> Полезные ссылки:
> [Конспект от старшаков](https://drive.google.com/file/d/1xG1v26PEK0vql00IMTtKeVwnT7Mn-4My/view?usp=sharing)
> [Конспект Ромы](https://drive.google.com/drive/folders/1UOUfROfF3RmXcvu2G6iLjfeLsWS1mLI_)
> [Какой-то конспект Битюкова](https://drive.google.com/file/d/1ItPZt9Jpjds8uCFflx-j4oAkkawOP844/view?usp=drive_link)
> [хз чей конспект](https://drive.google.com/drive/folders/1PmGZnOjbKMzQZidEaffXtARUY_GGKf_I?usp=sharing)

# 1. Кратный интеграл Римана на n-мерном промежутке. Необходимое условие интегрируемости.
## Определение кратного интеграла Римана

**Определение.** Пусть $f:I^n \to \mathbb R$. Число $J$ называется интегралом Римана от $f$ по $I^n$, если
$$\forall\varepsilon>0,\exists\delta_{\varepsilon} >0: \forall(P,\xi), \lambda(P) \lt \delta_{\varepsilon} \to |\sigma(f,P,\xi)-J| < \varepsilon$$

<span style="color:#5aa9e6;">**Определение.**</span> Если $P = \{I^n_j\}^M_{j=1}$ - разбиение $I^n$, то $\lambda(P)$ = $\max d_j$ (где $d_j = \sup\limits_{x', x'' \in I^n_j}\rho(x', x'')$ -- диаметр $I^n_j$) называется мелкостью разбиения $P$.

**Обозначения.**
- $\int_{G} f(x)dx$
- $\int_{...}\iiint_{G} f(x_{1,...,}x_{n})dx_{1...}dx_{n}$
- *для двойного интеграла:*
$\iint f(x, y) \,dx\,dy$
- *для тройного интеграла:*
$\iiint f(x, y, z) \,dx\,dy\,dz$

## Необходимое условие интегрируемости
**Теорема. (необходимое условие интегрируемости).**
Если $f:I^n\to \mathbb R: f \in R(I^n)$, то $f$ ограничена на $I^n$.
**Доказательство.**
Пусть $f:I^n\to \mathbb R$ не является ограниченной на $I^n \Rightarrow$
$$
\forall P = \{I^n_j\}^k_{j=1}, \exists j^*:f \text{ не огр. на } I^n_{j^*} \Rightarrow \forall m \in N, \exists \xi^{(m)}_{j^*} \in I^n_{j^*}: |f(\xi^{(m)}_{j^*})| \geq m \Rightarrow \lim_{m\to \infty} f(\xi^{(m)}_{j^*}) = \infty.
$$

Зафиксируем точки $\xi_j \in I_j, j \neq j^*$. Тогда при $m\to \infty$:
$$
\sigma(f,P,\xi) = \sum^k_{j=1, j\ne j^*} f(\xi_j)\mu(I^n_j) + f(\xi^{(m)}_{j^*}) \mu(I^n_{j^*}) \to \infty
$$

Однако этого не может быть, если $f$ интегрируема например, для
$$
\begin{align}
\varepsilon=1,\exists\delta_{\varepsilon} >0: \forall(P,\xi), \lambda(P) \lt \delta_{\varepsilon} &\to |\sigma(f,P,\xi)-J| < 1 \text{, где } J=\int\limits_{I^n} f(x)dx \\
|\sigma(f,P,\xi)| \leq |J| + |\sigma&(f,P,\xi) - J| \lt |J|+1 = const\ \blacksquare.
\end{align}
$$

# 2. Множества лебеговой меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
## Множества лебеговой меры нуль
**Определение.**
Множество $E \subset \mathbb R^{n}$ называется множеством меры нуль, если для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое покрытие множества $E$ n-мерными промежутками $\{I^n_j\}^{+\infty}_{j=1}$ (конечное или счетное): $\sum\limits_{j}\mu(I_{j}^n) \leq \varepsilon$.

## Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману
**Теорема (критерий Лебега).**
Пусть функция $f:I^n \to \mathbb R$ ограничена и $X \subset \mathbb R^n$ множество точек разрыва функции $f$. Тогда $f$ интегрируема на $I^n \Leftrightarrow X$ -- множество меры нуль.

# 3. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции. Интеграл по множеству. Мера Жорданова множества.

### Необходимая теория:

**Определение:**

Суммы $s(f, \tau) = \sum\limits^{k}_{j=0} m_j \mu(I_j)$, $S(f, \tau) = \sum\limits^{k}_{j=0} M_j \mu(I_j)$ называются интегральными суммами Дарбу функции $f$, соответствующих разбиению $\tau$, $m_j = \inf\limits_{x \in I_j}f(x), M_j = \sup\limits_{x \in I_j}f(x)$.

**Лемма** (свойства суммы Дарбу)

1. $s(f, \tau) \leq \sigma(f, \tau, \xi) \leq S(f, \tau)$
2. $s(f, \tau) = {inf}_{\xi} \sigma(f, \tau, \xi)$,

$S(f, \tau) = {sup}_{\xi} \sigma(f, \tau, \xi)$.

**Доказательство:**

1. Для $\forall j$:
$$
\begin{align}
m_j = \inf\limits_{x \in I_j}f(x) \leq f&(\xi_j) \leq \sup\limits_{x \in I_j}f(x) = M_j \Rightarrow \\
\Rightarrow m_j \mu(I_j) \leq f(\xi_j)& \mu(I_j) \leq M_j \mu(I_j) \Rightarrow \\
\Rightarrow s(f, \tau) \leq \sigma(f, &\tau, \xi) \leq S(f, \tau).
\end{align}
$$

2. Т.к. $m_j = \inf\limits_{x \in I_j}f(x) \Rightarrow$ для $\forall \varepsilon > 0:\ \exists \xi_j \subset I_j:$
$$
\begin{align}
f(\xi_j) &\lt m_j + {\varepsilon \over \mu(I_J)} \Rightarrow \\
\Rightarrow\sigma(f, \tau, \xi) = \sum^k_{j=0}f(\xi_j)\mu(I_j) &\lt \sum^k_{j=0}(m_j + {\varepsilon \over \mu(I_J)}) \mu(I_j) = s(f, \tau) + \varepsilon.
\end{align}
$$

Итак, $\forall \xi$, $s(f, \tau) \leq \sigma(f, \tau, \xi)$ и $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \xi = (\xi_0, ..., \xi_k):$

$$s(f, \tau) + \varepsilon > \sigma(f, \tau, \xi) \Rightarrow s(f, \tau) = {inf}_{\xi}\sigma(f, \tau, \xi).$$

Аналогично $S(f, \tau) = \sup\limits_{\xi}\sigma(f, \tau, \xi).$

## Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции.

**Формулировка:**

$f(x) \in R(I) \Leftrightarrow$ $f$ ограничена на $I$, $\exists J_*= J^*$.

**Доказательство:**

Пусть $f \in R(I) \Rightarrow$ по необходимому условию интегрируемости, $f$ ограничена на $I$. По определению, если $J = \int\limits_I f(x)dx$, то $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_\varepsilon > 0:\forall \tau, |\tau| < \delta_\varepsilon$ и $\forall \xi$:

$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
|J - \sigma(f, \tau, \xi)| < \varepsilon \\
J - \varepsilon < \sigma(f, \tau, \xi) < J + \varepsilon.
\end{gathered}
\end{equation}
$$

Т.к. $s(f, \tau) = \inf\limits_\xi \sigma(f, \tau, \xi)$, то $\exists \xi^*$:
$$
s(f, \tau) + \varepsilon > \sigma(f, \tau, \xi^*) \Rightarrow s(f, \tau) > \sigma(f, \tau, \xi^*) - \varepsilon
$$

Тогда
$$J - 2\varepsilon < \sigma(f, \tau, \xi^*) - \varepsilon < s(f, \tau) \leq \sigma(f, \tau, \xi^*) < J + \varepsilon < J + 2\varepsilon$$

Итого имеем
$$|s(f, \tau) - J| < 2\varepsilon \Rightarrow \exists \lim_{|\tau| \rightarrow 0}s(f, \tau) = J.$$

Аналогично $\exists \lim\limits_{|\tau| \rightarrow 0}S(f, \tau) = J$, следовательно $J_* = J, J^* = J \Rightarrow J_* = J^*$.

**Обратно:** Пусть $f$ ограничена на $I$, $\exists J_*, J^*: J_* = J^*$.

Тогда по теореме о двух копах из того, что $s(f, \tau) \leq \sigma(f, \tau, \xi) \leq S(f, \tau)$, следует:
$$\exists J = \lim_{|\tau| \rightarrow 0}\sigma(f, \tau, \xi) \Rightarrow f \in R(I).$$

## Мера Жордана множества

**Определение:** Ограниченное множество $E$, граница которого $\partial E$ это множество меры нуль, называется измеримым по Жордану. Число $\mu(E) = \int_Edx$ называется мерой Жордана множества $E$. $E \subset I \Rightarrow \int_Edx = \int_I\chi_E(x)dx$ - существует, т.к. точки разрыва $\chi_E(x)$ - это точки $\partial E$.

### Множество меры нуль
**Определение:**

Множество $X \subset \mathbf{R}^n$ называется множеством меры нуль, если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \{I_j\}_{j \in \mathbf{N}}$ - семейство $n$-мерных промежутков, в которых выполняются следующие условия:

1. $$X \subset \cup^k_{j=0}I_j$$
2. $$\sum^k_{j=0}\mu(I_j) < \varepsilon$$

Короче, если предел суммы мер n-мерных брусов по произвольному семейству этих брусов, покрывающему множество $X$, стремится к нулю, то множество $X$ называют множеством меры нуль.

**Определение:**

1. Точка $x$ называется внутренней точкой множества $E$, если $\exists U_\delta(x) \subset E$
2. $\mathrm{Int} E$ - внутренность множества $E$ - множество всех внутренних точек множества $E$.
3. $\partial E = \overline{E} \setminus \mathrm{Int}E$ - граница множества $E$.

## Интеграл по множеству

Пусть $E \subset I$, $I$ - элементарное множество ($n$-мерный брус).

**Определение:**

Характеристической функцией множества $E$ называется функция:

$$\chi_E(x) = \begin{cases}
1, x \in E \\
0, x \notin E \\
\end{cases}$$

**Определение:**

Пусть $f: E \rightarrow \mathbf{R}$. Если $\exists \int_I f(x)\chi_E(x)dx$, то он называется интегралом Римана функции $f$ по множеству $E$ и обозначается: $\int_E f(x)dx$, $R(E)$ - множество функций, интегрируемых по Риману на множестве $E$.

# 4. Общие свойства интеграла.
- **Теорема.** $R(E)$ - линейное пространство (относительно сложения функции и умножения на число).
**Доказательство.** $f_1,f_2 \in R(E) \to f_1+f_2 \in R(E)$, т.к. множество точек разрыва функции $f_1+f_2$ содержится в объединении множеств точек разрыва функций $f_1$ и $f_2 \to$ следовательно, оно множество меры нуль $\to f_1+f_2 \in R(E).\blacksquare$

- <span style="color:#5aa9e6;">**Теорема.**</span> Если $f \in R(E)$ и $\mu(\{x \in E: f(x) \ne 0\}) = 0$, то $\int_{E} f(x)dx = 0$.
**Доказательство.** Поскольку последнее неравенство $(\exists x: f(x) \ne 0)$ в определении кратного интеграла должно выполняться при любом выборе точек $\xi_{i}$, то выбирая их так, чтобы $f(\xi{i})=0$, мы приходим к выводу, что $\int_{E} f(x)dx = 0.$ $\blacksquare$

>**Доказательство (альт.).** Пусть $E \subset I^n$. $\int_Ef(x)dx=\int_{I^n}f(x)\chi_E(x)xdx=$
$lim_{\lambda(P)\to 0} \sum^M_{i=1}f(\xi)M(I^n_j) \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0, \exists\delta_\varepsilon > 0: \forall P=\{I^n_j\}^M_{j=1}, \lambda(P) \lt \delta_\varepsilon \to |\sigma(f,P,\xi)- J| < \varepsilon$
при любом выборе точек $\xi_j \in I^M_j$
Но $\mu\{x:f(x) \ne 0\}=0 \to \forall I^n_j, \exists\xi_j\in I^n_j:f(\xi_j)=0 \to$
$\to \sigma(f,P,\xi)=0 \to |0 - J|<\varepsilon \to J=0$ $\blacksquare$

<span style="color:#5aa9e6;">**Следствие.**</span> Если $f,g \in R(E)$ и $\mu(\{x\in E:f(x) \ne g(x)\}) = 0$, то $\int_{E} f(x)dx = \int_{E} g(x)dx$.
<span style="color:#5aa9e6;">**Следствие.**</span> Если $\mu(E) = 0$, то $\int_{E} f(x)dx = 0$.

