第十二章：潤滑與滑動軸承 (Lubrication and Journal Bearings)
本章探討潤滑與滑動軸承的設計與分析，涵蓋了潤滑理論、滑動軸承的性能及其在機械設計中的應用。主要內容包括：

潤滑類型：介紹各種潤滑方式，如邊界潤滑、厚膜潤滑與動壓潤滑的基本原理。
黏度與穩定性：討論潤滑油的黏度特性及其對滑動軸承穩定性的影響。
動壓理論：介紹動壓潤滑的理論基礎，包括滑動軸承的設計變數與穩定工作條件。
壓力供油與材料：分析壓力供油軸承的設計與材料選擇，考慮負載分佈與壽命。
動態負載設計：探討動態負載條件下滑動軸承的設計要點與性能分析。

（課堂上勾選之第十二章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 12-3

A journal bearing has a journal diameter of $3.000 \, \text{in}$, with a unilateral tolerance of $-0.001 \, \text{in}$. The bushing bore has a diameter of $3.005 \, \text{in}$ and a unilateral tolerance of $0.004 \, \text{in}$. The bushing is $1.5 \, \text{in}$ long. The journal speed is $600 \, \text{rev/min}$ and the load is $800 \, \text{lbf}$. For both SAE 10 and SAE 40 lubricants, find the minimum film thickness and the maximum film pressure for an operating temperature of $150^\circ \, \text{F}$ for the minimum clearance assembly.

**中文翻譯**：軸頸軸承的軸頸直徑為 $3.000 \, \text{in}$，單邊公差為 $-0.001 \, \text{in}$。襯套內徑為 $3.005 \, \text{in}$，單邊公差為 $0.004 \, \text{in}$。襯套長度為 $1.5 \, \text{in}$。軸頸轉速為 $600 \, \text{rev/min}$，負載為 $800 \, \text{lbf}$。在操作溫度 $150^\circ \, \text{F}$ 下，針對 SAE 10 和 SAE 40 潤滑劑，求最小油膜厚度及最大油膜壓力（針對最小間隙組合）。

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### 計算過程

**已知條件**

- 軸頸直徑：$d_{\text{max}} = 3.000 \, \text{in}$
- 襯套內徑：$b_{\text{min}} = 3.005 \, \text{in}$
- 襯套長度：$l = 1.5 \, \text{in}$
- 負載：$W = 800 \, \text{lbf}$
- 轉速：$N = 600 \, \text{rev/min}$
- 操作溫度：$150^\circ \, \text{F}$

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#### Step 1. 求相關參數

- 半徑：$r \approx 3.000 / 2 = 1.500 \, \text{in}$
- 長度比：$l / d = 1.5 / 3 = 0.5$
- 間隙比：$r / c = 1.5 / 0.0025 = 600$
- 每秒轉速：$N = 600 / 60 = 10 \, \text{rev/s}$
- 最小間隙：
$$
\begin{align}
c_{\text{min}} &= \frac{b_{\text{min}} - d_{\text{max}}}{2} \\
\\
&= \frac{3.005 - 3.000}{2} = 0.0025 \, \text{in}
\end{align}
$$
- 平均壓力：
$$
P = \frac{W}{ld} = \frac{800}{1.5(3)} = 177.78 \, \text{psi}
$$

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#### Step 2. SAE 10 潤滑劑計算

1. **計算軸承特性數 bearing characteristic number（又稱 Sommerfeld number）**
根據 **圖12-2**，此種潤滑劑在操作溫度 $150 \, ^\circ \text{F}$ 下的黏滯係數約為 $\mu' = 1.75 \, \text{reyn}$。
利用 **公式12-10** 可得：
$$
\begin{align}
S &= \left(\frac{r}{c}\right)^2 \frac{\mu' N}{P} \\
\\
&= 600^2 \left[ \frac{1.75 \cdot 10^{-6} \cdot 10}{177.78} \right] = 0.0354 \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

2. **計算最小油膜厚度 minimum film thickness**
計算完軸承特性數後，搭配已知的長度比（$0.5$），查找 **圖12-15**（圖上的曲線代表不同的長度比值下所得的結果。意即，須根據計算出的長度比查找相對應的曲線）:
根據查找的結果，最小油膜厚度比大約為：
$$
\frac{h_0}{c} = 0.11
$$
最後將先前計算所得之最小間隙 $c_{\text{min}}$ 代入，便可得到最小油膜厚度 $h_0$：
$$
h_0 = 0.11 \times 0.0025 = 0.000275 \, \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

3. **計算最大油膜壓力 maximum film pressure**
與計算最小油膜厚度的方式類似，根據計算出的長度比，查找相對應圖表中的曲線。這邊要查找的圖表為 **圖12-20**:
根據查找的結果，最大油膜壓力比大約為：
$$
\frac{P}{P_{\text{max}}} = 0.21
$$
最後將先前計算的平均壓力 $P$ 代入，便可得到最大油膜壓力 $P_{\text{max}}$：
$$
P_{\text{max}} = \frac{P}{0.21} = \frac{177.78}{0.21} = 847 \, \text{psi} \quad \text{Ans.}
$$

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#### Step 3. SAE 40 潤滑劑計算
計算過程中使用之圖表與公式，以及整體的邏輯均相同。

1. **計算軸承特性數 bearing characteristic number（又稱 Sommerfeld number）**
根據 **圖12-2**，此種潤滑劑在操作溫度 $150 \, ^\circ \text{F}$ 下的黏滯係數約為 $\mu' = 4.5 \, \text{reyn}$。這邊同樣可透過 **公式12-10** 來計算，但從 **圖12-2** 中可以知道，這些黏滯係數呈比例關係，故可透過比例關係來進行計算：
$$
S = 0.0354 \left(\frac{4.5}{1.75}\right) = 0.0910 \quad \text{ Ans.}
$$

2. **計算最小油膜厚度 minimum film thickness**
計算完軸承特性數後，搭配已知的長度比（$0.5$）查找 **圖12-15**。根據查找的結果，最小油膜厚度比大約為：
$$
\frac{h_0}{c} = 0.19
$$
最後將先前計算所得之最小間隙 $c_{\text{min}}$ 代入，便可得到最小油膜厚度 $h_0$：
$$
h_0 = 0.19(0.0025) = 0.000475 \, \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

3. **計算最大油膜壓力 maximum film pressure**
查找 **圖12-20**，根據查找的結果，最大油膜壓力比大約為：
$$
\frac{P}{P_{\text{max}}} = 0.275
$$
最後將先前計算的平均壓力 $P$ 代入，便可得到最大油膜壓力 $P_{\text{max}}$：
$$
P_{\text{max}} = \frac{P}{0.275} = \frac{177.78}{0.275} = 646 \, \text{psi} \quad \text{Ans.}
$$

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### 最終結果
| 潤滑劑規格 | 最小油膜厚度 ($h_0$) | 最大油膜壓力 ($P_{\text{max}}$) |
|:----------:|:-----------------------:|:-------------------------------:|
| **SAE 10** | $0.000275 \, \text{in}$ | $847 \, \text{psi}$ |
| **SAE 40** | $0.000475 \, \text{in}$ | $646 \, \text{psi}$ |

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## Problem 12-5

A full journal bearing has a journal with a diameter of $2.000 \, \text{in}$ and a unilateral tolerance of $-0.0012 \, \text{in}$. The bushing has a bore with a diameter of $2.0024 \, \text{in}$ and a unilateral tolerance of $0.002 \, \text{in}$. The bushing is $1 \, \text{in}$ long and supports a load of $600 \, \text{lbf}$ at a speed of $800 \, \text{rev/min}$. Find the minimum film thickness, the power loss, and the total lubricant flow if the average film temperature is $130^\circ \, \text{F}$ and SAE 20 lubricant is used. The tightest assembly is to be analyzed.

