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title: 05_助教課_CH7
tags: [2. 第二次考試範圍]

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第七章：軸與軸構件 (Shafts and Shaft Components)
本章介紹軸的設計理論與實踐，分析軸及其相關元件的負載、應力和失效準則。主要內容包括：

軸的基本概念：描述軸在機械系統中傳遞扭矩與功率的功能。
材料選擇與應力分析：探討適合軸設計的材料特性，並針對彎曲、扭轉及組合應力進行設計計算。
變形量與剛性：計算軸的最大變形量，確保運行穩定。
臨界轉速與附加構件：評估軸的共振條件以避免振動問題，以及分析軸上的鍵、套、止動環等元件的設計。
尺寸與配合：設計適合的公差與配合以保證組裝精度。

（課堂上勾選之第七章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 7-1

A shaft is loaded in bending and torsion such that $M_a = 70 \, \text{N} \cdot \text{m}$, $T_a = 45 \, \text{N} \cdot \text{m}$, $M_m = 55 \, \text{N} \cdot \text{m}$, and $T_m = 35 \, \text{N} \cdot \text{m}$. For the shaft, $S_u = 700 \, \text{MPa}$, $S_y = 560 \, \text{MPa}$, the true fracture strength is 1045 MPa, and a fully corrected endurance limit of $S_e = 210 \, \text{MPa}$ is assumed. Let $K_f = 2.2$ and $K_{fs} = 1.8$. With a design factor of 2.0, determine the minimum acceptable diameter of the shaft using the:

(a) DE-Goodman criterion.
(b) DE-Morrow criterion.
\(c) DE-Gerber criterion.
(d) DE-SWT criterion.
Discuss and compare the results. 

**中文翻譯**：一根軸在彎曲與扭轉負載下，其中 $M_a = 70 \, \text{N} \cdot \text{m}$，$T_a = 45 \, \text{N} \cdot \text{m}$，$M_m = 55 \, \text{N} \cdot \text{m}$，且 $T_m = 35 \, \text{N} \cdot \text{m}$。該軸材料的抗拉強度為 $S_u = 700 \, \text{MPa}$，降伏強度為 $S_y = 560 \, \text{MPa}$，真實斷裂強度 1045 MPa，且假設完全校正的疲勞極限為 $S_e = 210 \, \text{MPa}$。給定 $K_f = 2.2$ 和 $K_{fs} = 1.8$。在設計因子為 2.0 的條件下，使用以下方法求出軸的最小允許直徑：

(a) DE-Goodman 準則 
(b) DE-Morrow 準則 
\(c) DE-Gerber 準則 
(d) DE-SWT 準則 
討論並比較結果。

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### 計算過程

**已知條件**
- 結構負載：$M_a = 70 \, \text{N} \cdot \text{m}$，$T_a = 45 \, \text{N} \cdot \text{m}$，$M_m = 55 \, \text{N} \cdot \text{m}$，$T_m = 35 \, \text{N} \cdot \text{m}$
- 材料性質：$S_u = 700 \, \text{MPa}$，$S_y = 560 \, \text{MPa}$，真實斷裂強度 $\bar{\sigma_f} = 1045 \, \text{MPa}$
- 完全修正之疲勞限：$S_e = 210 \, \text{MPa}$ 
- 疲勞之應力集中係數：$K_f = 2.2$ $K_{fs} = 1.8$
- 設計因子：$n = 2$

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#### Step 1. 計算簡化係數
為了將計算過程簡化，代入各個準則之前，須先利用 **公式 7-6** 求取簡化係數：

$$
A = \sqrt{4(K_f M_a)^2 + 3(K_{fs} T_a)^2},
\quad
B = \sqrt{4(K_f M_m)^2 + 3(K_{fs} T_m)^2}
$$
代入已知條件，可得：
$$
A = 338.4,
\quad
B = 265.5
$$