- **Теорема.** Пусть множества $E_{1}, E_{2}$, измеримы по Жордану, а функция $f$ интегрируема на $E_{1}, E_{2}$. Тогда существует $\int_{E_{1}\cup E_{2}}f(x)dx$. Если к тому же $\mu(E_{1}\cap E_{2}) = 0$, то
$$\int\limits_{E_{1}\cup E_{2}} f(x)dx = \int\limits_{E_{1}} f(x)dx + \int\limits_{E_{2}} f(x)dx$$
**Доказательство.** Пусть $E_{1} \cup E_{2} \subset I$ . Так как объединение точек разрыва множеств $E_1$ и $E_2$ есть множество меры нуль, то по критерию Лебега, интеграл $\int_{E_{1}\cup E_{2}} f(x)dx$ существует. Далее, из очевидного равенства $\chi_{E_{1}\cup E_{2}} = \chi_{E_{1}} + \chi_{E_{2}} - \chi_{E_{1}\cap E_{2}}$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
\int\limits_{E_{1}\cup E_{2}} f(x)dx = \int\limits_{I} f(x) \chi_{E_{1}}(x)dx + \int\limits_{I}f(x)\chi_{E_{2}}(x)dx - \int\limits_{I} f(x) \chi_{E_{1}\cap E_{2}}(x)dx = \\
= \int\limits_{I} f(x) \chi_{E_{1}}(x)dx + \int\limits_{I}f(x)\chi_{E_{2}}(x)dx = \int\limits_{E_{1}}f(x)dx + \int\limits_{E_{2}}f(x)dx \blacksquare
\end{gathered}
\end{equation}
$$

> Взял доказательство у Битюка, и чуть-чуть подправил, там у него помарки))))

- **Теорема.** Если $f \in R(E)$, то $|f| \in R(E)$ и $|\int_{E}f(x)dx| \leq \int_{E}|f(x)|dx$.
**Доказательство.** По критерию Лебега, получаем $|f| \in R(E)$. Поскольку имеет место неравенство
$$|\sum_{i}f(\varepsilon_{i})\mu(I_{i})| \leq \sum_{i}|f(\varepsilon_{i})|\mu(I_{i}),$$
то ясно, что $|\int_{E} f(x)dx| \leq \int_{E}|f(x)|dx \blacksquare$

- <span style="color:#FF6392;">**Теорема.**</span> Если $f \in R(E)$ и $f(x) \geq 0$ на $E$, то $\int_{E}f(x)dx\geq 0$.
**Доказательство.** Пусть $E\subset I$. Тогда, по определению интеграла
$$\int\limits_{E}f(x)dx = \int\limits_{I}f(x)\chi_{E}(x)dx = \lim_{\lambda(P)\to0}\sum_{i}f(\varepsilon_{i})\mu(I_{i})\geq 0,$$
поскольку все слагаемые в интегральной сумме неотрицательны. $\blacksquare$
\
**Следствия.**
<span style="color:#FF6392;">**Следствие.**</span> Если $f,g\in R(E)$ и $f(x) \leq g(x)$ на $E$, то $\int\limits_{E}f(x)dx \leq \int\limits_{E}g(x)dx.$
<span style="color:#FF6392;">**Следствие.**</span> Если $f \in R(E)$ и $m \leq f(x) \leq M$ на $E$, то
$$m\mu(E) \leq \int\limits_{E} f(x)dx \leq M\mu(E).$$
<span style="color:#FF6392;">**Следствие.**</span> Если $f\in R(E)$ и $m = \inf\limits_{E}f$, $M = \sup\limits_{E} f$, то существует число $\theta \in [m;M]$
такое, что $\int_{E}f(x)dx = \theta*\mu(E).$
<span style="color:#FF6392;">**Следствие.**</span> Если $E$ ограниченное, замкнутое, линейно связное множество, а $f$ непрерывна на $E$, то существует точка $\zeta \in E$ такая, что имеет место равенство
$$\int\limits_{E}f(x)dx = f(\zeta)\mu(E)$$

# 5. Сведение кратного интеграла к повторному (теорема Фубини).

## Теорема Фубини

**Некоторые локальные определения перед формулировкой:**

Пусть $A \subset \mathbb{R}^n$, $B \subset \mathbb{R}^m$ - некоторые промежутки. $f: A \times B \rightarrow \mathbb{R}$.

- Для $\forall x \in A$ рассмотрим функцию $g_x: B \rightarrow \mathbb{R}, g_x(y) = f(x, y)$
- Для $\forall y \in B$ рассмотрим функцию$\ g_y: A \rightarrow \mathbb{R}, g_y(x) = f(x, y)$.

Пусть $\tau_B = \{I_B\}$ - разбиение $B$, $\tau_A = \{I_A\}$ - разбиение $A$,

$$
\begin{align}
J_*(x) &= \lim_{|\tau_B| \rightarrow 0} s(g_x, \tau_B) \\
J^*(x) &= \lim_{|\tau_B| \rightarrow 0} S(g_x, \tau_B) \\
J_*(y) &= \lim_{|\tau_A| \rightarrow 0} s(g_y, \tau_A) \\
J^*(y) &= \lim_{|\tau_A| \rightarrow 0} S(g_y, \tau_A)
\end{align}
$$

**Формулировка:**

Если $f \in R(A \times B)$, то
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
J_*(x), J^*(x) \in R(A) \\ J_*(y), J^*(y) \in R(B) \\
\int\limits_{A \times B} f(x, y) dx dy = \int\limits_A J_*(x)dx = \int\limits_A J^*(x)dx = \int\limits_B J_*(y)dy = \int\limits_B J^*(y)dy.
\end{gathered}
\end{equation}
$$

**Доказательство:**

Пусть $\tau_A = \{I_A\}$ - разбиение $A$, $\tau_B = \{I_B\}$ - разбиение $B$ $\Rightarrow$ $\tau_{A \times B} = \{I_A \times I_B\}_{I_A \in \tau_A, I_B \in \tau_B}$,

$s(f, \tau_{A \times B}) = \sum_{I_A \in \tau_A, I_B \in \tau_B} m_{I_A \times I_B}(f) \mu(I_A \times I_B)$, где $m_{I_A \times I_B}(f) = \inf_{(x, y) \in I_A \times I_B}f(x, y),$

$$\Rightarrow s(f, \tau_{A \times B}) = \sum_{I_A \in \tau_A}(\sum_{I_B \in \tau_B}m_{I_A \times I_B}(f)\mu(I_B))\mu(I_A).$$

(Т.к. $\mu(I_A \times I_B) = \mu(I_A) \mu(I_B)$)

Рассмотрим $\sum_{I_B \in \tau_B}m_{I_A \times I_B}(f)\mu(I_B)$:

$$\sum_{I_B \in \tau_B}m_{I_A \times I_B}(f)\mu(I_B) \leq \sum_{I_B \in \tau_B}m_{I_A \times I_B}(g_x)\mu(I_B) = s(g_x, \tau_B), \forall x \in I_A,$$

Пояснение: $m_{I_A \times I_B}(f) = \inf_{(x, y) \in I_A \times I_B}f(x, y)$, $m_{I_A \times I_B}(g_x) = \inf_{(x, y) \in I_A \times I_B}g_x(y)$, а $\{g_x(y) | \forall (x, y) \in I_A \times I_B\} \subset \{f(x, y) | \forall (x, y) \in I_A \times I_B\}$ и $\forall X \subset Y \inf Y \leq \inf Y$.

Но $s(g_x, \tau_B) \leq J_*(x), \forall x \in I_A \Rightarrow$
$$\sum_{I_B \in \tau_B}m_{I_A \times I_B}(f) \mu(I_B) \leq J_*(x), \forall x \in I_A \Rightarrow$$
$$\sum_{I_B \in \tau_B} m_{I_A \times I_B}(f) \mu(I_B) \leq \inf_{x \in I_A}J_*(x) \Rightarrow$$
$$s(f, \tau_{I_A \times I_B}) = \sum_{I_A \in \tau_A}(\sum_{I_B \in \tau_B}m_{I_A \times I_B}(f) \mu(I_B))\mu(I_A) \leq \sum_{I_A \in \tau_A}\inf_{x \in I_A}J_*(x) \mu(I_A) = s(J_*(x), \tau_A).$$

Аналогично, $S(J_*(x), \tau_A) \leq S(f, \tau_{A \times B})$.

По теореме о ~~двух копах~~ промежуточном значении при устремлении $|\tau_A| \rightarrow 0$, т.к.

$$s(f, \tau_{A \times B}) \leq s(J_*(x), \tau_A) \leq S(J_*(x), \tau_A) \leq S(f, \tau_{A \times B}),$$

И левое и правое выражения стремятся к $\int_{A \times B}f(x,y)dxdy$, следовательно $s(J_*(x), \tau_A)$ и $S(J_*(x), \tau_A)$ стремятся к тому же.

Следовательно, по критерию Дарбу, $J_*(x) \in R(A)$ и $\int_{A}J_*(x)dx = \int_{A \times B}f(x,y)dxdy$.

Аналогично для $J^*(x), J_*(y), J^*(y)$.

## Сведение кратного интеграла к повторному

Пусть $g_x \in R(B)$, $\forall x \in A \Rightarrow \int_B g_x(y)dy = J_*(x) = J^*(x) \Rightarrow$

$$\int\limits_{A \times B} f(x, y) dx dy = \int\limits_A J^*(x)dx = \int\limits_A \Big(\int\limits_B g_x(y)dy\Big) dx = \int\limits_A \Big(\int\limits_B f(x, y) dy\Big) dx = \int\limits_A dx \int\limits_B f(x, y) dy.
$$

Аналогично $g_y \in R(A)$, $\forall y \in B \Rightarrow$

$$\int_{A \times B} f(x, y) dx dy = \int_B dy \int_A f(x, y) dx.$$

# 6.Замена переменной в кратном интеграле

## Теорема о замене переменной

**Формулировка:**

Пусть $\phi(x_1, \dots, x_n) = (\phi_1(x_1, \dots, x_n), \dots, \phi_n(x_1, \dots, x_n))$. $\phi: U \rightarrow G, U, G \subset \mathbb{R}^n$ и можно указать множества $A_U \subset U$, $A_G \subset G$ меры нуль такие, что $U \setminus A_U$, $G \setminus A_G$ открыты, а $\phi:U \setminus A_U \rightarrow G \setminus A_G$ - диффеоморфизм с ограниченным якобианом $J(\phi)$.

Тогда для $\forall f \in R(G \setminus A_G)$ функция $(f \circ \phi) J(\phi) \in R(U \setminus A_U)$.

$$\int_{G \setminus A_G}f(y_1, \dots, y_n)dy_1 \dots dy_n = \int_{U \setminus A_U}(f \circ \phi) J(\phi) (x_1, \dots, x_n) dx_1 \dots dx_n$$

## Полярные координаты

Пусть $\phi(x, y) = (a \rho \cos \psi, b \rho \sin \psi)$, т.е.

$$
\begin{cases}
x = a \rho \cos \psi, \\
y = b \rho \sin \psi, \\
\end{cases} a, b \in \mathbb{R}
$$

Якобиан отображения $$J(\phi) =
\begin{vmatrix}
a \cos \psi & -a \rho \sin \psi \\
b \sin \psi & b \rho \cos \psi
\end{vmatrix} = ab \rho \cos^2 \psi + ab \rho \sin^2 \psi = ab \rho.
$$

Тогда

$$\iint_Ef(x,y)dxdy = \iint_G ab\rho f(\rho, \psi)d\rho d\psi.$$

## Сферические координаты

Пусть $\phi(x, y, z) = (a \rho \cos \theta \cos \psi, b \rho \cos \theta \sin \psi, c \rho \sin \theta)$, т.е.

$$
\begin{cases}
x = a \rho \cos \theta \cos \psi, \\
y = b \rho \cos \theta \sin \psi, \\
z = c \rho \sin \theta
\end{cases} a, b, c \in \mathbb{R}
$$

Якобиан отображения $$J(\phi) =
\begin{vmatrix}
a \cos \theta \cos \psi & -a \rho \sin \theta \cos \psi & -a \rho \cos \theta \sin \psi \\
b \cos \theta \sin \psi & -b \rho \sin \theta \sin \psi & b \rho \cos \theta \cos \psi \\
c \sin \theta & c \rho \cos \theta & 0
\end{vmatrix} = abs \rho^2 \cos \theta.
$$

Тогда

$$\iint_Ef(x,y, z)dxdydz = \iint_G abc\rho^2 \cos \theta f(\rho, \theta, \psi)d\rho d\theta d\psi.$$

# 7. Векторные функции скалярного аргумента. Операции анализа над векторными функциями. Кривая. Основные понятия, связанные с кривой. Гладкие кривые. Натуральная параметризация. Касательная к кривой. Длина кривой.

**Определение.** Пусть $T \subset \mathbb R$. Если $\forall t \in T$ поставлен в соответствие вектор $\bar{a}(t)$, то на T задана **вектор-функция**

**Определение.** Пусть $t_{0}$ - предельная точка T. Вектор $\bar{A}$ называется **пределом вектор-функции** $\bar{a}(t)$ при $t \to t_{0}$ по T, если $$\lim_{t\to t_{0}, t\in T} |\bar{a}(t) - \bar{A}| = 0$$

**Определение.** Вектор $\bar{A}$ называется **производной вектор-функции** $\bar{a}(t)$, определенной на $U_{\Delta}(t_{0})$ в точке $t_{0}$, если $\bar{A} = \lim\limits_{\Delta t\to 0} \dfrac {\bar{a}(t_0+\Delta t) - \bar{a}(t_{0})}{\Delta t}$

**Определение. Вектор-функция $\bar{a}(t)$**, определенная на $(t_{0} - \delta, t_{0} + \delta)$ или $(t_{0} - \delta, t_{0}]$, или $[t_{0}, t_{0} + \delta)$ **называется непрерывной в $t_{0}$**, если $$\lim_{t \to t_{0}} \bar{a}(t) = \bar{a}(t_{0})$$

**Теорема 1.** Если $\exists \lim\limits_{t \to t_{0}, t \in T} \bar{a}(t) = \bar A$, то $$\exists \lim_{t\to t_{0}, t\in T} |\bar{a}(t)| = |\bar{A}|$$

**Доказательство.** $0 \leq \big||\bar{A}| - |\bar{a}(t)|\big| \leq |\bar{A} - \bar{a}(t)|$;
При $t\to t_0, |\bar{A} - \bar{a}(t)| \to 0, 0 \to 0$ Следовательно, по теореме о двух копах $\lim\limits_{t\to t_{0}} |\bar{a}(t)| = |\bar{A}|$

**Теорема 2.** Если $\bar{A} = \lim\limits_{t\to t_{0}} \bar{a}(t), \bar{B} = \lim\limits_{t\to t_{0}} \bar{b}(t)$, то $\exists \lim\limits_{t\to t_{0}} (\bar{a}(t) + \bar{b}(t)) = \bar{A} + \bar{B}$

**Доказательство.** $0 \leq |\bar{a}(t) + \bar{b}(t) - \bar{A} - \bar{B}| = |(\bar{a}(t) - \bar{A}) + (\bar{b}(t) - \bar{B})| \leq |\bar{a}(t) - \bar{A}| + |\bar{b}(t) - \bar{B}| \to 0,\ t \to t_{0}$

**Теорема 3.** Если $\bar{A} = \lim\limits_{t\to t_{0}} \bar{a}(t), \bar{B} = \lim\limits_{t\to t_{0}} \bar{b}(t)$, то $\Rightarrow \lim\limits_{t\to t_{0}} (\bar{a}(t), \bar{b}(t)) = (\bar{A}, \bar{B})$

**Доказательство.**

$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
0 \leq |(\bar{a}(t), \bar{b}(t)) - (\bar{A}, \bar{B})| = |(\bar{a}(t) - \bar{A}, \bar{b}(t)) + (\bar{A}, \bar{b}(t) - \bar{B})| \leq \\
\leq |\bar{a}(t) - \bar{A}||\bar{b}(t)| + |\bar{A}||\bar{b}(t) - \bar{B}| \Rightarrow \lim_{t \to t_{0}} (\bar{a}(t), \bar{b}(t))= (\bar{A}, \bar{B})
\end{gathered}
\end{equation}
$$

**Теорема 4.** Если $\bar{A} = \lim\limits_{t\to t_{0}} \bar{a}(t), \bar{B} = \lim\limits_{t\to t_{0}} \bar{b}(t)$, то $\Rightarrow \lim\limits_{t\to t_{0}} [\bar{a}(t), \bar{b}(t)] = [\bar{A}, \bar{B}]$

**Теорема 5.** Если $\bar{a}(t), \bar{b}(t)$ непрерывны в $t_{0}$ и $\exists\ \bar{a}'(t), \bar{b}'(t)$, то $\frac {d}{dt} (\bar{a}(t), \bar{b}(t)) = (\bar{a}'(t_{0}), \bar{b}(t_{0})) + (\bar{a}(t_{0}),\bar{b}'(t_{0}))$