**中文翻譯**：一個完整的軸頸軸承，其軸頸直徑為 $2.000 \, \text{in}$，單邊公差為 $-0.0012 \, \text{in}$。襯套的內徑為 $2.0024 \, \text{in}$，單邊公差為 $0.002 \, \text{in}$。襯套長度為 $1 \, \text{in}$，承受 $600 \, \text{lbf}$ 的負載，轉速為 $800 \, \text{rev/min}$。若平均油膜溫度為 $130^\circ \, \text{F}$ 且使用 SAE 20 潤滑劑，計算最小油膜厚度、功率損失，以及總體積流率。分析應以最緊湊組合為基準進行。

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### 計算過程

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**已知條件**
- 軸頸直徑：$d_{\text{max}} = 2.000 \, \text{in}$
- 襯套內徑：$b_{\text{min}} = 2.0024 \, \text{in}$
- 襯套長度：$l = 1 \, \text{in}$
- 負載：$W = 600 \, \text{lbf}$
- 轉速：$N = 800 \, \text{rev/min}$
- 操作溫度：$130^\circ \, \text{F}$

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#### Step 1. 求相關參數
- 半徑：$r \approx \frac{2}{2} = 1.000 \, \text{in}$
- 長度比：$l / d = 1 / 2 = 0.50$
- 間隙比：$r / c = 1 / 0.0012 = 833$
- 每秒轉速：$N = \frac{800}{60} = 13.33 \, \text{rev/s}$
- 最小間隙：
$$
\begin{align}
c_{\text{min}} &= \frac{b_{\text{min}} - d_{\text{max}}}{2}\\
\\
&= \frac{2.0024 - 2.000}{2} = 0.0012 \, \text{in}
\end{align}
$$
- 平均壓力：
$$
P = \frac{W}{ld} = \frac{600}{2(1)} = 300 \, \text{psi}
$$

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#### Step 2. 計算 SAE 20 潤滑劑之最小油膜厚度

1. **計算軸承特性數 bearing characteristic number**
根據 **圖12-2**，指定潤滑劑 SAE 20 在操作溫度 $150 \, ^\circ \text{F}$ 下的黏滯係數約為 $\mu' = 3.75 \, \text{reyn}$。利用 **公式12-10** 可得：
$$
\begin{align}
S &= \left(\frac{r}{c}\right)^2 \frac{\mu' N}{P} \\
\\
&= 833^2 \left[ \frac{3.75 \cdot 10^{-6} \cdot 13.33}{300} \right] = 0.115 \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

2. **計算最小油膜厚度 minimum film thickness**
計算完軸承特性數後，搭配已知的長度比（$0.5$）查找 **圖12-15**。根據查找的結果，最小油膜厚度比大約為：
$$
\frac{h_0}{c} = 0.23
$$
最後將先前計算所得之最小間隙 $c_{\text{min}}$ 代入，便可得到最小油膜厚度 $h_0$：
$$
h_0 = 0.23(0.0012) = 0.000276 \, \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

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#### Step 3. 計算功率損失
假設功率損失是因為旋轉中的摩擦效應所致，則可以透過以下公式表示其關係：
$$
H = T \cdot \omega = (f W r) \cdot 2 \pi N
$$
其中的 $T$ 為 **摩擦扭矩（frictional torque，可參考教科書之 公式12-8）**；$\omega$ 為角速度。其他參數均為已知，惟摩擦係數 $f$ 未知。

1. **計算摩擦係數 coefficient of friction**
查找 **圖12-17**：
根據查找的結果，當軸承特性數為 $0.115$ 以及長度比為 $0.5$ 時，相對之摩擦係數比大約為：
$$
\frac{r}{c}f = 3.8
$$
最後將先前計算的間隙比（$r/c$）代入，便可得到摩擦係數 $f$ ：
$$
f = \frac{3.8}{833} = 0.00456 \quad \text{Ans.}
$$

2. **計算因摩擦生熱所造成的功率損失**
根據先前的公式，將所有求得之已知參數代入：
$$
\begin{align}
H &= (f W r) \cdot 2 \pi N \\
\\
&= (0.00456 \cdot 600 \cdot 1) \cdot 2 \pi (13.33) = 229.15 \text{ lbf-in/s} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$
換算為英制馬力（horsepower）：
$$
\begin{align}
229.15 \text{ lbf-in/s } \times \frac{1 \text{ ft}}{12 \text{ in}} \times \frac{1 \text{ hp}}{550 \text{ ft-lbf/s}} \\
\\
\quad \Rightarrow \quad \frac{229.15}{12 \cdot 550} = 0.0347 \text{ hp}
\end{align}
$$
或者，以英熱單位（British Thermal Unit）表示：
$$
0.0347 \text{ hp} \times 0.706 = 0.0245 \text{ Btu/s}
\quad \text{or} \quad
0.0347 \text{ hp} \times 2544 = 88.2768 \text{ Btu/h}
$$
（註：並不強制做單位轉換，但一般實務上在表示能量時，較常使用英制馬力或英熱單位。）

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#### Step 4. 計算體積流率
1. **計算體積流率比（volume flow rate）**
查 **圖12-18**：
根據查找的結果，當軸承特性數為 $0.115$ 以及長度比為 $0.5$ 時，相對之體積流率比大約為：
$$
\frac{Q}{r c N l} = 5.3
$$
最後將先前計算的各項已知參數代入，便可得到體積流率 $Q$ ：
$$
\begin{align}
Q &= 5.3 \ r c N l \\
\\
&= 5.3 \cdot 1 \cdot 0.0012 \cdot 13.33 \cdot 1 = 0.0848 \, \text{in}^3/\text{s} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

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### 最終結果
- **最小油膜厚度**：$h_0 = 0.000276 \, \text{in}$
- **功率損失**：$H = 0.0245 \, \text{Btu/s}$
- **體積流率**：$Q = 0.0848 \, \text{in}^3/\text{s}$

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## Problem 12-8

A journal bearing has a shaft diameter of $75.00 \, \text{mm}$ with a unilateral tolerance of $-0.02 \, \text{mm}$. The bushing bore has a diameter of $75.10 \, \text{mm}$ with a unilateral tolerance of $0.06 \, \text{mm}$. The bushing is $36 \, \text{mm}$ long and supports a load of $2 \, \text{kN}$. The journal speed is $720 \, \text{rev/min}$. For the minimum clearance assembly, find the minimum film thickness, the heat loss rate, and the maximum lubricant pressure for SAE 20 and SAE 40 lubricants operating at an average film temperature of $60^\circ \, \text{C}$.

