---
# System prepended metadata

title: Диффуры экзамен 2024 зима

---

# 1. Фазовое пространство. Понятие о фазовом потоке, как об однопараметрической группе преобразований. Фазовая кривая, интегральная кривая.

## Фазовое пространство.
Фазовое пространство - пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.
>из интернета
## Понятие о фазовом потоке, как об однопараметрической группе преобразований.
Математическая формализация понятия детерминированногопроцесса приводит к понятию однопараметрической группы преобразований.
Однопараметрическая группа преобразований множества M на-
зывается также *фазовым потоком* с фазовым пространством M (мож-
но представлять себе фазовое пространство заполненным жидко-
стью, частица x через время $t$ переходит в точку $g^t$ $x$).
## Фазовая кривая, интегральная кривая.
Пусть $v$ – векторное поле в области $U$ n-мерного фазового пространства. Автономное дифференциальное уравнение, заданное полем $v$ – это уравнение
$\dot x = v(x)$, $x \in U \subset \mathbb R^n$.
**Решением** такого уравнения называется гладкое отображение $\phi: I \to U$ интервала оси времени в фазовое пространство, для которого
$$d\phi/dt=v(\phi(t)) $$при всех $t$ из $I$.
Образ отображения $\phi$ называется *фазовой кривой*, а график∗)
отображения $\phi$ – *интегральной кривой*.

# 2. Фазовый поток как однопараметрическая группа диффеоморфизмов. Фазовая скорость. Особые точки. Пример.
Диффеоморфизмом называется отображение, гладкое вместе со своим обратным. (Отображение называется гладким, если координаты точки-образа – гладкие функции координат точки прообраза, и обратно.)

Фазовым потоком дифференциального уравнения
$\dot x = v(x)$ называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов, для которой $v$ является векторным полем фазовой скорости.
![Screenshot 2024-01-17 173320](https://hackmd.io/_uploads/r1_mvPHKT.png)

# 3. Дифференциальное уравнение как связь фазового потока и векторного поля над фазовым пространством. Пример.

Пусть $v$ –– векторное поле в области $U$ n-мерного фазового пространства. Автономное дифференциальное уравнение, заданное полем $v$, –– это уравнение.
$$\dot x = v(x), x \in U \subset \mathbb R^n$$
Решением такого уравнения называется гладкое отображение ϕ: I→U интервала оси времени в фазовое пространство, для которого dϕ/dt =v(ϕ(t)) при всех t из I. Образ отображения ϕ называется фазовой кривой (а она по идее связана с фазовым потоком), а график∗) отображения ϕ –– интегральной кривой. Интегральная кривая лежит в прямом произведении оси времени на фазовое пространство.
В этом параграфе исследуется дифференциальное уравнение, заданное векторным полем на прямой, и сводящиеся к нему уравнения с разделяющимися переменными.
 Существование и единственность решений. Пусть v –– гладкая (непрерывно дифференцируемая) функция, заданная на интервале U вещественной оси.
Теорема. Решение ϕ уравнения x˙ = v(x) с начальным условием (t0 , x0 )
1) существует для любых t0 ∈ R, x0 ∈U;
2) единственно в том смысле, что любые два решения с общим начальным условием совпадают в некоторой окрестности точки t0;
3) дается формулой Барроу: R X R ->
![image_2024-01-18_161137345](https://hackmd.io/_uploads/SyXcQoLY6.png)


>>лучше не нашел))) 

# 4. Фазовый поток на прямой. Решение задачи Коши. Пример неоднозначности ее решения. 
>>не нашел, в интернете посмотрю

# 5. Неавтономное уравнение. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 
![image_2024-01-17_175313940](https://hackmd.io/_uploads/HyEk9PrFT.png)


# 6. Однородные ДУ первого порядка
![image_2024-01-17_174755933](https://hackmd.io/_uploads/H18jdvBK6.png)
![image_2024-01-17_175451542](https://hackmd.io/_uploads/HJISqvSFT.png)


# 7. Линейные ДУ первого порядка
![image_2024-01-17_174923585](https://hackmd.io/_uploads/rk0ltDrtp.png)
![image_2024-01-17_175008060](https://hackmd.io/_uploads/SJi7FPBYa.png)

# 8. Уравнение Бернулли

**Общий вид:**

$$\frac{dy}{dx} + Py = Qy^n,$$

Где $P, Q$ - непрерывные функции от $x$, $n = const$.

1. При $n = 0$:
    $$\frac{dy}{dx} + Py = Q$$
    \- неоднородное линейное уравнение.
2. При $n = 1$:
    $$\frac{dy}{dx} + (P - Q)y = 0$$
    \- однородное линейное уравнение.
3. При $n \neq 0, n \neq 1$:
    - Разделим обе части уравнения на $y^n$ (предполагая, что $y \neq 0$):
    $$y^{-n}\frac{dy}{dx} + Py^{-n+1} = Q$$
    - Введем замену $z = y^{-n + 1}$, тогда $\frac{dz}{dx} = (-n + 1) y^{-n}\frac{dx}{dy}$ и
    $$\frac{dz}{dx} + (-n + 1)Pz = (-n + 1)Q$$
    \- неоднородное линейное уравнение.

    Разрешив относительно $z$ и подставив $z = y^{-n + 1}$, получим решение изначального уравнения. При $n > 0$ имеем еще одно решение $y = 0$.
    