**Доказательство.** Пусть $f(t) = (\bar{a}(t), \bar{b}(t))$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
f'(t) = \lim_{t \to t_{0}} \frac {f(t) - f(t_{0})}{t - t_{0}} = \lim_{t \to t_{0}} \frac {1}{t - t_{0}} \Big[(\bar{a}(t), \bar{b}(t)) - (\bar{a}(t_{0}), \bar{b}(t_{0}))\Big] = \\
= \lim_{t \to t_{0}} \frac {1}{t - t_{0}} \Big[(\bar{a}(t) -\bar{a}(t_{0}), \bar{b}(t)) + (\bar{a}(t_{0}), \bar{b}(t)) - (\bar{a}(t_{0}), \bar{b}(t_{0}))\Big] = \\
= \lim_{t \to t_{0}} \Big[(\frac {\bar{a}(t) -\bar{a}(t_{0})}{t - t_{0}} \bar{b}(t)) + \bar{a}(t_{0}) \frac { \bar{b}(t) -\bar{b}(t_{0})}{t - t_{0}}\Big] = \\
= (a'(t_{0}), b(t_{0})) + (a(t_{0}) + b'(t_{0}))
\end{gathered}
\end{equation}
$$

## Кривая

**Определение.** Пусть $\bar r(t)$ - непрерывная вектор-функция на $[a, b], \forall t$ будем откладывать вектор $r(t)$ от точки 0. При изменении t на $[a, b]$ конец вектора опишет в пространстве некоторое геометрическое место точек, которое называется **параметрически заданной кривой**.
Сама вектор-функция называется **векторным параметрическим представлением кривой**.
$$\bar r(t) = \varphi (t) \bar i + \psi(t) \bar j + \gamma(t) \bar k \Rightarrow \varphi(t) = (\bar r(t), \bar i), \psi(t) = (\bar r(t), \bar j), \gamma(t) = (\bar r(t), \bar k)$$
$$\bar r^{(m)}(t) = \varphi^{(m)}(t) \bar i + \psi^{(m)}(t) \bar j + \gamma^{(m)}(t) \bar k, m = 0, 1, 2, ..$$

**Определение.** Кривая $\gamma: \bar{r}(t), t \in [a, b]$ называется кривой класса $С^m$, если $\bar{r}(t)$ на $[a, b]$, имеет производные $\bar{r}'(t), ..., \bar{r}^m(t)$ и все они непрерывны на $[a, b]$

**Определение.** Пусть $\gamma_{1}: \bar{r}_{1}(t), t \in [a, b], \gamma_{2}: \bar{r}_{2}(t), t \in [b, c] \Rightarrow$ кривая
$$\gamma: \bar{r}(t) = \begin{cases}
\bar{r}_1(t), t \in [a, b], \\
\bar r_2(t), t \in [b, c]
\end{cases}$$ называется **суммой кривых** $\gamma_1, \gamma_2$ и обозначается $\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2$

**Определение.** Кривая $\gamma: \bar{r}(t), t \in [a, b]$ называется **гладкой**, если она $С^1$, и $|\bar{r}'(t)| \ne 0, \forall t \in [a, b]$

Пусть $\gamma: \vec{r}(t), t _0 \in [a, b]$ и $\exists \vec{r}’(t_0)$
$$\vec{OM}(t_0) = \vec{r}(t_0), \vec{OM}(t_0 + \Delta t) = \vec{r}(t_0 + \Delta t)$$
Прямая $M(t_0) M(t_0+ \Delta t)$- секущая. Направляющий вектор этой секущей:
$$\frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t}$$
Из непрерывности $\vec{r}(t)$ в $t_0 \Rightarrow |\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)| \rightarrow 0$, $M(t_0 + \Delta t) \rightarrow M(t_0), \Delta t \rightarrow 0$

Секущая вращается вокруг $M(t_0)$ и стремится к предельному положению: прямой, проходящей через $M(t_0)$ с направлением $\vec{r}’(t_0)$. Предельное положение секущей называется **касательной**.

**Определение.** Кривую, которую можно представить как сумму конечного семейства гладких кривых, **называется кусочно-гладкой**.

**Определение.** Кривая, у которой выбраны начало и конец, называется **ориентированной кривой**. Обозначают $M(a)$ - начало кривой, $M(b)$ - конец кривой
$A = M(a), B = M(b) \Rightarrow \bar{AB}$

**Определение**. Длиной кривой $\gamma$ называется $\int_{a}^{b}|\bar{r}'(t)|dt$

Пусть $\lambda: [\alpha, \beta] \rightarrow [a, b]$ - строго монотонная функция. Рассмотрим вектор-функцию $\bar \rho(\tau) = \bar r(\lambda(\tau)), \tau \in [\alpha, \beta]$. Пусть $\Gamma_1 = \mu \in \mathbb R^3: \exists \tau \in [\alpha, \beta], \bar \rho(\tau) = \bar OM$, $\Gamma_2 = {\mu \in \mathbb R^3: \exists t \in [a, b], \bar \gamma (t) = \bar ON}$
**Лемма**. $\Gamma_1= \Gamma_2$

**Доказательство**.
\begin{gathered}
M \in \Gamma_1 \Rightarrow \exists \tau \in [\alpha, \beta]: \vec{OM} = \rho(\tau) = \vec{r}(\lambda(\tau)) \Rightarrow t = \lambda(\tau) \in [a, b] \Rightarrow \\
\vec{OM} = \vec{r}(t) \Rightarrow M \in \Gamma_2 \\
N \in \Gamma_2 \Rightarrow \exists t \in [a, b]: \vec{ON} = \vec{r}(t) \Rightarrow \exists \tau \in [\alpha, \beta]: (\lambda(\tau)) = t \Rightarrow \\
\vec{ON} = \vec{r}(\lambda(\tau)) \Rightarrow \vec{\rho}(\tau) \Rightarrow N \in \Gamma_1
\end{gathered}
Получаем $\Gamma_2\subset \Gamma_1 \Rightarrow \Gamma_1 = \Gamma_2$

**Теорема.** Длина кривой не зависит от выбора параметрического представления.
**Доказательство**. Пусть $\bar \rho(\tau) = \bar r(\lambda(\tau)), \tau \in [\alpha, \beta]$ , где $\lambda: [\alpha, \beta] \rightarrow [a, b], \lambda$ - строго монотонная функция, $\lambda \in C^1 [\alpha, \beta]$. Допустим $\lambda(\tau) > 0, \forall \tau \in [\alpha, \beta]$

$\int\limits_{a}^{b} |\vec{\rho}(\tau)| d\tau = \int\limits_{\alpha}^{\beta} |\vec{r}'(t)|_{t = \lambda(\tau)} \cdot \lambda'(\tau)| d\tau = \int\limits_{\alpha}^{\beta} |\vec{r}'(t)|_{t = \lambda(\tau)} | \cdot \lambda'(\tau) d\tau =_{t = \lambda(\tau)} \int\limits_{a}^{b} |\vec{r}(t)| dt$

**Вывод.** Вектор- функция $\vec{r}(\lambda(\tau))$, где $\lambda(\tau)$ - строго монотонная функция описывают одну кривую в $\mathbb R^3$

$\lambda: [\alpha, \beta] \rightarrow [a, b]$. Если убывающая функция, то меняем ориентацию.

**Теорема.** Если $\gamma: \vec{r}(t), t \in [a, b]$, то переменная длина дуги $s(t)$ является непрерывно дифференцируемой функцией на $[a, b]$ и $s’(t) = |\vec{r}’(t)|, \forall t \in [a, b]$

Гладкая кривая имеет параметрическое представление, в котором в качестве параметра может быть выбрана переменная длина дуги.

# 8. Кривизна кривой. Кручение кривой. Репер Френе. Формулы Френе.

**Кривизна кривой. Кручение кривой.**

Нормаль в точке, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется *главной нормалью*

Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется *бинормалью*.

*Соприкасающейся плоскостью* называют такую плоскость, которая определяется касательным вектором и вектором $\bar{r}''(s)$.


Возьмём за координатные плоскости соприкасающуюся плоскость, *нормальную плоскость* (проходит через главную нормаль и бинормаль) и *спрямляющую плоскость* (проходит через бинормаль и касательную). Совокупосность этих трёх координатных плоскостей и трёх прямоугольных координатных осей даёт нам *сопровождающий трёхгранник кривой в точке M*.

> "Репер Френе" = "Сопровождающий трёхгранник кривой в точке"

На осях трёхгранника отложим в определённую сторону единичные векторы-орты координатной системы:
- $\bar{n}$ - орт по главной нормали
- $\bar{b}$ - орт по бинормали
- $\bar{\tau}$ - орт по касательной

В таком случае, вектор $\bar{r}''(s)$ направлен по главной нормали. Условимся откладывать вектор $\bar{n}$ в направлении вектора $\bar{r}''$. Наконец вектор $\bar{b}=[\bar{\tau},\bar{n}]$. Итак, если обозначить $|\bar{r}''|=k$, то $k\cdot\bar{n}=\bar{\tau}'$. Вектор $k\cdot\bar{n}$ называется *вектором кривизны кривой*, а число $k$ - *кривизной* кривой в данной точке.

Заметим далее, что, $\bar{b}'=[\bar{\tau}',\bar{n}]+[\bar{\tau},\bar{n}']=[\bar{\tau},\bar{n}']$, поскольку первое слагаемое равно нулю. Так как вектор $\bar{n}$ единичный, то вектор $\bar{n}'$ ортогонален вектору $\bar{n}$. Следовательно, векторное произведение $[\bar{\tau},\bar{n}']$ коллинеарно вектору $\bar{n}$, поэтому будет отличаться от него только коэффициентом, который мы обозначим $-\chi$. Таким образом, $-\chi\bar{n}=\bar{b}'$. Значение коэффициента $\chi$ в данной точке кривой будем называть *кручением* кривой в этой точке.

Наконец рассмотрим вектор $\bar{n}'=[\bar{b}',\bar{\tau}]+[\bar{b},\bar{\tau}']=[-\chi\bar{n},\bar{\tau}]+[\bar{b},k\bar{n}]=\chi\bar{b}-k\bar{\tau}$.

Итак, мы получили следующие формулы

\begin{cases}
\bar{\tau}=k\cdot\bar{n};\\
\bar{b}'=-\chi\bar{n};\\
\bar{n}'=\chi\bar{b}-k\bar{\tau},
\end{cases}

называемые *формулами Френе*.

# 9. Параметризованная поверхность. Первая квадратичная форма поверхности.
## Параметризованная поверхность
**Определение.** Пусть на области $D \subset \mathbb{R}^2$ задана непрерывная функция $\bar{r}(u,v)$. При каждом значении $u$, $v$ будем откладывать $\bar{r}(u, v)$ от некоторой точки 0.

Конец вектора при этом опишет некоторое ГМТ $\Sigma: \bar r(u,v), \ (u,v) \in D$, которое называется параметрически заданной поверхностью.

## Первая квадратичная форма поверхности
Пусть элементарный гладкий кусок поверхности $S$ задан параметрически: $\bar r = \bar r(u,v)$ и пусть $\gamma: \bar r = \bar r (u(t), v(t)),\ t \in [t_1, t_2]$ -- кривая на этой поверхности. Предположим, что $u(t), v(t) \in C^1[t_1, t_2]$, тогда длина дуги кривой

$$
s(t) = \int\limits_{t_1}^{t}|\bar r'(\tau)| d\tau = \int\limits_{t_1}^{t} \sqrt{(\bar r'_u, \bar r'_u)(u')^2 + 2(\bar r'_u \bar r'_v)u'v' + (\bar r'_v, \bar r'_v)(v')^2} d\tau
$$

Обозначим $E = (\bar r'_u, \bar r'_u), F = (\bar r'_u \bar r'_v), G = (\bar r'_v, \bar r'_v)$, тогда:

$$
ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv+Gdv^2
$$

Выражение $Edu^2 + 2Fdudv+Gdv^2$ называется первой квадратичной формой поверхности. Первая квадратичная форма поверхности положительно определена.

Первая квадратичная форма поверхности позволяет вычислять площадь поверхности $S: \bar r(u,v),(u,v) \in \bar D$. Пусть $\bar D \subset I$, где $I$ - прямоугольник в $\mathbb{R}^2$. Рассмотрим произвольное разбиение $\{I_j\}$, пусть $\tau = {I_j, I_j \subset D}$. Поверхность $\Sigma$ разобьется на криволинейные параллелограммы $\Sigma_i$, каждый из которых ограничен с двух сторон отрезками линий $u$ и с двух сторон -- отрезками линий $v$.

Рассмотрим один из $\Sigma_i$ с вершинами
$$
M_i(u,v),\ M_{1,i}(u, v+\Delta v),\ M_{2, i}(u+\Delta u, v),\ M_{3, i}(u+\Delta u, v + \Delta v):
$$


Заметим, что:
$$
\begin{align}
\overrightarrow{M_iM_{1,i}} = \bar r(u, v+\Delta v) - \bar r(u,v) &= \bar r'_v \Delta v + o(\Delta v) \\
&\downarrow \\
\Delta v &\to 0 \\
\overrightarrow{M_iM_{2,i}} = \bar r(u + \Delta u, v) - \bar r(u,v) &= \bar r'_u \Delta u + o(\Delta u) \\
&\downarrow \\
\Delta u &\to 0
\end{align}
$$

При определении площади поверхности, будем заменять образы $I_j$ прямолинейными параллелограммами, построенными на $\bar r'_v\Delta v, \bar r'_u\Delta u$. Площадь такого параллелограмма, равна $\big|[\bar r'_v, \bar r'_u]\big|\Delta v \Delta u = \sqrt{EG - F^2}\mu(I_j)$

Итого, для площадь поверхности $\Sigma: \bar r(u,v),\ (u,v)\in D$ это число
$$
S = \iint\limits_D\big|[\bar r'_u, \bar r'_v]\big|dudv = \iint\limits_D\sqrt{EG - F^2}dudv
$$

# 10. Криволинейные интегралы первого и второго рода и их свойства. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым.
## Криволинейный интеграл 1-го рода
**Определение.** Пусть $\gamma: \bar{r}(s) = x(s)\bar{i} + y(s)\bar{j} + z(s)\bar{k}, s \in [0, L]$ гладкая кривая и $F(x, y, z)$ - функция, определенная в точках кривой $\gamma$. Криволинейный интеграл 1-го рода от $F$ по $\gamma$ - это определенный интеграл вида: $$\int\limits_{\gamma} F(x, y, z) ds = \int\limits_{0}^{L} F(x(s), y(s), z(s)) ds$$

**Теорема 1.** Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от ориентации кривой.
**Доказательство.** $\bar{OA} = \bar{r}(0), \bar{OB} = \bar{r}(L)$
$\sigma = L - s$ - убывающая функция. $\sigma: [0, L] \to [0, L] \Rightarrow \bar{\rho}(\sigma) = \bar{r}(L - \sigma), \sigma \in [0, L] -$ параметрическое представление $\gamma$.
$\bar{AB}: \bar{r}(s), s \in [0, L], \bar{BA}: \bar{\rho}(\sigma), \sigma \in [0, L]$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
\int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) ds = \int\limits_{0}^{L} F(x(s), y(s), z(s)) ds = \Big|s = L - \sigma, ds = -d\sigma\Big| = \\
= -\int\limits_{L}^{0} F(x(L-\sigma), y(L - \sigma), z(L - \sigma)) d\sigma = \int\limits_{0}^{L} F(x(L - \sigma), y(L - \sigma), z(L - \sigma)) d\sigma = \\
= \int\limits_{\bar{BA}} F(x, y, z) d\sigma.
\blacksquare
\end{gathered}
\end{equation}
$$

**Теорема 2.** Пусть $\gamma: \bar{r}(t) = \varphi(t)\bar{i} + \psi(t)\bar{j} + \gamma(t)\bar{k},\ t \in [a, b]$ - гладкая кривая. Тогда
$$\int\limits_{\gamma} F(x, y, z) ds = \int\limits_{a}^{b} F(\varphi(t), \psi(t), \gamma(t)) \cdot \sqrt{(\varphi’(t))^2 + (\psi' (t))^2 + (\gamma' (t))^2} dt$$

**Доказательство.** $s(t) = \int\limits_{a}^{t} |\bar{r}(\tau)|d\tau$ - возрастающая функция, имеет обратную $t(s)$, которая также возрастает на [0, L].