**中文翻譯**：軸頸軸承的軸徑為 $75.00 \, \text{mm}$，單邊公差為 $-0.02 \, \text{mm}$。襯套的內徑為 $75.10 \, \text{mm}$，單邊公差為 $0.06 \, \text{mm}$。襯套長度為 $36 \, \text{mm}$，承受負載 $2 \, \text{kN}$，轉速為 $720 \, \text{rev/min}$。針對最小間隙組合，求解最小油膜厚度、熱損失率以及在 SAE 20 和 SAE 40 潤滑劑下的最大潤滑壓力（操作油膜溫度為 $60^\circ \, \text{C}$）。

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### 計算過程

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**已知條件**
- 軸頸直徑：$d_{\text{max}} = 75.00 \, \text{mm}$
- 襯套內徑：$b_{\text{min}} = 75.10 \, \text{mm}$
- 襯套長度：$l = 36 \, \text{mm}$
- 負載：$W = 2 \, \text{kN}$
- 轉速：$N = 720 \, \text{rev/min}$
- 操作溫度：$60^\circ \, \text{C}$

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#### Step 1. 求相關參數
- 半徑：$r = d / 2 = 75 / 2 = 37.5 \, \text{mm}$
- 長度比：$l / d = 36 / 75 = 0.48 \approx 0.5$
- 間隙比：$r / c = 37.5 / 0.05 = 750$
- 每秒轉速：$N = 720 / 60 = 12 \, \text{rev/s}$
- 最小間隙
$$
\begin{align}
c_{\text{min}} &= \frac{b_{\text{min}} - d_{\text{max}}}{2} \\
\\
&= \frac{75.10 - 75.00}{2} = 0.05 \, \text{mm}
\end{align}
$$
- 平均壓力：
$$
P = \frac{W}{ld} = \frac{2000}{75(36)} = 0.741 \, \text{MPa}
$$

$\,$
#### Step 3. SAE 20 潤滑劑計算

1. **計算軸承特性數 bearing characteristic number（又稱 Sommerfeld number）**
根據 **圖12-3**，此種潤滑劑在操作溫度 $60 \,^\circ \text{C}$ 下的黏滯係數約為 $\mu' = 18.5 \, \text{reyn}$。
這邊同樣可透過 **公式12-10** 來計算：
$$
\begin{align}
S &= \left(\frac{r}{c}\right)^2 \frac{\mu' N}{P} \\
\\
&= 750^2 \left[ \frac{18.5 \cdot 10^{-3} \cdot 12}{0.741 \cdot 10^6} \right] = 0.169 \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

2. **計算最小油膜厚度 minimum film thickness**
計算完軸承特性數後，搭配已知的長度比（$0.5$）查找 **圖12-15**。根據查找的結果，最小油膜厚度比大約為：
$$
\frac{h_0}{c} = 0.29
$$
最後將先前計算所得之最小間隙 $c_{\text{min}}$ 代入，便可得到最小油膜厚度 $h_0$：
$$
h_0 = 0.29(0.05) = 0.0145 \, \text{mm} \quad \text{Ans.}
$$

3. **計算最大油膜壓力 maximum film pressure**
查找 **圖12-20**，根據查找的結果，最大油膜壓力比大約為：
$$
\frac{P}{P_{\text{max}}} = 0.315
$$
最後將先前計算的平均壓力 $P$ 代入，便可得到最大油膜壓力 $P_{\text{max}}$：
$$
P_{\text{max}} = \frac{P}{0.315} = \frac{0.741}{0.315} = 2.35 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

4. **計算摩擦係數 coefficient of friction**
查找 **圖12-17**，根據查找的結果，當軸承特性數為 $0.169$ 以及長度比為 $0.5$ 時，相對之摩擦係數比大約為：
$$
\frac{r}{c}f = 5.1
$$
最後將先前計算的間隙比（$r/c$）代入，便可得到摩擦係數 $f$ ：
$$
f = \frac{5.1}{750} = 0.0068 \quad \text{Ans.}
$$

5. **計算因摩擦生熱所造成的功率損失**
假設功率損失是因為旋轉中的摩擦效應所致，將所有求得之已知參數代入：
$$
\begin{align}
H_{\text{loss}} &= T \cdot \omega = (f W r) \cdot 2 \pi N \\
\\
&= (0.0068 \cdot 2 \cdot 37.5) \cdot 2 \pi (12) = 38.5 \text{ W} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 4. SAE 40 潤滑劑計算

計算過程中使用之圖表與公式，以及整體的邏輯均相同。

1. **計算軸承特性數 bearing characteristic number（又稱 Sommerfeld number）**
根據 **圖12-3**，此種潤滑劑在操作溫度 $60 \, ^\circ \text{C}$ 下的黏滯係數約為 $\mu' = 37 \, \text{reyn}$。這邊同樣可透過 **公式12-10** 來計算，但從 **圖12-3** 中可以知道，這些黏滯係數呈比例關係，故可透過比例關係來進行計算：
$$
S = 0.169 \left(\frac{37}{18.5}\right) = 0.338 \quad \text{ Ans.}
$$

2. **計算最小油膜厚度 minimum film thickness**
計算完軸承特性數後，搭配已知的長度比（$0.5$）查找 **圖12-15**。根據查找的結果，最小油膜厚度比大約為：
$$
\frac{h_0}{c} = 0.42
$$
最後將先前計算所得之最小間隙 $c_{\text{min}}$ 代入，便可得到最小油膜厚度 $h_0$：
$$
h_0 = 0.42(0.05) = 0.021 \, \text{mm} \quad \text{Ans.}
$$

3. **計算最大油膜壓力 maximum film pressure**
查找 **圖12-20**，根據查找的結果，最大油膜壓力比大約為：
$$
\frac{P}{P_{\text{max}}} = 0.38
$$
最後將先前計算的平均壓力 $P$ 代入，便可得到最大油膜壓力 $P_{\text{max}}$：
$$
P_{\text{max}} = \frac{P}{0.38} = \frac{0.741}{0.38} = 1.95 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
$$

4. **計算摩擦係數 coefficient of friction**
查找 **圖12-17**，根據查找的結果，當軸承特性數為 $0.169$ 以及長度比為 $0.5$ 時，相對之摩擦係數比大約為：
$$
\frac{r}{c}f = 8.5
$$
最後將先前計算的間隙比（$r/c$）代入，便可得到摩擦係數 $f$ ：
$$
f = \frac{8.5}{750} = 0.0113 \quad \text{Ans.}
$$

5. **計算因摩擦生熱所造成的功率損失**
假設功率損失是因為旋轉中的摩擦效應所致，將所有求得之已知參數代入：
$$
\begin{align}
H_{\text{loss}} &= T \cdot \omega = (f W r) \cdot 2 \pi N \\
\\
&= (0.0113 \cdot 2 \cdot 37.5) \cdot 2 \pi (12) = 64 \text{ W} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