**Пример**

$$x\frac{dy}{dx} - 4y = x^2\sqrt{y} \Rightarrow$$

$$\frac{dy}{dx} - 4\frac{y}{x} = x\sqrt{y}.$$

Это уравнение Бернулли. Здесь $n = \frac{1}{2}$, так что ДУ представляет из себя неоднородное линейное уравнение. Далее по 3-му пункту. (Т.к. $n > 0$ $y = 0$ - решение ДУ)

$$\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} - \frac{4\sqrt{y}}{x} = x.$$

Введем замену: $z = \sqrt{y}$, $\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}$ и подставим в уравнение.

$$\frac{dz}{dx} - \frac{2z}{x} = \frac{x}{2}.$$

Решаем однородное уравнение:

$$\frac{dz}{dx} - \frac{2z}{x} = 0$$

$$\frac{dz}{dx} = \frac{2z}{x}$$

$$\frac{dz}{z} = \frac{2dx}{x}$$

$$z = Cx^2$$

Применяем вариацию постоянной:

$$\frac{dz}{dx} = 2Cx + x^2\frac{dC}{dx}$$

Подставляем в неоднородное уравнение:

$$2Cx + x^2\frac{dC}{dx} - \frac{2Cx^2}{x} = \frac{x}{2}$$

$$\frac{dC}{dx} = \frac{1}{2x}, C = \frac{1}{2}\ln{x} + C_1, C_1 \in \mathbb{R}$$

Получаем:

$$z = x^2(\frac{1}{2}\ln{x} + C_1)$$

И 

$$y = x^4(\frac{1}{2}\ln{x} + C_1)^2.$$


**Ответ:** $y = 0, y = x^4(\frac{1}{2}\ln{x} + C_1).$

# 9. Уравнение Риккати

*Общее уравнение Рикатти* имеет вид:

$$\frac{dy}{dx} = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x),$$

где $P, Q, R$ - непрерывные функции от $x$ на $x \in (a, b), (-\infty \leq a, b \leq \infty)$. 

При $P = 0$ получаем линейное уравнение, при $R = 0$ - уравнение Бернулли.

Решение уравнения Риккати в общем случае не выражается в квадратурах (интегралах от элементарных функций), но решение существует всегда. 

Уравнение Риккати сохраняет свой вид при заменах:

1. Произвольное преобразование независимого переменного:
$$x = \varphi(x_1)$$

2. Производное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:
$$y = \frac{\alpha y_1 + \beta}{\gamma y_1 + \delta},$$

где $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ - произвольные дифференцируемые функции от $x$, удовлетворяющие условию $\alpha \delta - \beta \gamma \neq 0$ в рассматриваемом интервале.

Этими преобразованиями можно воспользоваться при приведении уравнения к более простому (каноническому) виду. Например,

1. Коэффициент при квадрате зависимого переменного можно сделать равным $\pm 1$.
    $$y = \pm \frac{1}{P}z$$

Тогда уравнение приводится к виду:

$$\frac{dz}{dx} = \pm z^2 + (Q - \frac{P'}{P})z \pm PR.$$

(Замена годится для интервала, на котором $P$ не обращется в нуль)

2. Не изменяя коэфициента при квадрате зависимого переменного, можно коэффцициент при первой степени зависимого переменного сделать равным $0$:
    $$y = u + \alpha(x), \alpha = -\frac{Q}{2P}$$

Получится уравнение:

$$\frac{du}{dx} = Pu^2 + R + P \alpha^2 + Q \alpha - \alpha'.$$

Т.е., используя обе эти подстановки, можно привести уравнение к виду:

$$\frac{dy}{dx} = \pm y^2 + R(x).$$


**Теорема:** Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то полное решение уравнения получается двумя квадратурами. 

**Теорема:** Если известно два частных решения уравнения Риккати, то полное решение уравнения получается одной квадратурой.

**Теорема:** Если известно отри частных решения уравнения Риккати, то полное решение уравнения получается без квадратур.

**Утверждение:** ангармоническое отношение любых четырех частных решений уравнения Риккати равно константе:

$$\frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1} : \frac{y_3 - y_2}{y_3 - y_1} = C.$$

**Теорема:** Решение является общим решением уравнения Риккати тогда и только тогда, когда это решение есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

$$y = \frac{C\psi_1(x) + \psi_2(x)}{C\varphi_1(x) + \varphi_2(x)}.$$

*Уравнение Риккати специальное* есть частный случай уравнения Риккати:

$$\frac{dy}{dx} + ay^2 = bx^\alpha,$$

где $a, b, \alpha$ - постоянные. Рассматривается интервал $x \in (0, \infty)$.


Рассмотрим два случая:
1. $\alpha = 0 \Rightarrow$
    $$\frac{dy}{dx} + ay^2 = b$$
    $$\frac{dy}{b - ay^2} = dx$$

    Разрешая относительно $y$, получаем ответ.

2. $\alpha = -2 \Rightarrow$
    $$\frac{dy}{dx} + ay^2 = \frac{b}{x^2}$$
    Сделаем замену $y = \frac{1}{z}$:
    $$-\frac{1}{z^2}\frac{dz}{dx} + \frac{a}{z^2} = \frac{b}{x^2}$$
    $$\frac{dz}{dx} = a - b(\frac{z}{x})^2$$

    И еще одну замену $z = ux$:
    $$\frac{du}{dx} + u = a - bu^2$$
    $$\frac{du}{dx} = - bu^2 - u + a$$
    $$\frac{du}{-bu^2 - u + a} = dx$$

    Разрешая относительно $u$, подставляя обратные замены получаем ответ.


Ребят, честно, при иных $\alpha$ там оч. сложно, так что не буду писать :'(.


# 10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Пусть дано дифференциальное уравнение

$$\frac{dy}{dx} = \frac{P(x, y)}{Q(x, y)}.$$

Перепишем его в виде

$$Qdy - Pdx = 0.$$

Если $\exists \mu(x, y)$, что $\exists F(x,y):$
    
$$\mu(x,y)Q(x,y)dy - \mu(x,y)P(x,y)dx = dF,$$

То решением данного дифференциального уравнения будет
$$F(x, y) = C.$$

Функция $\mu(x, y)$ называется *интегрирующим множителем*.

