# 1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Замена переменной и интегрирование по частям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных дробей.
$F(x)$ - первообразная $f(x)$ на $X$, если $F(x)$ - дифференцируема на $X$ и $F'(x) = f(x), \forall x \in X$

## Теорема
**Формулировка.** $F_1(x), F_2(x)$ - первообразные $f(x), \forall x \in X \Rightarrow \exists C \in \mathbb{R}: F_1(x) = F_2(x) + c$

**Док-во.** $H(x) = F_1(x) - F_2(x)$ на $[x_1, x_2], x_1, x_2 \in X$ удовлетворяет т. Лагранжа, следовательно $H(x_2) - H(x_1) = H'(\xi)(x_2-x_1) = 0$

$H'(\xi) = F_1'(\xi) - F_2'(\xi) = 0 \Rightarrow F_1(\xi) - F_2(\xi) = const$


*Условие теоремы Лагранжа: $f \in C[a, b], \exists f'(x)$ на $(a, b)$*

## Определение

## Свойства неопределенного интеграла

## Теорема - интегрирование заменой переменной
**Формулировка.** $F(x)$ - первообразная $f(x)$ на $X, \varphi:T\to X, \varphi$ - дифференцируема на $T \Rightarrow \int f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)dt = \int f(x)dx\vert_{x=\varphi(t)}$


## Теорема - интегрирование по частям

## Таблица интегралов

## Теорема - интегрирование рациональных дробей
**Формулировка.** Пусть $\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ - рациональная дробь, где $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, а $Q_m(x) = A * (x - a_1)^{\alpha_1} * ... * (x - a_k)^{\alpha_k} * (x^2 + p_1 x + q_1)^{\beta_1} * ... * (x^2 + p_s x + q_s)^{\beta_s}$, $\alpha_1 + ... + \alpha_k + 2\beta_1 + ... + 2\beta_s = m$; $p_i^2 - 4q_i < 0, i = 1, 2, ..., s$; $n < m$.
Тогда

$a_{i, j}, b_{i, j}, c_{i, j} = const$

Отсюда следует, что интегрирование рациональной дроби сводится к нахождению следущих 4 интегралов:
1.$\begin{align*}
\int\limits\dfrac{dx}{x-a} = \ln|x-a|+C
\end{align*}$
2.$\begin{align*}
\int\limits\dfrac{dx}{(x-a)^n} = \dfrac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}+C, n > 1
\end{align*}$
3.$\begin{align*}
\int\limits\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}dx = \dfrac{A}{2}\ln(x^2+px+q) + \bigg(B - A\dfrac{p}{2} \bigg) \dfrac{1}{a} arctg \dfrac{x+\dfrac{p}{2}}{a} + C,
\end{align*}$
$\begin{align*} a^2 = q - \dfrac{p^2}{4} \geq 0 \end{align*}$
4.$\begin{align*}
\int\limits\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^m}dx = \dfrac{A}{2}
\dfrac{(t^2+a^2)^{m+1}}{-m+1} + \bigg(B - A\dfrac{p}{2} \bigg) I_m, t=x+\dfrac{p}{2},
\end{align*}$
$\begin{align*}
a^2 = q - \dfrac{p^2}{4} \geq 0, I_m = \int\limits\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^m}
\end{align*}$

$\begin{align*}
I_{m+1} = \dfrac{t}{2ma^2(t^2+a^2)^m} + \dfrac{2m-1}{2ma^2}I_m, m = 1, 2, 3, ...
\end{align*}$

# 2. Интеграл Римана, его свойства. Необходимое условие интегрируемости, достаточное условие интегрируемости.

## Определение

## Свойства интеграла Римана
*В 5 вопросе*

## Теорема - необходимое условие интегрируемости

## Теорема - Критерий Коши интегрируемости по Риману

$\Rightarrow$:

*Верно так как $|\sigma' - \sigma''| = |(\sigma' - I) + (I - \sigma'')| \leq |\sigma' - I| + |\sigma'' - I| < \varepsilon$*

$\sigma = \sum\limits_if(\xi)\Delta x_i$

$\Leftarrow$:
*(Предел существует по Критерию Коши)*
>Последовательность точек {$x_n$}$^\infty_{n=1}$ метрического пространства $(X, \rho)$ называется **фундаментальной**, если она удовлетворяет **критерию Коши**:
>Для всякого $\varepsilon > 0$ найдётся такое натурально $N$, что $\rho(x_n,x_m) < \varepsilon$ для всех $n,m > N$


**А сейчас Булат как вставит свое доказательство**

Сделаем доказательство необходимого утвержения немного короче:

Пусть $\varepsilon_n = \frac{1}{n}$ и для него найдем $\delta_n$ такое, чтобы условие торемы ($\Leftarrow$) выполнялось.

Понятно, что $\{\sigma(f, P, \xi) | d(P) < \delta_n\}$ ограничено. Пусть тогда $\rho_n = \{(P, \xi) | d(P) < \delta_n\}$ и $m_n = \inf_\limits{\rho_n}\sigma(f, P, \xi), M_n = \sup_\limits{\rho_n}\sigma(f, P, \xi)$, тогда

$\forall (P_n, \xi_n): d(P_n) < \delta_n$

$$m_n \leq \sigma(f, P_n, \xi_n) \leq M_n$$

Понятно, что $n \to \infty \Rightarrow \delta_n \to 0$, но тогда $n \to \infty \Rightarrow (M_n - m_n) \to 0$.

По теореме Коши-Кантора о вложенных отрезках, $\exists I \in \cap_{i = n}^{\infty}[m_n; M_n]$, тогда

$$|\sigma(f, P_n, \xi_n) - I| \leq M_n - m_n$$

При $n \to \infty \Rightarrow (M_n-m_n) \to 0$, следовательно, $\exists I = \lim_\limits{d(P) \to 0}\sigma(f,P,\xi)$

## Определение
$\omega(f, E) = \sup\limits_{x', x'' \in E}|f(x') - f(x'')|$ - колебание $f$ на $E$

$\Delta_i = [x_{i-1}, x_i]$

## Теорема - достаточное условие интегрируемости

**Док-во.** По условию: $\forall \varepsilon > 0: \exists \delta_\varepsilon > 0: \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n, d(\tau) < \delta_\varepsilon \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n \omega(f, \Delta_i)\Delta x_i < \dfrac{\varepsilon}{2}$

Рассмотрим произвольное $\tau = \{x_i\}_{i=0}^n$ и $\tau' = \{x_{ij}\}_{i=0, j=0}^{n, n_i}$ - разбиение $[a, b]$, которое называется продолжением разбиения $\tau$, причем $\Delta x_i = \sum\limits_{j=0}^{n_i}\Delta x_{ij}$

Пусть $\xi_i$ - точка на отрезке $\tau$, а $\xi'_{ij}$ - на $\tau'$, тогда:
$$
\begin{align*}
|\sigma - \sigma'| &= |\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i - \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n_i}f(\xi'_{ij})\Delta x_{ij}| = |\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n_i}(f(\xi_i) - f(\xi'_{ij}))\Delta x_{ij}| \leq \\
&\leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n_i}|f(\xi_i) - f(\xi'_{ij})|\Delta x_i \leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n_i}\omega(f, \Delta_i) \Delta x_{ij} = \sum_{i=1}^n\omega(f, \Delta_i)\Delta x_i
\end{align*}
$$

Следовательно:
$$
|\sigma - \sigma'| \leq \sum_{i=1}^n\omega(f, \Delta_i)\Delta x_i < \dfrac{\varepsilon}{2}
$$

Пусть $\forall \tau', \tau'': d(\tau'), d(\tau'') < \delta, \tau''' = \tau' \cup \tau''$ - продолжение $\tau'$ и $\tau''$ тогда:
$$
|\sigma' - \sigma''| \leq |\sigma' - \sigma'''| + |\sigma''' - \sigma''| \leq \sum_{i=1}^n \omega(f, \Delta'_i)\Delta x'_i + \sum_{i=1}^n \omega(f, \Delta''_i)\Delta x''_i = \varepsilon
$$