$\;$
#### Step 2. 透過指定方法評估軸之直徑
**(a) DE-Goodman（公式 7-8）：**

$$
\begin{align}
d &= \left[ \frac{16n}{\pi} \left( \frac{A}{S_e} + \frac{B}{S_{ut}} \right) \right]^{1/3} \\
\\
&= \left[ \frac{16(2)}{\pi} \left( \frac{338.4}{210 \times 10^6} + \frac{265.5}{700 \times 10^6} \right) \right]^{1/3}\\
\\
&= 27.27 \times (10^{-3}) \, \text{m} = 27.27 \, \text{mm} \quad  \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\;$
**(b) DE-Morrow（公式 7-10）：**

$$
\begin{align}
d &= \left[ \frac{16n}{\pi} \left( \frac{A}{S_e} + \frac{B}{\bar{\sigma_f}} \right) \right]^{1/3} \\
\\
&= \left[ \frac{16(2)}{\pi} \left( \frac{338.4}{210 \times 10^6} + \frac{265.5}{1045 \times 10^6} \right) \right]^{1/3} \\
\\
&= 26.68 \times (10^{-3}) \, \text{m} = 26.68 \, \text{mm} \quad  \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\;$
**\(c) DE-Gerber（公式7-12）：**

$$
\begin{align}
d &= \left( \frac{8nA}{\pi S_e} \left\{ 1 + \left[ 1 + \left( \frac{2BS_e}{A S_{ut}} \right)^2 \right]^{1/2} \right\} \right)^{1/3} \\
\\
&= \left( \frac{8(2)(338.4)}{\pi (210)(10^6)} \left\{ 1 + \left[ 1 + \left( \frac{2(265.5)(210)(10^6)}{338.4(700)(10^6)} \right)^2 \right]^{1/2} \right\} \right)^{1/3} \\
\\
&= 25.85 \times (10^{-3}) \, \text{m} = 25.85 \, \text{mm} \quad  \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\;$
**(d) DE-SWT（公式 7-14）：**

$$
\begin{align}
d &= \left[ \frac{16n}{\pi S_e} \left( A^2 + AB \right)^{1/2} \right]^{1/3} \\
\\
&= \left[ \frac{16(2)}{\pi (210)(10^6)} \left( (338.4)^2 + 338.4(265.5) \right)^{1/2} \right]^{1/3} \\
\\
&= 27.99 \times (10^{-3}) \, \text{m} = 27.99 \, \text{mm} \quad \quad  \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 3. 討論計算結果

將計算後的結果整理如下表，並與相對保守的 DE-Goodman 進行比較：
| 使用準則 | 預估直徑 (mm) | 比較結果 |
| :-: | :-: | :-: |
| DE-Goodman | 27.27 | N/A |
| DE-Morrow  | 26.68 | 低 2.2% |
| DE-Gerber  | 25.85 | 低 5.2% |
| DE-SWT     | 27.99 | **高 2.6%（比起 DE-Goodman 更加保守）** |

$\;$
### 最終結果

- **(a) DE-Goodman**：  $d = 27.27 \; \text{mm}$ 
- **(b) DE-Morrow**：   $d = 26.68 \; \text{mm}$
- **\(c) DE-Gerber**：  $d = 25.85 \; \text{mm}$
- **(d) DE-SWT**：      $d = 27.99 \; \text{mm}$
- 根據比較結果，**DE-SWT** 是四種安全準則當中 **最保守** 的一種。

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## Problem 7-3

The section of shaft shown in the figure is to be designed to approximate relative sizes of $d = 0.75D$ and $r = D/20$ with diameter $d$ conforming to that of standard rolling-bearing bore sizes. The shaft is to be made of SAE 2340 steel, heat-treated to obtain minimum strengths in the shoulder area of 175 kpsi ultimate tensile strength and 160 kpsi yield strength with a Brinell hardness not less than 370. At the shoulder the shaft is subjected to a completely reversed bending moment of 600 lbf·in, accompanied by a steady torsion of 400 lbf·in. Use a design factor of 2.5 and size the shaft for an infinite life using the DE-Goodman criterion.

![tempFileForShare_20241104-192655](https://hackmd.io/_uploads/ByLqJVU-ye.jpg =600x)

**中文翻譯**：如圖所示，設計一軸段，使其大約符合 $d = 0.75D$ 和 $r = D/20$ 的相對尺寸，其中 $d$ 的直徑符合標準滾動軸承孔徑尺寸。該軸使用 SAE 2340 鋼材製成，經熱處理後在肩部區域達到最低強度要求，最小抗拉強度為 175 kpsi，降伏強度為 160 kpsi，布氏硬度不小於 370。在肩部，該軸承受完全反向的彎矩 600 lbf·in，並伴隨穩定扭矩 400 lbf·in。使用 2.5 的設計因子，並根據 DE-Goodman 準則，設計軸的尺寸以達到無限壽命。