Рассмотрим 3 частных случая:

1. $\mu = 1$
    
    Здесь все довольно просто. Для формы $\omega = P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ пользуемся следующим критерием:

    $$\exists U: dU = Pdx + Qdy \Leftrightarrow \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.$$

    Если условие выполняется, то 

    $$\frac{\partial U}{\partial x} = P \Rightarrow U = \int Pdx = M(x,y) + f(y).$$

    $$\frac{\partial U}{\partial y} = Q \Rightarrow (M(x,y) + f(y))'_y = M'_y(x,y) + f'_y(y) = Q \Rightarrow$$

    $$f(y) = \int [Q - M'_y(x,y)]dy.$$

    Итак, решением будет выражение

    $$U = M(x,y) + f(y) = C \in \mathbb{R}.$$

2. $\mu = \mu(x)$

    Итак, по условию форма $\mu P(x,y) + \mu Q(x,y)$ является полным дифференциалом некоторой функции $U$, тогда выполняется условие критерия

    $$\frac{\partial (\mu P)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu Q)}{\partial x} \Rightarrow$$

    $$Q\frac{\partial \mu}{\partial x} - P\frac{\partial \mu}{\partial y} = (\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x})\mu \Rightarrow$$

    $$Q\frac{\partial \ln \mu}{\partial x} - P\frac{\partial \ln \mu}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}.$$

    Если $\mu = \mu(x)$, то $\frac{\partial \mu}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial \ln \mu}{\partial y} =0$ и

    $$\frac{d \ln \mu}{dx} = \frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}.$$

    Отсюда выражаем $\mu$ и решаем по предыдущему пункту.

3. $\mu = \mu(y)$ аналогично пункту 2.


# 11. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Общее решение. Особое решение. Дискриминантная кривая.

### Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной

*Дифференциальным уравнением первого порядка, неразрешенным относительно производной* называется уравнение типа

$$F(x, y, y') = 0$$

**Теорема**

Пусть $F(x, y, y') \in C^1$ в области $D$ и в точке $(x_0, y_0, y'_0) \in D$ имеем $F = 0, \partial F / \partial y' \neq 0$.

Тогда на любом достаточно малом отрезке $[x_0 - d; x_0 + d]$ существует единственное решение уравнения $F(x, y, y') = 0$, удовлетворяющее условиям $y(x_0) = y_0$, $y'(x_0) = y'_0$.

**Следствие**

Пусть выполняется условие предыдущей теоремы и в точке $(x_0, y_0)$ уравнение $F(x, y, p) = 0$ имеет $m$ решений $p_i$ и для каждого из них $\partial F / \partial p_i \neq 0$. Тогда через точку $(x_0, y_0)$ в ее окрестности проходит ровно $m$ решений уравнения, и у них в этой области все производные $y'(x_0) = p_i$ различны.

### Общее решение

Пусть дано 
$$F(x, y, p) = 0$$

Если рассматривать $x, y, p$ как декартовы координаты, то вышеуказанное уравнение опишет поверхность. Ее пожно параметризовать через $u, v$:

$$x = \varphi(u, v), y = \psi(u, v), p = \chi(u, v).$$

Теперь вспомним, что это уравнение дифференциальное, т.е. $p = y' = \frac{dy}{dx}$, или $dy = pdx$. Подставляя в $d\psi(u, v) = dy$ выражения $p, dy, dx$, получим.

$$\frac{\partial \psi}{\partial u}du + \frac{\partial \psi}{\partial v}dv = \chi(u, v)[\frac{\partial \varphi}{\partial u}du + \frac{\partial \varphi}{\partial v}dv]$$

Отсюда 

$$\frac{dv}{du} = \frac{\chi \frac{\partial \varphi}{\partial u} - \frac{\partial \psi}{\partial u}}{\frac{\partial \psi}{\partial v} - \chi \frac{\partial \varphi}{\partial v}}$$

Это дифференциальное уравнение первого порядка, но уже разрешенное относительно производной. Если мы найдем его общее решение

$$v = \omega(u, C),$$

То мы сможем разрешить $x, y$ относительно $u$:

$$x = \varphi(u, \omega(u, C)), y = \psi(u, \omega(u, C)),$$

Т.е. общее решение уравнения, выраженное в параметрической форме.

### Дискриминантная кривая

Если для уравнения $F(x, y, y_0) = 0$, $F \in C^1$ в точке $(x_0, y_0)$ нарушается единственность, то при некотором $y'_0$ выполняются эти условия:

$$F(x_0, y_0, y'_0) = 0, \frac{\partial F}{\partial y'}(x_0, y_0, y'_0) = 0$$

Исключив из этих уравнений $y'_0$, получим ограничение $\varphi(x_0, y_0) = 0$. Множество точек этого ограничения называют *дискриминантной кривой*.

Дискриминантная кривая содержит все точки нарушения единственности, но может содержать и некоторые другие точки.

### Особое решение

*Особым решением* называется такое решение, в каждой точки которого его касается другое решение, отличное от рассматриваемого решения в сколь угодно малой окрестности этой точки.

Если особое решение есть, то оно содержиться в дискриминантной кривой.

Для отсыскания особых решений нужно найти дискриминантную кривую и каждую ее ветвь проверить на то, что

1. Она является решением,
2. Ее касаются другие решения.