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### 最終結果
| SAE 等級 | 最小油膜厚度 ($h_0$) | 熱損失 ($H_{\text{loss}}$) | 最大壓力 ($P_{\text{max}}$) |
|:----------:|:---------------------:|:--------------------------:|:---------------------------:|
| **SAE 20** | $0.0145 \, \text{mm}$ | $38.5 \, \text{W}$ | $2.35 \, \text{MPa}$ |
| **SAE 40** | $0.021 \, \text{mm}$ | $64 \, \text{W}$ | $1.95 \, \text{MPa}$ |

==**註：這題是 Problem 12-3 以及 Problem 12-5 的綜合題，並且單位是為公制，因此須注意在計算軸承特性數時，參考的圖表是不一樣的。**==

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## Problem 12-10

A full journal bearing has a shaft diameter of $3.000 \, \text{in}$ with a unilateral tolerance of $-0.0004 \, \text{in}$. The $l/d$ ratio is unity. The bushing has a bore diameter of $3.003 \, \text{in}$ with a unilateral tolerance of $0.0012 \, \text{in}$. The SAE 40 oil supply is in an axial-groove sump with a steady-state temperature of $140^\circ \, \text{F}$. The radial load is $675 \, \text{lbf}$. Estimate the average film temperature, the minimum film thickness, the heat loss rate, and the lubricant side-flow rate for the minimum clearance assembly, if the journal speed is $10 \, \text{rev/s}$.

**中文翻譯**：一個完整的軸頸軸承，其軸徑為 $3.000 \, \text{in}$，單邊公差為 $-0.0004 \, \text{in}$。其長徑比 $l/d = 1$。襯套內徑為 $3.003 \, \text{in}$，單邊公差為 $0.0012 \, \text{in}$。SAE 40 潤滑油的供油系統溫度為 $140^\circ \, \text{F}$，徑向負載為 $675 \, \text{lbf}$。估算最小間隙裝配情況下的平均油膜溫度、最小油膜厚度、熱損失率以及潤滑油體積流率，假設軸轉速為 $10 \, \text{rev/s}$。

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### 計算過程

$\,$
**已知條件**
- 軸頸直徑：$d_{\text{max}} = 3.000 \, \text{in}$
- 襯套內徑：$b_{\text{min}} = 3.003 \, \text{in}$
- 長度比：$l/d = 1$ (題目敘述有提到長度比是 **Unity** )
- 負載：$W = 675 \, \text{lbf}$
- 軸速：$N = 10 \, \text{rev/s}$
- 穩態溫度：$T_s = 140^\circ \, \text{F}$

$\,$
#### Step 1. 求相關參數
- 間隙比：$r / c = 1.5 / 0.0015 = 1000$
- 最小間隙：
$$
\begin{align}
c_{\text{min}} &= \frac{b_{\text{min}} - d_{\text{max}}}{2} \\
\\
&= \frac{3.003 - 3.000}{2} = 0.0015 \, \text{in}
\end{align}
$$
- 平均壓力：
$$
P = \frac{W}{ld} = \frac{675}{3(3)} = 75 \, \text{psi}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算平均油膜溫度 (數值迭代法)

為了找到適合的溫度，需要透過迭代進行計算。計算的流程如下：
1. 假設一個**任意溫度值** $T_\text{i}$ 作為迭代的初始值，其值必須高於穩態工作溫度 $T_s$：
$$
\text{Let} \quad T_\text{i} > T_s
$$
利用 **表12-1**，將假設的溫度值代入紅框處的公式中，以估算初始之等效黏滯係數 $\mu$：

2. 透過數值方法找適合的溫度差的迭代流程：
- 大略估算溫度差：
$$
\Delta T_{\text{calc}} = 2(T_\text{i} - T_s)
$$
- 計算軸承特性數（**公式12-10**）：
$$
S = \left(\frac{r}{c}\right)^2 \frac{\mu N}{P}
$$
- 根據計算出的 $S$ 值，代入 **圖12-23** 求得溫升常數（Temprature Rise）：
$$
\frac{9.7\ \Delta T_{\text{est}}}{P} = \text{Const.}
$$
- 整理上式，可得實際溫度差的計算式：
$$
\Delta T_{\text{est}} = \frac{\text{Const.} \cdot P}{9.7}
$$
- 計算誤差（Discrepancy），並使該誤差值趨近於零：
$$
\text{Discrepancy} = \Delta T_{\text{calc}} - \Delta T_{\text{est}} \approx 0
$$
如果符合條件則進行下一步；不符合則將這次迭代求得之 $\Delta T_{\text{est}}$ 作為下一次迭代的 $T_\text{i}$ 。

3. 計算油膜之平均溫度（**公式12-21**）：
$$
T_{\text{av}} = T_s + \Delta T/2
$$

4. 根據平均溫度，推估可能的溫度上限：
$$
T_{\text{lim}} = T_{\text{av}} + \Delta T/2 \quad \text{ Ans.}
$$

到此為止，數值方法之演算法結束。

$\,$
將迭代過程的輸入與輸出紀錄於下表：

| 項目 | 迭代次數 1 | 迭代次數 2 | 迭代次數 3 |
|:----------------------------------------------:|:----------:|:----------:|:----------:|
| 假設溫度 $T_i \, (^\circ \text{F})$ | 160 | 150 | 154 |
| 等效黏滯係數 $\mu \, (\text{reyn})$ | 3.5 | 4.5 | 4.0 |
| $\Delta T_{\text{calc}} \, (^\circ \text{F})$ | 40 | 20 | 28 |
| 軸承特性數 $S$ | 0.4667 | 0.6 | 0.533 |
| $\Delta T_{\text{est}} \, (^\circ \text{F})$ | 24.4 | 30.7 | 27.6 |
| 誤差 $\text{Discrepancy} \, (^\circ \text{F})$ | 15.6 | -10.7 | 0.4 |

到了第三次迭代時，誤差已經接近 $0$ 了，則代表實際之溫度差約為 $28 \, ^{\circ} \text{F}$。最後可透過 **公式12-21** 計算油膜平均溫度：
$$
\begin{align}
T_{\text{av}} &= T_s + \Delta T/2 \\
\\
&= 140 + 28/2 = 154 \, ^{\circ} \text{F} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算最小油膜厚度