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### 計算過程

**已知條件**
- 結構負載：完全反向彎矩 $M_a = 600 \, \text{lbf} \cdot \text{in}$，穩定扭矩 $T_m = 400 \, \text{lbf} \cdot \text{in}$，$M_m = T_a = 0$
- 材料性質：抗拉強度 $S_{ut} = 175 \, \text{kpsi}$，降伏強度 $S_y = 160 \, \text{kpsi}$，布氏硬度 $HB \geq 370$
- 相對尺寸：$d = 0.75D$，$r = {D}/{20}$
- 設計因子：$n = 2.5$

此問題必須通過多次試算完成，因為 $S_e$ 是軸尺寸的函數，這邊僅示範當根部直徑 $d_r = 0.75 \, \text{in}$ 時的流程。

$\,$
#### Step 1. 求解疲勞限 $S_e$

==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==

1. 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
   - 理論疲勞限（**公式6-10**） $S_e' = 87.5 \, \text{kpsi}$
   - 表面因子（**公式6-18**） $k_a = 0.65$
   - 形狀因子（**公式6-19**） $k_b = 0.91$
   - 負載因子（**公式6-25**） $k_c = 1$（當結構同時受到多種不同的負載類型時）

2. 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   S_e = S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c = 87.5 \times 0.65 \times 0.91 \times 1 = 51.8 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 2. 根據題目給予之相對尺寸關係求出設計尺寸

1. 利用根部逃溝直徑與相對尺寸之關係，列出以下式子：
$$
\begin{align}
d_r &= d - 2r \\
\\
&= 0.75D - 2 \cdot (D/20) \quad \Rightarrow \; d_r = 0.65D
\end{align}
$$

2. 代入此次試算假設之根部直徑 $d_r = 0.75 \, \text{in}$ 於相對尺寸的關係式中，可得此次設計試算之圓軸直徑以及逃溝半徑：
$$
D = \frac{d_r}{0.65} = 1.15 \, \text{in},
\quad
r = \frac{D}{20} = 0.058 \, \text{in}
$$

$\,$
#### Step 3. 求解因彎曲造成的應力集中係數 $K_f$

1. 求未知係數 $q$：
利用 **圖6-26** ，代入上述求得之 $r = 0.058 \, \text{in}$，查得未知係數 $q = 0.75$

2. 計算理論應力集中係數 $K_t$：
首先找出 **圖 A-15-14** 所需之各項參數:
$$
d = d_r + 2r = 0.808 \, \text{in},
\quad
{d}/{d_r} = 1.08
\quad
{r}/{d_r} = 0.077
$$
最後便可查圖表得到：
$$
K_t = 1.9
$$

3. 將所有係數代入 **公式6-32**：
$$
K_f = 1 + q \cdot (K_t - 1) = 1.81 \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
#### Step 4. 求解因扭轉造成的應力集中係數 $K_{ts}$

1. 求未知係數 $q$：
利用 **圖6-27** ，代入上述求得之 $r = 0.058 \, \text{in}$，查得未知係數 $q = 0.92$

2. 計算理論應力集中係數 $K_{ts}$：(註：這邊需要的係數跟上一步相同。)
首先找出 **圖 A-15-15** 所需之各項參數:
$$
d = d_r + 2r = 0.808 \, \text{in},
\quad
{d}/{d_r} = 1.08
\quad
{r}/{d_r} = 0.077
$$
最後便可查圖表得到：
$$
K_{ts} = 1.5
$$

3. 將所有係數代入 **公式6-32**：
$$
K_{fs} = 1 + q \cdot (K_{ts} - 1) = 1.46 \quad \text{ Ans.}
$$

$\,$
#### Step 5. 依題目要求使用 DE-Goodman 準則，計算根部直徑

總結所需之已知條件，即：
$$
M_a = 600 \, \text{lbf} \cdot \text{in}，
\quad 
T_m = 400 \, \text{lbf} \cdot \text{in}, 
\quad 
M_m = T_a = 0,
$$

$$
K_f = 1.81, 
\quad 
K_{fs} = 1.46
$$

$\,$
1. 為了將計算過程簡化，代入各個準則之前，須先利用 **公式 7-6** 求取簡化係數：
$$
A = \sqrt{4(K_f M_a)^2 + 3(K_{fs} T_a)^2},
\quad
B = \sqrt{4(K_f M_m)^2 + 3(K_{fs} T_m)^2}
$$

