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title: 10_助教課_CH14
tags: [3. 期末考範圍]

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第十四章：直齒與斜齒輪 (Spur and Helical Gears)
本章重點介紹直齒與斜齒輪的設計與分析方法，提供齒輪系統設計的理論基礎。主要內容包括：

齒輪強度計算：應用 Lewis 方程進行齒輪彎曲強度計算，並分析表面耐久性。
AGMA 設計準則：詳細說明 AGMA 的應力公式與強度公式，考慮幾何係數及彈性係數。
負載分佈影響：討論動態負載因數、過載因數及負載分佈因數對齒輪性能的影響。
安全係數與壽命分析：介紹齒輪安全係數及壽命修正係數的計算方法。
齒輪網設計：提供齒輪嚙合設計流程，包括尺寸優化與性能評估。

（課堂上勾選之第十四章習題題目與詳解，僅供學生自學用途。）

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## Problem 14-2
A steel spur pinion has a diametral pitch of 10 teeth/in, 18 teeth cut full-depth with a $20^\circ$ pressure angle, and a face width of 1 in. This pinion is expected to transmit 2 hp at a speed of 600 rev/min. Determine the bending stress.

**中文翻譯**：一個鋼製直齒小齒輪，齒輪節距為 10 齒/英寸，具有 18 個全齒深齒數，壓力角為 $20^\circ$，齒寬為 1 英寸。該小齒輪在轉速 600 轉/分時傳遞功率 2 hp。求其彎曲應力。

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### 計算過程
**已知條件**

- 齒輪的 **節距**：$P = 10 \, \text{teeth/in}$
- 齒數：$N = 18$
- 壓力角：$20^\circ$
- 齒寬：$F = 1 \, \text{in}$
- 傳遞功率：$H = 2 \, \text{hp}$
- 轉速：$n = 600 \, \text{rev/min}$

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#### Step 1. 計算齒輪的節圓直徑
根據 **公式13-32**，節圓直徑 $d$ 可由齒數與節距計算：
$$
\begin{align}
d &= \frac{N}{P} = \frac{18}{10} = 1.8 \, \text{in}
\end{align}
$$

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#### Step 2. 計算齒輪速度 $V$
根據 **公式13-34**，齒輪的線速度 $V$ 為：
$$
\begin{align}
V &= \frac{\pi d n}{12} = \frac{\pi (1.8)(600)}{12} = 282.7 \, \text{ft/min}
\end{align}
$$

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#### Step 3. 查表並計算速度因子 $K_v$
根據 **公式14-4b**，速度因子 $K_v$ 計算如下：
$$
\begin{align}
K_v &= \frac{1200 + V}{1200} = \frac{1200 + 282.7}{1200} = 1.236
\end{align}
$$

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#### Step 4. 計算容許的齒根彎曲強度
根據 **公式13-35**，計算 $W^t$：
$$
\begin{align}
W^t &= \frac{33,000 H}{V} = \frac{33,000 (2)}{282.7} = 233.5 \, \text{lbf}
\end{align}
$$

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#### Step 5. 計算彎曲應力
根據 **公式14-7**，彎曲應力 $\sigma$ 計算如下：
$$
\begin{align}
\sigma &= \frac{K_v W^t P}{F Y} \\
\\
&= \frac{1.236 (233.5) (10)}{1.0 (0.309)} = 9340 \, \text{psi} = 9.34 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

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### 最終結果

| 項目 | 節圓直徑 $d$ | 線速度 $V$ | 速度因子 $K_v$ | 彎曲應力 $\sigma$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 結果 | $1.8 \, \text{in}$ | $282.7 \, \text{ft/min}$ | $1.236$ | $9.34 \, \text{kpsi}$ |

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## Problem 14-5
A steel spur pinion has a module of 1 mm and 16 teeth cut on the $20^\circ$ full-depth system and is to carry $0.15 \, \text{kW}$ at $400 \, \text{rev/min}$. Determine a suitable face width based on an allowable bending stress of $150 \, \text{MPa}$.

**中文翻譯**：一個鋼製直齒小齒輪，模數為 $1 \, \text{mm}$，具有 $16$ 個全齒深齒數，壓力角為 $20^\circ$，承受功率為 $0.15 \, \text{kW}$，轉速為 $400 \, \text{rev/min}$。基於可容許彎曲應力 $150 \, \text{MPa}$，求合適的齒寬。

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### 計算過程
**已知條件**

- 模數 $m = 1 \, \text{mm}$
- 齒數 $N = 16$
- 壓力角 $20^\circ$
- 功率 $H = 0.15 \, \text{kW}$
- 轉速 $n = 400 \, \text{rev/min}$
- 容許彎曲應力 $\sigma_m = 150 \, \text{MPa}$

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#### Step 1. 計算齒輪的節圓直徑
根據 **公式13-32**，節圓直徑 $d$ 為：
$$
\begin{align}
d &= m N = 1 (16) = 16 \, \text{mm}
\end{align}
$$

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#### Step 2. 計算齒輪的線速度 $V$
根據 **公式13-34**，線速度 $V$ 為：
$$
\begin{align}
V &= \frac{\pi d n}{60} = \frac{\pi (16)(10^{-3})(400)}{60} = 0.335 \, \text{m/s}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算速度因子 $K_v$
根據 **公式14-6b**，速度因子 $K_v$ 為：
$$
\begin{align}
K_v &= \frac{6.1 + V}{6.1} = \frac{6.1 + 0.335}{6.1} = 1.055
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 4. 計算傳遞負載 $W^t$
根據 **公式13-36**，傳遞負載 $W^t$ 為：
$$
\begin{align}
W^t &= \frac{60,000 H}{\pi d n} \\
\\
&= \frac{60,000 (0.15)}{\pi (16)(400)} = 0.4476 \, \text{kN} = 447.6 \, \text{N}
\end{align}
$$