$\bar{\rho}(s) = \bar{r}(t(s))$ -- параметрическое представление $\gamma, s \in [0, L]$:
\begin{gathered}
\bar{\rho}(s) = \varphi(t(s))\bar{i} + \psi(t(s)) \bar{j} + \gamma(t(s)) \bar{k} \\
s’(t) = |\bar{r}(t)| = \sqrt{(\varphi' (t))^2 + (\psi' (t))^2 + (\gamma' (t))^2 } \\
\int\limits_{\gamma} F(x, y, z) ds = \int\limits_{0}^{L} F(\varphi (t(s)), \psi (t(s)), \gamma (t(s))) ds = |s = s(t), ds = s’(t)dt| = \\
=\int\limits_{a}^{b} F(\varphi(t), \psi(t), \gamma(t)) \cdot \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi '(t))^2 + (\gamma ' (t))^2} dt
\end{gathered}

## Криволинейный интеграл 2-го рода

**Определение.** Пусть $F(x, y, z)$ - функция, определенная в точках кривой $\bar{AB}$. **Криволинейным интегралом 2-го рода** от $F$ от $\bar{AB}$ определяется равенствами:
\begin{gathered}
\int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) dx = \int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) \cos{\alpha} ds \\
\int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) dy = \int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) \cos{\beta} ds \\
\int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) dz = \int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) \cos{\gamma} ds
\end{gathered}

**Теорема 3.** Криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак при изменении ориентации кривой.
**Доказательство.** Нужно доказать, что $\int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) dx = - \int\limits_{\bar{BA}} F(x, y, z)dx$
Пусть $\sigma \in [0, L]$ - длина дуги, но отсчитывается от В $\Rightarrow \bar{\rho} (\sigma) = \bar{r}(L - \sigma)$ -- параметрическое представление $\bar{BA}$, $\bar{\rho} (\sigma) = x(L - \sigma) \bar{i} + y(L - \sigma) \bar{j} + z(L - \sigma) \bar{k} \Rightarrow$ направление косинуса вектора $\bar{\rho} (\sigma)$:

\begin{gathered}
(x(L - \sigma))’ = x’(s)|_{s = L - \sigma} \cdot (-1) \\
(y(L - \sigma))’ = y’(s)|_{s = L - \sigma} \cdot (-1) \\
(z(L - \sigma))’ = z’(s)|_{s = L - \sigma} \cdot (-1)
\end{gathered}

Следовательно,
\begin{gathered}
\int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) dx = \int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) \cos{\alpha} ds = \int\limits_{0}^{L} F(x(s), y(s), z(s)) \cdot x’(s) ds = \\
= |s = L - \sigma, ds = -d\sigma| = \\
= -\int\limits_{L}^{0} F(x(L - \sigma), y(L - \sigma), z(L - \sigma)) \cdot x’(L - \sigma) d\sigma = \\
= - \int\limits_{0}^{L} F(x(L - \sigma), y(L - \sigma), z(L - \sigma)) \cdot x’(L - \sigma) d\sigma = - \int\limits_{\bar{AB}} F(x, y, z) dx \\\
\end{gathered}

**Теорема 4.** Пусть $\Gamma: \bar{r}(t) = \varphi(t)\bar{i} + \psi(t) \bar{j} + \gamma(t) \bar{k}$ - гладкая кривая. Тогда
$$
\begin{align}
\int\limits_{\Gamma} F(x, y, z)dx = \int\limits_{a}^{b} F(\varphi (t), \psi (t), \gamma (t)) \cdot \varphi'(t)dt \\
\int\limits_{\Gamma} F(x, y, z)d = \int\limits_{a}^{b} F(\varphi (t), \psi (t), \gamma (t)) \cdot \psi'(t)dt \\
\int\limits_{\Gamma} F(x, y, z)dz = \int\limits_{a}^{b} F(\varphi (t), \psi (t), \gamma (t)) \cdot \gamma'(t)dt
\end{align}
$$
**Доказательство.** $s(t) = \int\limits_{a}^{t} |\bar{r}'(\tau)|d\tau \Rightarrow$ функция возрастает на $[a, b] \Rightarrow$ есть обратная $t(s)$ на $[0, L]$, где $L$ - длина кривой $\bar{\rho}(s) = \bar{r}(t(s)) = \varphi(t(s))\bar{i} + \psi(t(s))\bar{j} + \gamma(t(s))\bar{k}, s \in [0, L]$ - параметрическое предствление $\Gamma$, но $x(s) = \varphi(t(s), y(s) = \psi(t(s)), z(s) = \gamma(t(s))$
$$
\begin{align}
cos \alpha = x'(s) = \varphi'(t)|_{t = t(s)} \cdot t'(s) \\
cos \beta = y'(s) = \psi'(t)|_{t = t(s)} \cdot t'(s) \\
cos \gamma = z'(s) = \gamma'(t)|_{t = t(s)} \cdot t'(s)
\end{align}
$$

Отсюда

$$
\begin{align}
\int\limits_{\Gamma} F(x, y, z) dx = \int\limits_{\Gamma} F(x, y, z) \cos \alpha ds = \\
= \int\limits_{0}^{L} F((\varphi(t(s)), \psi(t(s)), \gamma(t(s))) * \varphi’(t(s)) * t’(s) ds = \\
= \int\limits_{a}^{b} F((\varphi(t), \psi(t), \gamma(t) * \varphi’(t) dt \\
\blacksquare
\end{align}
$$

**Определение.** Пусть $\Gamma = \Gamma_{1} \cup \Gamma_{2} \cup … \cup \Gamma_{k}$- кусочно-гладкая кривая, $\Gamma_{i}$- гладкий кусок, то
$$
\begin{align}
\int\limits_{\Gamma} F(x, y, z) ds = \sum_{i = 1} ^ {k} \int\limits_{\Gamma_{i}} F(x, y, z) ds \\
\int\limits_{\Gamma} F(x, y, z) dx = \sum_{i = 1} ^ {k} \int\limits_{\Gamma_{i}} F(x, y, z) dx
\end{align}
$$
Аналогично по $dy, dz$

**Определение.** Пусть $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ - функции, определенные в точках $\Gamma$
$$
\begin{align}
\int\limits_{\Gamma} P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = \\
= \int\limits_{\Gamma} P(x, y, z) dx + \int\limits_{\Gamma} Q(x, y, z) dy + \int\limits_{\Gamma} R(x, y, z) dz
\end{align}
$$

# 11. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
**Теорема.** Пусть $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ непрерывны в области G. Тогда эквивалентны условия:

1. $\oint\limits_{\Gamma} Pdx + Qdy + Rdz = 0$ для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой, лежащей в $G$
2. $\int\limits_{\bar{AB}} Pdx + Qdy + Rdz$ не зависит от кривой, соединяющей точки A и B
3. Выражение $Pdx + Qdy + Rdz$ - это полный дифференциал du некоторой функции $u(x, y, z)$ определенной в $G$
**Доказательство.** $1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 1$
$1$
Пусть 1-ое выполняется и А, В $\in G$.
$\gamma_{1}, \gamma_{2}$ - кусочно-гладкие кривые в G, соединяющие A и B $\Rightarrow \gamma_{1} \cup \gamma_{2}$ - замкнутые кривые
$$
\begin{align}
\int\limits_{\gamma_{1} \cup \gamma_{2}} Pdx + Qdy + Rdz = 0 \Rightarrow \\
\int\limits_{\bar{AB} = \gamma_{1}} Pdx + Qdy + Rdz + \int\limits_{\bar{BA} = \gamma_{2}} Pdx + Qdy + Rdz = 0 \\
\int\limits_{\gamma_{1}} Pdx + Qdy + Rdz = \int\limits_{\gamma_{2}} Pdx + Qdy + Rdz \\
\int\limits_{\bar{BA}} = -\int\limits_{\bar{AB}} = -\int\limits_{\gamma_{1}}
\end{align}
$$
$2 \Rightarrow3$
Фиксируем точку $A(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, а $B(x, y, z)$ - произвольная. $\int\limits_{\bar{AB}} Pdx + Qdy + Rdz = \int\limits_{A}^{B} Pdx + Qdy + Rdz$ (не зависит от выбора кривой).
Определим функцию $u(x, y, z) = \int\limits_{(x_{0}, y_{0}, z_{0})}^{x, y, z} Pdx + Qdy + Rdz$

Найдем $\frac{du}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x + \Delta x, y, z) - u(x, y, z)}{\Delta x}$
$$
\begin{align}
\frac{du}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} (\int\limits_{\Gamma \cup \gamma} Pdx + qdy + Rdz - \int\limits_{\Gamma} Pdx + qdy + rdz) = \\
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} \int\limits_{\gamma} Pdx + qdy + Rdz = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} \int\limits_{0}^{1} P(x + t\Delta x, y, z)\Delta x dt = \\
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1} {\Delta x} \Delta x P(x + \xi \Delta x, y, z)(1 - 0) = P(x, y, z)
\end{align}
$$
Аналогично $\frac{du}{dy} = Q, \frac{du}{dz} = R$. Но непрерывны $P, Q, R; u$ - дифф-ма в $G$ и $du = Pdx + Qdy + Rdz$
Пусть $\bar{AB}: \bar{r}(t) = \varphi(t)\bar{i} + \psi(t)\bar{j} + \gamma(t) \bar{k}, t \in [a, b]$
$$
\begin{align}
\int\limits_{\bar{AB}} Pdx + Qdy + Rdz =
\int\limits_{a}^{b} (\frac{du}{dx}(\varphi(t), \psi(t), \gamma(t) + \\
+\frac{du}{dy}(...)) \cdot \psi'(t) + \frac{du}{dz}(...) \cdot \gamma'(t) = \\
\int\limits_{a}^{b} \frac{d}{dt} u(\varphi(t), \psi(t), \phi(t))dt = u(\varphi(t), \psi(t), \gamma(t)) |_{a}^{b} =
\\u(B) - u(A)
\end{align}
$$
$3 \Rightarrow 1$ очевидно,так как $B = A \Rightarrow u(B) - u(A) = 0\blacksquare$

# 12. Поверхностный интеграл первого рода и его свойства.

**Определение.** Пусть $\Sigma: \vec{r}(u, v), (u, v) \in \bar{D}$ - гладкий кусок поверхности и в точках этой поверхности задана функция $F(x, y, z)$. Интеграл $\iint\limits_{\Sigma} F(x, y, z) dS$, определенный равентсвом
$$\iint\limits_{\Sigma} F(x, y, z)dS = \iint\limits_{\bar{D}} F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG - F^2} dudv$$
называется поверхностным интегралом 1-го рода, где $E = (\bar{r}'_{u}, \bar{r}'_{u}) = (\frac{dx}{du})^2 + (\frac{dy}{du})^2 + (\frac{dz}{du})^2, G = (\bar{r}'_{v}, \bar{r}'_{v}) = (\frac{dx}{dv})^2 + (\frac{dy}{dv})^2 + (\frac{dz}{dv})^2,$
$F = (\bar{r}'_{u}, \bar{r}'_{v}) = (\frac{dx}{du} \cdot \frac{dx}{dv}+ \frac{dy}{du} \cdot \frac{dy}{dv} + \frac{dz}{du} \cdot \frac{dz}{dv})$

**Теорема 1.** Если функция F непрерывна на поверхности $\Sigma$, то интеграл $\iint\limits_{\Sigma} F(x, y, z)dS$ существует

**Теорема 2.** Если существуют интегралы $\iint\limits_{\Sigma} F_{1}dS, \iint\limits_{\Sigma} F_{2}dS$, то существуют интегралы $\iint\limits_{\Sigma} F_1 \cdot F_2 dS, \iint\limits_{\Sigma} (\alpha F_1 + \beta F_2)dS$,где $\alpha, \beta \in R$, причем $\iint\limits_{\Sigma} (\alpha F_1 + \beta F_2)dS = \alpha \cdot \iint\limits_{\Sigma}F_1dS + \beta \cdot \iint\limits_{\Sigma}F_2dS$

**Теорема 3.** Если поверхность $\Sigma$ имеет одно из следующих параметрических представлений
$$
\begin{align}
a) \Sigma: \vec{r}(x, y) &= (x, y, f(x, y)), (x, y) \in \bar{D}; \\
b) \Sigma: \vec{r}(x, z) &= (x, f(x, z), z), (x, z) \in \bar{D}; \\
c) \Sigma: \vec{r}(y, z) &= (f(y, z), y, z), (y, z) \in \bar{D},
\end{align}
$$то
$$
\begin{align}
a) \iint\limits_{\Sigma} F(x, y, z)dS = \iint\limits_{D} F(x, y, f(x, y))\sqrt{1 + (f'_{x})^2 + (f'_{y})^2} dxdy \\
b) \iint\limits_{\Sigma} F(x, y, z)dS = \iint\limits_{D} F(x, f(x, z), z)\sqrt{1 + (f'_{x})^2 + (f'_{z})^2} dxdz\\
c) \iint\limits_{\Sigma} F(x, y, z)dS = \iint\limits_{D} F(f(y, z), y, z)\sqrt{1 + (f'_{y})^2 + (f'_{z})^2} dydz
\end{align}
$$

# 13. Поверхностный интеграл второго рода и его свойства. Формула для представления поверхностного интеграла второго рода в виде кратного интеграла.
## Поверхностный интеграл второго рода и его свойства.
Пусть $S$-гладкая ориентированная поверхность с ориентацией $\bar{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ -- нормаль к поверхности и заданы функции $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$.