2. 透過指定方法計算直徑 **（公式 7-8）**：

$$
\begin{align}
d_r &= \left[ \frac{16n}{\pi} \left( \frac{A}{S_e} + \frac{B}{S_{ut}} \right) \right]^{1/3} \\
\\
& = 0.847 \, \text{in} \quad  \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 6. 將前次結果重新代入進行迭代，計算更加精確的根部直徑

有愛又上進的同學可以把上述的計算流程寫成一個演算法自己玩看看，總之題解給的最佳解是：

$$
d_r = 0.983 \, \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

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### 最終結果
- 最佳之根部直徑 $d_r = 0.983 \, \text{in}$ （這不是人算的）

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## Problem 7-23

In the figure is a proposed shaft design to be used for the input shaft $a$ in Problem 7-22. A ball bearing is planned for the left bearing, and a cylindrical roller bearing for the right.

(a) Determine the minimum fatigue factor of safety by evaluating at any critical locations. Use the DE-Goodman fatigue criterion. 
(b) Check the design for adequacy with respect to deformation, according to the recommendations in Table 7-2.

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1JNTBLZ1g.png)

**中文翻譯**：圖中顯示的是用於問題 7-22 中輸入軸 $a$ 的建議軸設計。左側計劃安裝滾珠軸承，右側為圓柱滾子軸承。

(a) 在任意關鍵位置評估最小疲勞安全係數。使用 DE-Goodman 疲勞準則。 
(b) 根據表 7-2 中的建議，檢測設計在變形方面的適當性。

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### 計算過程

**已知條件**

- **負載情況**：左側使用滾珠軸承，右側使用圓柱滾子軸承
- **材料**：1030 HR 鋼材 
  - 抗拉強度 $S_{ut} = 68$ kpsi
  - 降伏強度 $S_y = 37.5$ kpsi
  - 布氏硬度 $HB = 137$
- **疲勞準則**：DE-Goodman 準則

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#### (a) 疲勞安全性檢測

1. **找出關鍵位置** 
   - 左側座鍵槽 (Left seat keyway)
   - 右側軸承肩部 (Right bearing shoulder)
   - 右側鍵槽 (Right keyway)

   *目的*：這些位置是軸可能產生疲勞損壞的主要區域，因此需要重點檢測。

2. **求解疲勞限 $S_e$**

==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==

1. 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
   - 理論疲勞限（**公式6-10**） $S_e' = 34.0 \, \text{kpsi}$
   - 表面因子（**公式6-18**） $k_a = 0.801$
   - 形狀因子（**公式6-19**） $k_b = 0.822$
   - 負載因子（**公式6-25**） $k_c = 1$（當結構同時受到多種不同的負載類型時）

2. 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   S_e = S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c = 34.0 \times 0.801 \times 0.822 \times 1 = 22.4 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
   $$

3. **計算左側鍵槽的疲勞安全係數** 
   - 查得鍵槽的應力集中因數 $K_t = 2.14$ 和 $K_{ts} = 3.0$
   - 根據缺口靈敏度，計算修正應力集中係數：
     $$
     K_f = 1 + q (K_t - 1) = 1 + 0.51(2.14 - 1) = 1.6
     $$
     
     $$
     K_{fs} = 1 + q_s (K_{ts} - 1) = 1 + 0.57(3.0 - 1) = 2.1
     $$
   - 應用 DE-Goodman 準則，計算疲勞安全係數 $n_f$：
     $$
     A = \sqrt{4(K_f M_a)^2} = \sqrt{4(1.6 \times 2178)^2} = 6969.6
     $$
     
     $$
     B = \sqrt{3(K_{fs} T_m)^2} = \sqrt{3(2.1 \times 2500)^2} = 9093.3
     $$
     $$
     \begin{align}
     n_f &= \frac{\pi d^3}{16} \left( \frac{A}{S_e} + \frac{B}{S_{ut}} \right)^{-1} \\
     \\
     &= \pi \times (1.875^3) \left( \frac{6969.6}{22.4 \times 10^3} + \frac{9093.3}{68 \times 10^3} \right)^{-1} = 2.9
     \end{align}
     $$

4. **右側軸承肩部的疲勞檢測** 
   - 使用與左側鍵槽相同的方法，計算右側軸承肩部的疲勞安全係數 $n_f$，結果如下：
     $$
     n_f = 4.4
     $$