利用上一步驟求得之溫度 $T_{\text{av}}$ 推估可能的溫度上限：
$$
\begin{align}
T_{\text{lim}} &= T_{\text{av}} + \Delta T/2 \\
\\
&= 154 + 28/2 = 168 \, ^{\circ} \text{F}
\end{align}
$$
透過 **表12-1** 查找 SAE 40 軸承之相關參數與公式，代入溫度上限 $T_{\text{lim}}$ 以推估等效黏滯係數 $\mu$：
$$
\mu = 0.0121 \cdot 10^{-6} \times \exp \left( \frac{1474.4}{168+95} \right) = 0.00000329213 = 3.2921 \, \mu \text{reyn}
$$
透過 **公式12-10** 來計算軸承特性數：
$$
\begin{align}
S &= \left(\frac{r}{c}\right)^2 \frac{\mu N}{P} \\
\\
&= 1000^2 \left[ \frac{3.2921\cdot 10^{-6} \cdot 10}{75} \right] = 0.4390
\end{align}
$$
計算完軸承特性數後，搭配已知的長度比，查找 **圖12-15**。根據查找的結果，最小油膜厚度比大約為：
$$
\frac{h_0}{c} = 0.75
$$
最後將先前計算所得之最小間隙 $c_{\text{min}}$ 代入，便可得到最小油膜厚度 $h_0$：
$$
h_0 = 0.75(0.0015) = 0.00113 \, \text{in} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
#### Step 4. 計算功率損失
假設功率損失是因為旋轉中的摩擦效應所致，則可以透過以下公式表示其關係：
$$
H = T \cdot \omega = (f W r) \cdot 2 \pi N
$$
其中的 $T$ 為 **摩擦扭矩（frictional torque，可參考教科書之 公式12-8）**；$\omega$ 為角速度。其他參數均為已知，惟摩擦係數 $f$ 未知。

1. **計算摩擦係數 coefficient of friction**
查找 **圖12-17**，當軸承特性數為 $0.4390$ 以及長度比為 $1$ 時，相對之摩擦係數比大約為：
$$
\frac{r}{c}f = 11
$$
最後將先前計算的間隙比（$r/c$）代入，便可得到摩擦係數 $f$ ：
$$
f = \frac{11}{1000} = 0.011
$$

2. **計算因摩擦生熱所造成的功率損失**
根據先前的公式，將所有求得之已知參數代入：
$$
\begin{align}
H &= (f W r) \cdot 2 \pi N \\
\\
&= (0.011 \cdot 675 \cdot 1.5) \cdot 2 \pi (10) = 699.79 \text{ lbf-in/s} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$
換算為英制馬力（horsepower）：
$$
\begin{align}
699.79 \text{ lbf-in/s } \times \frac{1 \text{ ft}}{12 \text{ in}} \times \frac{1 \text{ hp}}{550 \text{ ft-lbf/s}} \\
\\
\quad \Rightarrow \quad \frac{699.79}{12 \cdot 550} = 0.106 \text{ hp}
\end{align}
$$
或者，以英熱單位（British Thermal Unit）表示：
$$
0.106 \text{ hp} \times 0.706 = 0.0749 \text{ Btu/s}
\quad \text{or} \quad
0.106 \text{ hp} \times 2544 = 269.74 \text{ Btu/h}
$$
（註：並不強制做單位轉換，但一般實務上在表示能量時，較常使用英制馬力或英熱單位。）

$\,$
#### Step 4. 計算各項流率參數
1. **根據體積流率數（flow variables）計算體積流率 $Q$**
查 **圖12-18**：
根據查找的結果，當軸承特性數為 $0.4390$ 以及長度比為 $1$ 時，相對之體積流率數大約為：
$$
\frac{Q}{r c N l} = 3.6
$$
最後將先前計算的各項已知參數代入，便可得到體積流率（Volume flow rate, $Q$） ：
$$
\begin{align}
Q &= 3.6 \ r c N l \\
\\
&= 3.6 \cdot 1.5 \cdot 0.0015 \cdot 10 \cdot 3 = 0.243 \, \text{in}^3/\text{s} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

1. **根據體積流率比（volume flow ratio）計算側向流率 $Q_s$**
查 **圖12-19**：
根據查找的結果，當軸承特性數為 $0.4390$ 以及長度比為 $1$ 時，相對之體積流率比值大約為：
$$
\frac{Q_s}{Q} = 0.33
$$
最後將先前計算的各項已知參數代入，便可得到側向流率（Side flow rate, $Q_s$） ：
$$
\begin{align}
Q &= 0.33 Q \\
\\
&= 0.33 \times 0.243 = 0.0802 \, \text{in}^3/\text{s} \quad \text{Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果
- **平均油膜溫度**：$T_{\text{av}} = 154^\circ \, \text{F}$
- **最小油膜厚度**：$h_b = 0.00113 \, \text{in}$
- **功率損失**：$H_{\text{loss}} = 0.075 \, \text{Btu/s}$
- **體積流率**：$Q = 0.243 \, \text{in}^3/\text{s}$
- **側向流率**：$Q_s = 0.0802 \, \text{in}^3/\text{s}$

---

$\,$
## Problem 12-11

A $2.5 \, \text{in} \times 2.5 \, \text{in}$ sleeve bearing uses grade 20 lubricant. The axial-groove sump has a steady-state temperature of $110^\circ \, \text{F}$. The shaft journal has a diameter of $2.500 \, \text{in}$ with a unilateral tolerance of $-0.001 \, \text{in}$. The bushing bore has a diameter of $2.504 \, \text{in}$ with a unilateral tolerance of $0.001 \, \text{in}$. The journal speed is $1120 \, \text{rev/min}$ and the radial load is $1200 \, \text{lbf}$.

(a) The magnitude and location of the minimum oil-film thickness.
(b) The eccentricity.
\(c) The coefficient of friction.
(d) The power loss rate.
(e) Both the total and side oil-flow rates.
(f) The maximum oil-film pressure and its angular location.
(g) The terminating position of the oil film.
(h) The average temperature of the side flow.
(i) The oil temperature at the terminating position of the oil film.

**中文翻譯**：一個 $2.5 \, \text{in} \times 2.5 \, \text{in}$ 的套筒軸承使用 20 級潤滑油，軸向槽的穩態溫度為 $110^\circ \, \text{F}$。軸頸直徑為 $2.500 \, \text{in}$，單邊公差為 $-0.001 \, \text{in}$，軸套內徑為 $2.504 \, \text{in}$，單邊公差為 $0.001 \, \text{in}$。軸速為 $1120 \, \text{rev/min}$，徑向負載為 $1200 \, \text{lbf}$。

(a) 求最小油膜厚度的大小和位置。
(b) 求偏心率。
\(c) 求摩擦係數。
(d) 計算功率損失率。
(e) 計算總體積流率以及側向流率。
(f) 計算最大油膜壓力及其角位置。
(g) 計算油膜終止位置。
(h) 計算側流的平均溫度。
(i) 計算油膜終止位置的油溫。

---

### 計算過程

**已知條件**
- 軸頸直徑：$d = 2.500 \, \text{in}$
- 襯套內徑：$b = 2.504 \, \text{in}$
- 徑向負載：$W = 1200 \, \text{lbf}$
- 軸承長度：$l = 2.5 \, \text{in}$