**Определение**
Поверхностный интеграл 2-го рода по поверхности $S$ с ориентацией $\bar{n}$ - это следующий поверхностный интеграл 1-го рода:

$$
\iint\limits_S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint\limits_S (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)dS.
$$

## Свойства
### Теорема
**Определение.** Поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак при изменении ориентации поверхности
**Док-во.**
Обозначим:
- $S^+$ -- поверхность $S$ с ориентацией $\bar{n}$
- $S^-$ -- поверхность $S$ с ориентацией $-\bar{n}$

$$
\begin{align}
\iint\limits_{S^+}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint\limits_S (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)dS = \\
= -\iint\limits_S \big(P(-\cos\alpha) + Q(-\cos\beta) + R(-\cos\gamma)\big)dS = -\iint\limits_{S^-}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. \ \blacksquare
\end{align}
$$

## Формула для представления поверхностного интеграла второго рода в виде кратного интеграла.
Пусть $s:\bar{r}(u, v) = x(u,v)\bar{i} + y(u,v)\bar{j} + z(u,v)\bar{k},\ (u,v) \in D$ -- гладкая поверхность с ориентацией
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
\bar{n} = \dfrac{[\bar{r_u'}, \bar{r_v'}]}{\big|[\bar{r_u'}, \bar{r_v'}]\big|} = \dfrac{1}{\sqrt{EG-F^2}}
\begin{vmatrix}
\bar i & \bar j & \bar k \\
x_u' & y_u' & z_u' \\
x_v' & y_v' & z_v'
\end{vmatrix} = \\
= \bar i \cdot
\dfrac{
\begin{vmatrix}
y_u' & z_u' \\
y_v' & z_v'
\end{vmatrix}
}{\sqrt{EG-F^2}} -
\bar j \cdot
\dfrac{
\begin{vmatrix}
x_u' & z_u' \\
x_v' & z_v'
\end{vmatrix}
}{\sqrt{EG-F^2}} +
\bar k \cdot
\dfrac{
\begin{vmatrix}
x_u' & y_u' \\
x_v' & y_v'
\end{vmatrix}
}{\sqrt{EG-F^2}} = \\
= \bar i \cdot \cos\alpha + \bar j \cos\beta + \bar k \cos\gamma.
\end{gathered}
\end{equation}
$$

Следовательно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
\iint\limits_{S^+} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint\limits_S (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)dS = \\
= \iint\limits_{D}\Big(P\big(x(u,v), ...\big) \cdot \dfrac{
\begin{vmatrix}
y_u' & z_u' \\
y_v' & z_v'
\end{vmatrix}
}{\sqrt{EG-F^2}} -
Q\cdot \dfrac{
\begin{vmatrix}
x_u' & z_u' \\
x_v' & z_v'
\end{vmatrix}
}{\sqrt{EG-F^2}} +
R\cdot \dfrac{
\begin{vmatrix}
x_u' & y_u' \\
x_v' & y_v'
\end{vmatrix}
}{\sqrt{EG-F^2}}
\Big)\sqrt{EG-F^2}dudv = \\
= \iint\limits_D
\begin{vmatrix}
P(...) & Q(...) & R(...) \\
x_u' & y_u' & z_u' \\
x_v' & y_v' & z_v'
\end{vmatrix} dudv
\end{gathered}
\end{equation}
$$

Итого:
$$
\iint\limits_{S^+} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint\limits_D
\begin{vmatrix}
P & Q & R \\
x_u' & y_u' & z_u' \\
x_v' & y_v' & z_v'
\end{vmatrix} dudv.
$$

# 14. Полилинейные формы. Знакопеременные полилинейные формы. Внешнее произведение знакопеременных полилинейных форм и его свойства.
## Полиленейная форма
**Определение**
Функция $T: E \times \dots \times E$ ($k$ раз) $\to \mathbb{R}$ называется полилинейной формой или $k$-тензором, если она линейна по каждому аргументу, т.е.
$$T(x_1, \dots, \alpha x_i + \beta y_i, x_{i + 1}, \dots, x_k) = \alpha T(x_1, \dots, x_i, \dots, x_k) + \beta T(x_1, \dots, y_i, \dots, x_k)$$ для $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
Обозначим $\mathfrak{F}^k(E)$ - множество $k$-тензоров на $E$.
## Знакопеременная полилинейная форма
**Определение**
$k$-тензор $\omega$ называется кососимметричным или знакопеременным, если при перестановки двух любых аргументов он меняет знак.
$$\omega (x_1, \dots, x_i, \dots, x_j, \dots, x_k) = -\omega (x_1, \dots, x_j, \dots, x_i, \dots, x_k)$$
Обозначим $\mathfrak{L}^k(E)$ - множество всех кососиметрических $k$-тензоров - это линейное пространство.
## Внешнее произведение знакопеременных полилинейных форм
**Определение**
Пусть $T \in \mathfrak{F}^k(E)$, $S \in \mathfrak{F}^l(E)$. Тензорным произведением $T \otimes S$ тензоров $T$ и $S$ называется $(k + l)$-тензор, определённый равенством: $$T \otimes S(x_1, x_2, \dots, x_k, x_{k + 1}, \dots, x_{k + l}) = T(x_1, \dots, x_k) \cdot S(x_{k + 1}, \dots, x_{k + l})$$ для $\forall x_i \in E, i = 1, 2, \dots, k + l$.

**Определение**
Преобразование $\mathrm{Alt}$: $\mathfrak{F}^k(E) \to \mathfrak{L}^k(E)$, определённое равенством $\mathrm{Alt}(T)(x_1, \dots, x_k) = \dfrac{1}{k!} \sum\limits_{\sigma \in S_k} \mathrm{sgn}(\sigma) T(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})$ называется альтернацией $k$-тензора, где:
$$
\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & k \\ i_1 & i_2 & \dots & i_k \end{pmatrix}, i_s = \sigma(s) - \mbox{перестановка},
$$
$S_k$ - множество всех возможных перестановок чисел $1, 2, \dots, k$,
$$
\mathrm{sgn}(\sigma) = \begin{cases} 1,& \mbox{если } \sigma - \mbox{чётная} \\ -1,& \mbox{если } \sigma - \mbox{нечётная} \end{cases}
$$

**Определение**
Внешним произведением $k$-тензора $\omega \in \mathfrak{L}^k(E)$ и $l$-тензора $\eta \in \mathfrak{L}^l(E)$ называется $(k + l)$-тезнор $\omega \wedge \eta$, который определяется равенством: $$\omega \wedge \eta = \dfrac{(k + l)!}{k!\cdot l!} \mathrm{Alt}(\omega \otimes \eta)$$

## Свойства внешнего произведения
**Линейность**
Для $\forall \omega \in \mathfrak{L}^k(E), \eta \in \mathfrak{L}^l(E), \lambda \in \mathbb{R}$: $$(\lambda \omega) \wedge \eta = \omega \wedge (\lambda \eta) = \lambda (\omega \wedge \eta)$$
**Дистрибутивность**
Для $\forall \omega \in \mathfrak{L}^k(E), \eta \in \mathfrak{L}^l(E), \theta \in \mathfrak{L}^m(E)$: $$(\omega + \eta) \wedge \theta = \omega \wedge \theta + \eta \wedge \theta$$
**Антикоммутативность**
Для $\forall \omega \in \mathfrak{L}^k(E), \eta \in \mathfrak{L}^l(E)$: $$\omega \wedge \eta = (-1)^{kl}\eta \wedge \omega$$
**Ассоциативность**
Для $\forall \omega \in \mathfrak{L}^k(E), \eta \in \mathfrak{L}^l(E), \theta \in \mathfrak{L}^m(E)$: $$\omega \wedge (\eta \wedge \theta) = (\omega \wedge \eta) \wedge \theta = \dfrac{(k + l + m)!}{k! \cdot l! \cdot m!} \mathrm{Alt}(\omega \otimes \eta \otimes \theta)$$

# 15. Базис в пространстве знакопеременных форм. Дифференциальные формы. Координатная запись дифференциальной формы.
## Базис в пространстве знакопеременных форм
**Определение.** Пусть $E$ - линейное пространство, $\dim E = n; e_1,...,e_n$ - его базис. $E^*$ - линейное сопряженное пространство, ($f \in E^*: f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$). Пусть $e^j: E \rightarrow \mathbb R:$ $e^j(x) = x_j$, где $x_j$ - $j$-ая координата $x= \sum\limits_{i=1}^nx_ie_i \in E$

Если $e^j \in E^*$ и $f \in E^*$:
$$
f(x) = f(\sum\limits_{i=1}^nx_ie_i) = \sum\limits_{i=1}^nx_if(e_i) = \sum\limits_{i=1}^nf(e_i) \cdot e^i(x) \Rightarrow f(x)=\sum\limits_{i=1}^nf(e_i)e^i(x)
$$

$e^1,...,e^n$ -- ЛНЗ, т.к. $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e^i = 0$

$$
e_j = \sum\limits_{i=1}^n\delta_{ij}e_i, \delta_{ij} =
\begin{cases}
1, i = j \\
0, i \ne j
\end{cases}
$$

$$
e^i(e_j) = \delta_{ij}, \text{ тогда, при } \sum_{i=1}^n\lambda_ie^i(e_j) = 0 \Rightarrow \lambda_j = 0, \forall j
$$

Итак, $e^1,...,e^n$ -- базис в $E^*$. Он называется **дуальным** или **взаимным** к $e_1,...,e_n$.

**Теорема**
Множество тензорных произведений $e^{i_1} \otimes \dots \otimes e^{i_k}$, $i_1, \dots, i_k = 1, \dots, n$ образуют базис в $\mathfrak{F}^k(E)$ (множество $k$-тензоров на $E$).
**Доказательство**
Пусть $T \in \mathfrak{F}^k (E)$ и $x_i = \sum_{j=1}^n x_{ij} e_j,\ x_{ij} \in \mathbb{R}$.
\begin{align*}
T(x_1, \dots, x_k) &= T\biggl(\sum_{j_1 = 1}^n x_{1, j_1} e_{j_1}, \dots, \sum_{j_k = 1}^n x_{k, j_k} e_{j_k} \biggl) = \\ &= \sum_{j_1 = 1}^n \dots \sum_{j_k = 1}^n x_{1,j_1}\cdot...\cdot x_{k,j_k}T(e_{j_1},\dots,e_{j_k}) =
\begin{cases} x_{i,j_e} = e^{j_e}(x_i) \\ \sum_{j_1, \dots, j_k = 1}^n = \sum_{j_1 = 1}^n \dots \sum_{j_k = 1}^n \\ T(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = t_{j_1, \dots, j_k} \in \mathbb{R}\end{cases} = \\
&= \sum_{j_1,\dots,j_k=1}^n t_{j_1, \dots, j_k} e^{j_1}(x_1)\cdot...\cdot e^{j_k}(x_k) = \\
&= \sum_{j_1,\dots,j_k=1}^n t_{j_1, \dots, j_k} e^{j_1} \otimes ... \otimes e^{j_k}(x_1, \dots, x_k)
\end{align*}
Проверим линейную независимость. Пусть $\sum_{j_1,\dots,j_k=1}^n \alpha_{j_1, \dots, j_k} e^{j_1} \otimes \dots \otimes e^{j_k} = 0$ и подставим $e_{i_1}, \dots, e_{i_k}$.
\begin{align*}
0 &= \sum_{j_1,\dots,j_k=1}^n \alpha_{j_1, \dots, j_k} e^{j_1} \otimes \dots \otimes e^{j_k}(e_{i_1}, \dots, e_{i_k}) = \\
&= \sum_{j_1,\dots,j_k=1}^n \alpha_{j_1, \dots, j_k} e^{j_1}(e_{i_1}) * \dots * e^{j_k}(e_{i_k}) = \mbox{т.к.} \begin{cases} e^{j_1}(e_{i_1}) = \sigma_{j_1, i_1} \\ \dots \\ e^{j_k}(e_{i_k}) = \sigma_{j_k, i_k} \end{cases} = \\
&= \alpha_{i_1, \dots, i_k} \ \forall i_1, \dots, i_k
\end{align*}

**Теорема**
Множество всех возможных произведений $e^{i_1} \wedge \dots \wedge e^{i_k}$, $1 \leq i_1 \lt i_2 \lt \dots \lt i_k \leq n$ образуют базис в $\mathfrak{L}^k(E)$ (множество кососиметричных $k$-тензоров), т.е. $$\omega = \sum_{1 \leq i_1 \lt \dots \lt i_k \leq n} \omega_{i_1,\dots,i_k} e^{i_1} \wedge \dots \wedge e^{i_k} \mbox{ для } \forall \omega \in \mathfrak{L}^k(E)$$

## Дифференциальные формы
**Определение**
Пусть $p \in \mathbb{R}^n$. Множество $\mathbb{R}^n_p = \{(p, u): u \in \mathbb{R}^n\}$ называется касательным пространством к $\mathbb{R}^n$ в точке $p$.
$\mathbb{R}^n_p$ - линейное пространство, т.к. $(p, u_1) + (p, u_2) = (p, u_1 + u_2)$ и $\lambda (p, u) = (p, \lambda u)$. $\dim \mathbb{R}^n_p = n$. Базис в $\mathbb{R}^n_p$ - это $(p, e_1), \dots, (p, e_n)$, где $e_1, \dots, e_n$ - базис в $\mathbb{R}^n$.
Обозначим $(p, u) = (u)_p$.
**Определение**
Пусть $U \in \mathbb{R}^n$ любое подмножество. Дифференциальной формой степени $k$ (порядка $k$) на $U$ называется функция $$\omega: p \mapsto \omega (p) \in \mathfrak{L}^k (\mathbb{R}^n_p), \mbox{где } p \in U$$
Рассмотрим дифференциальную форму 1-ой степени $dx_j$ на $U$, определённую равенством: $$dx_j(p)\bigg((\xi)_p \bigg) = \xi_j, \mbox{ где } \xi = (\xi_1, \dots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n, dx_j(p) = e^j \mbox{ на } \mathbb{R}^n_p$$
Тогда, если $\omega$ - дифференциальная форма на $U$, то $$\omega (p) \in \mathfrak{L}^k (\mathbb{R}^n_p) \Rightarrow \omega(p) = \sum_{1 \leq i_1 \lt \dots \lt i_k \leq n} \omega_{i_1, \dots, i_k} (p) dx_{i_1}(p) \wedge \dots \wedge dx_{i_k}(p) $$ или $$\omega = \sum_{1 \leq i_1 \lt \dots \lt i_k \leq n} \omega_{i_1, \dots, i_k} dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k}, \mbox{ где } \omega_{i_1, \dots, i_k}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} - \text{гладкие функции на } U$$

