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title: 07_助教課_CH9
tags: [3. 期末考範圍]

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第九章：焊接、黏合與永久接頭設計 (Welding, Bonding, and the Design of Permanent Joints)
本章探討永久性接頭的設計與分析方法，重點在於焊接與黏接技術的應用。主要內容包括：

焊接符號與分類：介紹焊接圖紙的標註方式及焊接類型。
焊縫設計：對接焊縫與角焊縫的應力分佈與強度計算，並考慮扭轉與彎曲負載下的焊縫應力。
靜態與疲勞負載：分析焊縫在靜態負載與疲勞負載下的破壞機制。
電阻焊接與黏合技術：介紹點焊、縫焊與膠黏接頭與其相關應力分佈分析。
設計考量：如何根據使用環境、材料特性與負載條件選擇適當的連結形式。

（課堂上勾選之第九章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 9-5

Prob. 9-1 with E7010 Electrode. For the electrode metal indicated, what is the allowable load on the weldment?

![Screenshot_20241127_151409_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/S1S0IBVmyx.jpg =353x)

**中文翻譯**：將問題 9-1 的焊接件，改用 E7010 焊條進行焊接。對於所示的焊條，計算該焊接件的最大容許負載。

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### 計算過程

**已知條件**：

| $b$ (mm) | $d$ (mm) | $h$ (mm) | $\tau_{\text{allow}}$ (MPa) | Electrode |
| -------- | -------- | -------- | --------------------------- |-----------|
| 50       | 50       | 5        | 140                         | E7010     |

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#### Step 1: 計算最大容許負載 $F$

![Screenshot_20241127_141751_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/ByXoYEVX1l.jpg =500x)
根據題目提供之焊接圖，可知當結構受到外力 $F$ 拉扯時，會在焊接處產生剪應力，可透過 **表9-1** 找到相對應之喉部面積（Throat Area）。則：

$$
\tau = \frac{F}{A}
$$

根據題目提供之最大容許剪應力，並代入查得之喉部面積，可知：
$$
\tau_{\text{allow}} = \frac{F_{\text{max, 1}}}{1.414 \cdot h \cdot b}
$$

可得最大容許負載為：
$$
F_{\text{max, 1}} = 1.414 \cdot 5 \cdot 50 \cdot 140 = 49490 \, \text{N} = 49.5 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
$$

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#### Step 2: 計算更換焊條後之最大容許負載

1. **查表確定焊條的單位強度 $f$**
   根據 **表9-6** 查得 E70 系列焊條之容許穩定負載為：
   $$
   f = 14.85 h \; \text{kips/in}
   $$
   將英制單位轉為公制單位（$1\, \text{kip} \approx 4.45 \, \text{kN}$；$1 \, \text{in} \approx 25.4 \, \text{mm}$）：
   $$
   \begin{align}
   f &= 14.85 h \cdot \frac{4.45}{25.4} \quad(\text{kips/in} \rightarrow \text{kN/mm})\\
   \\
   &= 14.85 \cdot 5 \left( \frac{1}{25.4} \right) \cdot \frac{4.45}{25.4} = 0.512 \, \text{kN/mm}
   \end{align}
   $$

2. **計算焊接件所承受的負載**
   已知總焊道長度為：
   $$ 
   l = 2b = 2 \times 50 = 100 \, \text{mm}
   $$
   則，焊接件承受的負載為：
   $$
   F_{\text{max, 2}} = f \cdot l = 0.512 \cdot 100 = 51.2 \, \text{kN} \quad \text{Ans.}
   $$

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### 最終結果

1. 焊接件在容許剪應力 $\tau_{\text{allow}} = 140 \, \text{MPa}$ 下之最大負載為 $F_{\text{max, 1}} = 49.5 \, \text{kN}$
2. 更換為 E7010 焊條後之最大容許負載為 $F_{\text{max, 2}} = 51.2 \, \text{kN}$

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## Problem 9-19

A steel bar of thickness $h$, to be used as a beam, is welded to a vertical support by two fillet welds as shown in the figure.