$\,$
#### Step 1. 初始參數計算

- 最小間隙：
$$
\begin{align}
c_{\text{min}} &= \frac{b_{\text{min}} - d_{\text{max}}}{2} \\
\\
&= \frac{2.504 - 2.500}{2} = 0.002 \, \text{in}
\end{align}
$$
- 平均壓力：
$$
P = \frac{W}{l \cdot d} = \frac{1200}{2.5 \cdot 2.5} = 192 \, \text{psi}
$$
- 軸速（單位轉換）：
$$
N = 1120 \, \text{rev/min} \cdot \frac{1 \text{ min}}{60 \text{ s}} = 18.67 \, \text{rev/s}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算平均油膜溫度 (數值迭代法)

此題同樣使用數值迭代法進行計算，==不過收斂的條件與規則稍有不同。==
這邊把 **Problem 12-10** 做一個摘要，有興趣的同學可以參考看看：

:::spoiler
### 平均油膜溫度數值迭代流程
（ 詳細流程部份請參考 **Problem 12-10 Step 2** ）

1. **假設初始溫度**：
- 設定一個初始溫度 $T_i$，需高於穩態供油溫度 $T_s$ 。
- 根據假設的溫度，利用 **表12-1與其公式** 計算指定潤滑劑的等效黏滯係數 $\mu$ 。

2. **計算流程**：
- **假設溫度差**：計算假設初始值與穩態溫度之間的差 $\Delta T_{\text{calc}}$ 。
- **計算特性數 $S$**：利用 **公式12-10**，代入幾何參數、轉速和負載計算軸承特性數。
- **計算實際溫差**：根據特性數與負載，從 **圖12-23** 求得實際溫差 $\Delta T_{\text{est}}$ 。
- **檢查誤差**：計算 $\Delta T_{\text{calc}}$ 與 $\Delta T_{\text{est}}$ 之間的差值並令其趨近於零。若條件不符，則令 $\Delta T_{\text{est}}$ 為下一次迭代的初始值 $T_i$ 並繼續迭代。

3. **計算平均油膜溫度**：
- 利用 **公式12-21** 代入已知條件以計算油膜層的平均溫度 $T_{\text{av}}$ 。

4. **推估溫度上限**：
- 由平均溫度計算可能的最高溫度 $T_{\text{lim}}$ 。

5. **以溫度上限評估實際情況的軸承特性數（Optional）**
如果要計算因摩擦生熱帶來的能量耗損，則必須以可能的溫度上限來進行計算。
- **計算等效黏滯係數**：利用 **表12-1與其公式** 計算等效黏滯係數 $\mu$ 。
- **計算特性數 $S$**：利用 **公式12-10**，代入幾何參數、轉速和負載進行計算。

---

:::

1. 假設初始溫度
- 假設初始油膜溫度 $T_i = 150^\circ \text{F}$。
- 利用 **表12-1** 計算等效黏滯係數 $\mu$：**（這邊使用的潤滑油規格為 SAE 20）**
$$
\mu = 0.0136 \exp\left(\frac{1271.6}{T_i + 95}\right)
$$

2. 計算軸承特性數 $S$
- 使用 **公式12-10** 計算軸承特性數：
$$
S = \left(\frac{r}{c}\right)^2 \frac{\mu N}{P}
$$

3. 計算實際溫差 $\Delta T_{\text{est}}$
- 參照 **圖12-23**，使用插值公式計算實際溫差：
$$
\Delta T_{\text{est}} = \frac{192}{9.70} \Big[ \ 0.349109 + 6.00940(S) + 0.047467(S^2) \ \Big]
$$

4. 計算平均油膜溫度 $T_{\text{av}}$
- 使用 **公式12-21** 計算平均油膜溫度：
$$
T_{\text{av}} = T_s + \frac{\Delta T}{2}
$$

5. 更新迭代溫度
- 若 $|T_f - T_{\text{av}}| \approx 0$ 的條件滿足，則更新：
$$
T_i = \frac{T_f + T_{\text{av}}}{2}
$$
- 重複以上步驟直到收斂。

$\,$
迭代之計算結果整理如下表：

| 項目 | Iter 1 | Iter 2 | Iter 3 | Iter 4 | Iter 5 | Iter 6 | Iter 7 |
|:---------------------------------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|:-----------:|
| 假設溫度 $T_i$ ($^\circ$F) | 150.0 | 134.5 | 127.9 | 125.3 | 124.3 | 124.0 | 123.8 |
| $\mu$ (reyn) | 2.441 | 3.466 | 4.084 | 4.369 | 4.485 | 4.521 | 4.545 |
| 軸承特性數 $S$ | 0.0927 | 0.1317 | 0.1551 | 0.1659 | 0.1704 | 0.1717 | 0.1726 |
| $\Delta T_{\text{est}}$ ($^\circ$F) | 17.9 | 22.6 | 25.4 | 26.7 | 27.2 | 27.4 | 27.5 |
| $T_{\text{av}}$ ($^\circ$F) | 119.0 | 121.3 | 122.7 | 123.3 | 123.6 | 123.7 | 123.7 |
| 溫差 ($^\circ$F) | 31.0 | 13.2 | 5.2 | 2.0 | 0.7 | 0.3 | 0.1 |
| 更新後之假設溫度 $T_i$ ($^\circ$F) | 134.5 | 127.9 | 125.3 | 124.3 | 124.0 | 123.8 | 123.8 |

根據迭代後的結果可知，系統運作過程中，溫度可能會上升至最高 $123.8 ^\circ \text{F}$ 故依此溫度進行後續的各項參數計算。首先將最主要的等效黏滯係數以及軸承特性數，分別透過 **表12-1** 以及 **公式12-10** 進行計算，根據計算結果：
$$
\mu = 4.545 \mu \text{reyn},
\quad \quad
S = 0.1726
$$

$\,$
#### Step 3. 計算題目要求之項目
註：這邊的計算流程都跟前面的例題內容差不多，請自行參考，這邊不多贅述。

(a) **最小油膜厚度**：
$$
h_0 = 0.482(c) = 0.482(0.002) = 0.000964 \, \text{in}
$$
(b) **偏心率**：
$$
e = c - h_0 = 0.002 - 0.000964 = 0.00104 \, \text{in}
$$
\(c) **摩擦係數**：
$$
f = 4.10(0.002 / 1.25) = 0.00656
$$
(d) **功率損失**：
$$
H = \frac{2 \pi f W r N}{778(12)} = \frac{2 \pi (0.00656)(1200)(1.25)(18.67)}{778(12)} = 0.124 \, \text{Btu/s}
$$
(e) 計算 **總體積流率** 以及 **側向流率**：
$$
Q = 4.16 \cdot (1.25)(0.002)(18.67)(2.5) = 0.485 \, \text{in}^3/\text{s},
\quad \quad
Q_s = 0.6(Q) = 0.6(0.485) = 0.291 \, \text{in}^3/\text{s}
$$
(f) **最大油膜壓力**：
$$
P_{\text{max}} = \frac{P}{0.45} = \frac{192}{0.45} = 427 \, \text{psi}
$$
(g) **油膜終止位置**：$82^\circ$
(h) **側流平均溫度**：$123.8^\circ \, \text{F}$
(i) **油膜終點溫度**：
$$
T = T_s + \Delta T = 110 + 27.5 = 137.5^\circ \, \text{F}
$$