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#### Step 5. 計算齒寬 $F$
根據 **公式14-8**，齒寬 $F$ 為：
$$
\begin{align}
F &= \frac{K_v W^t}{\sigma_m Y} \\
\\
&= \frac{1.055 (447.6)}{150 (1) (0.296)} = 10.6 \, \text{mm}
\end{align}
$$

根據 **表13-2**，選取合適的齒寬 $F = 11 \, \text{mm}$ 或 $12 \, \text{mm}$，取決於實際供應情況。$\quad \text{ Ans.}$

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### 最終結果

| 項目 | 節圓直徑 $d$ | 線速度 $V$ | 速度因子 $K_v$ | 傳遞負載 $W^t$ | 齒寬 $F$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 結果 | $16 \, \text{mm}$ | $0.335 \, \text{m/s}$ | $1.055$ | $447.6 \, \text{N}$ | $11 \text{ or } 12 \, \text{mm}$ |

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## Problem 14-12
A speed reducer has $20^\circ$ full-depth teeth and consists of a 20-tooth steel spur pinion driving a 50-tooth cast-iron gear. The horsepower transmitted is 12 at a pinion speed of 1200 rev/min. For a diametral pitch of 8 teeth/in and a face width of 1.5 in, find the contact stress.

**中文翻譯**：一個具有 $20^\circ$ 全齒深齒形的減速器，由一個 20 齒鋼製直齒小齒輪驅動 50 齒鑄鐵齒輪。該齒輪傳遞的功率為 12 馬力，轉速為 1200 轉/分。齒輪的節距為 8 齒/英寸，齒寬為 1.5 英寸。求接觸應力。

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### 計算過程
**已知條件**

- 小齒輪齒數 $N_p = 20$
- 大齒輪齒數 $N_G = 50$
- 徑節 $P = 8 \, \text{teeth/in}$
- 功率 $H = 12 \, \text{hp}$
- 轉速 $n = 1200 \, \text{rev/min}$
- 齒寬 $F = 1.5 \, \text{in}$
- 壓力角 $\phi = 20^\circ$

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#### Step 1. 計算齒輪的節圓直徑
根據 **公式13-32**，小齒輪與大齒輪的節圓直徑分別為：
$$
\begin{align}
d_p &= \frac{N_p}{P} = \frac{20}{8} = 2.5 \, \text{in}, 
&& 
d_G = \frac{N_G}{P} = \frac{50}{8} = 6.25 \, \text{in}
\end{align}
$$

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#### Step 2. 計算齒輪的線速度 $V$
根據 **公式13-34**，線速度 $V$ 為：
$$
\begin{align}
V &= \frac{\pi d_p n}{12} = \frac{\pi (2.5)(1200)}{12}= 785.4 \, \text{ft/min}
\end{align}
$$

$\,$
#### Step 3. 計算速度因子 $K_v$
根據 **公式14-4b**，速度因子 $K_v$ 為：
$$
\begin{align}
K_v &= \frac{1200 + V}{1200} = \frac{1200 + 785.4}{1200} = 1.655
\end{align}
$$

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#### Step 4. 計算傳遞負載 $W^t$
根據 **公式13-36**，傳遞負載 $W^t$ 為：
$$
\begin{align}
W^t &= \frac{33,000 H}{V} \\
\\
&= \frac{33,000 (12)}{785.4} = 504.2 \, \text{lbf}
\end{align}
$$

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#### Step 5. 查表並計算彎曲半徑 $r_1$ 和 $r_2$
根據 **公式14-12**，小齒輪與大齒輪的彎曲半徑分別為：
$$
\begin{align}
r_1 &= \frac{d_p \sin 20^\circ}{2} = 0.4275 \, \text{in},
&&
r_2 = \frac{d_G \sin 20^\circ}{2} = 1.069 \, \text{in}
\end{align}
$$

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#### Step 6. 計算接觸應力 $\sigma_C$
根據 **公式14-14**，接觸應力 $\sigma_C$ 為：
$$
\begin{align}
\sigma_C &= -C_p \left[ \frac{K_v W^t}{F \cos \phi} \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) \right]^{1/2} \\
\\
&= -2100 \left[ \frac{1.655 (504.2)}{1.5 \cos 20^\circ} \left( \frac{1}{0.4275} + \frac{1}{1.069} \right) \right]^{1/2} \\
\\
&= -92.5 \, \text{kpsi} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

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### 最終結果

| 項目 | $d_p$ | $d_G$ | $V$ | $K_v$ | $W^t$ | $\sigma_C$ |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 結果 | $2.5 \, \text{in}$ | $6.25 \, \text{in}$ | $785.4 \, \text{ft/min}$ | $1.655$ | $504.2 \, \text{lbf}$ | $-92.5 \, \text{kpsi}$ |

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## Problem 14-19
A steel spur pinion has a pitch of 6 teeth/in, 17 full-depth milled teeth, and a pressure angle of 20°. The pinion has an ultimate tensile strength at the involute surface of 116 kpsi, a Brinell hardness of 232, and a yield strength of 90 kpsi. Its shaft speed is 1120 rev/min, its face width is 2 in, and its mating gear has 51 teeth. Use a design factor of 2. 

**(a)** Pinion bending fatigue imposes what power limitation? Use the Gerber criteria to compensate for one-way bending. 
**(b)** Pinion surface fatigue imposes what power limitation? The gear has identical strengths to the pinion with regard to material properties. 
**\(c)** Determine power limitations due to gear bending and wear. 
**(d)** Specify the power rating for the gearset.