(a) Find the safe bending force $F$ if the allowable shear stress in the welds is $\tau_{\text{allow}}$. 
(b) In part (a), you found a simple expression for $F$ in terms of the allowable shear stress. Find the allowable load if the electrode is E7010, the bar is hot-rolled 1020, and the support is hot-rolled 1015.

![Screenshot_20241127_151533_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/S1qmPrNQ1x.jpg =313x)

**中文翻譯**： 如圖所示，鋼條的厚度為 $h$，作為樑使用，並通過兩條填角焊道焊接至垂直支撐件。

(a) 若焊道的容許剪應力為 $\tau_{\text{allow}}$，求安全的彎矩力 $F$。
(b) 在(a)部分中，找到 $\tau_{\text{allow}}$ 與 $F$ 之間的關係式。若焊條為 E7010，鋼條為熱軋 1020 鋼，支撐件為熱軋 1015 鋼，求可容許之負載 $F$。

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### 計算過程

**已知條件**

| $b$ (mm) | $c$ (mm) | $d$ (mm) | $h$ (mm) | $\tau_{\text{allow}}$ (MPa) |
| -------- | -------- | -------- | -------- | --------------------------- |
| 50       | 150      | 50       | 5        | 140                         |

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#### (a) 計算安全彎矩力 $F$

1. 根據題目提供的示意圖，繪製焊接件之自由體圖
![Screenshot_20241128_123802_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/ryOA7uS71x.jpg =453x)
其中的施力 $F$ 可在焊接結構的形心位置點 $G$ 分解為一個剪力 $V$ 與一個彎矩 $M$，兩者分別產生 **主要剪應力（primary shear）** 以及 **次要剪應力（secondary shear）**，其概念請參考教科書 **第9-3節** 。

2. 根據題目的焊接要求，相關參數可查表如下：
![Screenshot_20241128_124304_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/r1hJS_Hmye.jpg)
（表中之示意圖與此題之實際焊道位置不同，要轉一個90度來看。）

3. 推導容許負載 $F$ 與最大剪應力 $\tau_{\text{max}}$ 之間的關係：
   - 首先計算由剪力產生之 **主要剪應力（primary shear, $\tau'$）**。由於剪力 $V$ 必定施加於垂直方向，則：
   $$
   \begin{align}
   \tau' = \tau'_y &= \frac{V}{A} \\
   \\
   &= \frac{F \cdot 10^3}{1.414 \cdot 5 \cdot 50} = 2.829 F \, \text{MPa}
   \end{align}
   $$
   
   - 再來計算由彎矩產生之 **次要剪應力（secondary shear, $\tau''$）**：
   根據上述之表格提供的公式，計算單位焊道極慣性矩 $J_u$：
   $$
   J_u = \frac{d(3b^2 + d^2)}{6} = \frac{50 \left[ 3(50^2) + 50^2 \right] }{6} = 83.33 \times 10^3 \, \text{mm}^3
   $$
   利用 **公式9-6** 計算實際結構之焊道極慣性矩 $J$：
   $$
   \begin{align}
   J &= 0.707 \cdot h \cdot J_u \\
   \\
   &= 0.707 \cdot 5 \cdot 83.33 \cdot 10^3 = 294.6 \cdot 10^3 \, \text{mm}^4
   \end{align}
   $$
   由於焊接之結構是為一正方形（$b = d$），所以：
   $$
   \begin{align}
   \tau''_x = \tau''_y &= \frac{M \cdot r_y}{J} \\
   \\
   &= \frac{175 \cdot F \cdot 10^3 \cdot 25}{294.6 \cdot 10^3} = 14.85F \, \text{MPa}
   \end{align}
   $$
   
   - 最後計算焊道所受之 **最大剪應力**：
   ![Screenshot_20241128_130526_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/rJ0m5OHXyx.jpg =453x)
   其受力情形可參考上圖。
   主要剪應力必定與施加於垂直方向，而次要剪應力則會與形心位置點 $G$ 以及焊道端點之連線相互垂直，且可分解為垂直與水平兩方向。透過畢氏定理即可求出最大剪應力與負載之間的關係式：
   $$
   \begin{align}
   \tau_{\text{max}} &= \sqrt{{\tau''_x}^2 + (\tau'_y + \tau''_y)^2} \\
   \\
   &= F \sqrt{14.85^2 + (2.829 + 14.85)^2} = 23.1F \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