## Координатная запись дифференциальной формы
$$\begin{align*}\omega(x)(\xi_1, \dots, \xi_k) &= \sum_{1 \leq i_1 \lt \dots \lt i_k \leq n} f_{i_1, \dots, i_k}(x) dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k}(\xi_1, \dots, \xi_k) = \\ &= \sum_{1 \leq i_1 \lt \dots \lt i_k \leq n} f_{i_1, \dots, i_k} \begin{vmatrix}
\xi_{1i_1} \cdots \xi_{1i_k} \\
\cdots \cdots \cdots \\
\xi_{ki_1} \cdots \xi_{ki_k}
\end{vmatrix}\end{align*}$$

### Теорема
**Определение**
$$
dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}(p)\big((\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p\big) =
\begin{vmatrix}
\xi_{1i_1} \cdots \xi_{1i_k} \\
\cdots \cdots \cdots \\
\xi_{ki_1} \cdots \xi_{ki_k}
\end{vmatrix}, \text{ где } \xi_i = (\xi_{i1}, ..., \xi_{in}) \in \mathbb{R}^n, p \in \mathbb{R}^n
$$
**Док-во**
\begin{gathered}
dx_{i_1}\wedge...\wedge dx_{i_k}(p)\big((\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p\big) = \\
= \dfrac{k!}{1}\mathrm{Alt}\big(dx_{i_1}(p)\otimes...\otimes dx_{i_k}(p)\big)\big((\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p\big) = \\
= \dfrac{k!}{k!}\sum_{\sigma \in S_k}\mathrm{sgn}(\sigma)dx_{i_1}(p)\otimes...\otimes dx_{i_k}(p) \big((\xi_{\sigma(1)})_p, ..., (\xi_{\sigma(k)})_p\big) = \\
= \sum_{\sigma \in S_k}\mathrm{sgn}(\sigma) dx_{i_1}(p)\Big((\xi_{\sigma(1)})_p\Big)\cdot ... \cdot dx_{i_k}(p)\Big((\xi_{\sigma(k)})_p\Big) = \\
= \sum_{\sigma \in S_k}\mathrm{sgn}(\sigma)\xi_{\sigma(1), i_1} \cdot ... \cdot\xi_{\sigma(k), i_k} = \text{ (по определению) } =
\begin{vmatrix}
\xi_{1i_1} \cdots \xi_{1i_k} \\
\cdots \cdots \cdots \\
\xi_{ki_1} \cdots \xi_{ki_k}
\end{vmatrix}.
\end{gathered}

**Следствие**
$$dx_i\wedge dx_j = -dx_j\wedge dx_i$$$$dx_i \wedge dx_i = 0$$

# 16. Внешний дифференциал формы и его свойства.
## Внешний дифференциал формы
**Определение.**
Пусть $\omega = \sum\limits_{1\le i_1 \lt ... \lt i_k \le n} \omega_{i_1...i_k} dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}$ и $\omega_{i_1 ... i_k}: U \to \mathbb{R}$ -- дифф. на $U$. Дифференциалом $d\omega$ формы $\omega$ называется форма $(k + 1)$-ой степени, определяемая равенством:
$$
d\omega = \sum\limits_{1\le i_1 \lt ... \lt i_k \le n} d\omega_{i_1...i_k}\wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}, \text{ где } d\omega_{i_1...i_k} = \sum_{s=1}^n \dfrac{\partial \omega_{i_1 ... i_k}}{\partial x_s}dx_s
$$

## Свойства дифференциала
### Теорема 1
**Определение.**
$d(\omega_1 + \omega_2) = d\omega_1 + d\omega_2$
**Док-во.**
На лекциях не было

### Теорема 2
**Определение.**
$d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k\omega \wedge d\eta$, где $k$ -- степень $\omega$
**Док-во.**
Обозначим $[i] = (i_1, ..., i_k); dx_{[i]}= dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_k}$
$$
\omega = \sum_{1 \le i_1 \lt ... \lt i_k \le n} \omega_{i_1...i_k}dx_{i_1}\wedge...\wedge dx_{i_k} = \sum_{[i]}\omega_{[i]}dx_{[i]}
$$

$$
\eta = \sum_{1 \le j_1 \lt ... \lt j_s \le n} \eta_{j_1...j_s}dx_{j_1}\wedge...\wedge dx_{j_s} = \sum_{[j]}\eta_{[j]}dx_{[j]}
$$

\begin{gathered}
d(\omega \wedge \eta) = d\Big(\sum_{[i]}\sum_{[j]}\omega_{[i]}\cdot\eta_{[j]}dx_{[i]}\wedge dx_{[j]}\Big) = \\
= \sum_{[i], [j]}d(\omega_{[i]} \cdot \eta_{[j]}) \wedge dx_{[i]} \wedge dx_{[j]} = \\
= \sum_{[i], [j]}(d\omega_{[i]} \cdot \eta_{[j]} + \omega_{[i]} \cdot d\eta_{[j]}) \wedge dx_{[i]} \wedge dx_{[j]} = \\
= \sum_{[i], [j]}(d\omega_{[i]} \cdot \eta_{[j]})\wedge dx_{[i]} \wedge dx_{[j]} + \sum_{[i], [j]}(\omega_{[i]} \cdot d\eta_{[j]})\wedge dx_{[i]} \wedge dx_{[j]} = \\
= \Big(\sum_{[i]}d\omega_{[i]} \wedge dx_{[i]}\Big) \wedge \Big(\sum_{[j]}\eta_{[j]} dx_{[j]}\Big) + (-1)^k \Big(\sum_{[i]}\omega_{[i]} dx_{[i]}\Big) \wedge \Big(\sum_{[j]}d\eta_{[j]} \wedge dx_{[j]}\Big) = \\
= d\omega \wedge \eta + (-1)^k\omega \wedge d\eta
\end{gathered}

Пояснение к $(-1)^k$:
- $d\eta = \sum \dfrac{\partial\eta}{\partial x_k}dx_k$
- $d\eta \wedge dx_j = \sum \dfrac{\partial\eta}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_j = (-1)^k dx_j \wedge d\eta$ (k раз поменяли местами)

### Теорема 3
**Определение.**
$$\omega_{[i]} \in C^2 \text{ (мн-во функций, дифф. и непрер. на отрезке 2 раза)} \Rightarrow d(d\omega) = 0$$

**Док-во.**
$\omega = \sum\limits_{[i]}\omega_{[i]}dx_{[i]}$ -- форма степени $k$
$$
\begin{align}
&d\omega = \sum\limits_{[i]}d\omega_{[i]}\wedge dx_{[i]} = \sum_{[i]} \sum_{\alpha = 1}^n \dfrac{\partial\omega_{[i]}}{\partial x_\alpha}\wedge dx_\alpha\wedge dx_{[i]} \\
&d^2\omega = d(d\omega) = \sum_{[i]} \sum_{\alpha = 1}^n d\Big(\dfrac{\partial\omega_{[i]}}{\partial x_\alpha}\Big)\wedge dx_\alpha\wedge dx_{[i]} = \\
= &\sum_{[i]}\sum_{\alpha = 1}^n\sum_{\beta=1}^n \dfrac{\partial^2\omega_{[i]}}{\partial x_\beta \partial x_\alpha} dx_\beta \wedge dx_\alpha \wedge dx_{[i]} = 0 \\
\end{align}
$$

Пояснение: $\dfrac{\partial^2}{\partial x_\beta \partial x_\alpha} = \dfrac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} \Rightarrow dx_\beta \wedge dx_\alpha = -dx_\alpha \wedge dx_\beta.$

### Теорема 4
**Определение.**
$$f^*(d\omega) = d(f^*\omega), f:U\to V, U \subset\mathbb{R}^n, V\subset\mathbb{R}^m, f^*\omega=\omega \circ f$$
**Док-во.** в следующем билете.

# 17. Перенос форм при отображениях.
**Определение**
Если $\omega$ -- дифференциальная форма $k$-ой степени на $V$, то $f^*\omega = \omega \circ f$ -- дифференциальная форма $k$-ой степени на $U$:

$$
\Big(f^*\omega\Big)(p)\Big((\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p\Big) = \omega\Big(f(p)\Big)\Big((df(p)\xi_1)_{f(p)}, ..., (df(p)\xi_k)_{f(p)}\Big), \forall p \in U, \forall (\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p \in \mathbb{R}_p^n
$$

## Теорема 1
**Формулировка.**
Пусть $dy_j$ дифференциальная форма 1-ой степени на $V$: $dy_j(q)\big((\xi)_q\big) = \xi_j$
$$f^*dy_j = \sum_{k=1}^n\frac{\partial f_j}{\partial x_k}dx_k$$

**Док-во.**
$\Big(f^*dy_j\Big)(p)\Big((\xi)_p\Big) = dy_j\Big(f(p)\Big)\Big(\big(df(p)\xi\big)_{f(p)}\Big)$ -- $j$-ая координата вектора $\Big(df(p)\xi\Big)_{f(p)}$

$$df(p)\xi =
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_m}(p) \cdots \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(p) \\
\cdots\cdots\cdots \\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(p) \cdots \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(p)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\xi_1 \\
\vdots \\
\xi_n
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f_1}{\partial x_k}(p)\xi_k \\
\cdots \\
\sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f_m}{\partial x_k}(p)\xi_k \\
\end{pmatrix}
$$

$$
\big(f^*dy_j\big)(p)\big((\xi)_p\big) = \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f_j}{\partial x_k}(p)\xi_k = \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f_j}{\partial x_k}(p)dx_k\big((\xi)_p\big) \Rightarrow
$$

$$\Rightarrow f^*dy_j = \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial f_j}{\partial x_k}dx_k.$$

## Теорема 2
**Определение.**
$$f^*(\omega_1 + \omega_2) = f^*\omega_1 + f^*\omega_2$$

**Док-во.**
$\omega_1, \omega_2$ -- дифференциальные формы $k$-ой степени.

$$
\begin{align}
&\big(f^*(\omega_1 + \omega_2)\big)(p)\big((\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p\big) = \\
&= (\omega_1 + \omega_2)\big(f(p)\big)\Big(\big(df(p)\xi_1\big)_{f(p)}, ..., \big(df(p)\xi_k\big)_{f(p)}\Big) = \\
&= \big(f^*\omega_1 + f^*\omega_2\big)(p)\big((\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p\big).
\end{align}
$$

## Теорема 3
**Определение.**
$$f^*(\omega \wedge \eta) = (f^*\omega)\wedge(f^*\eta)$$
**Док-во.**
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}
f^*(\omega \wedge \eta)(p)\big((\xi_1)_p,..., (\xi_k)_p,(\xi_{k+1})_p, ..., (\xi_{k+l})_p\big) =\\
= \Big(\omega\big(f(p)\big)\wedge\eta\big(f(p)\big)\Big)\Big(\big(df(p)\xi_1\big)_{f(p)}, ..., \big(df(p)\xi_{k+l}\big)_{f(p)}\Big) =\\
= \dfrac{(k+l)!}{k!l!} \cdot \dfrac{1}{(k + l)!}\sum_{\sigma \in S_{k+l}}\mathrm{sgn}\ \sigma \cdot \Big(\omega\big(f(p)\big)\otimes\eta\big(f(p)\big)\Big)\Big(\big(df(p)\xi_{\sigma(1)}\big)_{f(p)}, ..., \big(df(p)\xi_{\sigma(k+l)}\big)\Big) = \\
= \dfrac{1}{k!l!}\sum_{\sigma \in S_{k+l}} \mathrm{sgn}\ \sigma \Big(\big(f^*\omega\big)(p) \otimes\big(f^*\eta\big)(p)\Big)\Big(\big(\xi_{\sigma(1)}\big)_p, ..., \big(\xi_{\sigma(k+l)}\big)_p\Big) = \\
= \dfrac{(k+l)!}{k!l!}\mathrm{Alt}\Big(\big(f^*\omega\big)(p) \otimes\big(f^*\eta\big)(p)\Big)\Big(\big(\xi_1\big)_p, ..., \big(\xi_{k+l}\big)_p\Big) = \\
= \big(f^*\omega(p)\big)\wedge\big(f^*\eta(p)\big)\Big(\big(\xi_1\big)_p, ..., \big(\xi_{k+l}\big)_p\Big).
\end{gathered}
\end{equation}
$$

## Теорема 4
**Определение.**
$f^*(g\cdot\omega) = (g\circ f)\cdot f^*\omega$, где $\omega$-форма на $V$, $g:V\to \mathbb{R}$

**Док-во.**
$$
\begin{align}
f^*(g\cdot \omega)(p)\big((\xi_1)_p,...,(\xi_k)_p\big) &= (g\cdot\omega)\big(f(p)\big)\Big((df\xi_1)_{f(p)}, ..., (df\xi_x)_{f(p)}\Big) = \\
= g\big(f(p)\big)\cdot\omega\big(f(p)\big)\Big((df\xi_1)_{f(p)}, ..., (df\xi_k)_{f(p)}\Big) &= (g\circ f)(p)\omega\big(f(p)\big)\Big((df\xi_1)_{f(p)}, ..., (df\xi_k)_{f(p)}\Big) \\
\\
\omega\big(f(p)\big)\Big((df\xi_1)_{f(p)}, ..., (df\xi_k)_{f(p)}\Big) &= (f^*\omega)(p)\Big((\xi_1)_p, ..., (\xi_k)_p\Big).
\end{align}
$$

## Теорема 5
**Определение.**
$$f^*(d\omega) = d(f^*\omega), f:U\to V, U \subset\mathbb{R}^n, V\subset\mathbb{R}^m$$
**Док-во.**

(1) $\omega$ -- форма нулевой степени, т.е. функция на $U \subset \mathbb{R}^n$, $d\omega = \sum\limits_{i=1}^m\dfrac{\partial \omega}{\partial y_i}dy_i$ -- форма степени один.

$$
\begin{align}
f^*(d\omega) = f^*\Big(\sum_{i=1}^m\dfrac{\partial \omega}{\partial y_i}dy_i\Big) = \sum_{i=1}^mf^*\Big(\dfrac{\partial \omega}{\partial y_i}dy_i\Big) &= &\sum_{i=1}^m\Big(\dfrac{\partial \omega}{\partial y_i}\circ f\Big)\cdot f^*(dy_i) = \\
&\downarrow &\downarrow \\
f^*(g\cdot\omega) = (g\circ f) \cdot f^*&\omega &f^*dy_i = \sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f_i}{\partial x_k}dx_k \\
= \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial}{\partial x_k} (\omega \circ f) dx_k = d(\omega \circ f) = d(f^*\omega)
\end{align}
$$

(2) предположим, что равенство верно для форм степени $k$ и докажем для $k+1$

Форма степени $k+1$ -- это линейная комбинация форм вида

$\omega \wedge dy_j$, где $\omega$ -- форма степени $k$

$$
\begin{align}
\Big(\sum_{1 \le i_1 \lt ... \lt i_{k+1} \le n} \big(d_{i_1...i_{k+1}} dy_{i_1} \wedge ... \wedge dy_{i_k}\big) \wedge dy_{i_{k+1}} \Big) \\
\text{Проверим, что: } \Big(f^*d(\omega\wedge dy_j)\Big) = d\Big(f^*\big(\omega\wedge dy_j\big)\Big) \\
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
f^*\Big(d\big(\omega \wedge dy_i\big)\Big) = f^*\big(d\omega \wedge dy_j + (-1)^k \omega \wedge d(dy_j)\big) &= \\
d(f^*\omega)\wedge(f^*dy_j) + (-1)^k f^*\omega \wedge (df^*dy_j) &= \\
&\downarrow \\
d(f^*dy_j) = d\Big(\sum_{k=1}^n\dfrac{\partial f_j}{\partial x_k}dx_k\Big) &= d(df_j) = 0 \\
= d(f^*\omega \wedge f^*dy_j) = df^*(\omega\wedge dy_j)&.
\end{align}
$$

# 18. Интеграл от дифференциальной формы по сингулярному кубу. Понятие цепи. Интеграл от дифференциальной формы по цепи. Граница цепи.
## Интеграл от дифференциальной формы по сингулярному кубу.
**Определение**
Непрерывная функция $C: [0, 1]^k \to U \subset \mathbb{R}^n$, $n \geq k$ называется $k$-мерным сингулярным кубом в $U$. $0$-мерный куб $C$: ${0} \to U$.