**中文翻譯**：一個鋼製直齒齒輪的齒距為 6 齒/英寸，擁有 17 個全齒深銑削齒，壓力角為 20°。該齒輪在漸開線表面的極限拉伸強度為 116 kpsi，布氏硬度為 232，降伏強度為 90 kpsi。軸轉速為 1120 轉/分鐘，面寬為 2 英寸，配對齒輪具有 51 齒。使用設計因子 2。

**(a)** 齒輪彎曲疲勞上限了多少功率？使用 Gerber 準則來補償單向彎曲。 
**(b)** 齒輪表面疲勞上限了多少功率？在材料特性方面，該齒輪和配對齒輪具有相同強度。 
**\(c)** 計算由於齒輪彎曲和磨耗導致的功率上限。 
**(d)** 指定齒輪組的功率額定值。

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### 計算過程

**已知條件**
- 小齒輪 **(pinion)** 齒數：$N_P = 17$
- 大齒輪 **(gear)** 齒數：$N_G = 51$
- 徑節 **(diametral pitch)**：$P = 6 \, \text{teeth/in}$
- 面寬 **(face width)**：$F = 2 \, \text{in}$
- 軸轉速 **(shaft speed)**：$n = 1120 \, \text{rev/min}$
- 設計因子 **(disign factor)**：$n_d = 2$
- 降伏強度 **(yield strength)**：$S_y = 90 \, \text{kpsi}$

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#### Step 1. 計算所需參數

1. 小齒輪與大齒輪的節徑分別為：
   $$
   \begin{align}
   d_P = \frac{N_P}{P} = \frac{17}{6} = 2.833 \, \text{in},
   \quad \quad
   d_G  = \frac{N_G}{P} = \frac{51}{6} = 8.500 \, \text{in}
   \end{align}
   $$

2. 分別透過**公式13-34** 以及 **公式14-4b** 計算小齒輪的線速度 $V$ 與速度因子 $K_v$：
   $$
   V = \frac{\pi d_P n}{12} = 830.7 \, \text{ft/min},
   \quad \quad
   K_v = \frac{1200 + V}{1200} = 1.692
   $$

3. 查 **表14-2**，得小齒輪與大齒輪的 Lewis 型態因子（Lewis Form Factor, $Y$）分別為：
   $$
   Y_P = 0.303,
   \quad \quad
   Y_G = 0.410
   $$

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#### Step 2. 計算使輪系產生降伏破壞所需之馬力：
首先求出容許應力 $\sigma_{\text{all}}$。由於設計因子為 $n_d = 2$，則：
$$
\sigma_{\text{all}} = \frac{S_y}{n_d} = \frac{90,000}{2} = 45,000 \, \text{psi}
$$
根據 **公式14-7** 計算傳遞負載 $W_t'$ （代入最小的 $Y$ 值進行計算），再透過 **公式13-35** 即可求出馬力 $H$：
$$
W_t' = \frac{F Y_P \sigma_{\text{all}}}{K_v P} = 2686 \, \text{lbf},
\quad \quad
H = \frac{W_t' V}{33,000} = 67.6 \, \text{hp} \quad \text{ Ans.}
$$

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#### Step 3. 計算小齒輪因彎曲疲勞的馬力上限（第a分題）：

1. 分別透過 **公式2-21** 以及 **公式6-10** 計算材料的極限強度與疲勞極限：
   $$
   S_{ut} = 0.5 H_B = 0.5 (232) = 116 \, \text{kpsi},
   \quad \quad 
   S_e' = 0.5 S_{ut} = 0.5 (116) = 58 \, \text{kpsi}
   $$

2. 計算小齒輪受彎曲時的等效直徑 $d_e$：
   於第六章有提到，進行修正疲勞限時，如果結構的截面並非圓形，則計算形狀因子 $k_b$ 時將需要額外進行截面的等效直徑 $d_e$ 之計算。參考教科書之 **圖14-1**，我們將輪齒（gear tooth）簡化為一方形截面之懸臂梁受一垂直的負載。為了計算等效直徑，我們需要先將 **圖14-1(a)** 中所標示之輪齒厚度 $t$ 給求出來（齒面寬度 $F$ 為已知。）
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1XPzFR41e.png =555x)
   
   首先透過 **公式14-3** 求得上圖中的幾何係數 $x$： 
   $$
   x = \frac{3Y_P}{2P} = \frac{3(0.303)}{2(6)} = 0.0758 \, \text{in}
   $$
   再來計算輪齒長度 $l$。是為齒冠（Addendum）與齒根（Dedendum）的總和，參考 **表13-1** 找尋相對應壓力角（$\phi = 20^{\circ}$）的相關係數： 
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/S1pX9tAVJl.png =555x)
   根據查表所得資訊，可得：
   $$
   \begin{align}
   l &= \frac{1}{P_d} + \frac{1.25}{P_d} = \frac{2.25}{P_d} = 0.375 \, \text{in}
   \end{align}
   $$
   完成上述兩項幾何係數的計算之後，代入 **第14-1節之公式(b)** ，便可求出輪齒厚度 $t$： 
   $$
   \begin{align}
   l = \frac{t^2}{4x}
   \quad \Rightarrow \quad t &= \left( 4xl \right)^{1/2} \\
   &= \left( 4 \times 0.0758 \times 0.375 \right)^{1/2} = 0.337 \, \text{in}
   \end{align}
   $$
   最後，參考 **表6-3第二項** 列出之公式：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/rklD4KC41g.png =555x)
   代入先前求得輪齒厚度 $t$，便可求得計算形狀因子所需的等效直徑 $d_e$：
   $$
   \begin{align}
   d_e &= 0.808 \sqrt{F t} \\
   \\
   &= 0.808 \sqrt{2 \times 0.337} = 0.663 \, \text{in}
   \end{align}
   $$