4. **計算 $F$ 的容許值**
   令 $\tau_{\text{max}} \leq \tau_{\text{allow}}$：
   $$
   2.31F \leq \tau_{\text{allow}}
   \quad \Rightarrow \quad 
   F_{\text{allow}} \leq \frac{140}{23.1} = 6.06 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
   $$

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#### (b) 考慮材料特性計算容許負載

**材料性質**：
| 類別 | 材料 | 抗拉強度 $S_{\text{ut}}$ (MPa) | 降伏強度 $S_y$ (MPa) | 容許剪應力 $\tau_{\text{allow}}$ (MPa) |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 焊條 | E7010 | 482 | 393 | 145 |
| 鋼條 | 熱軋1020 | 380 | 210 | - |
| 支撐材 | 熱軋1015 | 340 | 190 | - |

根據結構之各項材料性質，可知支撐材的強度是相對最弱，故以支撐材作為設計時的考量。

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1. 依 **表9-4**，$\tau_{\text{allow}}$ 的計算公式為：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/B1xa4M5HXyx.png =633x)
   $$
   \begin{align}
   \tau_{\text{allow}} &= \min \big[ \ 0.30 S_{\text{ut}}, \, 0.40 S_y \ \big] \\
   \\
   &= \min \big[ \ 0.30 (340), \, 0.40 (190) \ \big] \\
   \\
   &= \min \big[ \ 102, \, 76 \ \big] \\
   \\
   &= 76 \, \text{MPa}
   \end{align}
   $$

3. **計算容許負載 $F_{\text{allow}}$**
   使用 (a) 部分的公式：
   $$
   2.31F \leq \tau_{\text{allow}}
   \quad \Rightarrow \quad 
   F_{\text{allow}} \leq \frac{76}{23.1} = 3.29 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
   $$

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### 最終結果

1. 當 $\tau_{\text{allow}} = 140 \, \text{MPa}$ 時，容許負載為 $F_{\text{allow}} = 6.06 \, \text{kN}$
2. 更改焊條材質，並考量結構之各項材料特性後，容許負載為 $F_{\text{allow}} = 3.29 \, \text{kN}$

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## Problem 9-25

The figure shows a weldment just like that for Problems 9-19 to 9-22 except there are four welds instead of two. Find the safe bending force $F$ if the allowable shear stress in the welds is $\tau_{\text{allow}}$.

![image](https://hackmd.io/_uploads/ry1CV5Hmke.png =313x)

**中文翻譯**： 如圖所示，焊接件與 Problem 9-19 至 9-22 的相同，但此處有四條焊道而非兩條。若焊道的容許剪應力為 $\tau_{\text{allow}}$，求安全的彎矩力 $F$。

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**已知條件**

| $b$ (mm) | $c$ (mm) | $d$ (mm) | $h$ (mm) | $\tau_{\text{allow}}$ (MPa) |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 50 | 150 | 50 | 5 | 140 |

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### 計算過程
根據題目指定之焊接形式（喉部厚度為 $h$ 之導角型全周焊），參考 **表9-2** 之第五項：
![image](https://hackmd.io/_uploads/BycJt5SXJe.png)

1. 推導容許負載 $F$ 與最大剪應力 $\tau_{\text{max}}$ 之間的關係：
   - 首先計算由剪力產生之 **主要剪應力（primary shear, $\tau'$）**。由於剪力 $V$ 必定施加於垂直方向，則：
   $$
   \begin{align}
   \tau' = \tau'_y &= \frac{V}{A} \\
   \\
   &= \frac{F \cdot 10^3}{1.414 \cdot 5 \cdot (50 + 50)} = 1.414 F \, \text{MPa}
   \end{align}
   $$
   