5. **右側鍵槽的疲勞檢測** 
   由於無彎矩，因此不進行疲勞預測。

6. **檢測結構是否降伏**
檢測左側鍵槽的降伏，在該處完全反向的彎矩達到最大，並且存在穩定扭矩。使用 **公式7-15** 進行計算，假設 $M_m = T_a = 0$：
$$
\begin{align}
\sigma'_{\max} &= \left[ \left( \frac{32 K_f M_a}{\pi d^3} \right)^2 + 3 \left( \frac{16 K_{fs} T_m}{\pi d^3} \right)^2 \right]^{1/2} \\
\\
&= \left[ \left( \frac{32 (1.6)(2178)}{\pi (1.875)^3} \right)^2 + 3 \left( \frac{16 (2.1)(2500)}{\pi (1.875)^3} \right)^2 \right]^{1/2} \\
\\
&= 8791 \, \text{psi} = 8.79 \, \text{kpsi}
\end{align}
$$
然後計算降伏安全係數 $n_y$：
$$
n_y = \frac{S_y}{\sigma'_{\max}} = \frac{37.5}{8.79} = 4.3 \quad \text{Ans.}
$$

7. **檢測右端較小直徑處之降伏**
在軸的右端較小直徑處進行降伏檢測，此處僅存在穩定扭矩：
$$
\begin{align}
\sigma'_{\max} &= \left( 3 \frac{16 K_{fs} T_m}{\pi d^3} \right)^{1/2}\\
\\
&= \left( 3 \frac{16 (2.1)(2500)}{\pi (1.5)^3} \right)^{1/2}\\
\\
&= 13722 \, \text{psi} = 13.7 \, \text{kpsi}
\end{align}
$$
計算降伏安全係數 $n_y$：
$$
n_y = \frac{S_y}{\sigma'_{\max}} = \frac{37.5}{13.7} = 2.7 \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### (b) 變形適當性檢測

1. **計算角變量** 
   - 使用 Table A-9 中的公式，在負載左側和右側進行角變量計算。
   - 左側負載處的角變量 $\theta_{AB}$：
     $$
     \theta_{AB} = \frac{F b}{6EIl} (3x^2 + b^2 - l^2) = 2.4124 \times 10^{-6} (3x^2 - 117)
     $$
   - 當 $x = 0 \, \text{in}$ 時，$\theta = -2.823 \times 10^{-4} \, \text{rad}$
   - 當 $x = 9 \, \text{in}$ 時，$\theta = 3.040 \times 10^{-4} \, \text{rad}$

   - 右側負載處的角變量 $\theta_{BC}$：
     $$
     \theta_{BC} = \frac{F a}{6EIl} (-3x^2 + 6xl - 2l^2 - a^2) = 4.342 \times 10^{-4} \, \text{rad}
     $$

2. **將角變量與允許值進行比較** 
   根據表 7-2 查得允許角變量，並與實際計算值進行比較。

   - 左側軸承：
     $$
     n_f = \frac{\text{Allowable slope}}{\text{Actual slope}} = \frac{0.001}{0.0002823} = 3.5
     $$
   - 右側軸承：
     $$
     n_f = \frac{0.0008}{0.0004342} = 1.8
     $$
   - 齒輪嚙合角變量：
     $$
     n_f = \frac{0.0005}{0.000304} = 1.6
     $$

$\,$
### 最終結果

| 關鍵位置            | 疲勞安全係數 $n_f$ | 降伏安全係數 $n_y$ | 允許值比較 |
|:---------------------:|:--------------------:|:---------------------:|:------------:|
| 左側座鍵槽          | $n_f = 2.9$       | $n_y = 4.3$        | 檢測通過   |
| 右側軸承肩部        | $n_f = 4.4$       | -                  | 檢測通過   |
| 右側鍵槽            | 無交變應力        | -                  | 無需檢測   |
| 左側軸承變形        | $n_f = 3.5$       | -                  | 檢測通過   |
| 右側軸承變形        | $n_f = 1.8$       | -                  | 檢測通過   |
| 齒輪嚙合變形        | $n_f = 1.6$       | -                  | 檢測通過   |
| 左側鍵槽降伏檢測    | -                 | $n_y = 4.3$        | 檢測通過   |
| 右端較小直徑降伏檢測| -                 | $n_y = 2.7$        | 檢測通過   |

（這真的不是給人算的）

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$\,$
## Problem 7-28

The shaft shown in the figure is driven by a gear at the right keyway, drives a fan at the left keyway, and is supported by two deep-groove ball bearings. The shaft is made from AISI 1020 cold-drawn steel. At steady-state speed, the gear transmits a radial load of 230 lbf and a tangential load of 633 lbf at a pitch diameter of 8 in.