**Определение**
Пусть $\omega$ - дифференциальная форма $k$-ой степени на $[0, 1]^k$, $\omega = f \cdot dx_1 \wedge \dots \wedge dx_k$, $f:[0, 1]^k \to \mathbb{R}$.
$$\int\limits_{[0, 1]^k}\omega = \idotsint\limits_{[0, 1]^k} f(x_1, \dots, x_k) dx_1 \dots dx_k$$
Пусть $\omega$ - дифференциальная форма степни $k$ на $U \subset \mathbb{R}^n$ и $C:[0, 1]^k \to U$ --- $k$-мерный сингулярынй куб в $U$.
$$\int\limits_C \omega = \int\limits_{[0, 1]^k}C^* \omega$$

## Понятие цепи.
**Определение**
Два множества $\{c_1, \dots, c_m\}$, $c_i:[0, 1]^k \to U \subset \mathbb{R}^n$ и $\{\lambda_1, \dots, \lambda_m\} \in \mathbb{R}$, $i = 1, 2, \dots, m$ называются $k$-мерной сингулярной цепью в $U$, которая обозначется так: $C = \lambda_1 c_1 + \lambda_2 c_2 + \dots + \lambda_m c_m$.

Следующее определение не обозначено в вопросе, но пусть будет, тем более оно не сложное

**Определение**
Две цепи $C_1$ и $C_2$ называются равными, если $\int\limits_{C_1} \omega = \int\limits_{C_2} \omega, \forall \omega$.
Цепь $C$ нулевая, если $\int\limits_{C} \omega = 0, \forall \omega$.

## Интеграл от дифференциальной формы по цепи.
**Определение**
$$\int\limits_C \omega = \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \int\limits_{c_i}\omega, \mbox{ где } \omega \mbox{ - форма на } U$$

## Граница цепи.
**Определение**
Пусть $I_{i, \alpha}: [0, 1]^{k-1} \to [0, 1]^k$, $i = 1, \dots, k$, $\alpha = 0, 1$ определено равенством $I_{i, \alpha}(t_1, \dots, t_{k - 1}) = (t_1, \dots, t_{i - 1}, \alpha, t_i, \dots, t_{k - 1})$ и $C:[0, 1]^k \to U \subset \mathbb{R}^n$ --- $k$-мерный сингулярный куб. Границей $C$ называется $(k - 1)$-мерная сингулярная цепь $\partial C = \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{\alpha=0}^1 (-1)^{i + \alpha}(C \circ I_{i, \alpha})$.

**Определение**
Если $C = \lambda_1 c_1 + \dots + \lambda_m c_m$ --- $k$-мерная сингулярная цепь в $U$ $\Rightarrow$ $\partial C = \lambda_1 \partial c_1 + \dots + \lambda_m \partial c_m$.

**Геометрическая интерпретация**

$\partial c$ --- ориентированная граница поверхности
$\partial C = \sum\limits_{i=1}^2 \sum\limits_{\alpha=0}^1 (-1)^{i+\alpha} C \circ I_{i, \alpha} = -C \circ I_{1, 0} + C \circ I_{1, 1} + C \circ I_{2, 0} - C \circ I_{2, 1}$
\begin{cases}
C \circ I_{1, 0}(t) = C(0, t) \\
C \circ I_{1, 1}(t) = C(1, t) \\
C \circ I_{2, 0}(t) = C(t, 0) \\
C \circ I_{2, 1}(t) = C(t, 1) \\
\end{cases}

# 19. Общая формула Стокса.
**Теорема (общая т. Стокса):** Пусть $\omega$ - дифференциальная форма степени $(k-1)$ на $U \subset R^{n}$, а $C$ - $k$-мерная сингулярная цепь в $U \Rightarrow \int\limits_{C}d\omega=\int\limits_{\partial C}\omega.$
**Доказательство: без док-ва (На ЛК не было)**
**Частные случаи:**
**1.** $\omega=Pdx+Qdy+Rdz$ - форма на $U \subset R^{3}$
$d\omega=dP \wedge dx + dQ \wedge dy + dR \wedge dz =$
$(\cfrac{\partial P}{\partial x}dx + \cfrac{\partial P}{\partial y}dy + \cfrac{\partial P}{\partial z}dz) \wedge dx+$$(\cfrac{\partial Q}{\partial x}dx + \cfrac{\partial Q}{\partial y}dy + \cfrac{\partial Q}{\partial z}dz) \wedge dy+$$(\cfrac{\partial R}{\partial x}dx + \cfrac{\partial R}{\partial y}dy + \cfrac{\partial R}{\delta z}dz) \wedge dz=$$(\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dy \wedge dz +$ $(\cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dz \wedge dx +$$(\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dx \wedge dy \Rightarrow$
$\int\limits_{\partial C}Pdx+Qdy+Rdz=$ $\int\limits_{C}$$(\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dy \wedge dz +$ $(\cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dz \wedge dx +$$(\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dx \wedge dy$, где правая часть полученного уравнения - поток ротора
$C$ - 2 мерная сингулярная цепь
$\partial C$ - 1 мерная цепь

**2.**
$\omega=Pdy \wedge dz + Qdz \wedge dx + Rdx \wedge dy$
$d \omega=(\cfrac{\partial P}{\partial x} +\cfrac{\partial Q}{\partial y} + \cfrac{\partial R}{\partial z})dx \wedge dy \wedge dz$
$C$ - 3 мерная сингулярная цепь

$\int\limits_{\partial C}Pdy \wedge dz + Qdz \wedge dx + Rdx \wedge dy=$ $\int\limits_{C}(\cfrac{\partial P}{\partial x} +\cfrac{\partial Q}{\partial y} + \cfrac{\partial R}{\partial z})dx \wedge dy \wedge dz$,
где левая часть - поток вектора через границу области, правая - интеграл по области от $div$

<!-- $d\omega=dP \wedge dx + dQ \wedge dy + dR \wedge dz$$ = (\cfrac{\delta P}{\delta x}dx + \cfrac{\delta P}{\delta y}dy + \cfrac{\delta P}{\delta z}dz \wedge dx)$(\cfrac{\delta P}{\delta x}dx + \cfrac{\delta P}{\delta y}dy + \cfrac{\delta P}{\delta z}dz \wedge dx)+(\cfrac{\delta P}{\delta x}dx + \cfrac{\delta P}{\delta y}dy + \cfrac{\delta P}{\delta z}dz \wedge dx)$
-->

# 20. Классические интегральные формулы Ньютона-Лейбница, Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
**1. Теорема (Ньютон-Лейбниц):** не было на ЛК, мб как во 2 семестре

$$
\int_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi(x)\Big|_a^b
$$


**2. Теорема (Грин):**
Пусть $G$ - область в $\mathbb R^{2}$, граница которой $\partial G = \Gamma_{0} \cup \Gamma_{1} \cup ...\cup \Gamma_{k}$ состоит из кусочно-гладких простых контуров. Функции $P$ и $Q$ непрерывны в $\overline{G}$ вместе с частными производными $\cfrac{\partial Q}{\partial x}$ и $\cfrac{\partial P}{\partial y}$, а область $G$ можно разбить на конечное множество элементарных областей. Тогда

$\int\limits_{\delta G^{+}}Pdx + Qdy =$ $\iint\limits_{\overline{G}}(\cfrac{\partial Q}{\partial x} - \cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy$
**Доказательство:**
1) Этап \
$G$ - элементарная область \
$$
G = \{ (x,y): x \in [a,b], y \in [\varphi(x), \psi(x)] \}
$$
$$
AB:
\begin{cases}
x = t \\
y = \psi (t)
\end{cases},\
DC:
\begin{cases}
x = t \\
y = \varphi(t)
\end{cases}
$$
$$
\begin{align}
\iint\limits_{G}\cfrac{\partial P}{\partial y} =
\int\limits_{a}^{b}dx\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi (x)}\cfrac{\partial P}{\partial y}dy =
\int\limits_{a}^{b}P(x,y)\Big|_{\varphi(x)}^{\psi(x)} dx = \\
=\int\limits_{a}^{b}P(x, \psi(x))dx - \int\limits_{a}^{b}P(x, \varphi(x))dx = \\
=\int\limits_{AB}P(x,y)dx - \int\limits_{DC}P(x,y)dx -
\int\limits_{AD}P(x,y)dx - \int\limits_{CB}P(x,y)dx = \\
=-\int\limits_{\partial G^{+}}P(x,y)dx
\end{align}
$$
Но
$$G =\{ (x,y):y \in [c,d], \lambda(y) \leq x \leq \mu(y) \} \Rightarrow$$
аналогично
$$
\iint\limits_{\overline{G}}\cfrac{\partial Q}{\partial x}dxdy =
\int\limits_{\partial G^{+}}Qdy
$$
Следовательно,
$$
\begin{align}
\iint\limits_{\overline{G}}(\cfrac{\partial Q}{\partial x} - \cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy =
\iint\limits_{\overline{G}}\cfrac{\partial Q}{\partial x}dxdy -
\iint\limits_{\overline{G}}\cfrac{\partial P}{\partial y}dxdy = \\
=\int\limits_{\partial{G^{+}}}Qdy + \int\limits_{\partial{G^{+}}}Pdx =
\int\limits_{\partial{G^{+}}}Pdx + Qdy
\end{align}
$$
2) Этап


$G = \cup_{s=1}^{N}$, $G_{s}$ - элементарная область
$$
\begin{align}
\iint\limits_{G}(\cfrac{\partial Q}{\partial x} - \cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy =
\sum_{s=1}^{N}\int\limits_{G_{s}}(\cfrac{\partial Q}{\partial x} - \cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy =
по 1 этапу =\\
=\sum_{s=1}^{N}\int\limits_{\partial G_{s}^{+}}Pdx+Qdy =
\int\limits_{G^{+}}Pdx+Qdy
\end{align}
$$
Т.к общие куски гранци областей обходятся дважды в противоположных направлениях $\Rightarrow$ интегралы по ним взаимоуничтожаются.
**Квадратик**

**3. Теорема (Стокс):**
Пусть $S = \sigma_{1} \cup ... \cup \sigma_{k}$ - кусочно-гладкая поверхность $\sigma_{i}$ - гладкая поверхность и

$\sigma_{i}: z = f_{i}(x,y), (x,y) \in D^{i}_{xy}$
$\sigma_{i}: x = f_{i}(y,z), (y,z) \in D^{i}_{yz}$
$\sigma_{i}: y = f_{i}(x,z), (x,z) \in D^{i}_{xz}$

Если функции $P,Q,R$ - непрерывны вместе с частными производными в области $G : S \subset G$, то
$\iint\limits_{S}$$(\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dydz +$ $(\cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dzdx +$$(\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy=$ $\int\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$,
где $\Gamma$ - граница $S$. Ориентация поверхности $\Gamma$ согласовывается с ориентцацией $S$ по правилу правого винта.
Другая форма записи:
$\iint\limits_{S}(rot\overline{a},\overline{n})dS = \oint\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$,
где $\overline{a} = P \overline{i}+Q \overline{j}+R \overline{k}$
**Доказательство:**

Рассмотрим
$$
\begin{align}
\iint\limits_{S}\cfrac{\partial P}{\partial z}dxdz - \cfrac{\partial P}{\partial y}dxdy =
(т.к \\
S:z=f_1(x,y), (x,y) \in D_{xy}^{1}\\
\overline{r}(x,y) = x\overline{i} + y\overline{j} + f_1(x,y)\overline{k} \\
[\overline{r_x}', \overline{r_y}'] =
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & 0 & (f_1)_x' \\
0 & 1 & (f_1)_y'
\end{vmatrix} =
\begin{pmatrix}
-(f_1)_x' & -(f_1)_y' & 1
\end{pmatrix} \\
\overline{n} =
\begin{pmatrix}
-\cfrac{(f_1)_x'}{\sqrt{1+((f_1)_x')^{2} + ((f_1)_y')^{2}}} &
-\cfrac{(f_1)_x'}{\sqrt{\dots}} &
\cfrac{1}{\sqrt{\dots}}
\end{pmatrix}\\
сноска \ закончилась) \\
= -\iint\limits_{S}(\cfrac{\partial P}{\partial z}\cos{\beta} -
\cfrac{\partial P}{\partial y}\cos{\gamma})dS = \\
=-\iint\limits_{D_{xy}^{1}}
(
\cfrac{\partial P}{\partial z}(x,y,f_{1}(x,y)) (f_{1})_{y}'+
\cfrac{\partial P}{\partial y}(x,y,f(x,y)))dxdy = \\
=(по \ т. Грина) =
-\iint\limits_{D_{xy}^{1}}\cfrac{\partial}{\partial y}(P(x,y,f(x,y)))dxdy = \\
=\int\limits_{\gamma}P(x,y,f(x,y))dx = (т.к \
\Gamma_{1}:
\begin{cases}
x = x(t) \\
y = y(t) \\
z = f_1(x(t),y(t))
\end{cases},
t \in [a,b]
)= \\
=\int\limits_{a}^{b}P(x(t),y(t),f_{1}(x(t),y(t)))*x'(t)dt =
\iint\limits_{\Gamma_{1}}P(x,y,z)dx
\end{align}
$$
Итак,
$$\iint\limits_{S_{1}}\cfrac{\partial P}{\partial z}dxdz -
\cfrac{\partial P}{\partial y}dxdy =
\int\limits_{\Gamma_{1}}Pdx$$
Аналогично:
$$\iint\limits_{S_{1}}-\cfrac{\partial Q}{\partial z}dydz +
\cfrac{\partial Q}{\partial x}dxdy =
\int\limits_{\Gamma_{1}}Qdy$$
$$\iint\limits_{S_{1}}\cfrac{\partial R}{\partial y}dydz -
\cfrac{\partial P}{\partial y}dxdz =
\int\limits_{\Gamma_{1}}Rdz$$
Сложим
$$
\begin{align}
\Rightarrow
\iint\limits_{S}(rot\overline{a},\overline{n})dS =
\iint\limits_{\Gamma_{1}}Pdx+Qdy+Rdz
\end{align}
$$
2 Этап:
$$
\begin{align}
\iint\limits_{S}(rot\overline{a},\overline{n})dS =
\sum_{i=1}^{k}\iint\limits_{\sigma_{i}}(rot\overline{a},\overline{n})dS=
\sum_{i=1}^{k}\int\limits_{\Gamma_{i}}Pdx+Qdy+Rdz= \\
=\int\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz
\end{align}
$$
Т.к общая часть границы двух кусков проходит в противоположных направлениях
**Квадратик**