# 12. Уравнение Лагранжа. Особые решения. Уравнение Клеро. Общее решение.

### Уравнение Лагранжа

*Общий вид уравнения Лагранжа*

$$A(p)y + B(p)x = C(p),$$

где коэффициенты $A, B, C$ - данные дифференцируемые функции производной $p = \frac{dy}{dx}$. Разрешая это уравнение относительно $y$ (мы предполагаем, что $A(p) \neq 0$), приводим его у виду

$$y = \varphi(p)x + \psi(p)$$

Дифференцируя, приходим к уравнению

$$p = \varphi(p) + [\varphi'(p)x + \psi'(p)]\frac{dp}{dx}.$$

Если в этом уравнении рассматривать $x$ как искомую функцию, а $p$ как независимую переменную, то получим уравнение

$$\frac{dx}{dp} + \frac{\varphi'(p)}{\varphi(p) - p}x = \frac{\psi'(p)}{p - \varphi(p)}.$$

Оно интегрируется в квадратурах и решение имеет вид:

$$x = C\omega(p) + \chi(p).$$

Подставляя в $y = \varphi(p)x + \psi(p)$, получим

$$y = [C\omega(p) + \chi(p)]\varphi(p) + \psi(p).$$

Исключив из $x = x(p), y = y(p)$, параметр $p$, получим общий интеграл уравнения Лагранжа в форме 

$$\Phi(x, y, C) = 0.$$

### Уравнение Клеро

*Уравнение Клеро* является частным случаем уравнения Лагранжа и имеет вид:

$$y = px + \varphi(p),$$

где $\varphi$ - данная (дифференцируемая) функция. 

Дифференцируя обе части по $x$, получаем:

$$p = p + [x + \varphi'(p)]\frac{dp}{dx} \Rightarrow \frac{dp}{dx}[x + \varphi'(p)] = 0.$$

Отсюда

$$\frac{dp}{dx} = 0, x + \varphi'(p) = 0.$$

Из первого уравнения

$$y = Cx + \varphi(C), C \in \mathbb{R}.$$

Второе уравнение можно привести к виду

$$p = \omega(x)$$

И отсюда

$$y = x\omega(x) + \varphi[\omega(x)]$$

Особым решением уравнения Клеро есть огибающая уравнения $y = Cx + \varphi(C)$.

# 13. Фазовый поток в $n$-мерном пространстве. Нормальная система дифференциальных уравнений. Приведение дифференциального уравнения $n$-го порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений.

### Фазовый поток в $n$-мерном пространстве.

Фазовым потоком $g^tx$ с фазовым пространством $M \subset R^n$ называют однопараметрическую группу диффеоморфизмов множества $M$.

Фазовый поток описывает состояние точки $x$ фазового пространства $M$ в момент времени $t$.

(Хуй знает, что еще сюда добавить, я долго искал что-то сущностное, но не нашел, увы)

### Нормальная система дифференциальных уравнений

*Нормальной системой дифференциальных уравнений* называют систему

$$
\begin{cases}
\frac{dy_1}{dx} = f_1(x, y_1, y_2, \dots, y_n), \\
\frac{dy_2}{dx} = f_2(x, y_1, y_2, \dots, y_n), \\
\dots \\
\frac{dy_n}{dx} = f_n(x, y_1, y_2, \dots, y_n),
\end{cases}
$$

где $y_i$ - искомые функции независимой переменной $x$. 

### Приведение дифференциального уравнения $n$-го порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений

Пусть дано дифференциальное уравнение $n$-го порядка:

$$y^{(n)} = f(x, y, y', y'', \dots, y^{(n-1)}).$$

Делая серию замен

$$y_1 = y', y_2 = y'', \dots, y_{n-1}=y^{(n-1)}$$

получим нормальную систему дифференциальных уравнений

$$
\begin{cases}
\frac{dy}{dx} = y_1, \\
\frac{dy_1}{dx} = y_2, \\
\dots \\
\frac{dy_{n-2}}{dx} = y_{n-1}, \\
\frac{dy_{n-1}}{dx} = f_n(x, y, y_1, y_2, \dots, y_{n-1}).
\end{cases}
$$


# 14. Приведение нормальной системы дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению $n$-ого порядка.

Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений:

$$
\begin{cases}
\frac{dy_1}{dx} = f_1(x, y_1, y_2, \dots, y_n), \\
\frac{dy_2}{dx} = f_2(x, y_1, y_2, \dots, y_n), \\
\dots \\
\frac{dy_n}{dx} = f_n(x, y_1, y_2, \dots, y_n),
\end{cases}
$$

Продифференцируем первое из них по $x$, получим

$$\frac{d^2y_1}{dx^2} = \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_1}{\partial y_1}\frac{dy_1}{dx} + \dots + \frac{\partial f_1}{\partial y_n}\frac{dy_n}{dx}$$

Или

$$y''_1 = F_2(x, y_1, y_2, \dots, y_n)$$


Повторяя это действие, в итоге получим

$$y^{(n)}_1 = F_n(x, y_1, y_2, \dots, y_n).$$

Из оставшихся $n - 1$ уравнений изначальной системы и уравнений, получившихся в результате дифференцирования первого, можно выразить $y_2, y_3, \dots, y_n$ через $x, y_1, y'_1, \dots, y^{(n-1)}_1$. Внеся эти выражение в последнее уравнение, получим

$$y^{(n)}_1 = \Phi(x, y_1, y'_1, \dots, y^{(n-1)}_1).$$

# 15. Понижение порядка дифференциального уравнения, не содержащего явно независимой переменной.

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryqDhsHKT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/B18M2hrK6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/S1BXnnBF6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rkL9hjrYT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJSihjHYp.png)


# 16. Понижение порядка обобщенно-однородного уравнения.

![image](https://hackmd.io/_uploads/B12g22BKp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/HkkbFsHYp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/ByENYiBFa.png)

Уравнение после замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

# 17. Методы понижения порядка дифференциального уравненеия, отличные от указанных в предыдущих двух вопросах.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJye23HKp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryV433HYp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/H12Eh2rYT.png)


# 18. Условие Липшица. Примеры выполнения и невыполнения.
Пусть $f(x, y): A \to \mathbb{R}, A \subset \mathbb{R}^2$.
**Определение**
Если $\exists N \gt 0: \forall (x, y_1), (x, y_2) \in A \Rightarrow |f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq N|y_1 - y_2|,$ то функция $f(x, y)$ удовлетворяет условию Липшица по переменной $y$ в области $A$.