3. 計算修正疲勞限 $S_e$：
   ==**（註：詳細之標準作業流程請參考 **Problem 6-16**）**==
   
   - 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
       - 理論疲勞限 $S_e' = 58 \, \text{kpsi}$
       - 表面因子 $k_a = 0.713$
       - 形狀因子 $k_b = 0.919$
       - 其他修正因子：$k_c = k_d = k_e = 1$
       - 基於 Gerber 準則的單向彎曲 (one-way bending) 修正因子 $k_f = 1.66$（針對輪齒受力的額外修正係數，詳細說明請參考教科書例題 **Example 14-2**）

   - 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   \begin{align}
   S_e &= S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c \cdot k_d \cdot k_e \cdot k_f \\
   \\
   &= 58 \times 0.713 \times 0.919 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1.66 \\
   \\
   &= 63.1 \, \text{kpsi}
   \end{align}
   $$
   
4. 計算修正應力集中係數 $K_f$：
   於輪齒根部最容易因疲勞產生應力集中，則首先將根部的圓角半徑求出，同時，令 $D/d = 3$ 以計算理論集中係數 $K_t$ 。一般而言，根部圓角半徑會與徑節呈比例關係：
   $$
   r_f = \frac{0.300}{P} = \frac{0.300}{6} = 0.050 \, \text{in}
   $$

   查指定圖表以取得所需之係數：
   - 根據 **圖6-26**： $q = 0.86$
   - 根據 **圖A-15-6**：$r_f/t = 0.148 \quad \Rightarrow \ K_t = 1.68$

   將所得之係數代入 **公式6-32**：
   $$
   K_f = 1 + q \cdot (K_t - 1) = 1.58
   $$

5. 計算疲勞狀態下的容許應力 $\sigma_{\text{all}}$：
   $$
   \sigma_{\text{all}} = \frac{S_e}{K_f n_d} = \frac{63.1}{1.58 (2)} = 20.0 \, \text{kpsi}
   $$

6. 計算使小齒輪在彎曲作用下，產生 **疲勞破壞** 所需之馬力 $H$：
   根據 **公式14-7** 計算傳遞負載 $W_t'$ 後，再透過 **公式13-35** 即可求出馬力 $H$：
   $$
   W_t' = \frac{F Y_P \sigma_{\text{all}}}{K_v P} = 1194 \, \text{lbf},
   \quad \quad
   H = \frac{W_t' V}{33,000} = 30.1 \, \text{hp} \quad \text{ Ans.}
   $$

$\,$
#### Step 4. 計算小齒輪因磨耗疲勞的馬力上限（第b分題）：

1. 利用 **公式14-13**，計算小齒輪之 AGMA 彈性係數 $C_p$ 。根據題目敘述，假設大齒輪與小齒輪有一樣的材料性質，則：
   $$
   \begin{align}
   C_p &= \left\{ \frac{1}{\pi \bigg[ \left( {1 - \nu_P^2}/{E_P} \right) + \left( 1 - \nu_G^2/E_G \right) \bigg]} \right\}^{1/2} \\
   \\
   &= \left\{ \frac{1}{2 \pi \bigg[ \left(1 - 0.292^2 \right) / 30 \cdot 10^6 \bigg]} \right\}^{1/2} = 2285 \sqrt{\text{psi}}
   \end{align}
   $$

2. 透過 **公式14-12** 計算大小齒輪的接觸半徑 $r_1$ 和 $r_2$ ：
   $$
   r_1 = \frac{d_P \sin \phi}{2} = 0.485 \, \text{in},
   \quad \quad
   r_2 = \frac{d_G \sin \phi}{2} = 1.454 \, \text{in}
   $$
   
3. 計算接觸疲勞強度 $S_c$ (**公式6-79**)： 
   $$
   \begin{align}
   (S_c)_{10^8} &= 0.4 H_B - 10 \, \text{kpsi} \\
   \\ \Rightarrow \quad
   \sigma_c &= \big(0.4 \cdot 232 - 10 \big) \times 10^3 = 82,800 \, \text{psi}
   \end{align}
   $$

4. 計算磨耗狀態下的容許應力 $\sigma_{c,\text{ all}}$： 
   $$
   \sigma_{c,\text{ all}} = \frac{\sigma_c}{\sqrt{n_d}} = \frac{82,800}{\sqrt{2}} = 58,548 \, \text{psi}
   $$

5. 計算使小齒輪在接觸作用下，產生 **磨耗破壞** 所需之馬力 $H$：
   將 **公式14-14** 進行整理並計算傳遞負載 $W_t'$ 後，再透過 **公式13-35** 即可求出馬力 $H$：
   $$
   \begin{align}
   W_t' &= \left( \frac{-\sigma_{c,\text{ all}}}{C_p} \right)^2 \left[ \frac{F \cos 20^\circ}{K_v} \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)^{-1} \right] = 265 \, \text{lbf}
   \quad \quad \\ \\
   H &= \frac{W_t' V}{33,000} = 6.67 \, \text{hp} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$
   
$\,$ 
#### Step 5. 計算大齒輪因彎曲與磨耗疲勞的馬力上限（第c分題）：
   ==**（註：這一分題其實跟前兩個分題是完全相同的，惟計算的對象是大齒輪，故過程不多做說明。）**==

1. 分別透過 **公式2-21** 以及 **公式6-10** 計算材料的極限強度與疲勞極限：
   $$
   S_{ut} = 0.5 H_B = 0.5 (232) = 116 \, \text{kpsi},
   \quad \quad 
   S_e' = 0.5 S_{ut} = 0.5 (116) = 58 \, \text{kpsi}
   $$