   - 再來計算由彎矩產生之 **次要剪應力（secondary shear, $\tau''$）**：
   根據上述之表格提供的公式，計算單位焊道極慣性矩 $J_u$：
   $$
   J_u = \frac{(b + d)^3}{6} = \frac{(50 + 50)^3}{6} = 166.7 \times 10^3 \, \text{mm}^3
   $$
   利用 **公式9-6** 計算實際結構之焊道極慣性矩 $J$：
   $$
   \begin{align}
   J &= 0.707 \cdot h \cdot J_u \\
   \\
   &= 0.707 \cdot 5 \cdot 166.7 \cdot 10^3 = 589.2 \cdot 10^3 \, \text{mm}^4
   \end{align}
   $$
   由於焊接之結構是為一正方形（$b = d$），所以：
   $$
   \begin{align}
   \tau''_x = \tau''_y &= \frac{M \cdot r_y}{J} \\
   \\
   &= \frac{175 \cdot F \cdot 10^3 \cdot 25}{589.2 \cdot 10^3} = 7.425F \, \text{MPa}
   \end{align}
   $$

   - 最後計算焊道所受之 **最大剪應力**：
   $$
   \begin{align}
   \tau_{\text{max}} &= \sqrt{{\tau''_x}^2 + (\tau'_y + \tau''_y)^2} \\
   \\
   &= F \sqrt{7.425^2 + (1.414 + 7.425)^2} = 11.54F \, \text{MPa} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

2. **計算 $F$ 的容許值**
   令 $\tau_{\text{max}} \leq \tau_{\text{allow}}$：
   $$
   11.54F \leq \tau_{\text{allow}}
   \quad \Rightarrow \quad 
   F_{\text{allow}} \leq \frac{140}{11.54} = 12.1 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
   $$

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### 最終結果

當 $\tau_{\text{allow}} = 140 \, \text{MPa}$ 時，容許負載為 $F_{\text{allow}} = 12.1 \, \text{kN}$

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$\,$
## Problem 9-33

The weldment shown in the figure is subjected to an alternating force $F$. The hot-rolled steel bar has a thickness $h$ and is of AISI 1010 steel. The vertical support is likewise AISI 1010 HR steel. The electrode is given in the table below. Estimate the fatigue load $F$ the bar will carry if three fillet welds are used.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HyWgocSXyg.png =373x)

**中文翻譯**： 如圖所示，焊接件承受交變負載 $F$。熱軋鋼條的厚度為 $h$，材料為 AISI 1010 鋼，垂直支撐件同樣為 AISI 1010 HR 鋼。焊條如表所示。若使用三條填角焊道，估算鋼條可承受的疲勞負載 $F$。

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### 計算過程

**已知條件**

| $b$ (mm) | $d$ (mm) | $h$ (mm) | Electrode |
| -------- | -------- | -------- | --------- |
| 50       | 50       | 5        | E6010     |

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#### Step 1: 計算截面積 $A$
根據題目指定之焊接形式（ㄈ字形），參考 **表9-1** 之第四項：
![image](https://hackmd.io/_uploads/SydVZjHXJx.png =444x)

則總截面積為：
$$
\begin{align}
A &= 0.707 \cdot h \cdot (2b + d) \\
\\
&= 0.707 \cdot 5 \cdot (2(50) + 50) = 530.3 \, \text{mm}^2
\end{align}
$$

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#### Step 2: 計算構件的疲勞強度極限 $S_e$

疲勞限 $S_e$ 之計算（**公式6-17**）：
$$
S_e = k_a \cdot k_b \cdot k_c \cdot \cdot S_e'
$$

| 類別 |     材料     | 材料之疲勞限 $S_{\text{ut}}$ (MPa) | $k_a$ | $k_b$ | $k_c$ | 材料強度 $S_{ut}$ (MPa) |
|:----:|:------------:|:----------------------------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----------------------:|
| 構件 | AISI 1010 HR |                320                 | 0.693 |   1   | 0.59  |           320           |
| 焊條 |    E6010     |                427                 | 0.557 |   1   | 0.59  |           427           |