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJ-_YQStT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJCcKmSKa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJjatmHFT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rklxcXStT.png)


# 19. Преобразование задачи Коши в интегральное уравнение (с обоснованием)

    По сути, то, что нужно в вопросе - это часть доказательства теоремы Коши-Пеано

![image](https://hackmd.io/_uploads/Sy48oXSYT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/Bkavi7Hta.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1rI8sLYT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/Hk3DIi8t6.png)



# 20. Метод последовательных приближений решения дифференциального уравнения первого порядка.

    1 источник

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJGtm_SF6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/BJD9mdSKT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/SytsX_BYT.png)

    2 источник

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJiELuHtp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJfL8dBtT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/BklvIOrKp.png)

    какой источник лучше?

# 21. Теорема Коши-Пеано существования и единственности решений задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Доказательство существования.

**Замечание.** Прилагательное "характеристический" в математике всегда означает "связанный инвариантно". Так, характеристическая подгруппа группы –– это подгруппа, переходящая в себя при всех автоморфизмах группы, характеристическое уравнение матрицы оператора не зависит от выбора базиса, характеристические классы в топологии переходят в себя при диффеоморфизмах и т.д.

## Задача Коши
Задачей Коши для уравнения $L_au = 0$ называется задача об определении функции $u$ по ее значениям на данной гиперповерхности ($(n-1)$-мерная поверхность в $\mathbb{R}^n$). Заданная гиперповерхность называется начальной, а задание на ней искомой функции -- начальным условием $u\big|_\gamma = \varphi$. Функция $\varphi$ называется начальной и она задана на начальной гиперповерхности.

Задача Коши не всегда имеет решение. Действительно, вдоль каждой характеристики значение $u$ постоянно. Но характеристика может пересекать начальную поверхность несколько раз. Если значения начальной функции в этих точках различны, то соответствующая задача Коши не имеет решения ни в какой области, содержащей указанную характеристику.

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1qzBwVKT.png)

**Опеделение.** Точка на начальной гиперповерхности называется *нехарактеристической*, если характеристика, проходящая через эту точку, трансверсальна (не касательна) к начальной гиперповерхности.

**Замечание.** Решения обыкновенного дифференциального уравнения образуют конечномерное многообразие: каждое решение задается конечным набором чисел (начальных условий). Мы видим, что у линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка относительно функции от $n$ переменных столько решений, сколько существует функций от $n − 1$ переменных. Аналогичное явление имеет место и для общих уравнений с частными производными первого порядка.

## Теорема
Пусть $x$ -- нехарактеристическая точка на начальной гиперповерхности. Тогда существует такая окрестность точки $x$, что задача коши в этой окрестности имеет решение, потом только одно.

# 22. Теорема Коши-Пеано существования и единственности решений задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Доказательство единственности.

то же самое?

# 23. Теорема Коши-Пеано для дифференциального уравнения $n$-ого порядка и для нормальной системы $n$ дифференциальных уравнений (формулировки)

## Для д/у $n$-ого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение $n$-ого порядка $y^{(n)}(x) = f(x,y,y',...,y^{(n-1)})$ с начальным условием при $x=x_0$: 

$$
y(x_0) = y_0,\ y'(x_0)=y_0',\ ...,\ y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)},
$$

где $x_0, y_0, y_0', ..., y_0^{(n-1)}$ -- константы.

Пусть $f(x, y_1, ..., y_n)$ -- непрервыная функция от $n+1$ переменных в замкнутой области $\mathbb R$, и следовательно ограничена: $|f|\le M$.

Пусть $f$ удовлетворяет в области $\mathbb R$ условию **Липшица**:

$$
|f(x, u_1, ..., u_n) - f(x, v_1, ..., v_n)| \le N \big(|u_1 - v_1| + ... + |u_n - v_n|\big),
$$

где $N$ -- положительное число. Тогда существует единственное решение уравнения: $y = y(x)$, удовлетворяющее начальным условиям.

## Для нормальной системы $n$ д/у

![image](https://hackmd.io/_uploads/HyMpqNrFa.png)

То есть систему, в левой части уравнений которой стоят производные первого порядка, а правая часть не содержит производных, называется нормальной системой д/у. Ее решение составляет набор (или вектор) из функций, которые удовлетворяют все уравнения системы.

Начальные условия (задача Коши) для нормальной системы имеет вид:

$$
y_1(x_0) = y_{1,0}, ..., y_n(x_0) = y_{n,0},
$$

где $x_0, y_{1,0}, ..., y_{n,0}$  – заданные числа.

Сведение нормальной системы дифференциальных уравнений к интегрированию одного уравнения высшего порядка является одним из основных методов интегрирования таких систем.

# 24. Линейное дифференциальное уравнение $n$-ого порядка. Теорема существования и единственности решения.

**Определение.** Линейным дифференциальным уравнением $n$-ого порядка называется уравнение

$$
y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x),
$$

в которое неизвестная функция $y = y(x)$ и все ее производные входят линейно.

## Теорема

Если в уравнении $y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n - 1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$ все коэффициенты $a_i(x)$ и правая часть $f(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, то задача Коши для этого уравнения с начальными условиями

$$
y(a) = y_0, y'(a) =  y_{1,0}, ..., y^{(n − 1)} (a) = y_{n,0}
$$

имеет единственное на всем отрезке $[a,b]$ решение $y = y(x)$.
 
Следует понимать, что теорема имеет "глобальный" характер -- решение существует и единственно всюду, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения.

# 25. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Свойства их решений.

## Линейное однородное уравнение
**Определение.** Линейным однородным уравнением первого порядка в области $U$ называется уравнение $L_au = 0$, где $a$ -- известное векторное поле в области $U$, а $u$ -- неизвестная функция. в Координатах оно имеет вид $a_1\dfrac{\partial u}{\partial x_1} + ... + a_n\dfrac{\partial u}{\partial x_n} = 0$, $a_k = a_k(x_1, ..., x_k)$

Фазовые кривые векторного поля $a$ называются *характеристиками уравнения* $L_au = 0$. Уравнение $\dot x = a(x)$ называется *уравнением характеристик*.