Итого, т.к. $\forall \varepsilon > 0: \exists \delta_\varepsilon > 0: \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n, d(\tau) < \delta_\varepsilon \Rightarrow |\sigma' - \sigma''| < \varepsilon$, по Критерию Коши $f \in R[a,b]$

# 3. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
## Теорема - интегрируемость непрерывных функций
**Формулировка.** $f \in C[a, b] \Rightarrow f \in R[a, b]$
**Док-во.** $f \in C[a,b] \Rightarrow f$ - равномерно непрерывная на $[a, b]$ *(по теореме Кантора)* $\Rightarrow$
$$
\begin{align*}
\forall \varepsilon>0: \exists\delta>0: \forall x', x'' \in [a, b], |x' - x''| < \delta \Rightarrow |f(x') - f(x'')| &< \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)} \Rightarrow \\
\Rightarrow \forall \tau, d(\tau) < \delta \Rightarrow \omega(f, \Delta_i) = \sup_{x', x'' \in \Delta_i} |f(x') - f(x'')| &< \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}
\end{align*}
$$

из того, что $|x' - x''| \leq |\Delta_i| \leq d(\tau) < \delta \Rightarrow$

$$
\begin{align*}
\sum_iw(f, \Delta_i)\Delta x_i \leq \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)} \sum_i\Delta x_i = \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \Rightarrow f \in R[a,b]
\end{align*}
$$

## Теорема - интегрируемость монотонных функций
**Формулировка.** $f$ - монотонна на $[a,b] \Rightarrow f \in R[a,b]$

*(Пояснение к первому шагу: $\omega(f, \Delta x_i) = |f(x_i) - f(x_{i-1})|, \delta > \Delta x_i$)*

# 4. Суммы Дарбу, критерий интегрируемости.
## Определение

## Теорема - критерий интегрируемости Дарбу 1

Для верхней суммы:

Для нижней суммы:

## Определение
*(Можно расписать по определению предела)*

## Теорема - критерий интегрируемости Дарбу 2
**Формулировка.** $f \in R[a, b] \Leftrightarrow f$ - ограниченная на $[a,b], \exists I^*, I_*, I^* = I_*.$ Их общее значение совпадает с $\int_a^bf(x)dx.$

$\Leftarrow$: *(ограниченность нужна, чтобы показать, что $I^* = I_*$ - число)*
*(по двум копам)*

$\Rightarrow$:
$$
I - \varepsilon < \sigma < I + \varepsilon
$$

$$
s_\tau = \inf_\xi(\sigma) \Rightarrow \exists \xi^*: s_\tau + \varepsilon > \sigma(f, \tau, \xi^*) = \sigma^* \Rightarrow \sigma^* - \varepsilon < s_\tau
$$

$$
I - 2\varepsilon < \sigma^* - \varepsilon < s_\tau \leq \sigma^* < I + \varepsilon < I + 2\varepsilon
$$

Итого: $\forall \varepsilon > 0: \exists \delta > 0: \forall(\tau, \xi), d(\tau) < \delta \Rightarrow |s_\tau - I| < 2\varepsilon$, *аналогично с $S_\tau$*

# 5. Свойства определенного интеграла.
## Теорема - линейность

## Теорема - хз

## Теорема - аддитивность

Пусть $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \dfrac{\varepsilon}{3M}), M > 0: |f(x)| \leq M, \forall x \in [a, c]$ *($M$ существует, т.к. $f$ - ограниченная на $[a,b] \cup [b, c]$ )*

Пусть $(\tau, \xi)$ - произвольное разбиение $[a,c], d(\tau) < \delta$

1. Если $b \in \tau (x_{i^*} = b)$:

$$
\begin{align*}
|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i - I_1 - I_2| &= |(\sum_{i=1}^{i^*}f(\xi_i)\Delta x_i - I_1) + (\sum_{i=i^*}^nf(\xi_i)\Delta x_i - I_2)| \leq \\
&\downarrow \\
& \tau = \{x_i\}_{i=0}^{i^*} \cup \{x_i\}_{i=i^*}^n \\
\leq |\sum_{i=1}^{i^*}f(\xi_i)\Delta x_i - I_1| + |\sum_{i=i^*}^nf(\xi_i)\Delta x_i - I_2| &< \varepsilon + \varepsilon < 2\varepsilon
\end{align*}
$$

2. Если $b \notin \tau \Rightarrow b \in (x_{i^*-1}, x_{i^*})$, тогда пусть:

$\tilde{\tau} = \tau \cup \{b\}, \tilde{x}_{i^*} = b$,

$\xi'_{i^*}, \xi''_{i^*}$ - произвольно выбранные точки на $[x_{i^* - 1}, \tilde{x}_{i^*}], [\tilde{x}_{i^*}, x_{i^*}]; \tilde{\xi} = \xi \cup \{\xi'_{i^*}, \xi''_{i^*}\}$

Тогда из п. 1 следует, что $|\sum\limits_{\xi_i \in \tilde{\xi}} f(\xi_i)\Delta x_i - I_1 - I_2| < 2\varepsilon$

Рассмотрим:
$$
\begin{align*}
&|\sum_{\xi_i\in\tilde{\xi}}f(\xi_i)\Delta x_i - \sum_{\xi_i\in\xi}f(\xi_i)\Delta x_i| = \\
&= |f(\xi'_{i^*})(b - x_{i^* - 1}) + f(\xi''_{i^*})(x_{i^*} - b) - f(\xi_{i^*})(x_{i^*} - x_{i^* - 1})| \leq \\
&\leq |f(\xi'_{i^*})||b - x_{i^* - 1}| + |f(\xi''_{i^*})||x_{i^*} - b| + |f(\xi_{i^*})||x_{i^*} - x_{i^* - 1}| < \\
&< M\delta + M\delta + M\delta = 3M\delta \leq \varepsilon, \text{т.к. } \delta = \min(\delta_1, \delta_2, \dfrac{\varepsilon}{3M})
\end{align*}
$$

Тогда:
$$
\begin{align*}
|\sum_{\xi_i \in \xi}f(\xi_i)\Delta x_i - I_1 - I_2| = |(\sum_{\xi_i\in\xi}f(\xi_i)\Delta x_i - \sum_{\xi_i\in\tilde{\xi}}f(\xi_i)\Delta x_i) + (\sum_{\xi_i\in\tilde{\xi}}f(\xi_i)\Delta x_i - I_1 - I_2)| &< \varepsilon + 2\varepsilon = 3\varepsilon \\
&\downarrow \\
\text{модуль суммы меньше суммы }&\text{модулей}
\end{align*}
$$

**Итого**: $f \in R[a,c], \int\limits_a^cf(x)dx = I_1 + I_2$

## Теорема сравнения интегралов

## Теорема об интегрируемости произведения
**Формулировка.** $f, g \in R[a,b] \Rightarrow f\cdot g \in R[a, b]$

**Док-во.**

1. $f \in R[a, b] \Rightarrow f^2 \in R[a,b]:$
$f$ - ограниченная, следовательно $\exists M > 0: |f(x)| \leq M \forall x \in [a, b]$, тогда:
$$
|f^2(x') - f^2(x'')| = |(f(x') - f(x''))(f(x') + f(x''))| \leq 2M|f(x') - f(x'')|, \forall x \in [a, b]
$$