2. 計算大齒輪受彎曲時的等效直徑 $d_e$：

   首先透過 **公式14-3** 求得幾何係數 $x$： 
   $$
   x = \frac{3Y_G}{2P} = \frac{3(0.4103)}{2(6)} = 0.1026 \, \text{in}
   $$
   利用 **第14-1節之公式(b)** ，代入參數並計算輪齒厚度 $t$（輪齒長度 $l$ 與小齒輪相同）： 
   $$
   \begin{align}
   l = \frac{t^2}{4x}
   \quad \Rightarrow \quad t &= \left( 4xl \right)^{1/2} \\
   &= \left( 4 \times 0.1026 \times 0.375 \right)^{1/2} = 0.392 \, \text{in}
   \end{align}
   $$
   最後，參考 **表6-3第二項** 列出之公式，求得等效直徑 $d_e$ 為：
   $$
   \begin{align}
   d_e &= 0.808 \sqrt{F t} \\
   \\
   &= 0.808 \sqrt{2 \times 0.392} = 0.715 \, \text{in}
   \end{align}
   $$

3. 計算修正疲勞限 $S_e$：
   - 根據已知條件，查表、代入指定公式，求得所需係數：
       - 理論疲勞限 $S_e' = 58 \, \text{kpsi}$
       - 表面因子 $k_a = 0.713$
       - 形狀因子 $k_b = 0.911$
       - 其他修正因子：$k_c = k_d = k_e = 1$
       - 單向彎曲修正因子 $k_f = 1.66$

   - 代入 **公式6-17** ，修正後的疲勞限 $S_e$：
   $$
   \begin{align}
   S_e &= S_e' \cdot k_a \cdot k_b \cdot k_c \cdot k_d \cdot k_e \cdot k_f \\
   \\
   &= 58 \times 0.713 \times 0.911 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1.66 \\
   \\
   &= 62.5 \, \text{kpsi}
   \end{align}
   $$
   
4. 計算修正應力集中係數 $K_f$：
   查指定圖表以取得所需之係數（根部的圓角半徑 $r_f$ 與小齒輪相同）：
   - 根據 **圖6-26**： $q = 0.82$
   - 根據 **圖A-15-6**：$r_f/t = 0.128 \quad \Rightarrow \ K_t = 1.80$

   將所得之係數代入 **公式6-32**：
   $$
   K_f = 1 + q \cdot (K_t - 1) = 1.66
   $$

5. 計算疲勞狀態下的容許應力 $\sigma_{\text{all}}$：
   $$
   \sigma_{\text{all}} = \frac{S_e}{K_f n_d} = \frac{62.5}{1.66 (2)} = 18.8 \, \text{kpsi}
   $$

6. 計算使大齒輪在彎曲作用下，產生 **疲勞破壞** 所需之馬力 $H$：
   根據 **公式14-7** 計算傳遞負載 $W_t'$ 後，再透過 **公式13-35** 即可求出馬力 $H$：
   $$
   W_t' = \frac{F Y_G \sigma_{\text{all}}}{K_v P} = 1520 \, \text{lbf},
   \quad \quad
   H = \frac{W_t' V}{33,000} = 38.3 \, \text{hp} \quad \text{ Ans.}
   $$

7. 磨耗部份，由於大齒論與小齒輪的材質均相同，所得之接觸應力也將不會改變，則磨耗疲勞的馬力上限將與小齒輪相同，即 $H = 6.67 \text{hp}  \quad \text{ Ans.}$ 

$\,$
#### (d) 此輪系可容許之額定馬力

將第(a)、(b)、\(c)分題計算所得之馬力上限整理如下表：

| 項目 | 輪系降伏 | 小齒輪彎曲 | 小齒輪磨耗 | 大齒輪彎曲 | 大齒輪彎曲 |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |
| 馬力上限（$\text{hp}$） | $67.6$ | $30.1$ | $6.67$ | $38.3$ | $6.67$ |

取所有上限中的最小值作為可容許之額定馬力：
$$
H_{\text{rated}} = \min \big[ \ 30.1, \ 6.67, \ 38.3, \ 6.67 \ \big] = 6.67 \, \text{hp} \quad \text{Ans.}
$$

$\,$
### 最終結果

|          分題           | (a) | (b) | \(c) | (d) |
|:-----------------------:|:----------:|:----------:|:----------:|:----------:|
| 計算結果（$\text{hp}$） |   $30.1$   |   $6.67$   |   $38.3$ & $6.67$  |   $6.67$   |

---

$\,$
## Problem 14-25 
A speed-reducer has $20^\circ$ full-depth teeth, and the single-reduction spur-gear gearset has 22 and 60 teeth. The diametral pitch is 4 teeth/in and the face width is $3\frac{1}{4}$ in. The pinion shaft speed is 1145 rev/min. The life goal of 5-year, 24-hour-per-day service is about $3(10^9)$ pinion revolutions. The absolute value of the pitch variation is such that the quality number is 6. The materials are 4340 through-hardened grade 1 steels, heat-treated to 250 Brinell, core and case, for both gears. The load is moderate shock and the power is smooth. For a reliability of 0.99, rate the speed reducer for power.