(a) Determine fatigue factors of safety at any potentially critical locations using the DE-Gerber failure criterion. 
(b) Check that deflections satisfy the suggested minimums for bearings and gears.

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1F7NLLbyl.png)

**中文翻譯**：圖中的軸由右側鍵槽處的齒輪驅動，並通過左側鍵槽驅動風扇，且由兩個深溝滾珠軸承支撐。該軸由 AISI 1020 冷拔鋼製成。在穩態轉速下，齒輪傳遞 230 lbf 的徑向負載和 633 lbf 的切向負載，齒輪的節圓直徑為 8 英寸。

(a) 使用 DE-Gerber 失效準則，計算所有潛在關鍵位置的疲勞安全係數。
(b) 檢測變形是否符合軸承和齒輪的建議最小值。

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### 計算過程 

**已知條件**

- **軸承配置**：右側齒輪驅動風扇，並通過左側鍵槽連接，兩端由深溝滾珠軸承支撐。
- **材料性質**：$S_{ut} = 68 \, \text{kpsi}, \quad S_y = 57 \, \text{kpsi}$
- **負載條件**：
  - 徑向負載 $F_r = 230 \, \text{lbf}$
  - 切向負載 $F_t = 633 \, \text{lbf}$
  - 齒輪節圓直徑 $D = 8 \, \text{in}$
- **疲勞準則**：DE-Gerber 準則

$\,$
**解題邏輯：**

1. **標註軸承和重要構件的位置** 
   將軸承的有效中心位置標註為 $A$ 和 $B$，風扇位置為 $C$，齒輪位置為 $D$，並將其軸向尺寸如圖示標出。由於軸上僅有一個齒輪，因此可將齒輪的徑向負載和切向負載合併為單一合力，並附加一扭矩來處理靜力學問題。透過靜力分析，求得軸承的反作用力為 $R_A = 209.9 \, \text{lbf}$ 和 $R_B = 464.5 \, \text{lbf}$。

2. **彎矩與扭矩計算** 
   彎矩和扭矩圖如下，並顯示了 $D$ 點的最大彎矩為 $M_D = 209.9 \times 6.98 = 1459 \, \text{lbf} \cdot \text{in}$，從 $D$ 到 $C$ 的扭矩為 $T = 633 \times (8/2) = 2532 \, \text{lbf} \cdot \text{in}$。由於軸的旋轉，任何應力元件上的彎曲應力將完全反向，而扭轉應力將保持穩定。由於題目中未提供風扇的詳細資訊，假設其不引入任何軸向負載。相對於彎曲應力，風扇的軸向負載貢獻可忽略不計。
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3. **關鍵位置的識別** 
   根據軸的設計和受力情況，潛在的關鍵位置如下：
   - **C 處的鍵槽**：此處扭矩較大，直徑較小，且鍵槽會造成應力集中。
   - **D 處的鍵槽**：此處彎矩最大，扭矩也較高，鍵槽會引發應力集中。
   - **E 處的槽**：此處的直徑比 D 處小，彎矩仍然很高，槽會產生應力集中，無扭矩作用。
   - **F 處的肩部**：此處的直徑比 D 和 E 處小，彎矩適中，肩部會引發應力集中，但無扭矩作用。
   - **D 左側的肩部**：此處可忽略，因為直徑變化很小，應力集中效應明顯小於 D 處。

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#### 鍵槽位置 $C$

由於此處僅承受穩定扭矩，因此僅需進行靜態檢測。我們使用最大剪應力理論（MSS）來進行分析。

- **剪應力** $\tau$：
  $$
  \tau = \frac{T r}{J} = \frac{2532 \times (1.00 / 2)}{\pi (1.00)^4 / 32} = 12.9 \, \text{kpsi}
  $$

- **降伏安全係數** $n_y$：
  $$
  n_y = \frac{S_y / 2}{\tau} = \frac{57 / 2}{12.9} = 2.21
  $$
  因為 $n_y = 2.21$，表示該位置之安全性通過檢測。

$\,$
#### 鍵槽位置 $D$

假設使用端銑鍵槽刀具，$r/d = 0.02$（參見 表**7-1**），並且 $d = 1.75 \, \text{in}$，$r = 0.02d = 0.035 \, \text{in}$。