следовательно, для произвольного разбиения $[a,b]$ - $\tau$ истино, что:
$$
\omega(f^2, \Delta_i) = \sup\limits_{x', x'' \in \Delta_i}|f^2(x') - f^2(x'')| \leq 2M\cdot\omega(f, \Delta_i) \Rightarrow \sum_{i=1}^n\omega(f^2, \Delta_i)\Delta x_i \leq 2M\cdot\sum_{i=1}^n\omega(f, \Delta_i)\Delta x_i < \varepsilon
$$
2. $fg = \dfrac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4} \Rightarrow fg \in R[a,b]$

## Теорема об интеграле модуля

# 6. Теорема о среднем.
Также, если $f \in C[a,b]$, то $\exists \xi \in [a,b]: \int\limits_a^bf(x)g(x)dx = f(\xi)\int\limits_a^bg(x)dx$

**Док-во.**

$g(x) \geq 0 \Rightarrow m \leq f(x) \leq M \Rightarrow mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)\Rightarrow m\int\limits_a^bg(x)dx \leq \int\limits_a^bf(x)g(x)dx \leq M\int\limits_a^bg(x)dx$

Тогда:
1. $\int\limits_a^bg(x)dx = 0 \Rightarrow 0 \leq 0 \leq 0 \Rightarrow \mu$ - любое
2. $\int\limits_a^bg(x)dx > 0 \Rightarrow m \leq \dfrac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int_a^bg(x)dx} \leq M \Rightarrow \mu = \dfrac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int_a^bg(x)dx}$

Если $f \in C[a, b]$, то по теореме **Больцано-Коши**: $\exists \xi \in [a,b]: f(\xi) = \mu$

# 7. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость.
## Определение
$f \in R[a, b] \Rightarrow \forall x \in [a,b]: f \in R[a, x] \Rightarrow$ на $[a,b]$ определена функция $F(x) = \int\limits_a^xf(t)dt$, которая называется интегралом с перменным верхним пределом

## Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом

## Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом
**Док-во.**
$$
\begin{align*}
\left|\frac{F(x_0+\Delta x) - F(x_0)}{\Delta x} - f(x_0)\right| = |\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}f(t)dt - \frac{1}{\Delta x}&\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}f(x_0)dt| = \frac{1}{|\Delta x|} |\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}(f(t) - f(x_0))dt| \\
& \downarrow \\
f(x_0)\cdot\frac{x_0 + \Delta x - x_0}{\Delta x} &= f(x_0) \\
\end{align*}
$$

$f$ - непрерывна в $x_0 \Rightarrow \forall \varepsilon: \exists \delta > 0: \forall \Delta x, |\Delta x| < \delta \Rightarrow |f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)| < \dfrac{\varepsilon}{2}$, тогда для $t \in [x_0, x_0 + \Delta x]: |f(t) - f(x_0)| < \dfrac{\varepsilon}{2}$, следовательно:

$$
\frac{1}{|\Delta x|} |\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}(f(t) - f(x_0))dt| \leq \frac{1}{|\Delta x|}|\int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\frac{\varepsilon}{2}dt| = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon
$$

Итого: $\forall \varepsilon: \exists \delta > 0: \forall \Delta x, |\Delta x| < \delta: |\frac{F(x_0+\Delta x) - F(x_0)}{\Delta x} - f(x_0)| < \varepsilon \Leftrightarrow \exists F'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{F(x_0+\Delta x) - F(x_0)}{\Delta x} = f(x_0)$

## Следствие
$f \in C[a, b] \Rightarrow F(x)$ дифференцируема в $\forall x \in [a,b], F'(x) = f(x) \Rightarrow F$ - первообразная $f$ на $[a, b]$,

$$
\int f(x)dx = \int_a^x f(t)dt + c
$$

# 8. Формула Ньютона – Лейбница.
**Формулировка.** $f \in C[a, b], \Phi(x)$ - первообразная $f$ на $[a, b] \Rightarrow$

$$
\int_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi(x)\Big|_a^b
$$


# 9. Замена переменной и интегрирование по частям.
## Теорема - формула интегрирования по частям

## Теорема - замена переменной в интеграле

# 10. Несобственные интегралы, определение, свойства, критерий Коши. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций.
## Определение
**Несобственный интеграл первого рода**
Пусть $f(x):[a;+\infty) \rightarrow \mathbb{R}: f(x) \in R[a;b] \forall [a;b] \subset [a;+\infty)$, тогда введем следующее обозначение:

$$
∫_a^∞f(x)dx:=\lim_{b→∞}∫_a^bf(x)dx
$$

Говорят, что несобственный интеграл сходится, если соответствующий предел существует, и расходится в противном случае.

**Несобственный интеграл второго рода**
Введем аналогиченое определение.

Пусть $f(x):[a;w) \to \mathbb{R}: f(x) \in R[a;b] \forall [a;b] \subset [a;w)$, тогда введем следующее обозначение:

$$∫_a^wf(x)dx:=\lim_{b→w}∫_a^bf(x)dx$$

**Обобщеное определение несобственного интеграла**
Пусть $[a;w)$ - конечный или бесконечный промежуток, а $x \to f(x)$ - функция, определенная на нем и интегрируемая на каждом её подотрезке. Тогда по определению.

$$∫_a^wf(x)dx:=\lim_{b→w}∫_a^bf(x)dx$$

Если указанный предел при $b \to w$ существует.

## Свойства несобственного интеграла
### Утверждение 1
Пусть $f: x \to f(x)$ и $g: x \to g(x)$ - функции, определенные на промежутке $[a;w)$ и интегрируемые на любом его подотрезке. Пусть для них определены несобственные интегралы:

$$∫_a^wf(x)dx,∫_a^wg(x)dx$$

*Тогда*:

1. $w \in \mathbb{R}$ и $f \in R[a;w]$, то значения интеграла $\int_a^wf(x)dx$ совпадают как в несосбственном, так и в собственном смысле.
2. $\forall \lambda_1 \lambda_2 \in \mathbb{R}$ функция $(\lambda_1 f + \lambda_2 g)(x)$ интегрируема в несобственном смысле на $[a;w)$ и справедливо равенство:

$$∫_a^w(λ_1f+λ_2g)(x)dx=λ_1∫_a^wf(x)dx+λ_2∫_a^wg(x)dx$$

3. Если $c \in [a;w)$, то
$$∫_a^wf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^wf(x)dx$$

4. Если $\varphi:[\alpha;\gamma) \to [a;w)$ - гладкое (т.е. $\varphi \in C^{(1)}[\alpha;\gamma)$), строго монотонное отображение, причем $\varphi(\alpha) = a$ и $\varphi(\beta) \to w$ при $\beta \to \gamma$, $\beta \in [\alpha; \gamma)$, то несобственный интеграл от функции $t \to (f \circ \varphi)\varphi^{'}(t)$ на $[\alpha; \gamma)$ существует и справедливо равенство:

$$∫_a^wf(x)dx=∫_α^γ(f∘ϕ)ϕ′(t)dt$$

5. Если $f, g \in C^{(1)}[a;w)$ и существует предел $\lim\limits_{x \to w\\x \in [a;w)}(f \cdot g)(x)$, то функции $f^{'} \cdot g$ и $f \cdot g^{'}$ одновременно интегрируемы и неинтрегрируемы в несобственном смысле на $[a;w)$, и в случае интегрируемости справедливо равенство:
$$\int_a^wf \cdot g^{'}dx = (f \cdot g)(x)|_a^w - \int_a^wf^{'} \cdot g(x),$$
где $$(f \cdot g)(x)|_a^w = \lim_{x \to w \\ x \in [a;w)}(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(a)$$

Первое свойство следует из непрерывности первообразной, остальные следуют из свойств определенного интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.