**中文翻譯**：一個速度減速器具有 $20^\circ$ 全齒深齒形，單級直齒齒輪組由 22 齒和 60 齒組成。節距為 4 齒/英寸，齒寬為 $3\frac{1}{4}$ 英寸。小齒輪轉速為 1145 轉/分。使用壽命目標為 5 年、24 小時運行，共計 $3(10^9)$ 小齒輪轉數。齒形品質數值為 6。兩齒輪材料為 4340 全硬化 1 級鋼材，經過熱處理至 250 布氏硬度，核心與表面均一致。負載為中等衝擊，功率輸出平穩。已知可靠度為 0.99，請對此速度減速器進行功率評級。

---

### 計算過程

**已知條件**
- 小齒輪齒數：$N_P = 22$ 
- 大齒輪齒數：$N_G = 60$ 
- 徑節：$P = 4 \, \text{teeth/in}$ 
- 齒寬：$F = 3.25 \, \text{in}$ 
- 小齒輪轉速：$n_P = 1145 \, \text{rpm}$ 
- 兩齒硬度均為：$H_B = 250 \, \text{Brinell}$ 

$\,$
#### Step 1. 計算節圓直徑與線速度 

1. 小齒輪與大齒輪的節徑分別為：
   $$
   \begin{align}
   d_P = \frac{N_P}{P} = \frac{22}{4} = 5.5 \, \text{in},
   \quad \quad
   d_G = \frac{N_G}{P} = \frac{60}{4} = 15.0 \, \text{in}
   \end{align}
   $$

2. 透過**公式13-34** 計算小齒輪的線速度 $V$：
   $$
   V = \frac{\pi d_P n_p}{12} = 1649 \, \text{ft/min}
   $$

$\,$
#### Step 2. 小齒輪與大齒輪在受彎曲（Bending）影響時的馬力評估

:::info
根據 **公式14-17**，計算容許之彎曲應力 $\sigma_\text{all}$：
$$
\begin{align}
\sigma_\text{all} &= \frac{S_t \, Y_N}{S_F \, K_T \, K_R} \\
\end{align}
$$

**各項參數說明**：
1. $S_t$：齒輪彎曲強度，單位為 $\text{psi}$（課本有寫錯！）
2. $Y_N$：彎曲應力的壽命因子。
3. $K_T$：溫度因子。
4. $K_R$：可靠性因子。
5. $S_F$：AGMA 安全係數 (AGMA factor of safety)，是為一種應力比值。
:::

以下將個別計算各項參數（以小齒輪 pinion 為例，並在可靠度為 $R=0.99$ 的條件下進行計算。）：

1. **計算齒輪彎曲強度 $S_t$：**
   根據題目敘述（The materials are **4340 through-hardened grade 1 steels**），使用教科書 **圖14-2** 中之數學式：![image](https://hackmd.io/_uploads/rkNLc9wHye.png)
   
   則：
   
   $$
   \begin{align}
   S_t &= 77.3 H_B + 12800 \\
   \\ 
   &= 77.3(250) + 12800 = 32125 \, \text{psi}.
   \end{align}
   $$

2. **計算壽命因子 $Y_N$：**
   根據題目敘述（The life goal is about $3(10^9)$ pinion revolutions），使用教科書 **圖14-14** 中之數學式：![image](https://hackmd.io/_uploads/B1kpAqwBJe.png)
   
   則：
   
   $$
   \begin{align}
   Y_N &= 1.6831 N ^{-0.0323} \\
   \\
   & = 1.6831 \left(3 \times 10^9 \right)^{-0.0323} = 0.832
   \end{align}
   $$

3. **計算溫度因子 $K_T$：**
   根據教科書的建議，使用 $K_T = 1$ 即可。
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/ry58Rcwr1x.png =555x)

4. **計算可靠度因子 $K_R$：**
   根據 **表14-10**，在可靠度為 $R=0.99$ 時：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/HyLWpqvrkx.png =444x)

5. 最後，假設AGMA安全係數 $S_F = 1$ ，將各項求得參數代入，可得：
   $$
   \begin{align}
   \sigma_\text{all} &= \frac{S_t \, Y_N}{S_F \, K_T \, K_R} \\
   \\
   &= \frac{32125 \times 0.832}{1 \times 1 \times 1} = 26728 \, \text{psi} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$

緊接著，需要來評估輸出馬力。
:::info
**公式14–15，AGMA Stress Equations (英制部分)：**

$$
\sigma = W^t K_o K_v K_s \frac{P_d K_m K_B}{F J}
$$

**各項參數說明**：
1. $W^t$: 切向傳遞負載 (tangential transmitted load, lbf)。
1. $K_o$: 超載因子。
1. $K_v$: 動態因子。
1. $K_s$: 尺寸因子。
1. $P_d$: 齒輪徑節。
1. $F$: 齒輪面寬 (face width, in)。
1. $K_m$: 負載分布因子。
1. $K_B$: 輪緣厚度因子。
1. $J$: 彎曲強度的幾何因子 (geometry factor for bending strength, 包括根部應力集中因子 $K_f$)。
:::

為了評估馬力，需要將切向傳遞負載求出，再透過 **公式13-35** 進行英制馬力的計算。首先將 **公式14-15** 進行整理，可得：
$$
W_t = \frac{\sigma_{\text{all}} F J}{K_o K_v K_s P_d K_m K_B}
$$
其中，可容許的彎曲應力 $\sigma_{\text{all}}$、齒面寬 $F$、徑節 $P_d$ 均為已知參數。以下將個別計算各項未知參數（同樣以小齒輪 pinion 為例，並在可靠度為 $R=0.99$ 的條件下進行計算。）：

$\,$
1. **計算超載因子 $K_o$：**
   根據題目敘述（The load is **moderate shock** and the power is **smooth**），透過下表選擇 $K_o = 1.25$ 。
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/B1kyqjwSyx.png =455x)

2. **計算動態因子 $K_v$**
   根據 AGMA 的定義，動態因子 $K_v$ 的計算式如下（**公式14-27**）：
   $$
   K_v =\left(\frac{A + \sqrt{V}}{A}\right)^B
   $$
   