- 從 **表7-1** 得到理論應力集中係數：
  $$
  K_t = 2.14, \quad K_{ts} = 3.0
  $$

- 從 **圖6-26** 與 **圖6-27** 查得所需之 $q$ 值，分別為：
  $$
  q = 0.66, \quad q_s = 0.72
  $$

- **將以上數值代入 公式6-32 ，求得修正之應力集中係數**：
  $$
  K_f = 1 + q(K_t - 1) = 1 + 0.66(2.14 - 1) = 1.8
  $$
  
  $$
  K_{fs} = 1 + q_s(K_{ts} - 1) = 1 + 0.72(3.0 - 1) = 2.4
  $$

- **修正後之疲勞限 $S_e$ **：
  
  ==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==
  
  $$
  S_e = k_a \cdot k_b \cdot S_e' = 0.801 \times 0.828 \times 34.0 = 22.5 \, \text{kpsi}
  $$

$\,$
選用 **DE-Gerber 準則** 進行分析，以計算疲勞安全係數。

- 使用 **公式7-6** 和 **公式7-11**（假設 $M_m = T_a = 0$）計算 $A$ 和 $B$：

  $$
  A = \sqrt{4 (K_f M_a)^2} = 5252 \, \text{lbf} \cdot \text{in} = 5.252 \, \text{kip} \cdot \text{in}
  $$
  
  $$
  B = \sqrt{3 (K_{fs} T_m)^2} = 10525 \, \text{lbf} \cdot \text{in} = 10.53 \, \text{kip} \cdot \text{in}
  $$

- **疲勞安全係數 $n$**：

  使用 **公式7-12**：

  $$
  \frac{1}{n} = \frac{8A}{\pi d^3 S_e} \Bigg\{ 1 + \sqrt{1 + \left(\frac{2B S_e}{A S_{ut}}\right)^2} \Bigg\}
  $$
  
  代入數值，求得疲勞安全係數為：
  $$
  n = 3.39 \quad \text{Ans.}
  $$


$\,$
#### 溝槽位置 $E$

假設適用 **圖A-15-14**，因為溝槽右側的直徑為 2 in，溝槽的範圍相對狹窄，應力流可能無法完全發展（可參考 **圖7-9** 了解應力流的概念）。此處 $r/d = 0.1 / 1.55 = 0.065$ 且 $D/d = 1.75 / 1.55 = 1.13$。

- 從 **圖A-15-14** 得到理論應力集中係數：
  $$
  K_t = 2.1
  $$

- 從 **圖6-26** 查得所需之 $q$ 值：
  $$
  q = 0.76
  $$

- **將以上數值代入公式6-32，求得修正之應力集中係數**：
  $$
  K_f = 1 + q(K_t - 1) = 1 + 0.76(2.1 - 1) = 1.8
  $$

- **修正後之疲勞限 $S_e$**：

  ==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==
  
  $$
  S_e = k_a \cdot k_b \cdot S_e' = 0.801 \times 0.839 \times 34.0 = 22.8 \, \text{kpsi}
  $$

$\,$
選用 **DE-Gerber 準則** 進行分析，以計算疲勞安全係數。

- 使用 **公式7-6** 和 **公式7-11**（假設 $M_m = T_a = T_m = 0$）計算 $A$ 和 $B$：

  $$
  A = \sqrt{4 (K_f M_a)^2} = 4122 \, \text{lbf} \cdot \text{in} = 4.122 \, \text{kip} \cdot \text{in}
  $$
  
  $$
  B = 0 \quad \text{（此處無扭矩）}
  $$

- **疲勞安全係數 $n$**：

  使用 **公式7-12**：

  $$
  \frac{1}{n} = \frac{8A}{\pi d^3 S_e} \Bigg\{ 1 + \sqrt{1 + \left(\frac{2B S_e}{A S_{ut}}\right)^2} \Bigg\}
  $$
  
  代入數值，求得疲勞安全係數為：
  $$
  n = 4.04 \quad \text{Ans.}
  $$


$\,$
#### 肩部位置 $F$

假設使用適用的肩部設計，$r/d = 0.125 / 1.40 = 0.089$ 且 $D/d = 2.0 / 1.40 = 1.43$。

- 從 **圖A-15-9** 得到理論應力集中係數：
  $$
  K_t = 1.7
  $$

- 從 **圖6-26** 查得所需之 $q$ 值：
  $$
  q = 0.78
  $$

- **將以上數值代入公式6-32，求得修正之應力集中係數**：
  $$
  K_f = 1 + q(K_t - 1) = 1 + 0.78(1.7 - 1) = 1.5
  $$