## Теорема - необходимое условие сходимости интеграла
**Формулировка.**
$$\int_a^bf(x)dx \text{ - сходится, то } \lim_{\eta \to b} \int_\eta^bf(x)dx = 0$$
**Док-во.**
$$\int_a^\eta f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^\eta f(x)dx \text{ - по третьему свойству}$$

$$\exists \lim_{\eta \to b}\int_a^\eta f(x)dx = \int_a^b f(x)dx \text{ - по условию}$$
$$\exists\lim_{\eta \to b}\int_c^\eta f(x)dx \Rightarrow \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx \xrightarrow{c \to b}$$

$$\xrightarrow{c \to b} \int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \lim_{c\to b}\int_c^b f(x)dx \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \lim_{c\to b}\int_c^b f(x)dx = 0$$

## Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Собственно, он является лишь частным случаем Критерия Коши сходимости предела функций. Давайте дадим ему точное условие и содержание.

**Критерий Коши**
Если функция $x \to f(x)$ определена на промежутке $[a;w)$ и интегрируема на любом его подотрезке, то интеграл $\int_a^wf(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такой $B \in [a;w)$, что при любых $b_1, b_2 \in [a;w)$ таких, что $B < b_1, B < b_2$ имеет место соотношение:

$$|∫_{b_1}^{b_2}f(x)dx|<ε$$

**Док-во.**
$$∫_{b_1}^{b_2}f(x)dx=∫_a^{b_2}f(x)dx−∫_a^{b_1}f(x)dx=F(b_2)−F(b_1),$$

где $F$ - первообразная функции $f$.

Следовательно, сформулированный критерий является лишь частным случаем Критерия Коши для вещественнозначных функций одной переменной.

## Интеграл от неотрицательных функций
## Теорема - необходимость и достаточность сходимости интеграла от неотрицательной функции
**Формулировка.** Если функция $f:[a;w) \to \mathbb{R}$ интегрируема на любом подотрезке промежутка $[a;w)$ и $\forall x \in [a;w): 0 \leq f(x)$ то несобственный интеграл $\int_a^wf(x)dx$ существует тогда и только тогда, когда функция $F(x) = \int_a^xf(t)dt$ ограничена на $[a;w)$.

**Док-во.** Действительно, если $0 \leq f(x)$, то функция $F(x)$ неубывающая на $[a;w)$ и потому она имеет предел при $b \to w$ тогда и только тогда, когда она ограничена на $[a;w)$.

## Теорема - признак сравнения и сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций
**Формулировка.** Пусть функции $x \to f(x), x \to g(x)$ определены на промежутке $[a;w)$ и интегрируемы на любом его подотрезке.

Если на $[a;w)$

$$0≤f(x)≤g(x),$$

то из сходимости $\int_a^wg(x)dx$ следует сходимость $\int_a^wf(x)dx$, и справедливо неравенство:

$$∫_a^wf(x)dx≤∫_a^wg(x)dx,$$

а из расходимости последнего следует расходимость первого.

**Док-во.** Из условий теоремы и неравенств для собственного интеграла Римана при любом $b \in [a;w)$ имеем

$$F(b)=∫_a^bf(x)dx≤∫_a^bg(x)dx=G(b).$$

Поскольку обе функции неубывающие на $[a;w)$, то теорема следует из написанного неравенства и *прошлой теоремы*.

# 11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Пусть $f: [a,b) \to \mathbb{R}, f \in R[a, \eta], \forall \eta \in [a,b)$, если $\lim\limits_{x\to b-}f(x) = \infty$ при $b < +\infty$, то:

- $\int\limits_a^bf(x)dx$ - называется абсолютно сходящимся, если $\int\limits_a^b|f(x)|dx$ сходится
- $\int\limits_a^bf(x)dx$ - называется условно сходящимся, если $\int\limits_a^b|f(x)|dx$ расходится, а $\int\limits_a^bf(x)dx$ сходится

## Теорема об абсолютной сходимости
**Формулировка.** $\int\limits_a^b|f(x)|dx$ сходится $\Rightarrow \int\limits_a^bf(x)dx$ сходится

**Док-во.** То что $F(\eta) = \int\limits_a^\eta f(x)dx$ сходится $\Leftrightarrow \exists \lim\limits_{\eta\to b}F(\eta) \Leftrightarrow$ *(по Критерию Коши)*
$$
\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists \eta_\varepsilon \in [a,b): \forall \eta', \eta'' \in (\eta_\varepsilon, b): |F(\eta') - F(\eta'')| < \varepsilon \Leftrightarrow |\int_{\eta'}^{\eta''}f(x)dx| < \varepsilon
$$

Пусть $\int\limits_a^b|f(x)|dx$ сходится $\Leftrightarrow$
$$
\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists \eta_\varepsilon \in [a,b): \forall \eta', \eta'' \in (\eta_\varepsilon, b): \Big|\int_{\eta'}^{\eta''}|f(x)|dx\Big| < \varepsilon,
$$

а $\Big|\int\limits_{\eta'}^{\eta''}f(x)dx\Big| \leq \Big|\int\limits_{\eta'}^{\eta''}|f(x)|dx\Big| < \varepsilon \Rightarrow \int\limits_a^bf(x)dx$ сходится

# 12. Признаки Дирихле и Абеля.
## Теорема - признак сходимости Дирихле
**Формулировка.** Пусть для несобственного интеграла $\int\limits_a^bf(x)g(x)dx$ выполняется:
- $f(x)$ - непрервына и имеет ограниченную первообразную $F(x)$ на $[a,b)$
- $g(x)$ - непрервыно дифференцируема, монотонна и $\lim\limits_{x \to b}g(x) = 0$

Тогда $\int\limits_a^bf(x)g(x)dx$ сходится

**Док-во.** Пусть $\eta \in [a, b) \Rightarrow$ *(по формуле интегрирования по частям)*
$$
\int\limits_a^\eta f(x)g(x)dx = F(x)g(x)\Big|_a^\eta - \int\limits_a^\eta F(x)g'(x)dx,
$$

где $\lim\limits_{\eta \to b}F(\eta)g(\eta) = 0$, т.к. $F$ - ограничена, а $\lim\limits_{x \to b}g(x) = 0$ *(по условию)*.

Рассмотрим:
$$
\begin{align*}
\int\limits_a^\eta \Big|F(x)g'(x)\Big|dx = \int\limits_a^\eta \Big|F(x)\Big|\Big|g'(x)\Big|dx &\leq M \int\limits_a^\eta \Big|g'(x)\Big|dx \\
&\downarrow \\
F(x) \text{ - огр. } \Rightarrow\exists M > 0: |F(x)| &\leq M, \forall x \in [a,b)
\end{align*}
$$


при $g′(x)≥0: M\int\limits_a^\eta|g′(x)|dx=M\int\limits_a^\eta g′(x)dx=M(g(η)−g(a))≤M(−g(a))=const$
при $g′(x)≤0:M\int\limits_a^\eta |g′(x)|dx=−M\int\limits_a^\eta g′(x)dx=M(g(a)−g(η))≤M⋅g(a)=const$

Значит $\int\limits_a^\eta \Big|F(x)g'(x)\Big|dx$ сходится $\Rightarrow \int\limits_a^b \Big|F(x)g'(x)\Big|dx$ сходится $\Rightarrow \int\limits_a^b F(x)g'(x)dx$ сходится $\Rightarrow$ $\Rightarrow \exists\lim\limits_{\eta \to b}\int\limits_a^\eta F(x)g'(x)dx$

**Итого**: $\lim\limits_{\eta \to b}F(\eta)g(\eta) = 0$ и $\exists\lim\limits_{\eta \to b}\int\limits_a^\eta F(x)g'(x)dx \Rightarrow \exists\lim\limits_{\eta \to b}\int\limits_a^\eta f(x)g(x)dx$

## Теорема - признак сходимости Абеля
**Формулировка.** Пусть для несобственнго интеграла $\int\limits_a^bf(x)g(x)dx$ выполняется:
- $f(x)$ - непрервына на $[a, b), \int\limits_a^bf(x)dx$ сходится
- $g(x)$ - непрервыно дифференцируема на $[a, b)$, монотонна и ограничена