   公式中的參數 $A$ 和 $B$ 定義如下（**公式14-28**）：
   $$
   A = 50 + 56(1 - B), \quad
   B = 0.25(12 - Q_v)^{2/3}
   $$
   根據題目敘述（the **quality number** is **6**），可知 $Q_v = 6$，代入 **公式14-28** 計算 $B$ 和 $A$：
   $$
   \begin{align}
   B = 0.25(12 - 6)^{2/3} = 0.8255, \quad
   A = 50 + 56(1 - 0.8255) = 59.77
   \end{align}
   $$
   最後代入 **公式14-27** 計算 $K_v$（已知速度 $V = 1649 \, \text{ft/min}$）：
   $$
   K_v = \frac{59.77 + \sqrt{1649}}{59.77} = 1.534
   $$

3. **計算尺寸因子 $K_s$：**
   根據教科書的建議，選擇 $K_s = 1$ 。
![image](https://hackmd.io/_uploads/Hyb0AoDSJe.png =555x)

4. **負載分布因子 $K_m$：**
   根據 AGMA 的定義，負載分佈因子 $K_m$ 的公式如下（**公式14-30**）：
   $$
   K_m = C_{mf} = 1 + C_{mc} \left( C_{pf} C_{pm} + C_{ma} C_e \right)
   $$
   已知 $F = 3.25 \, \text{in}$、$d_p = 5.5 \, \text{in}$。後續將分別計算 $C_{mc}$、$C_{pf}$、$C_{pm}$、$C_{ma}$ 和 $C_e$，最後代入上述公式來得到 $K_m$ 。

   - 計算 $C_{mc}$（**公式14-31**）：
     假設齒輪為未經修整 (uncrowned teeth)，則 $C_{mc} = 1$

   - 計算 $C_{pf}$（**公式14-32**）：
     由於 $1 < F \leq 17$：
     $$
     \begin{align}
     C_{pf} &= \frac{F}{10d_p} - 0.0375 + 0.0125F \\
     \\
     &= \frac{3.25}{10(5.5)} - 0.0375 + 0.0125(3.25) = 0.0622
     \end{align}
     $$

   - 計算 $C_{pm}$（**公式14-33**）：
     ![image](https://hackmd.io/_uploads/rk3yN3vSJl.png =555x)
     根據已知的齒輪組合可知 $S_1/S < 0.175$，則 $C_{pm} = 1$
     
   - 計算 $C_{ma}$（**公式14-34** 搭配 **表14-9**）：
     題目敘述提及，今評估的系統是一個齒輪減速機，選用紅框處的參數。
     ![image](https://hackmd.io/_uploads/H1-cE2Prkg.png =555x)
     
     則：
     $$
     \begin{align}
     C_{ma} &= A + BF + CF^2 \\
     \\
     &= 0.127 + 0.0158(3.25) - 0.093(10^{-4})(3.25^2) = 0.178
     \end{align}
     $$

   - 計算 $C_e$（**公式14-35**）：
     我們不要再把問題複雜化了QQ，選擇$C_e = 1$

   - 最後，計算 $K_m$：
    將上述求得之各項 $C$ 值整理如下表：
     | 項目 | $C_{mc}$ | $C_{pf}$ | $C_{pm}$ | $C_{ma}$ | $C_e$ |
     |:----:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:-----:|
     | 結果 |    1     |  0.0622  |    1     |  0.178   |   1   |
     
     $$
     \begin{align}
     K_m = C_{mf} &= 1 + C_{mc} \left( C_{pf} C_{pm} + C_{ma} C_e \right) \\
     \\
     &= 1 + (1)\left[ \ 0.0622(1) + 0.178(1) \ \right] = 1.240
     \end{align}
     $$

5. **輪緣厚度因子 $K_B$：**
   以下為教科書之定義，我們直接假設 $K_B = 1$ 吧。
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/B1nY9hDSkg.png =555x)

6. **計算小齒輪在彎曲作用下之英制馬力 $H$：**
   將上述求得之所有參數代回 **公式14-15** 計算傳遞負載 $W_t'$ 後，再透過 **公式13-35** 即可求出馬力 $H$：
   $$
   W_t' = \frac{26\,728(3.25)(0.345)}{1.25(1.534)(1)(4)(1.240)(1)} = 3151 \, \text{lbf},
   \quad 
   H_1 = \frac{3151(1649)}{33000} = 157.5 \, \text{hp}
   $$

7. **大齒輪（Gear）你們自己算一次看看：**
   根據類似的推導過程，計算結果為：
   $$
   W_t' = 3861 \, \text{lbf}, \quad H_2 = 192.9 \, \text{hp}
   $$

$\,$
#### Step 3. 小齒輪與大齒輪在受磨耗（Wear）影響時的馬力評估

:::info
**公式14-18**，容許接觸強度公式：
$$
\sigma_{c,\text{all}} = \frac{S_c Z_N C_H}{S_H K_T K_R}
$$

**各項參數說明**：
1. $S_c$: 齒輪接觸強度。
1. $Z_N$: 應力循環因子。
1. $C_H$: 硬度比因子。
1. $K_T$: 溫度因子。
1. $K_R$: 可靠性因子。
1. $S_H$: AGMA 安全係數。
:::

在前面的步驟中，我們已經把 $K_T$、$K_R$、$S_H$ 求出來了，以下將計算剩餘的未知參數（同樣先以小齒輪 pinion 為例，並在可靠度為 $R=0.99$ 的條件下進行計算。）：

1. **計算齒輪接觸強度 $S_c$：**
   根據題目敘述（The materials are **4340 through-hardened grade 1 steels**），使用教科書 **圖14-5** 中之數學式：![image](https://hackmd.io/_uploads/H14zfy_Skx.png)
   
   則：
   
   $$
   \begin{align}
   S_c &= 322 H_B + 29100 \\
   \\ 
   &= 322(250) + 29100 = 109600 \, \text{psi}
   \end{align}
   $$