Характеристики уравнения $L_au = 0$ связаны с ним инвариантно относительно диффеоморфизмов: если диффеоморфизм переводит старое уравнение в новое, то он переводит характеристики старого уравнения в характеристики нового. Можно даже вдобавок умножить поле $a$ на не обращающуюся в нуль функцию -- это не изменит ни решений, ни характеристик уравнения.

### Теорема
Функция $u$ является решением уравнения $L_au = 0$ $\Leftrightarrow$ она является первым интегралом уравнения характеристик.

## Линейное неоднородное уравнение
**Определение.** Линейным неоднородным уравнением первого порядка в области $U$ называется уравнение $L_au= b$, где $a$ -- заданное векторное поле, $b$ -- заданная функция, $u$ -- искомая функция в области $U$. В координатной записи: $a_1\dfrac{\partial u}{\partial x_1} + ... + a_n\dfrac{\partial u}{\partial x_n} = b$, где $a_k$, $b$ -- известные функции от $x_1,...,x_n$

### Теорема
В достаточно малой окрестности любой нехарактеристической точки начальной поверхности существует единственное решение.

# 26. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Теорема об определителе Вронского линейно зависимой системы функций.

> хз что можно про ЛЗ и ЛНЗ системы функций написать

**Определение.** Определителем Вронского системы функций $\varphi_k: I^n \to \mathbb R, 1 \le k \le n$ называется числовая функция $W:I^n\to \mathbb R$, значение которой в точке $t$ равно

$$
W(t) =
\begin{vmatrix}
\varphi_1(t) & \cdots & \varphi_n(t) \\
\dot{\varphi_1}(t) & \cdots & \dot{\varphi_n}(t) \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\varphi^{(n-1)}_1(t) & \cdots & \varphi^{(n-1)}_n(t)
\end{vmatrix}
$$

- Если определитель Вронского системы обращается в $0$ хоть в одной точке, то он тождественно равен нулю при всех $t$.
- Если определитель Вронского системы обращается в $0$ хоть в одной точке, то эти решения линейно независимы.
- Система функций фундаментальна $\Leftrightarrow$ определитель Вронского отличен от $0$ хоть в одной точке.

# 27. Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Однородное уравнение с переменными коэффициэнтами мы будем называть уравнение

$$
\dot x = A(t)x,\ x \in \mathbb R^n,\ A(t):\mathbb R^n \to \mathbb R^n
$$

где $t$ принадлежит интервалу $I$ вещественной оси.

## Теорема Лиувилля
**Формулировка.** Определитель Вронского системы решений однородного уравнения является решением дифференциального уравнения

$$
\dot W = aW, \text{ где } a(t) = \mathrm{tr}A(t)
$$

**Следствие.**
$$
W(t) = \exp\Big(\int\limits_{t_0}^ta(\tau)d\tau\Big)W(t_0),\ \det g_{t_0}^t = \exp\Big(\int\limits_{t_0}^ta(\tau)d\tau\Big)
$$

# 28. Теорема об общем виде решения линейного однородного дифференциального уравнения.
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJHZTSStT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJ33arBt6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/B1M8RHBYp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJjtRSBYT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/H1LqASBYp.png)


# 29. Фундаментальная система решений. Теорема существования фундаментальной системы решений.

![IMG_0907](https://hackmd.io/_uploads/r1huI2BKp.jpg)


![IMG_0905](https://hackmd.io/_uploads/BJdq82HKp.jpg)
![IMG_0906](https://hackmd.io/_uploads/B1lhU2rFp.jpg)


# 30. Могут ли два различных линейных однородных уравнения п-ого порядка иметь одну и ту же фундаментальную систему решений? Ответ обосновать.

> Крч, наругайте меня в телеге, если я совсем дурак и вставил не то. Просто я вообще не нашел чего-то более похожего

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJPyiiBKp.png)



# 31. Формула Остроградского-Лиувилля.

![IMG_1402](https://hackmd.io/_uploads/BykHKerFp.jpg)

# 32. Решение однородного линейного уравнения второго порядка с помощью формулы Остроградского-Лиувилля.

>Для справки: "ЛОДУ" ниже - Линейное Однородное Дифференциальное Уравнение.

![image](https://hackmd.io/_uploads/Hk_yCjSY6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/B1UgCiSYp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkJ-0jBKa.png)


# 33. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения п-ого порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

![image](https://hackmd.io/_uploads/SkohkhSFp.png)

# 34. Линейное однородное дифференциальное уравнение п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Элементы фундаментальной системы решений в случаях кратных и комплексных корней характеристического уравнения. Примеры.


![IMG_0908](https://hackmd.io/_uploads/S11ws3Ht6.jpg)
![IMG_0909](https://hackmd.io/_uploads/SkcvihBY6.jpg)


![IMG_0910](https://hackmd.io/_uploads/ryrshhBYT.jpg)
![IMG_0911](https://hackmd.io/_uploads/Bkuan2Ht6.jpg)


![Uploading file..._tfl0uczzs]()
![Uploading file..._tfl0uczzs]()


# 35. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Структура общего решения. Структура частного решения. Примеры.
![IMG_0913](https://hackmd.io/_uploads/Hy2JA3rYT.jpg)
![IMG_0914](https://hackmd.io/_uploads/BJJxA3rYa.jpg)
![IMG_0915](https://hackmd.io/_uploads/SymvxpBF6.jpg)
![IMG_0916](https://hackmd.io/_uploads/B1TcxpHtp.jpg)
![IMG_0917](https://hackmd.io/_uploads/HJIg-prFT.jpg)

![IMG_0918](https://hackmd.io/_uploads/HJdWWpSK6.jpg)