- **修正後之疲勞限 $S_e$**：

  ==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem6-16**）**==

  $$
  S_e = k_a \cdot k_b \cdot S_e' = 0.801 \times 0.848 \times 34.0 = 23.4 \, \text{kpsi}
  $$

$\,$
選用 **DE-Gerber 準則** 進行分析，以計算疲勞安全係數。

- 使用 **公式7-6** 和 **公式7-11**（假設 $M_m = T_a = T_m = 0$）計算 $A$ 和 $B$：

  $$
  A = \sqrt{4 (K_f M_a)^2} = \sqrt{4 [(1.5)(845)]^2} = 2535 \, \text{lbf} \cdot \text{in} = 2.535 \, \text{kip} \cdot \text{in}
  $$
  
  $$
  B = 0 \quad \text{（此處無扭矩）}
  $$

- **疲勞安全係數 $n$**：

  使用 **公式7-12**：

  $$
  \frac{1}{n} = \frac{8A}{\pi d^3 S_e} \Bigg\{ 1 + \sqrt{1 + \left(\frac{2B S_e}{A S_{ut}}\right)^2} \Bigg\}
  $$
  
  代入數值，求得疲勞安全係數為：
  $$
  n = 4.97 \quad \text{Ans.}
  $$

#### (b) 變形檢測

由於倒角、槽以及鍵槽的細節對於變形影響不大，因此可忽略。此外，直徑的微小變化以及狹窄的 2.0 in 直徑區段也可忽略。我們將軸分為以下三個區段進行模型化：

| 區段 | 直徑 (in) | 長度 (in) |
|------|-----------|-----------|
| 1    | 1.00      | 2.90      |
| 2    | 1.70      | 7.77      |
| 3    | 1.40      | 2.20      |

變形問題可以通過使用特異性函數來解決（雖然較繁瑣）。例如，可參考範例 4-7 或問題 7-29 的解法。另外，也可以使用軸分析軟體或有限元素軟體進行分析。無論使用哪種方法，結果應該如下：

| 位置            | 斜率 (rad) | 變形量 (in) |
|-----------------|------------|-------------|
| 左側軸承 $A$    | 0.000290   | 0.000000    |
| 右側軸承 $B$    | 0.000400   | 0.000000    |
| 風扇 $C$        | 0.000290   | 0.000404    |
| 齒輪 $D$        | 0.000146   | 0.000928    |

將這些數值與表 7-2 中的建議限制進行比較，我們發現所有結果皆在建議範圍之內。



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### 最終結果
- **(a)** 求得之安全係數統整如下：

|   關鍵位置   | 安全係數 $n$ |
|:------------:|:------------:|
| 鍵槽位置 $C$ |  $n = 2.21$  |
| 鍵槽位置 $D$ |  $n = 3.39$  |
|  槽位置 $E$  |  $n = 4.04$  |
| 肩部位置 $F$ |  $n = 4.97$  |

- **(b)** 根據分析結果，軸的變形和斜率皆符合建議範圍內的要求，當前的設計是可行的。

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$\,$
## Problem 7-37

The steel shaft shown in the figure carries a 18-lbf gear on the left and a 32-lbf gear on the right. Estimate the first critical speed due to the loads, the shaft’s critical speed without the loads, and the critical speed of the combination.

![image](https://hackmd.io/_uploads/r1EAMwLZyg.png =666x)

**中文翻譯**：如圖所示的鋼軸左側承載一個 18 lbf 的齒輪，右側承載一個 32 lbf 的齒輪。請估算：
1. 因負載產生的第一臨界轉速；
2. 軸在無負載時的臨界轉速；
3. 負載與軸結合的臨界轉速。

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### 關於此題的說明

所有步驟須使用 ==**電子試算表中建模**== 的特異性函數進行計算。透過程式設定可以先將左側負載設為 1，右側負載設為 0，計算出 $\delta_1$ 和 $\delta_1$。接著再將左側負載設為 0，右側負載設為 1，計算出 $\delta_2$ 和 $\delta_2$。試算表會顯示 $\delta_1$ 和 $\delta_1$ 的計算結果。根據 $M/I$ 對 $x$ 的表格也很容易製作。**此題不適合使用紙筆計算**，建議使用電子試算表或程式工具進行建模分析（~~所以不用擔心考試會出這種鬼東西~~）

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