Тогда $∫\limits_a^bf(x)g(x)dx$ сходится

**Док-во.** Пусть $g_1(x) = g(x) - g(b^-)$, причем $\lim\limits_{x\to b^-}g_1(x) = 0$, $\int\limits_a^b f(x)g_1(x)dx$ сходится, причем

$$
\int\limits_a^b f(x)g_1(x)dx = \int\limits_a^b f(x)g(x)dx - g(b^-)\int\limits_a^b f(x)dx \Rightarrow
$$

$$
\Rightarrow \int\limits_a^b f(x)g(x)dx = \int\limits_a^b f(x)g_1(x)dx + g(b^-)\int\limits_a^b f(x)dx
$$

а $\int\limits_a^b f(x)g_1(x)dx$ и $g(b^-)\int\limits_a^b f(x)dx$ сходятся, следовательно и $\int\limits_a^b f(x)g(x)dx$ сходится

# 13. Метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Сходимость последовательности. Предельные точки множества. Замыкание множества.
## Определение
Пара $(X, \rho)$, где $X$ - произвольное множество, $\rho:X\times X \to \mathbb{R}$, удовлетворяющее следующим аксиомам метрики:

Функция $\rho$ называется расстоянием или метрикой на $X$

## Лемма - неравенство Коши-Буняковского
**Формулировка.** Пусть $a_1,..,a_n, b_1,..,b_n \in \mathbb{R}^n$, тогда:
$$
\Big|\sum_{i=1}^na_ib_i\Big| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^nb_i^2}
$$
**Док-во.** Пусть $F(t) = \sum\limits_{i=1}^n(a_it-b_i)^2 \geq 0$
$$
F(t) = t^2\sum_{i=1}^na_i^2 - 2t\sum_{i=1}^na_ib_i + \sum_{i=1}^nb_i^2
$$

$F(t) \geq 0, \forall t \Leftrightarrow \dfrac{D}{4} = \left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2 - \sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{i=1}^nb_i^2 \leq 0 \Rightarrow$
$$
\Rightarrow \Big|\sum_{i=1}^na_ib_i\Big| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^nb_i^2}
$$

## Неравенство Минковского (частный случай)
**Формулировка.**
$$
\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i+y_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}
$$
**Док-во.**

## Определение
*Также, обозначается $U_\varepsilon(a)$*



$Y \subset X$, точка $y$ называется **предельной точкой** $Y$, если $\forall \varepsilon > 0: U_\varepsilon(y) \cap Y$ - бесконечно.

Объединение множества $Y$ со всеми его предельными точками называется его **замыканием** и обозначается $\bar{Y}$.

## Теорема
**Формулировка.** Множество замкнуто $\Leftrightarrow$ оно совпадает со своим замыканием
$\Rightarrow$:
*Пояснение: $\exists U_\varepsilon(x) \subset \mathbb{R}^n \setminus X \Rightarrow U_\varepsilon (x) \cap X = \emptyset \Rightarrow x$ - не предельная точка $X$*

$\Leftarrow$:
Пусть $Y = \bar{Y}$, возьмем $y \in \mathbb{R}^n \setminus Y \Rightarrow y \notin \bar{Y} \Rightarrow y$ - не предельная точка $Y \Rightarrow$ $\Rightarrow \exists U_\varepsilon(y): U_\varepsilon(y) \cap Y$ - конечное или пустое.

Если конечное, пусть $U_\varepsilon (y) \cap Y = \{y_k\}_{k=1}^{\mathbb{N}}$.

Пусть $\delta = \min\limits_{1 \leq k \leq \mathbb{N}}(\rho(y, y_k)) \Rightarrow U_\delta(y) \cap Y = \emptyset \Rightarrow U_\delta(y) \subset \mathbb{R}^n \setminus Y$ - открыто $\Rightarrow Y$ - замкнутое.

## Определение
Последовательность точек в $(X, \rho): f:\mathbb{N} \to X$. Обозначим $x_n = f(n)$, а саму последовательность - $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$

Точка $a \in X$ называется предельной точкой $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$, если $\lim\limits_{n \to \infty}\rho(x_n, a) = 0$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists n_\varepsilon: \forall n > n_\varepsilon: \rho(x_n, a) < \varepsilon \Leftrightarrow x_n \in U_\varepsilon(a)$

$Y \subset \mathbb{R}^n$ - называется ограниченным, если $\exists \varepsilon > 0: Y \subset U_\varepsilon(\theta)$, где $\theta = (0,..,0)$


# 14. $\mathbb{R}^n$ как метрическое пространство.
## ?
Метрическое пространство $(\mathbb{R}^n, \rho), \rho(a, b) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$
Докажем что $\rho$ - метрика:
1. $\rho(x, y) \geq 0$ $\forall x, y;$
2. $\rho(x,y)=0 \Leftrightarrow x_i=y_i$ $\forall i$ $\Rightarrow x=y$
3. $\rho(x,y)=\rho(y,x)$
4. $\rho(x, z) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n((x_i-y_i) - (y_i - z_i))^2} \leq \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2} + \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-z_i)^2} = \rho(x, y) + \rho(y, z)$

# 15. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
**Формулировка.** Из всякой ограниченной последовательности из $\mathbb{R}^n$ можно выделить сходящуюся последовательность.

Пусть $\{x_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ - последовательность, $x_m = (x_{m_1}, .., x_{m_n}) \in \mathbb{R}^n$, $a=(a_1, .., a_n) = \lim\limits_{m \to \infty}x_m \Leftrightarrow \rho(a, x_m) = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n(a_k - x_{m_k})^2} \xrightarrow{m \to \infty} 0$

$$
\begin{align*}
0 \leq |a_s - x_{m_s}| &\leq \rho(a, x_m) = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n(a_k - x_{m_k})^2} \xrightarrow{m \to \infty} 0, \\
& \downarrow \\
\forall s &= 1,..,n
\end{align*}
$$

следовательно $a_s = \lim\limits_{m \to \infty}x_{m_s}$

Пусть $\{x_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ - ограниченная $\Leftrightarrow$

$$
\Leftrightarrow \exists M>0: |x_{mk}| \leq \rho(x_m, 0) = \sqrt{\sum_{k=1}^nx_{mk}^2} \leq M \Rightarrow \{x_{m_k}\}_{m \in \mathbb{N}} \text{ - ограничена для } \forall k
$$

Тогда:
1. $\{x_{m_1}\}_{m \in \mathbb{N}}$ - **числовая** ограниченная последовательность, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса: найдется $\{x_{m_{k_1}, 1}\}_{k_1 \in \mathbb{N}}$, сходящаяя к $a_1$
2. из первого пункта: $\{x_{m_{k_1}, 2}\}_{k_1 \in \mathbb{N}}$ - ограниченная, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса: найдется $\{x_{m_{k_2}, 2}\}_{k_2 \in \mathbb{N}}$, сходящаяя к $a_2$
..

*(каждый шаг выделяем новую подпоследовательность $k_i$ такую, что $i$-ая координата сходится к $a_i$)*

**Итого**: Элементы последователости $\{(x_{m_{k_n}, 1}, .., x_{m_{k_n}, n})\}_{k_n \in \mathbb{N}}$ сходятся к $a$

# 16. Компакты в $\mathbb{R}^n$. Необходимое и достаточное условие компактности.
## Определение
Пусть $(X, \rho)$ - метрическое пространство и $F \subset X$.

$F$ называется компактом в $X$, если для $\forall \{x_m\}_{m \in \mathbb{N}} \subset F: \exists$ подпоследовательность $\{x_{m_k}\}_{m \in \mathbb{N}}$, которая имеет предел $a = \lim\limits_{k \to \infty}x_{m_k} \in F$.