$\,$
### 最終結果

| 計算項目 | 結果 |
|-------------------------|--------------------------------------|
| 最小油膜厚度 ($h_0$) | $0.000964 \, \text{in}$ |
| 偏心率 ($e$) | $0.00104 \, \text{in}$ |
| 摩擦係數 ($f$) | $0.00656$ |
| 功率損失 ($H$) | $0.124 \, \text{Btu/s}$ |
| 體積流率 ($Q$) | $0.485 \, \text{in}^3/\text{s}$ |
| 側向流率 ($Q_s$) | $0.291 \, \text{in}^3/\text{s}$ |
| 最大油膜壓力 ($P_{\text{max}}$) | $427 \, \text{psi}$ |
| 油膜終止位置 ($\phi_{\text{ppo}}$) | $82^\circ$ |
| 側流平均溫度 ($T_{\text{av}}$) | $123.8^\circ \, \text{F}$ |
| 油膜終點溫度 ($T$) | $137.5^\circ \, \text{F}$ |

---
$\,$
## Problem 12-15

An eight-cylinder diesel engine has a front main bearing with a journal diameter of $3.500 \, \text{in}$ and a unilateral tolerance of $-0.003 \, \text{in}$. The bushing bore diameter is $3.505 \, \text{in}$ with a unilateral tolerance of $+0.005 \, \text{in}$. The bushing length is $2 \, \text{in}$. The pressure-fed bearing has a central annular groove $0.250 \, \text{in}$ wide. The SAE 30 oil comes from a sump at $120^\circ \, \text{F}$ using a supply pressure of $50 \, \text{psi}$. The sump’s heat-dissipation capacity is $5000 \, \text{Btu/h}$ per bearing. For a minimum radial clearance, a speed of $2000 \, \text{rev/min}$, and a radial load of $4600 \, \text{lbf}$, find the average film temperature and apply Trumpler’s criteria in your design assessment.

**中文翻譯**：八缸柴油引擎的前主軸承，其軸徑為 $3.500 \, \text{in}$，單邊公差為 $-0.003 \, \text{in}$。軸套內徑為 $3.505 \, \text{in}$，單邊公差為 $+0.005 \, \text{in}$。軸承長度為 $2 \, \text{in}$，該壓力供油軸承的中央環形槽寬度為 $0.250 \, \text{in}$。SAE 30 潤滑油供應系統的溫度為 $120^\circ \, \text{F}$，供油壓力為 $50 \, \text{psi}$，油槽每軸承的散熱容量為 $5000 \, \text{Btu/h}$。針對最小徑向間隙、速度 $2000 \, \text{rev/min}$ 和徑向負載 $4600 \, \text{lbf}$，計算平均油膜溫度並應用 Trumpler 的設計準則。

---

### 計算過程

**已知條件**
- 軸頸直徑：$d = 3.500 \, \text{in}$
- 襯套內徑：$b = 3.505 \, \text{in}$
- 軸速：$N = 2000 \, \text{rev/min} = 33.33 \, \text{rev/s}$
- 徑向負載：$W = 4600 \, \text{lbf}$
- 軸承長度：$l = 2 \, \text{in}$
- 中央槽寬度：$0.250 \, \text{in}$
- 供油壓力：$p_s = 50 \, \text{psi}$
- 初始油膜溫度：$T_s = 120^\circ \, \text{F}$
- 最大散熱容量：$H_{\text{loss}} \leq 5000 \, \text{Btu/h}$

$\,$
#### Step 1. 初始參數計算
1. 最小間隙：
$$
c_{\text{min}} = \frac{b - d}{2} = \frac{3.505 - 3.500}{2} = 0.0025 \, \text{in}
$$

1. 半徑：
$$
r = \frac{d}{2} = \frac{3.500}{2} = 1.750 \, \text{in}
$$
2. 間隙比：
$$
\frac{r}{c} = \frac{1.750}{0.0025} = 700
$$
3. 有效軸承長度：
$$
l' = l - \frac{\text{groove width}}{2} = 2 - \frac{0.250}{2} = 0.875 \, \text{in}
$$
4. 有效長徑比：
$$
\frac{l'}{d} = \frac{0.875}{3.500} = 0.25
$$
5. 平均壓力：
$$
P = \frac{W}{4r l'} = \frac{4600}{4 (1.750) (0.875)} = 751 \, \text{psi}
$$

$\,$
#### Step 2. 計算平均油膜溫度 (數值迭代法)

此題同樣使用數值迭代法進行計算，==不過收斂的條件與規則稍有不同（包含溫差的計算方式）==

1. 假設初始溫度
- 假設初始油膜溫度 $T_f$ 作為迭代初始值。
- 利用 **表12-1** 計算等效黏滯係數 $\mu'$：**（這邊使用的潤滑油規格為 SAE 30）**
$$
\mu' = 0.0141 \exp\left( \frac{1360.0}{T_f + 95} \right)
$$

2. 計算軸承特性數 $S$
- 使用 **公式12-10** 計算軸承特性數：
$$
S = \left(\frac{r}{c}\right)^2 \frac{\mu N}{P}
$$

3. 計算實際溫差 $\Delta T_F$
- 使用 **公式12-31** 計算實際溫差：
$$
\Delta T_F = \frac{0.0123 \cdot (f r/c) \cdot SW^2}{(1 + 1.5 \epsilon^2) \cdot p_s \cdot r^4}
$$
其中的 $\epsilon$ 即為 **圖12-15** 根據軸承特性數 $S$ 所查得之常數。

4. 計算平均油膜溫度 $T_{\text{av}}$
- 使用 **公式12-21** 計算平均油膜溫度：
$$
T_{\text{av}} = T_s + \frac{\Delta T_F}{2}
$$

5. 更新迭代溫度
- 若 $|T_f - T_{\text{av}}| \approx 0$ 的條件未滿足，則更新：
$$
T_f = \frac{T_{\text{av}} + T_f}{2}
$$
- 重複以上步驟直到收斂。

迭代計算後的結果整理如下：

| 項目 | 迭代次數 1 | 迭代次數 2 | 迭代次數 3 |
|:----------------------------------------------:|:----------:|:----------:|:----------:|
| 假設溫度 $T_f \, (^\circ \text{F})$ | 150 | 160 | 152.5 |
| 等效黏滯係數 $\mu' \, (\text{reyn})$ | 3.63 | 2.92 | 3.43 |
| 軸承特性數 $S$ | 0.0789 | 0.0635 | 0.0746 |
| $\Delta T_{\text{est}} \, (^\circ \text{F})$ | 71.2 | 46.9 | 63.2 |
| 平均溫度 $T_{\text{av}} \, (^\circ \text{F})$ | 155.6 | 143.5 | 151.6 |
| 更新溫度 $T_f \, (^\circ \text{F})$ | 160 | 152.5 | 152.1 |
| 誤差 $\text{Discrepancy} \, (^\circ \text{F})$ | 5.6 | -8.5 | -0.5 |