2. **計算應力循環因子 $Z_N$：**
   根據題目敘述（The life goal is about $3(10^9)$ pinion revolutions），使用教科書 **圖14-15** 中之數學式：![image](https://hackmd.io/_uploads/BJ0cmkdr1e.png)
   
   則：
   
   $$
   \begin{align}
   Z_N &= 2.466 N ^{-0.056} \\
   \\
   & = 2.466 \left(3 \times 10^9 \right)^{-0.056} = 0.727
   \end{align}
   $$

3. **計算硬度比因子 $C_H$：**
   根據教科書的敘述，此參數僅適用於大齒輪（Gear）的計算，在小齒輪的情況下 $C_H = 1$，大齒輪的計算則須參考 **公式14-36** （節錄給各位做參考）。
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/SJClS1uryx.png =577x)

4. 最後，將所有已知參數代入求的容許接觸強度 $\sigma_{\text{c, all}}$ 為：
   $$
   \begin{align}
   \sigma_{\text{c, all}} &= \frac{S_c Z_N C_H}{S_H K_T K_R} \\
   \\
   &= \frac{109600 \times 0.727 \times 1}{1 \times 1 \times 1} = 79679 \, \text{psi} \quad \text{ Ans.}
   \end{align}
   $$

$\,$
同樣的，將評估磨耗狀態下的馬力。
:::info
**公式14-16**，容許接觸應力公式：
$$
\sigma_c = C_p \sqrt{\frac{W^t K_o K_v K_s K_m C_f}{d_p F I}}
$$

**各項參數說明**：
1. $C_p$: 彈性係數（elastic coefficient，單位為 $\sqrt{\text{lbf}}$ ）
1. $W^t$: 切向傳遞負載 (tangential transmitted load, lbf)
1. $K_o$: 超載因子。
1. $K_v$: 動態因子。
1. $K_s$: 尺寸因子。
1. $K_m$: 負載分佈因子。
1. $C_f$: 表面狀況因子。
1. $d_p$: 小齒輪節圓直徑。
1. $F$: 齒倫面寬。
1. $I$: 幾何因子 (geometry factor for pitting resistance)。

:::

首先將上述公式進行整理，目的是為了找切向傳遞負載 $W_t'$，整理後可得：
$$
W_t' = \left(\frac{\sigma_{\text{c, all}}}{C_p}\right)^2 \frac{F d_P I}{K_o K_v K_s K_m C_f}
$$
以下將個別計算未知的參數：
1. **計算彈性係數$C_p$：**
   透過查 **表14-8**，可得到 $C_p = 2300 \, \sqrt{\text{lbf}}$
   ![Screenshot_20241224_155744](https://hackmd.io/_uploads/HJfb5yOSkg.png =555x)
   （註：這邊的彈性係數是 AGMA 自己定義出來的，跟彈性模數是不一樣的東西，請注意。）

2. **計算表面狀況因子 $C_f$：**
   AGMA 建議此值要至少大於一，則令 $C_f = 1$
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/HJ8uo1_B1e.png)

3. **計算幾何因子 $I$：**
   透過 **公式14-22** 與 **公式14-23** 進行計算：
   計算齒輪速比（**公式14-22**）：
   $$
   m_G = \frac{N_G}{N_p} = \frac{60}{22} = 2.727
   $$
   計算幾何因子 $I$ （**公式14-23**）：
   $$
   \begin{align}
   I &= \frac{\cos \phi_t \sin \phi_t}{2 m_N} \frac{m_G}{m_G + 1} \\
   \\
   &= \frac{\cos 20^\circ \sin 20^\circ}{2} \left(\frac{2.727}{1 + 2.727}\right) = 0.1176
   \end{align}
   $$
   根據教科書的敘述，上述公式之 $m_N = 1$，因為此輪系是為直齒輪：
   ![image](https://hackmd.io/_uploads/Sy-n6JOBJx.png)

4. **計算小齒輪在磨耗作用下之英制馬力 $H$：**
   將上述求得之所有參數代回 **公式14-16** 計算傳遞負載 $W_t'$ 後，再透過 **公式13-35** 即可求出馬力 $H$：
   $$
   W_t' = \left(\frac{79679}{2300}\right)^2 \frac{3.25(5.5)(0.1176)}{1.25(1.534)(1)(1.24)(1)} = 1061 \, \text{lbf},
   \quad 
   H_3 = \frac{1061(1649)}{33000} = 53.0 \, \text{hp}
   $$

5. **大齒輪（Gear）你們自己算一次看看：**
   根據類似的推導過程，計算結果為：
   $$
   W_t' = 1182 \, \text{lbf}, \quad H_4 = 59.0 \, \text{hp}
   $$

$\,$
#### Step 5. 計算該齒輪系統之額定馬力
將計算所得之馬力整理如下表：

| 項目 | 小齒輪彎曲 $H_1$ | 大齒輪彎曲 $H_2$ | 小齒輪磨耗 $H_3$ | 大齒輪彎曲 $H_4$ |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| 馬力上限（$\text{hp}$） | $157.5$ | $192.9$ | $53$ | $59$ |

取其中的最小值作為額定馬力，得：
$$
\begin{align}
H_\text{rated} &= \min \big[ \ H_1, \, H_2, \, H_3, \, H_4 \ \big] \\
\\
&= \min \big[ \ 157.5, \, 192.9, \, 53, \, 59 \ \big] = 53 \, \text{hp} \quad \text{ Ans.}
\end{align}
$$

$\,$
### 最終結果
- 綜合上述的分析，此系統之額定馬力為 $H_\text{rated} = 53 \, \text{hp}$ 。
- ==**被我標注藍色框框的公式很重要，計算流程請一定要熟練。**==

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    Problem 14-28 我就不整理了，大家期末考加油！