==**各項係數之詳細計算方法請參考 Problem 6-16**==

**疲勞限的選擇**：
材料強度即為理論之疲勞限。將已知參數代入公式，可得構件與焊條的修正疲勞限分別為：
$$
S_e = 65.4 \, \text{MPa} \quad \quad S_e = 70.2 \, \text{MPa}
$$
構件與焊條強度接近，因此選用較低值 $S_e = 65.4 \, \text{MPa}$。

$\,$
#### Step 3: 計算疲勞負載 $F$

根據題目敘述，三條焊道均為填角焊道（fillet weld），同時，最大剪應力會發生在平行焊道的末端點，查 **表9-5** 得疲勞之應力集中係數 $K_{fs} = 2.7$。
![image](https://hackmd.io/_uploads/BJgGXsSmkg.png =377x)

令結構之疲勞安全係數 $n_{fs} = 1$，
$$
n_{fs} = \frac{S_e}{\tau_\text{allow}} = 1
\quad \Rightarrow \quad
S_e = \tau_\text{allow} = 65.4 \, \text{MPa}
$$
則：
$$
\tau_\text{allow} = K_{fs} \tau = K_{fs} \cdot \frac{F}{A} 
$$

$$
\begin{align}
\Rightarrow \quad F &= \frac{\tau_{\text{allow}} \cdot A}{K_f} \\
\\
&= \frac{65.4 \cdot 530.3}{2.7} = 12.8 \, \text{kN} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果

焊接件可承受之疲勞負載為 $F = 12.8 \, \text{kN}$

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## Problem 9-39

A steel bar of thickness $h$ is subjected to a bending force $F$. The vertical support is stepped such that the horizontal welds are $b_1$ and $b_2$ long. Determine $F$ if the maximum allowable shear stress is $\tau_{\text{allow}}$.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HyBhFsrQ1l.png =544x)

**中文翻譯**：鋼條的厚度為 $h$，承受彎矩力 $F$。垂直支撐為梯形設計，水平焊道的長度為 $b_1$ 和 $b_2$。若最大容許剪應力為 $\tau_{\text{allow}}$，求 $F$。

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### 計算過程

**已知條件**

| $b_1$ (in) | $b_2$ (in) | $c$ (in) | $d$ (in) | $h$ (in) | $\tau_{\text{allow}}$ (kpsi) |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 2 | 4 | 6 | 4 | $5/16$ | 25 |

$\,$
#### Step 1: 計算各項所需之幾何參數
![Screenshot_20241129_101425_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/H1ZtBo8Q1l.jpg =533x)

上圖中黑色線段為焊道，由於三段焊道構成之幾何形狀是為不規則，故計算最大剪應力之前之各項所需參數必須自行推導。

$\,$
1. 首先計算 **形心位置 $(\bar{x}, \bar{y})$**，可分別由以下公式計算：
   $$
   \bar{x} = \frac{1}{l} \sum_{i=1}^{n} l_i x_i \ , 
   \quad \quad
   \bar{y} = \frac{1}{l} \sum_{i=1}^{n} l_i y_i
   $$
   其中 $l$ 為所有焊道長度之總和；$l_i$ 為單一段之焊道長度；$x_i$ 以及 $y_i$ 則分別為單一段焊道之水平與垂直的中心位置座標。根據上圖之座標位置，將各項已知參數代入，可得形心位置 $G$：
   $$
   \begin{align}
   \bar{x} &= \frac{1}{(2 + 4 + 4)} \bigg[ \ (2 \times 1) + (4 \times 0) + (4 \times 2) \ \bigg] = 1 \, \text{in}, \\
   \\
   \bar{y} &= \frac{1}{(2 + 4 + 4)} \bigg[ \ (2 \times 4) + (4 \times 2) + (4 \times 0) \ \bigg] = 1.6 \, \text{in} \\
   \end{align}
   $$
   
2. 接著計算 **各個焊道中心與形心位置之間的距離，$r_1$、$r_2$ 以及 $r_3$** 。可透過以下公式進行計算：
   $$
   r_i = \sqrt{(x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2}
   $$
   可個別求得所需之距離，分別為：
   $$
   r_1 = 2.4 \, \text{in}, \quad
   r_2 = 1.077 \, \text{in}, \quad 
   r_3 = 1.887 \, \text{in} \quad
   $$

