \text{kips}
   $$

$\,$
#### Step 5. 決定可施加於該接頭上之安全拉伸剪力 $F$

從上述之各種破壞情形中取最小的安全負載：
$$
\begin{align}
F &= \min \big[ \ (F_s)_b, \ (F_b)_b, \ (F_b)_m, \ (F_t)_m \ \big] \\
\\
&= \min \big[ \ 2.61, \, 5.75, \, 3.56, \, 7.13 \ \big] \\
\\
&= 2.61 \, \text{kips} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

因此，螺栓上之剪切效應須作為設計時最優先考量之條件。

$\,$
### 最終結果

- **可施加於該接頭上之安全拉伸剪力**：$F = 2.61 \, \text{kips}$（以螺栓上之剪切效應作為設計時之最優先考量。）
- ==**這一題的重點在於是否能理解各種破壞情形。同樣都是計算應力或負載，但是受力面積會因為不同的破壞情形而有所不同，同樣地，承受應力的對象是螺栓還是結構，也會影響計算結果，因材料性質的不同，請多加注意。**==

---
$\,$
## Problem 8-76

A vertical channel 152 × 76 (see Table A-7) has a cantilever beam bolted to it as shown. The channel is hot-rolled AISI 1006 steel. The bar is of hot-rolled AISI 1015 steel. The shoulder bolts are M10 × 1.5 ISO 5.8. Assume the bolt threads do not extend into the joint. For a design factor of 2.0, find the safe force $F$ that can be applied to the cantilever.

![Screenshot_20241113_162155_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/ryP2-kzMkl.jpg =588x)

**中文翻譯**：一根尺寸為 152 × 76 的垂直 C 型鋼（參見 **表A-7**）上安裝了一根懸臂梁。 C 型鋼材質為熱軋 AISI 1006 鋼，懸臂梁材質為熱軋 AISI 1015 鋼。使用 M10 × 1.5 ISO 5.8 等級的肩螺栓進行連接。假設在接合區域內，螺栓的受力部分為無螺紋的光滑區域。設計安全係數為 2.0，求可施加於懸臂梁的安全負載 $F$。

---

### 計算過程

**已知條件**
- 螺栓（規格：ISO 5.8）：
  1. 降伏強度： $S_y = 420 \, \text{MPa}$（查 **表8-11**）
- C 型鋼（材質：AISI 1006）：
  1. 降伏強度：$S_y = 170 \, \text{MPa}$（查 **表A-20**）
  2. 厚度：$t = 6.4 \, \text{mm}$（查 **表A-7**）
- 懸臂梁（材質：AISI 1015）：
  1. 降伏強度：$S_y = 190 \, \text{MPa}$（查 **表A-20**）
- 設計安全係數：$n = 2.0$

$\,$
#### Step 1. 根據剪力與彎矩所造成的影響，建立安全負載之關係式
C 型鋼的受力情形如下圖：
![Screenshot_20241113_165134_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/ryUTOkGMkl.jpg =533x)

其中包含了剪力所造成的主要負載 $F'$（direct load, or primary shear）以及由彎矩所造成的次要負載 $F''$（moment load, or secondary shear）。這些力均會均勻分佈於各個孔位之上，根據這個原則，我們可以：

1. 定義 **主要負載** 與安全負載之間的關係：
   $$
   F'_A = F'_O = F'_B = F/3
   $$
   
2. 定義 **次要負載** 與安全負載之間的關係：
   C 型鋼所受的總彎矩 $M$ 為：
   $$
   \begin{align}
   M &= (50 + 26 + 125) F \\
   \\
   &= 201 F = 50 F''_A + 50 F''_B
   \end{align}
   $$
   
   $$
   \Rightarrow
   F''_A = F''_B = \frac{201 F}{2 \cdot 50} = 2.01 F
   $$

3. 從上圖可知，在 B 點有最大受力，則：
   $$
   \begin{align}
   F_\text{max} &= F'_B + F''_B \\
   \\
   &= \left( \frac{1}{3} + 2.01 \right) F = 2.343 F \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   
$\,$
#### Step 2. 螺栓上的剪切效應（shear of bolts）
1. 計算螺栓肩部之面積 $A_s$：
   $$
   A_s = \frac{\pi (10^2)}{4} = 78.54 \, \text{mm}^2
   $$