# 36. Особые точки фазового потока на плоскости. Линеаризация фазового потока в окрестности особой точки (приведение к нормальной системе двух линейных однородных дифференциальных уравнений).
![Снимок экрана 2024-01-17 в 23.11.07](https://hackmd.io/_uploads/Hygyr2BFT.png)
![Снимок экрана 2024-01-17 в 23.11.39](https://hackmd.io/_uploads/H1Llr2BKa.png)

![Uploading file..._ceye0n2lh]()
![Uploading file..._uvfhsh3mx]()


# 37. Классификация особых точек линейной системы второго порядка. Особая точка типа узел (с графической иллюстрацией).

![image](https://hackmd.io/_uploads/B1cbr2SKp.png)

>Разные скриншоты, первый (выше) с нашего учебника, второй (ниже) с учебника МГУ

![image](https://hackmd.io/_uploads/SymfLhHYa.png)



# 38. Классификация особых точек линейной системы второго порядка. Особая точка типа седло (с графической иллюстрацией).

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJIimhStp.png)

>Разные скриншоты, первый (выше) с нашего учебника, второй (ниже) с учебника МГУ

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1EXL2rtT.png)


# 39. Классификация особых точек линейной системы второго порядка. Особая точка типа фокус (с графической иллюстрацией).

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1ZYE2rt6.png)

# 40. Классификация особых точек линейной системы второго порядка. Особая точка типа центр (с графической иллюстрацией).

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryI3E2SF6.png)

# 41. Классификация особых точек линейной системы второго порядка. Особая точка типа дикритический узел (с графической иллюстрацией).

![image](https://hackmd.io/_uploads/BJ44U2rKa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryKsr3Sta.png)

# 42. Классификация особых точек линейной системы второго порядка. Особая точка типа вырожденный узел (с графической иллюстрацией).

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJX4vnSFT.png)

>Разные скриншоты, первый (выше) с нашего учебника (единственное, что смог найти), второй (ниже) с учебника МГУ

![image](https://hackmd.io/_uploads/ByIrU3rFp.png)


# 43. Нормальная система линейных однородных дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение.


![image](https://hackmd.io/_uploads/Hkg-lM4Fa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/S1NXlzNKp.png)
Система $(1)$ или $(2)$ называется линейной однородной, если все $f_{i} \equiv 0$, и линейной неоднородной в противном случае. 
![image](https://hackmd.io/_uploads/SyMZT-EFT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkA86-VY6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rylc1MVY6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1fj1GEYT.png)



# 44. Метод Лагранжа решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений.

**Просто теоремка** (А.Ф.Филиппов "Введение в теорию дифференциальных уравнений" стр 78)

![image](https://hackmd.io/_uploads/r1omNfNFT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/B1w8rf4YT.png)

**Метод Лагранжа:** (А.Ф.Филиппов "Введение в теорию дифференциальных уравнений" стр 79-80)
![image](https://hackmd.io/_uploads/S198VfNF6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkKYEf4F6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/H15KrzEF6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJkjBMVKa.png)


# 45. Экспонента от матрицы. Свойства. Вычисление за конечное число операций.

**------------------------------------------------------**
**(Информация из различных учебников):** (1 вариант ответа на вопрос)
**------------------------------------------------------**

![image](https://hackmd.io/_uploads/BkCftz4Fp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BJmHFM4t6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1lvtMVta.png)

**Поиск экспоненты от матрицы** (возможно это не то)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJk19fNYa.png)

**Алгоритм (взят из Арнольда):**
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkKLaf4FT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1h_TzVFp.png)

**Пример из Филиппова**
![image](https://hackmd.io/_uploads/H1JGAMVF6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/S1b70MVF6.png)
(PS. В учебнике замечена опечатка. Т.е должно быть не $x^2(t)$, а $x_2(t)$, т.е  2-е решение, а не 2-ая степень)

**------------------------------------------------------**
**(Ответ на тот же вопрос, но из конспекта Родникова):** (Хз какой лучше) 
**------------------------------------------------------**

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJeyohSKT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJ4lihBtp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/H1--inSKT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/Byl7snSY6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkHEjnrYa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HJ7Sj2rtT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/H1HvonSYT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/Hk_AonSY6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/r10lh3BtT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/S1xGnhBF6.png)


# 46. Экспонента от матрицы. Связь с решением системы линейных однородных уравнений.

![image](https://hackmd.io/_uploads/BkCftz4Fp.png)
ХЗ какая там связь
Мб это:
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJAfHaSY6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/BJPAXTSFa.png)

# 47. Нормальная система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение в случае равенства геометрической и алгебраической кратностей корней характеристического уравнения.

1) В определении НСЛОДУСПК стоит заменить $x$ на $y$, ради большего соответствия с конспектом Родникова, который идет после.
![image](https://hackmd.io/_uploads/rk9z_THtp.png)
2)
![image](https://hackmd.io/_uploads/H1IVt6BYp.png)
3)
(Из Филиппова)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkJ7MArtT.png)

(Из конспекта Родникова)
![image](https://hackmd.io/_uploads/Sk-ecartT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HywEc6SF6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJkdqarta.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/Bkzi56HtT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/B1_696SKa.png)



# 48. Нормальная система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение в случае неравенства геометрической и алгебраической кратностей корней характеристического уравнения.

Пункты 1, 2. Такие же как в вопросе 47.
3)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJt610HF6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/Syb2lCSYa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/B17KJ0rYT.png)


# 49. Нормальная система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вещественная форма общего решения в случае комплексных корней характеристического уравнения.

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1dRk7rtT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BJYbgXBYT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rklRxQBtT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HJHkWQHKp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJzlbQHtp.png)

**Пример из Филлипова:**

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJsEbQHt6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/SyrSZQHK6.png)




# 50. Понятие об устойчивости частного решения системы дифференциальных уравнений. Устойчивость по А.М.Ляпунову, асимптотическая устойчивость, неустойчивость.