3. 計算 **各個焊道的極慣性矩 $J_G$**：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/B1UoIh871l.png =666x)
   將每個焊道個別考慮，參考 **表9-1之第一項**，可得各個焊道之面積：
   $$
   A_1 = 0.4419 \, \text{in}^2, \quad
   A_2 = A_3 = 0.8838 \, \text{in}^2
   $$
   極慣性矩部份，搭配 **公式9-6** ，可推導出計算式：
   $$
   J_{G_i} = 0.707 h \frac{l_i^3}{12}
   $$
   參考座標圖，並將各項已知參數代入，可得各個焊道的極慣性矩：
   $$
   J_{G_1} = 0.1473 \, \text{in}^4, \quad
   J_{G_2} = J_{G_3} = 1.178 \, \text{in}^4
   $$
4. 最後，有了各焊道之極慣性矩 $J_{G_i}$、面積 $A_i$ 以及形心之間的距離 $r_i$ ，便可計算 **三段焊道之總慣性矩 $J$** 。可透過以下計算式求得：
   $$
   J = \sum_{i=1}^n \left( J_{G_i} + A_i r_i^2 \right)
   $$
   
   $$
   \begin{align}
   = &\big( \ 0.1473 + 0.4419 \times 2.40^2\ \big) +\\
   &\big( \ 1.178 + 0.8838 \times 1.077^2\ \big) +\\
   &\big( \ 1.178 + 0.8838 \times 1.887^2\ \big) = 9.2208 \, \text{in}^4
   \end{align}
   $$

$\,$
#### Step 2: 評估最大剪應力發生之位置
![Screenshot_20241129_130859_Samsung capture](https://hackmd.io/_uploads/HJ1KnTU7kl.jpg =533x)

如同 **Problem 9-19** 所述，焊接結構受到的彎矩可以被分解為一個剪力以及彎矩，並施加於形心位置上，而由相對產生之主要與次要剪應力會均勻分散至焊道的各個端點，故評估何處會產生最大剪應力時，主要以各端點距離形心的位置來辨別，==**換言之，當某點距離形心越遠，則該點有最大剪應力發生**==。上圖中呈現的是三段焊道受到外部負載 $F$ 時，在各個端點所產生之次要剪應力，分別為 $\tau''_A$、$\tau''_B$ 、$\tau''_C$ 以及 $\tau''_D$ 。

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1. 計算各端點與形心之間的距離：
   已知形心位置點 $G (\bar{x}, \, \bar{y}) = (1, \, 1.6)$，則：
   $$
   r_i = \sqrt{(x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2}
   $$
   代入各個端點之座標位置進行計算，可得 $\bar{AG}$、$\bar{BG}$、$\bar{CG}$、$\bar{DG}$ 之距離分別為：
   $$
   r_A = 2.6 \, \text{in}^2
   \quad
   r_B = 2.6 \, \text{in}^2
   \quad
   r_C = 1.8868 \, \text{in}^2
   \quad
   r_D = 3.4 \, \text{in}^2
   $$
   從上述的結果可知，在 $D$ 點會有最大剪應力發生。與之相對的夾角為：
   $$
   \begin{align}
   \alpha &= \tan^{-1}\left(\frac{y_i - \bar{y}}{x_i - \bar{x}}\right) \\
   \\
   &= \tan^{-1}\left(\frac{0 - 1.6}{4 - 1}\right) = 28.07^\circ
   \end{align}
   $$

3. 計算外部負載產生的 **彎矩 $M$**：
   假設力臂長（施力位置與焊道形心之間的距離）為 $R$、外部負載為 $F$，則：
   $$
   M = R \cdot F = (l - \bar{x})F = 9F
   $$

$\,$
#### Step 3: 計算可容許之最大負載
1. 計算主要剪應力 $\tau'$：
   $$
   \tau' = \frac{V}{A} = \frac{F}{0.707(5/16)(10)} = 0.4526F \, \text{ kpsi}
   $$