## Теорема - необходимое и достаточное условие компакта
$\Rightarrow$:
$\Leftarrow$:

# 17. Предел функции : $f: X\to\mathbb{R}^m, X \subset \mathbb{R}^n$.
*$\mathring{U}$ - выколотая окрестность точки $a$, т.е. окрестность без самой точки*

## Теорема о пределе сложной функции *(скорее всего не нужно)*

# 19. Непрерывные функции и их свойства.
## Определение
*($f$ называется непрерывной в $x_0$, если $\forall U_\varepsilon (f(x_0)): U_\delta(x_0): f(U_\delta(x_0) \cap X) \subset U_\varepsilon(f(x_0))$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists \delta_\varepsilon > 0: \forall x \in X, \rho_X(x, x_0) < \delta_\varepsilon \Rightarrow \rho_{\mathbb{R}^m}(f(x), f(x_0)) < \varepsilon \Rightarrow f(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0 \\ x \in F}f(x)$)*

# 20. Свойства непрерывных функций на компактах.
## Теорема (Вейерштрасс)
**Формулировка.**

**Доказательство от Булата.**
1. **Ограниченность**
Пусть $f$ не ограничена на $X$, тогда найдется $\{x_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset X$, что $\lim_\limits{k \to \infty}f(x_k) = \infty$, но $f \in C(X; \mathbb{R}^{n}) \Rightarrow$ Если $x_k \to a, k \to \infty$, то $\lim_\limits{k \to \infty}f(x_k) = f(a)$, но т.к. $X$ - компакт, $a \in X \Rightarrow f$ ограничена на $X$.

2. **$f$ достигает своей верхней и нижней граней**

$f$ ограничено $\Rightarrow$ $\exists M = \sup_\limits{x \in X}f(x)$.
По определению:
1. $\forall x \in X: f(x) \leq M$
2. $\forall \varepsilon > 0: \exists x \in X: M < f(x) + \varepsilon$

Пусть $\varepsilon = \frac{1}{n}$, тогда $\exists x_n \in X:$
$$M - \frac{1}{n} \leq f(x_n) \leq M$$

$$ - \frac{1}{n} \leq f(x_n) - M \leq 0$$

$$ 0 \leq M - f(x_n) \leq \frac{1}{n}$$

При $n \to \infty: \lim_\limits{n \to \infty}f(x_n) = M$

Т.к. $f$ - непрерывна на $X$, если $x_n \to a$ ($a \in X$, т.к. $X$ - компакт), то при $n \to \infty: \lim_\limits{n \to \infty}f(x_n) = f(a) = M$, т.е. $f$ достигает своей верхней грани.
Аналогично доказывается достижение и нижней грани.

<!--
**Доказательство с лекции *(с ошибками)*.**
-->

## Определение

## Теорема Больцано-Коши
**Формулировка.**

**Доказательство.**

# 21. Равномерная непрерывность непрерывных функций на компактах.
## Определение равномерной непрерывности

## Теорема (Кантор)
**Формулировка.**

**Доказательство.**

# 22. Норма в линейном пространстве. Ограниченность линейного оператора в конечномерных линейных нормированных пространствах.
## Определение нормы

## Теорема - ограниченность линейного оператора в конечномерных линейных нормированных пространствах.

## Следствие
**Формулировка.** Любое линейное отображение нормированных конечномерных линейных пространств непрерывно

**Доказательство.** $||Ax - Aa|| = ||A(x - a)|| \leq C||x - a|| \Rightarrow x \to a \Rightarrow Ax \to Aa$

# 23. Дифференцируемость отображения в точке. Необходимое условие дифференцируемости.
## Дифференцируемость отображения в точке


## Теорема - необходимое условие дифференцируемости

# 24. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Частные производные. Матрица Якоби.
## Теорема - о дифференцируемости сложной функции

***Все хуйня, короче, щас покажу, как надо это доказывать как настоящий (а)Б(о)ул~~а~~тус.***

Оставим все до $F(p + h) - F(p) = BAh + Bw_2+w_1$.

$w_1 = o(||k||) \Leftrightarrow \frac{||w_1||}{||k||} \to 0$ при $k \to 0$.

$||k|| = ||f(p+h) - f(p)|| = ||Ah + o(||h||)|| \leq ||Ah|| + ||o(||h||)|| \leq c||h|| + ||\alpha(||h||)||\cdot||h||,$ где $\alpha(||h||) \to 0$ при $||h|| \to 0$ - по определению $o$ малое

Пусть $C^*(h) = \frac{||h||}{||k||} = \frac{||h||}{||f(p+h) - f(p)||} \geq \frac{1}{c + ||\alpha(||h||)||} > 0$, из чего следует, что при $h \to 0$ $\exists C^{*}(h)$ и $C^{*} \not\to 0$

Тогда: $\frac{||w_1||}{||k||} = \frac{||w_1||}{||h||} \cdot \frac{||h||}{||k||} = \frac{||w_1||}{||h||} C^{*}(h) \to 0$ при $h \to 0$, т.к. из непрерывности $f(x)$ следует из стремления $h \to 0 \Rightarrow k \to 0.$

($f$ - дифференцируема в точке $p \Rightarrow f(x+h) = f(x) + o(h)$, $k = f(x+h)-f(x) = o(h) \Rightarrow$ из $h \to 0 \Rightarrow k \to 0$)

Т.к. $C^{*}(h) \not\to 0, h \to 0 \Rightarrow w_2 = o(||k||) = o(||h||)$

Следовательно, $Bw_2+w_1 = o(||h||)$

## Определение частной производной функции

## Матрица Якоби

# 25. Дифференциал функции $f: X\to\mathbb{R}^m, X \subset \mathbb{R}^n$. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
## Определение
Пусть $E$ и $F$ - конечномерные, линейный, нормированные пространства, $U \subset E$- открыто и $p \in U; f: U \to F$.
Функция называется дифференцируемой в $p$, если существует линейное отображение $A: E \to F$ такое, что
$f(p + h) - f(p) = A h + w(h)$, где $\lim_{h \to 0}\limits \dfrac{w(h)}{||h||_e} = 0$ $(w(h) = o(||h||), h \to 0)$
Линейное отображение $A$ называется дифференциалом функции $f$ в точке $p$ и обозначается $df(p)$.

## Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции в точке)
**Формулировка.**
Пусть $U \subset \mathbb{R}^n$ открыто $p \in U, f: U \to \mathbb{R}$. Если в некоторой окрестности точки $p$ существуют частные производные $f_{x_i}' = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}, i = 1, 2, ..., n$ и они непрерывны в этой точке, то $f$ дифференцируема в точке $p$.

**Доказательство (n = 2).**

Там ниже, если что, будет док-во для произвольного n.
По-моему, идейно оно проще, да и выглядит не так ужасно.
$z = f(x, y), (x, y) \in U \subset \mathbb{R}^2, p = (x_0, y_0) \in U, h = (\Delta x, \Delta y)$

$f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) =$
$= f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0 + \Delta y) + f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) =$

> $\xi_1$ - точка между $x_0, x_0 + \Delta x \Rightarrow \xi_1 = x_0 + \theta_1 \Delta x$, $0 < \theta_1 < 1$
> $\xi_2$ - точка между $y_0, y_0 + \Delta y \Rightarrow \xi_2 = y_0 + \theta_2 \Delta y$, $0 < \theta_2 < 1$

$= f_x'(\xi_1, y_0 + \Delta y) \Delta x + f_y'(x_0, \xi_2) \Delta y =$
$= f_x'(\xi_1, y_0 + \Delta y) \Delta x + f_y'(x_0, \xi_2) \Delta y - f_x'(x_0, y_0) \Delta x - f_y'(x_0, y_0) \Delta y + f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y =$
$= \bigg(f_x'(\xi_1, y_0 + \Delta y) - f_x'(x_0, y_0) \bigg) \Delta x + \bigg(f_y'(x_0, \xi_2) - f_y'(x_0, y_0) \bigg) \Delta y + f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y =$
$=f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y + \varepsilon_1(\Delta x, \Delta y) \Delta x + \varepsilon_2(\Delta x, \Delta y) \Delta y =$