2. 計算最大剪應力 $\tau_\text{max}$：
   $$
   \tau_\text{max} = \frac{F_C}{A_s} = \frac{S_{sy}}{n}
   $$

3. 將最大受力之關係式 $F_\text{max} = 2.343 F$ 代入上式並整理：
   $$
   \begin{align}
   F &= \frac{S_{sy}}{n} \left( \frac{A_s}{2.343} \right) \\
   \\
   &= \frac{242.3}{2} \times \frac{78.54}{2.343} \times 10^{-3} = 4.06 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 3. 螺栓上的承載效應（bearing on bolts）
承載之受力面積 $A_b$ 為:
$$
A_b = t d = 6.4 \times 10 = 64 \, \text{mm}^2
$$

與剪切效應的計算方式雷同，將最大受力的關係式代入並整理，可得：
$$
\begin{align}
F &= \frac{S_y}{n} \left( \frac{A_b}{2.343} \right) \\
\\
&= \frac{420}{2.0} \left( \frac{64}{2.343} \right) \times 10^{-3} = 5.74 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 4. C 型鐵上的承載效應（bearing on channel）
已知C 型鐵的承載受力面積以及該材料之降伏強度分別為：
$$
A_b = 64 \, \text{mm}^2, 
\quad \quad 
S_y = 170 \, \text{MPa}
$$

計算承載之負載：
$$
\begin{align}
F &= \frac{S_y}{n} \left( \frac{A_b}{2.343} \right) \\
\\
&= \frac{170}{2.0} \left( \frac{64}{2.343} \right) \times 10^{-3} = 2.32 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 5. 懸臂梁的承載效應（bearing on cantilever）
懸臂梁的承載面積 $A_b$ 為：
$$
A_b = 12 \times 10 = 120 \, \text{mm}^2
$$

利用相同的方法計算負載：
$$
\begin{align}
F &= \frac{S_y}{n} \left( \frac{A_b}{2.343} \right) \\
\\
&= \frac{190}{2.0} \left( \frac{120}{2.343} \right) \times 10^{-3} = 4.87 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 6. 懸臂梁的彎曲效應（bending of cantilever）
因為在 $C$ 點有最大彎矩，故僅考慮該處。首先計算慣性矩：
$$
I = \frac{1}{12} (12) (50^3 - 10^3) = 1.24 \times 10^5 \, \text{mm}^4
$$

已知彎矩、應力以及安全係數之間的關係為：
$$
\sigma_\text{max} = \frac{S_y}{n} = \frac{M c}{I}
$$

此時的彎矩值 $M = (125 + 26)F$，代入關係式後進行整理，得：
$$
\begin{align}
F &= \frac{S_y}{n} \left( \frac{I}{151 c} \right) \\
\\
&= \frac{190}{2.0} \left( \frac{1.24 \times 10^5}{151 \times 25} \right) \times 10^{-3} = 3.12 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$


$\,$
#### Step 7. 決定可施加於懸臂梁上之安全負載 $F$

從上述之各種破壞情形中取最小的安全負載：
$$
\begin{align}
F &= \min \big[ \ 4.06, \, 5.74, \, 2.32, \, 4.87, \, 3.12 \ \big] \\
\\
&= 2.32 \, \text{kN} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

因此，C 型鐵上的承載效應須作為設計時最優先考量之條件。

$\,$
### 最終結果

- **可施加於懸臂梁上之安全負載**：$F = 2.32 \, \text{kN}$（以C 型鐵上的承載效應須作為設計時最優先考量之條件。）
- ==**這一題的重點除了與上一題一樣，在於是否能理解各種破壞情形。除此之外，對於結構在受到外部負載之後，這個外力是如何分佈於各個孔位上的，也是其中一個重點。**==

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