2. 計算次要剪應力 $\tau''$：
   $$
   \tau'' = \frac{M \cdot r_D}{J} = \frac{9F \cdot 3.4}{9.2208} = 3.3185F \, \text{ kpsi}
   $$
   將其分解於水平與垂直方向：
   $$
   \begin{align}
   \tau''_x = \tau'' \sin \alpha = 1.5616F,
   \quad \quad
   \tau''_y = \tau'' \cos \alpha = 2.9282F
   \end{align}
   $$

3. 最後計算焊道所受之 **最大剪應力**：
   $$
   \begin{align}
   \tau_{\text{max}} &= \sqrt{{\tau''_x}^2 + (\tau'_y + \tau''_y)^2} \\
   \\
   &= F \sqrt{1.5616^2 + (0.4526 + 2.9282)^2} = 3.724F \, \text{ kpsi} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

4. **計算 $F$ 的容許值**
   令 $\tau_{\text{max}} \leq \tau_{\text{allow}}$：
   $$
   3.724F \leq \tau_{\text{allow}}
   \quad \Rightarrow \quad 
   F_{\text{allow}} \leq \frac{25}{3.724} = 6.71 \, \text{ kip} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
### 最終結果

當 $\tau_{\text{allow}} = 25 \, \text{ kpsi}$ 時，容許負載為 $F_{\text{allow}} = 6.71 \, \text{ kip}$

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## Problem 9-56

Find the maximum shear stress in the throat of the weld metal in the figure.

![image](https://hackmd.io/_uploads/SyWF5srQ1g.png =599x)

**中文翻譯**：求圖中焊道金屬喉部的最大剪應力。

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### 計算過程

**已知條件**
| 參數 | 施加外力 $F$（$\text{kN}$） | 喉部厚度 $h$（$\text{mm}$）| 長度 $d$（$\text{mm}$） | 寬度 $b$ （$\text{mm}$） |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 數值 | 25 | 9 | 200 | 25 |

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#### Step 1: 計算所需之各項幾何參數：
參考 **表9-2之第二項**：
![image](https://hackmd.io/_uploads/H1D9PCLXyx.png =666x)
==**注意此題的焊接方式與前面所有例題均不同，因此計算方式與參考表格稍有不同。**==

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1. 焊道之截面積 $A$： 
   $$
   A = 1.414 \cdot h \cdot d = 1.414 \cdot 9 \cdot 200 = 2.545 \times 10^3 \, \text{mm}^2
   $$

2. **計算焊道慣性矩 $I$** 
   首先根據查表所得之公式，求出焊道之單位慣性矩 $I_u$：
   $$
   I_u = \frac{d^3}{6} = \frac{200^3}{6} = 1.333 \times 10^6 \, \text{mm}^3
   $$
   再代入結構之焊道喉部寬度，得到實際焊道的慣性矩 $I$ 為：
   $$
   I = 0.707 \cdot h \cdot I_u = 0.707 \cdot 9 \cdot 1.333 \times 10^6 = 8.484 \times 10^6 \, \text{mm}^4
   $$

$\,$
#### Step 2: 計算最大剪應力
1. 計算主要剪應力 $\tau'$： 
   $$
   \tau' = \frac{F}{A} = \frac{25 \times 10^3}{2.545 \times 10^3} = 9.82 \, \text{MPa}
   $$

2. 計算次要剪應力 $\tau''$：
   $$
   \tau'' = \frac{M \cdot (d/2)}{I} = \frac{(25 \cdot 150) \cdot (200/2)}{8.484 \times 10^6} \cdot 10^3 = 44.20 \, \text{MPa}
   $$

3. 最後，計算最大剪應力 $\tau_{\text{max}}$ 
   $$
   \begin{align}
   \tau_{\text{max}} &= \sqrt{(\tau')^2 + (\tau'')^2} \\
   \\
   &= \sqrt{9.82^2 + 44.20^2} = 45.3 \, \text{MPa} \quad \text{Ans.}
   \end{align}
   $$

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### 最終結果

該結構之焊道所受的最大剪應力為 $\tau_{\text{max}} = 45.3 \, \text{MPa}$

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