> $\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y) =f_x'(\xi_1, y_0 + \Delta y) - f_x'(x_0, y_0), \varepsilon_2(\Delta x, \Delta y) = f_y'(x_0, \xi_2) - f_y'(x_0, y_0)$

$=f_x'(x_0, y_0) \Delta x + f_y'(x_0, y_0) \Delta y + \Bigg(\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y) \dfrac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} + \varepsilon_2(\Delta x, \Delta y) \dfrac{\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}\Bigg) \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

**Итак**, $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) =
\begin{pmatrix}
f_x'(x_0, y_0) & f_y'(x_0, y_0)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\Delta x\\
\Delta y
\end{pmatrix} + w(\Delta x, \Delta y) ||h||$

$$\lim_{h \to 0}\limits \dfrac{w(\Delta x, \Delta y) ||h||}{||h||} = 0$$

**Доказательство для произвольного n:**

Нотация Зорича: индексы координат вектора индексируюстя сверху
Короче говоря Булат гандон... (без негатива)

Без ограничения общности под $U$ рассмотрим $r$-окрестность точки $x$. Пусть тогда теперь вместе с точками $x = (x^1, ..., x^n), x + h = (x^1 + h^1, ..., x^n + h^n)$ области $U$ должны принадлежать точки $(x^1, x^2 + h^2, ..., x^n+h^n), ..., (x^1, x^2, ..., x^n+h^n).$

Тогда, верно, что:

$$(*) \ \ f(x+h) - f(x) = f(x^1+h^1, ..., x^n+h^n) - f(x^1, ..., x^n) =\\
f(x^1+h^1, x^2+h^2, ..., x^n+h^n) - f(x^1, x^2+h^2 ..., x^n+h^n) +\\
f(x^1, x^2+h^2, x^3+h^3 ..., x^n+h^n) - f(x^1, x^2, x^3+h^3,..., x^n+h^n) + ...\\
... + f(x^1, ..., x^{n-1}, x^n+h^n) - f(x^1, ..., x^n)$$

Вставим-ка сюда теорему Лагранжа для случая функций многих перменных.

Определим следующие обозначения: $[x;x+h]:= \{x+th: t \in [0; 1]\},\\(x;x+h):= \{x+th: t \in (0; 1)\}$

Пусть $f:G \to \mathbb{R}, [x;x+h] \subset G \subset \mathbb{R}^m$, притом $f \in C([x;x+h],\mathbb{R}^m)$ и $f$ - дифференцируема на $(x;x+h)$, то $\exists \xi \in (x;x+h)$ такая, что верно

$$f(x+h)-f(x)=f^{'}(\xi)h$$

Доказательство:

Пусть $F(t) = f(x + th), t \in [0; 1]$. $F(t)$ - дифференцируема как композиция дифференцируемых функций, следовательно, по теореме Лагранжа для одномерного случая, $\exists \xi \in (0;1):$

$$F(1) - F(0) = F^{'}(\xi) \cdot 1,$$

что равносильно $f(x+h)-f(x)=f^{'}(\xi)h$

Продолжим разложение $(*)$:

$$f(x+h)-f(x) = \partial_{1}f(x^1+\xi^1h^1, ..., x^n)h^1+...+\partial_{n}f(x^1, ..., x^n+\xi^nh^n)h^n$$

Поскольку частные производные непрерывны, верно что:

$$f(x+h)-f(x) = \partial_{1}f(x^1, ..., x^n)h^1 + \alpha^1h^1 + ... + \partial_{n}f(x^1, ..., x^n)h^n + \alpha^nh^n,$$

где $\alpha^1, ..., \alpha^n \to 0, h \to 0$.

(потому что $f$ - непрерывна $\Rightarrow f(x+\varepsilon) = f(x) + o(h)$)

Но это значит, что

$$f(x+ h) - f(x) = dfh + o(h),$$

что и требовалось доказать.

# 26. Частные производные и дифференциалы старших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования.
## Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования
**Формулировка.**

**Доказательство.**

## Опредление частных производных старших порядков

## Определение дифференциалов старших порядков

# 27. Производная по направлению и градиент.

## Определение производной по направлению

## Определение градиента

# 28. Формула Тейлора. Экстремум функций от нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия.
## Теорема о формуле Тейлора
**Формулировка.**

<!-- Битюк нам доказывал для n аргументов -->
**Доказательство.**

## Определение экстремума функций от нескольких переменных
Пусть $f: U \to \mathbb{R}, U \subset \mathbb{R}^n$ открытое. Если $a \in U$ и $\exists U_\delta \subset U: f(x) < f(a)$ $(f(x) > a, f(x) \leq f(a), f(x) \geq f(a))$, $\forall x \in U_\delta(a)$, то $a$ называется строгим локальным максимумом (сторгим локальным минимумом, локальным максимумом, локальным минимумом) функции $f$.


## Теорема (необходимое условие экстремума)
**Формулировка.** Если $a$ - локальный экстремум функции $f$ и $\exists f_{x_i}'(a)$, то $f_{x_i}'(a) = 0$.

**Доказательство.** Рассмотрим функцию $\varphi(x_i) = f(a_1, ..., a_{i - 1}, x_i, a_{i + 1}, ..., a_n)$, где $a = (a_1, ..., a_n)$. $a_i$ - локальный экстремум функции $\varphi \Rightarrow$ если $\exists \varphi'(a_i) = f'_{x_i}(a) = 0$.

## Теорема (достаточное условие экстремума)
**Фомулировка.** Пусть $f: U \to \mathbb{R}$ класса $C^2$, $a \in U$ и $f_{x_i}'(a) = 0, i = 1, 2, ..., n$. Если в точке $a$ $A(h_1, ..., h_n) = d^2 f(a) = \sum_{i=1}^n\limits \sum_{j=1}^n\limits \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) h_i h_j$ - положительно (отрицательно) определённая квадратичная форма переменных $h_1, ..., h_n$, то $a$ - строгий локальный минимум (максимум) функции $f$. Если $d^2 f(a)$ знако**не**определённая форма, то $a$ не экстремум.

**Доказательство.**
По формуле Тейлора:
$$
\begin{align*}
f(a + h) = f(a_1, ..., a_n) + \sum_{i=1}^n\limits \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i + \dfrac{1}{2!} \sum_{i=1}^n\limits \sum_{j=1}^n\limits \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a + \theta h) h_i h_j &\Rightarrow \\
&\downarrow \\
\sum_{i=1}^n\limits \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i = 0 \text{ т.к. экстремум}, \delta := \sqrt{h_1^2 + ... + h_n^2}& \\
\Rightarrow f(a + h) - f(a) = \dfrac{\delta^2}{2!} \Bigg(\sum_{i=1}^n\limits \sum_{j=1}^n\limits f_{x_i x_j}''(a) \dfrac{h_i}{\delta} \dfrac{h_j}{\delta} + \sum_{i=1}^n\limits \sum_{j=1}^n\limits\bigg(f_{x_i x_j}''(a + \theta h) - f_{x_i x_j}''(a) \bigg) \dfrac{h_i}{\delta} \dfrac{h_j}{\delta}\Bigg)
\end{align*}
$$

$\Bigg| \dfrac{h_i}{\delta} \Bigg| \leq 1; \lim_{h \to 0}\limits \bigg(f_{x_i x_j}''(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a) \bigg) = 0$ из непрерывности $f_{x_i x_j}''$.

Отсюда $\lim_{h \to 0}\limits \varepsilon(h) = 0$.