**4. Теорема (Остроградский-Гаусс):**
Пусть $G$ - ограниченная область с кусочно-гладкой границей $S$, причем $G$ - можно представить в виде $G = \cup^{k_{1}}_{i=1}G^{I}_{i}=\cup^{k_{2}}_{i=1}G^{II}_{i}=\cup^{k_{3}}_{i=1}G^{III}_{i}$,
где $G^{I}_{i}$ - область $I$ типа
$G^{II}_{i}$ - область $II$ типа
$G^{III}_{i}$ - область $III$ типа
и $G^{I}_{i}$, $G^{I}_{j}$ - могут иметь только общую границу. Аналогично для $G^{II}_{i}$, $G^{II}_{j}$ и $G^{III}_{i}$, $G^{III}_{j}$
Если $P,Q,R, \cfrac{\partial P}{\partial x}, \cfrac{\partial Q}{\partial y}, \cfrac{\partial R}{\partial z}$ - непрерывны в $\overline{G} = G \cup S$, то

$\iint\limits_{S^{+}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=$ $\iiint\limits_{G}(\cfrac{\partial P}{\partial x} + \cfrac{\partial Q}{\partial y} + \cfrac{\partial R}{\partial z})dxdydz$, где $S^{+}$ - поверхность $S$ ориентированная нормалью $\overline{n}$ внешней по отношению к $G$

**Доказательство:**

1)
$G=G^{I}=\{(x,y,z): (x,y) \in D,
\varphi(x,y) \leq z \leq \psi(x,y) \}$
Найдем
$$
\begin{align}
\iiint\limits_{\overline{G}}\cfrac{\partial R}{\partial z}dxdydz =
\iint\limits_{D}dxdy\int\limits_{\varphi(x,y)}^{\psi(x,y)}\cfrac{\partial R}{\partial z}dz= (т.к \ \overline{G} = G \cup \Gamma)= \\
=\iint\limits_{D}R(x,y,\psi(x,y))dxdy -
\iint\limits_{D}R(x,y,\varphi(x,y))dxdy
\end{align}
$$
Итак,
$$
\begin{align}
\iiint\limits_{G}\cfrac{\partial R}{\partial z}dxdydz=
\iint\limits_{D}R(x,y,\psi(x,y))dxdy -
\iint\limits_{D}R(x,y,\varphi(x,y))dxdy \ (*)
\end{align}
$$
Найдем:
$$
\begin{align}
\iint\limits_{S_2}R(x,y,z)dxdy=(т.к \\
S_{2}: z=f(x,y), (x,y) \in D \\
\overline{r}(x,y)= x\overline{i} + y\overline{j} + f(x,y)\overline{k},
(x,y) \in D \Rightarrow
\overline{n} = \cfrac{[\overline{r}_x',\overline{r}_y']}{|[\overline{r}_x',\overline{r}_y']|} ) = \\
=\iint\limits_{D}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & R(x,y,\psi(x,y)) \\
1 & 0 & \psi_{x}' \\
0 & 1 & \psi_{y}'
\end{vmatrix}dxdy =
\iint\limits_{D}R(x,y,\psi(x,y))dxdy
\end{align}
$$
Аналогично по
$$
\begin{align}
S_{1}:
\iint\limits_{S_{1}}R(x,y,z)dxdy=
-\iint\limits_{D}R(x,y,\varphi(x,y))dxdy
\end{align}
$$
Из $(*) \Rightarrow$
$$
\begin{align}
\iiint\limits_{\overline{G}}\cfrac{\partial R}{\partial z} dxdydz=
\iint\limits_{S_{2}}Rdxdy+\iint\limits_{S_{1}}Rdxdy + \iint\limits_{S_{БОК}}Rdxdy = \iint\limits_{\Gamma}Rdxdy
\end{align}
$$
2.
$$
\begin{align}
G= \cup_{i=1}^{N}G_{i}^{I} \Rightarrow
\iiint\limits_{\overline G}\cfrac{\partial R}{\partial z}dxdydz =
\sum_{i=1}^{N}\iiint\limits_{\overline G_i}\cfrac{\partial R}{\partial z}dxdydz = \\
=\sum_{i=1}^{N}\iint\limits_{\Gamma_{i}}Rdxdy=\iint\limits_{\Gamma}Rdxdy
\end{align}
$$
т.к по общей части границы инт. взаимоуничтожаются
$\Gamma$ - граница $G$

3.
Т.к
$$
\begin{align}
G= \cup_{i=1}^{m}G_{i}^{II}=\cup_{i=1}^{k}G_{i}^{III} \Rightarrow
\iiint\limits_{\overline G}\cfrac{\partial Q}{\partial y}dxdydz=
\iint\limits_{\Gamma}Qdxdz \\
Аналогично \ \Rightarrow
\iiint\limits_{\overline G}\cfrac{\partial P}{\partial x}dxdydz=
\iint\limits_{\Gamma}Qdydz
\end{align}
$$

4.
Сложим все формулы
$$
\begin{align}
\Rightarrow
\iiint\limits_{\overline G}(
\cfrac{\partial P}{\partial x}+
\cfrac{\partial Q}{\partial y}+
\cfrac{\partial R}{\partial z})dxdydz=
\iint\limits_{\Gamma}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy
\end{align}
$$

**Квадратик**

# 21. Скалярные и векторные поля в областях евклидова пространства. Дивергенция и ротор векторного поля. Циркуляция и поток векторного поля. Интегральные формулы в векторных обозначениях.
Пусть $G \subset \mathbb R^{3}$ и в каждой точке $M \in G$ множества $G$ поставлен в соответствие вектор $\overline a(M)$. Тогда в $G$ задано векторное поле. ($\mathbb R^{n} \supset D \ni \forall x \rightarrow f(x) \in \mathbb R$ - скалярное поле).

**Определение**
Пусть $\overline a(M) = P(M)\overline i + Q(M)\overline j + R(M)\overline k;\ M(x,y,z)$
Тогда $\int\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$ -работа векторного поля при перемещении по кривой $\Gamma$
**Определение**
Пусть $\overline a = P\overline i + Q\overline j + R\overline k$ - векторное поле в области $G$.
Вектор
$$
\begin{align}
rot\overline a =
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
\cfrac{\partial}{\partial x} &
\cfrac{\partial}{\partial y} &
\cfrac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{vmatrix} =
\overline i(\cfrac{\partial R}{\partial y}- \cfrac{\partial Q}{\partial z})-
\overline j(\cfrac{\partial P}{\partial z}- \cfrac{\partial R}{\partial x}) + \overline k(\cfrac{\partial Q}{\partial x}- \cfrac{\partial P}{\partial y})
\end{align}
$$
называется ротором или вихрем векторного поля.

**Какой-то текст с (*)**
Предположим, что $P,Q,R \in C^{2}$ в $G$ и
$$
\begin{align}
du=Pdx+Qdy+Rdz \\
u : G \rightarrow \mathbb R \Rightarrow
\frac{\partial u}{\partial x} = P; \
\frac{\partial u}{\partial y} = Q; \
\frac{\partial u}{\partial z} = R; \\
rot\overline a =
(\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial z}) -
\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial y}))\overline i +
(\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial x}) -
\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial z}))\overline j + \\
+(\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial y}) -
\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial x}))\overline k= \overline o
\end{align}
$$
(Для односвязных областей верно и обратное)
**Определение**
Если $\overline a = P\overline i + Q\overline j + R\overline k$ - векторное поле в $G$, то для $M \in G$ число
$$
\begin{align}
div\overline a(M)=
\cfrac{\partial P}{\partial x} \Big|_{M} +
\cfrac{\partial Q}{\partial y} \Big|_{M} +
\cfrac{\partial R}{\partial z} \Big|_{M}
\end{align}
$$
называется дивергенцией поля $\overline a$ в точке $M$
**Определение**
Если $\Gamma$ - замкнутая, т.е. начало $=$ конец, то $\int\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$ называется циркуляцией векторного поля.
Обозначение, если $\Gamma$ - замкнутая: $\oint\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$

**Определение**
$\overline a = P\overline i + Q\overline j + R\overline k$ - векторное поле в области $G$
$$
\begin{align}
\iint\limits_{\partial G}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
\iint\limits_{\partial G}(\overline a, \bar{n})dS
\end{align}
$$
\- поток векторного поля $\overline a$ через $\partial G$ в направлении $\bar{n}$, $dS$ - кусочек поверхности $\partial G$.

Краткое пояснение (см. 9 вопрос): $dS = |[\bar{r}'_u, \bar{r}'_v]|dudv$, $\partial G: r = r(u, v)$.

# 22. Геометрические определения дивергенции и ротора.

**Геометрическое определение дивергенции**
$$
\begin{gathered}
\Gamma = \partial U_{\varepsilon}(M_{0}) = \{M: \rho(M_{0},M)=\varepsilon \} \\
\iiint\limits_{\overline{U_{\varepsilon}}} \mathrm{div} \overline a\ dxdydz=
\iint\limits_{\Gamma}(\overline a, \overline n)dS
\Rightarrow по \ т. \ о \ среднем \Rightarrow \\
\mathrm{div} \overline a(M^{*})\mu(U_{\varepsilon}(M_{0})) =
\iint\limits_{\Gamma}(\overline a, \overline n)dS
\end{gathered}
$$
При
$$
\begin{align}
M^* \in U_\varepsilon(M_0), \varepsilon \rightarrow 0 \Rightarrow M^{*} \rightarrow M_{0} \Rightarrow
\mathrm{div} \overline a(M_{0})= \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}
\cfrac{\iint\limits_{\Gamma}(\overline a, \overline n)dS}{\mu(U_{\varepsilon}(M_{0}))}
\end{align}
$$
\- геометрическое определение дивергенции

**Геометрическое определение ротора**

По теореме Стокса
$$\iint\limits_{S_\varepsilon}(rot\overline{a}, \overline{n})dS = \int\limits_{\partial{S_\varepsilon}}Pdx + Qdy + Rdz$$

$\Rightarrow$ По теореме о среднем
$$(rot\overline{a},\overline{n})\vert_{M^*} \cdot \mu(S_\varepsilon) = \int\limits_{\partial{S_\varepsilon}}Pdx + Qdy + Rdz$$

$$\Rightarrow (rot\overline{a},\overline{n})\vert_{M_\circ} = \lim\limits_{\varepsilon\to0}\frac{\int\limits_{\partial{S_\varepsilon}}Pdx + Qdy + Rdz}{\mu(S_\varepsilon)}$$
\- геометрическое определение ротора

# 23. Потенциальное векторное поле. Необходимое условие потенциальности. Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля в односвязной области. Соленоидальные поля.

$\overline{a} = P\overline{i} + Q\overline{j} + R\overline{k}$ \- векторное поле в $U\subset\mathbb{R^3}$.

Определим дифференциальную форму 1-й степени на $U$
$$w_{\overline{a}}(p)((\xi)_p) = (\overline{a}(p), \overline{\xi}) = P(p)\xi_1 + Q(p)\xi_2 + R(p)\xi_3 = P(p)dx((\xi)_p) + Q(p)dy((\xi)_p) + R(p)dz((\xi)_p) , \xi = (\xi_1, \xi_2, \xi_3)\in\mathbb{R^3}$$
Итак,
$w_{\overline{a}} = Pdx + Qdy + Rdz$ \- дифференциальная форма работы векторного поля.

**Определение:** $\int\limits_Cw_{\overline{a}}$ , где $C$ \- 1-мерная сингулярная цепь в $U$ называется работой векторного поля при перемещении по $C$
$$dw_{\overline{a}} = (\frac{\partial{P}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q}}{\partial{z}})dy\wedge{dz} + (\frac{\partial{P}}{\partial{z}} - \frac{\partial{R}}{\partial{x}})dz\wedge{dx} + (\frac{\partial{Q}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{y}})dx\wedge{dy}$$

**Определение:** Векторное поле $\overline{a}$ называется потенциальным в $U$, если $\exists$ функция $F: U \rightarrow R: \overline{a} = \nabla{F} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}}\overline{i} + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}\overline{j} + \frac{\partial{F}}{\partial{z}}\overline{k}$

**Теорема 1:** Поле потенциально в $U \Leftrightarrow \int\limits_C{w_{\overline{a}}} = 0$ для $\forall$ замкнутого пути $C$ в $U$.

**Теорема(необходимое условие потенциальности):** Если векторное поле $\overline{a}$ потенциально, то $rot(\overline{a}) = 0$.
**Доказательство:** Векторное поле $\overline{a}$ потенциально в $U \Rightarrow \exists$ функция $F: U \rightarrow R: \overline{a} = \nabla{F} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}}\overline{i} + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}\overline{j} + \frac{\partial{F}}{\partial{z}}\overline{k}$
$$\Rightarrow {w_{\overline{a}}} = \frac{\partial{F}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{F}}{\partial{y}}dy + \frac{\partial{F}}{\partial{z}}dz = dF \Rightarrow$$
$$\Rightarrow dw_{\overline{a}} = d(dF) = 0 \Rightarrow rot(\overline{a}) = 0$$

**Теорема(необходимое и достаточное условие потенциальности):** Если область $U$ односвязна и $rot(\overline{a}) = 0$, то поле потенциально.
**Доказательство:** $rot\overline{a} = 0 \Rightarrow dw_{\overline{a}} = 0 \Rightarrow$ для $\forall{C}$ - замкнутого пути $\Rightarrow C$ гомотопен постоянному $C_\circ : [0, 1] \rightarrow$ точка $\in{U} \Rightarrow \int\limits_C{w_{\overline{a}}} = \int\limits_{C_{\circ}}{w_{\overline{a}}} = 0 \Rightarrow$(по теореме 1 выше) поле потенциально.

**Определение:**
Векторное поле, поток которого через $\forall$ кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области $D$ и являющуюся границей некоторой ограниченной области, равен нулю, называется **соленоидальным** в $D$.
Другой вариант **определния**
Поле вектора называется соленоидальным, если дивергенция вектора в каждой точке поле равна нулю.