根據迭代後的結果可知，系統運作過程中，溫度可能會上升至最高約 $152 ^\circ \text{F}$ 故依此溫度進行後續的各項參數計算。首先將最主要的等效黏滯係數以及軸承特性數，分別透過 **表12-1** 以及 **公式12-10** 進行計算，根據計算結果：
$$
\mu = 3.47 \mu \text{reyn},
\quad \quad
S = 0.0754
$$

$\,$
#### Step 3. 最終結果計算
註：這邊的計算流程都跟前面的例題內容差不多，請自行參考，這邊不多贅述。

1. 最小油膜厚度：
$$
h_0 = 0.098(c) = 0.098(0.0025) = 0.000245 \, \text{in}
$$

2. 最大油膜溫度：
$$
T_{\text{max}} = T_s + \Delta T = 120 + 64.1 = 184.1^\circ \, \text{F}
$$

3. 體積流率（**公式12-28**）：
$$
\begin{align}
Q_s &= \frac{\pi p_s r c^3}{3 \mu'} \left(1 + 1.5\epsilon^2\right) \\
\\
&= \frac{\pi (50)(1.750)(0.0025)^3}{3(3.47 \times 10^{-6})} \Big(1 + 1.5(0.902)^2\Big) = 1.047 \, \text{in}^3/\text{s}
\end{align}
$$

4. 功率損失（**公式12-30**）：
$$
\begin{align}
H_{\text{loss}} &= p C_p Q_s \Delta T \\
\\
&= 0.0311 (0.42)(1.047)(64.1) = 3160 \, \text{Btu/h}
\end{align}
$$

$\,$
#### 設計準則 (Trumpler’s Criteria)

1. **油膜厚度檢查**：
$$
0.0002 + 0.00004(3.5) = 0.00034 \, \text{in} > 0.000245 \, \text{in} \quad \text{Not O.K.}
$$

2. **最大溫度檢查**：
$$
T_{\text{max}} = 184.1^\circ \, \text{F} < 250^\circ \, \text{F} \quad \text{O.K.}
$$

3. **油壓檢查**：
$$
P_s = 751 \, \text{psi} > 300 \, \text{psi} \quad \text{Not O.K.}
$$

4. **設計安全因數檢查**：
$$
n = 1 \quad \text{as done} \quad \text{Not O.K.}
$$

$\,$
### 最終結果

| 項目 | 結果 |
|-----------------------|--------------------------------|
| 最小油膜厚度 ($h_0$) | $0.000245 \, \text{in}$ |
| 最大油膜溫度 ($T_{\text{max}}$) | $184.1^\circ \, \text{F}$ |
| 體積流率 ($Q_s$) | $1.047 \, \text{in}^3/\text{s}$ |
| 功率損失 ($H_{\text{loss}}$) | $3160 \, \text{Btu/h}$ |
| 油膜厚度檢查 | Not O.K. |
| 最大溫度檢查 | O.K. |
| 油壓檢查 | Not O.K. |
| 設計安全因數檢查 | Not O.K. |

---

$\,$
## Problem 12-26

An Oiles SP 500 alloy brass bushing is $0.75 \, \text{in}$ long with a $0.75 \, \text{in}$ diameter bore and operates in a clean environment at $70^\circ \, \text{F}$. The allowable wear without loss of function is $0.004 \, \text{in}$. The radial load is $400 \, \text{lbf}$. The shaft speed is $250 \, \text{rev/min}$. Estimate the number of revolutions for radial wear to be $0.004 \, \text{in}$.

**中文翻譯**：一個 Oiles SP 500 銅合金軸套，其長度為 $0.75 \, \text{in}$，內徑為 $0.75 \, \text{in}$，在 $70^\circ \, \text{F}$ 的無塵環境下運行。允許磨損量為 $0.004 \, \text{in}$。徑向負載為 $400 \, \text{lbf}$，軸轉速為 $250 \, \text{rev/min}$。估算徑向磨損達到 $0.004 \, \text{in}$ 時的總轉數。

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### 計算過程

$\,$
**已知條件**
- 軸套長度：$L = 0.75 \, \text{in}$
- 軸徑：$D = 0.75 \, \text{in}$
- 環境溫度：$T_\infty = 70^\circ \, \text{F}$
- 徑向負載：$F = 400 \, \text{lbf}$
- 軸速：$N = 250 \, \text{rev/min}$
- 最大磨損量：$w = 0.004 \, \text{in}$

$\,$
#### Step 1. 計算接觸壓力和速度
1. **磨損係數 (表12-9)**：
$$
K = 0.6 \cdot (10^{-10}) \; \text{ in}^3 \cdot \text{min} / (\text{lbf} \cdot \text{ft} \cdot \text{h})
$$

1. **接觸壓力**：
$$
P = \frac{F}{DL} = \frac{400}{(0.75)(0.75)} = 711 \, \text{psi}
$$

2. **滑動速度**：
$$
V = \frac{\pi D N}{12} = \frac{\pi (0.75)(250)}{12} = 49.1 \, \text{ft/min}
$$

$\,$
#### Step 2. 確認 $PV$ 條件是否滿足

參考 **表12-9**：
$$
PV_{\text{max}} = 46,700 \, \text{psi} \cdot \text{ft/min},
\quad \quad
P_{\text{max}} = 3560 \, \text{psi},
\quad \quad
V_{\text{max}} = 100 \, \text{ft/min}
$$

1. 計算 $PV$：
$$
PV = P \cdot V = 711 \cdot 49.1 = 34,910 \, \text{psi} \cdot \text{ft/min}
$$

2. 檢查是否超出最大上限：
$$
PV = 34,910 < PV_{\text{max}} = 46,700 \quad \text{O.K.}
$$

$\,$
#### Step 3. 使用磨損公式計算時間

磨損公式 (**公式12-43**) 可改寫為：
$$
w = K \cdot \frac{4}{\pi} \cdot \frac{F}{DL} \cdot V \cdot t
$$
$$
\begin{align}
\Rightarrow \quad
t &= \frac{\pi D L w}{4 K V F} \\
\\
&= \frac{\pi (0.75)(0.75)(0.004)}{4 (0.6 \times 10^{-10})(49.1)(400)} = 1500 \, \text{h}
\end{align}
$$

將小時轉換為分鐘：
$$
t = 1500 \cdot 60 = 90,000 \, \text{min}
$$

$\,$
#### Step 4. 計算總轉數

總轉數：
$$
\text{Cycles} = N \cdot t = 250 \cdot 90,000 = 22.5 \times 10^6 \, \text{cycles}
$$

---

$\,$
### 最終結果

| 項目 | 結果 |
|-----------------------------|-----------------------------|
| 接觸壓力 ($P$) | $711 \, \text{psi}$ |
| 滑動速度 ($V$) | $49.1 \, \text{ft/min}$ |
| PV 條件檢查 ($PV$) | $34,910 \, \text{psi} \cdot \text{ft/min} \, \text{(O.K.)}$ |
| 磨損時間 ($t$) | $1500 \, \text{h}$ |
| 總轉數 ($\text{Cycles}$) | $22.5 \times 10^6 \, \text{cycles}$ |