$f(a + h) - f(a) = \dfrac{\delta^2}{2!} \bigg(A(\dfrac{h}{\delta}) + \varepsilon(h) \bigg)$
$A(h_1, h_2, ..., h_n) = \sum_{i=1}^n\limits \sum_{j=1}^n\limits \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) h_i h_j, \lim_{h \to 0}\limits \varepsilon(h) = 0$.

1. $A$ - **положительно** определена

$A$ непрерывна на $\mathbb{R}^n \Rightarrow A$ непрерывна на единичной сфере $S = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n): ||x|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n\limits x_i^2} = 1\}$ - ограниченное знаком множество - компакт.
По теореме Вейерштрасса $A$ на $S$ достигает своих наименьшего $m$ и наибольшего $M$ $\mu$ значений, то есть $\exists e_m \in S_1, \exists e_m \in S: A(e_m) = m; A(e_M) = M$. <!-- Возможно тут ошибка с S_1, e_m -->
Если $A(h) > 0, h \neq 0 \Rightarrow m > 0 \Rightarrow 0 < m \leq A(h) \leq M, \forall n \in S$
Если $h \in \mathbb{R}^n, h \neq 0$, то $\Bigg|\Bigg|\dfrac{h}{\delta}\Bigg|\Bigg| = 1$, так как $\delta = \sqrt{\sum_{i=1}^n\limits h_i^2} = ||h|| \Rightarrow \dfrac{h}{\delta} \in S \Rightarrow 0 < m \leq A\bigg(\dfrac{h}{\delta}\bigg) \leq M$, но $\lim_{h \to 0}\limits \varepsilon(h)=0 \Rightarrow \exists \delta_\epsilon > 0: |\varepsilon(h)| < m$ при $||h|| = \delta < \delta_\epsilon \Rightarrow f(a + h) - f(a) = \dfrac{\delta^2}{2}\Bigg(A \bigg(\dfrac{h}{\delta} \bigg) + \varepsilon(h) \Bigg) > 0$ при $||h|| < \delta_\epsilon \Rightarrow$ для $\forall x \in \overset{o}{U_{\delta_\varepsilon}}(a)$ (мн-во с выколотой точкой) $\Rightarrow f(x) - f(a) > 0 \Rightarrow a$ - строгий локальный минимум.

2. $A$ - **отрицательно** определена $\Rightarrow m \leq A \bigg( \dfrac{h}{\delta} \bigg) \leq M < 0 \Rightarrow f(a + h) - f(a) < 0$.

3. $A$ - знако**не**определённая $\Rightarrow m < 0, M > 0$.
Пусть $h = t e_m, t \in (0, 1)$.
$||h|| = t||e_m|| = t = \delta \Rightarrow A \bigg( \dfrac{h}{\delta} \bigg) = A \bigg( \dfrac{t e_m}{\delta} \bigg) = A(e_m) = m < 0$
$\lim_{h \to 0}\limits \varepsilon (h) = 0 \Rightarrow \exists \delta_\varepsilon > 0: \forall h_1 < \delta_\varepsilon \Rightarrow \varepsilon (h) \in (m_1 - m) \Rightarrow$
$\Rightarrow f(a + h) - f(a) = \dfrac{\delta^2}{2!} \Bigg( A \bigg( \dfrac{h}{\delta} \bigg) + \varepsilon (h) \Bigg) = \dfrac{\delta^2}{2!} \bigg( m + \varepsilon(h) \bigg) < 0$
Пусть $h = t e_M \Rightarrow A \bigg( \dfrac{h}{\delta} \bigg) = A(e_M) = M > 0$
$\exists \delta_\varepsilon: \forall h, ||h|| < \delta_\varepsilon^2 \Rightarrow \varepsilon (h) \in (-M, M) \Rightarrow f(a + h) - f(a) = \dfrac{\delta^2}{2!} \bigg(M + \varepsilon (h) \bigg) > 0$
Следовательно, $a$ не экстремум, так как
$\forall U_\delta(a)$ $\exists x^{(1)}: f(x^{(1)}) < f(a), \exists x^{(2)}: f(x^{(2)}) > f(a)$.

# 29. Теорема об обратном отображении.
## Определение

## Теорема об обратной функции
**Формулировка.**

# 30. Теорема о неявной функции.
**Формулировка.**

**Доказательство.**

# 31. Условный экстремум, необходимое и достаточное условия его существования. *(без док-ва)*

Пусть у нас $f: G \to \mathbb{R}, G \subset \mathbb{R}^n$ - открытое, $g_i: G \to \mathbb{R}, i = 1, 2, ..., s$.
$X = \{x = (x_1, x_2, ..., x_n) \in G: g_i(x) = 0, i = 1, ..., s\}$ - ограничения типа равенства уравнения связи.
## Определение
Точка $a \in G$ называется точкой локального условного экстремума функции $f$ при выполненнии ограничений $g_i(x) = 0, i = 1, ..., s$, если она является точкой обычного экстремума функции $f$, рассматриваемой только на $X$.
Рассмотрим функцию $L(x, \lambda) = \lambda_0f(x) + \sum_{i = 1}^s\limits \lambda_i g_i(x), \lambda_i \in \mathbb{R}, i = 1, ..., s$ - функция $L$ называется функцией Лагранжа.

## Теорема - необходимое условие существования условного экстремума
**Формулировка.** Пусть $f, g_i \in C^1, i = 1, ..., s$. Если $a$ - условный локальный экстремум функции $f$ при уравнениях связи $g_i(x) = 0$, то $\exists \lambda_0^*, \lambda_1^*, ..., \lambda_s^*$, $(\lambda_0^*)^2 + (\lambda_1^*)^2 + ... + (\lambda_s^*)^2 > 0: \dfrac{\partial L}{\partial x_i}(a, \lambda^*) = \lambda_0^* \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) + \sum_{j=1}^s\limits \lambda_j^* \dfrac{\partial g_j(a)}{\partial x_i} = 0$

**Замечание.** Если в точке $a$ градиенты $\nabla g_i(a) = (\dfrac{\partial g_i}{\partial x_1}(a), ..., \dfrac{\partial g_s}{\partial x_n}(a))$ линейно независимы, то $\lambda_0^* \neq 0 \Rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) + \sum_{j=1}^s\limits \lambda_j' \dfrac{\partial g_j(a)}{\partial x_i} = 0$, где $\lambda_j' = \dfrac{\lambda_j^*}{\lambda_0^*}$.
Тогда можно рассматривать $L(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^s\limits \lambda_i g_i (x)$.

## Теорема - достаточное условие существования условного экстремума
**Формулировка.**
Пусть $f, g_i \in C^2, i = 1, ..., s$ и $\text{rg}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial g_1}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial g_1}{\partial x_n} \\
\dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial g_s}{\partial x_1} & \dots & \dfrac{\partial g_s}{\partial x_n}
\end{pmatrix}
=s$ в $\forall x \in G$.

<!---
Рома: я сам не понял прикола двух "если", переписывал с Колиного конспекта (у него так записано)
-->

Если точка $a \in X$ и $\dfrac{\partial L}{\partial x_i}(a, \lambda^*) = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) + \sum_{j=1}^s\limits \lambda_j^* \dfrac{\partial g_j}{\partial x_j}(a) = 0, \forall i$, тогда, если в точке $a$ $d^2 L(a, \lambda^*) = \sum_{i, j = 1}^n\limits \dfrac{\partial^2 L}{\partial x_i \partial x_j}(a, \lambda^*)dx_i dx_j$ при $d g_i(a) = \sum_{k=1}^n\limits \dfrac{\partial g_i(a)}{\partial x_k} dx_k = 0, \forall i$ является положительно (отрицательно) определённой квадратичной формой переменных $dx_1, ... dx_n$, то $a$ - строгий условный локальный минимум (максимум) функции $f$ при уравнениях связи $g_i(x) = 0$. Если $d^2 L(a, \lambda^*)$ знакопеременная, то $a$ не экстремум.