![image](https://hackmd.io/_uploads/Sy8jNQHYa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/Sk_h4XHK6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkP9wmBK6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkZiv7HFT.png)



# 51. Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Теорема А.М.Ляпунова об устойчивости. Функция Ляпунова. Примеры.


Функция V = V(x1,x2,...,xn) называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат.

Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

![image](https://hackmd.io/_uploads/HyezPdXBFa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkAw_mrFT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/S1ypYQHY6.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkRM5mrtT.png)


# 52. Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Теорема об асимптотической устойчивости. Примеры.

Функция V = V(x1,x2,...,xn) называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат.

Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

![image](https://hackmd.io/_uploads/ByTtcmrKa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/rJbo97BYp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/S15gaQrKT.png)


# 53. Первый интеграл системы дифференциальных уравнений. Использование первых интегралов в качестве функции А.М.Ляпунова.

![image](https://hackmd.io/_uploads/Hk-neNHFT.png)

# 54. Теорема Н.Г. Четаева о неустойчивости. Функция Н.Г.Четаева.

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJlVpmrFa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1q46mSFa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/B1DH6mrFa.png)

# 55. Теорема об устойчивости по первому приближению. Теорема о неустойчивости по первому приближению.

![image](https://hackmd.io/_uploads/BkVdTXHYp.png)

# Типы задач

Что значит решить дифференциальное уравнение? 

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению (порой, достаточно одной). То есть корнями дифференциального уравнения являются функции. Для д/у 1-го порядка такое множество функций зачастую имеет вид $y = f(x, C)$, который называют общим решением дифференциального уравнения

## 1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Тип уравнений в которых переменные можно разделить между собой (грубо говоря, в одной части только $y$, в другой -- только $x$)

### Пример 1
\begin{gathered}
xy' = y \\
x\cdot \dfrac{dy}{dx} = y \\
\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x} \\
\int\dfrac{dy}{y} = \int\dfrac{dx}{x} \\
\ln |y| = \ln |x| + C_1
\end{gathered}

Это уже считается приемлимым ответом, однако можно вообще по красоте сделать: засунуть константу под логарифм $\ln|y| = \ln|xC_2|$ ($C_1 = \ln|C_2|$) и убрать логарифмы $y = xC_2$.

### Пример 2
Задача Коши (т.е. с постановлением начального условия)

\begin{gathered}
y' = -2y,\ y(0) = 2 \\
\dfrac{dy}{dx} = -2y \\
\dfrac{dy}{y} = -2dx \\
\int \dfrac{dy}{y} = \int-2dx \\
\ln|y| = -2x + C_1 \\
|y| = e^{-2x + C_1} \\
y = \pm C_2\cdot e^{-2x} \\
y = Ce^{-2x} \\
\text{подставляем } y(0) = 2 \text{:}\\
2 = Ce^{-2\cdot 0} \Rightarrow 2 = C\cdot 1 \Rightarrow C = 2
\end{gathered}

Ответ: $y = 2e^{-2x}$

## 2. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Уравнение, в котором переменные разделяются после замены. Чтобы понять, что уравнение однородное, нужно домножить $x$ и $y$ на $\lambda$ ($y'$ не трогаем), если все $\lambda$ сокращаются -- уравнение **однородное**.

Типичная подстановка -- $y = t(x)\cdot x \Rightarrow y' = t'x + t$, после этого решаем как прошлый тип, в конце делаем обратную замену

### Пример 1 (из доп задач)
\begin{gathered}
xy'-y=x\tan \dfrac{y}{x} \\
y' - \dfrac{y}{x} = \tan \dfrac{y}{x} \\
\text{замена } y = t(x)\cdot x \Rightarrow y' = t'x + t \text{ тогда } \\
t'x + t - t = \tan t \\
t'x = \tan t \\
\dfrac{dt}{dx} x = \tan t \\
\dfrac{x}{dx} = \dfrac{\tan t}{dt} \\
\int\dfrac{dx}{x} = \int\dfrac{dt}{\tan t} \\
\ln|x| + C_1 = \ln |\sin t| \\
C_1 = \ln |C_2| \\
t = \arcsin C_2x \\
\dfrac{y}{x} = \arcsin C_2x
\end{gathered}

Ответ: $\dfrac{y}{x} = \arcsin C_2x$

### Пример 2
\begin{gathered}
(x+y)y' + y = 0 \\
y = tx \Rightarrow y' = t'x + x \\
(x + tx)(t'x + t) + tx = 0 \\
(1 + t)(t'x + t) + t = 0 \\
(1 + t)t'x + t + t^2 + t = 0 \\
(1 + t)\dfrac{dt}{dx}x = -(2t + t^2) \\
\dfrac{1+t}{t^2 + 2t}dt = -\dfrac{dx}{x}
\end{gathered}

При делении на $t^2 + 2t$, проверяем, не является ли оно нулем (чтобы не потерять решения):
- $t = 0 \Rightarrow \dfrac{y}{x} = 0 \Rightarrow y = 0$. Оно является решением изначального уравнения.
- $t = -2 \Rightarrow \dfrac{y}{x} = -2 \Rightarrow y = -2x \Rightarrow y' = -2$. Подставляем в изначальное уравнение:
\begin{gathered}
(x -2x)\cdot(-2) + (-2x) = 0 \\
2x - 2x = 0
\end{gathered}
Следовательно, является решением.

\begin{gathered}
\dfrac{1+t}{t^2 + 2t}dt = -\dfrac{dx}{x} \\
\int\dfrac{1+t}{t^2 + 2t}dt = -\int\dfrac{dx}{x} \\
\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(t^2+2t)}{t^2 + 2t} = -\ln|x| + \ln|C| \\
\dfrac{1}{2} \ln |t^2 + 2t| = -\ln|x| + \ln|C| \\
\ln|t^2+2t| = \ln (x^{-2} \cdot C) \\
t^2 + 2t = \dfrac{C}{x^2} \\
\text{обратная замена } t = \dfrac{y}{x} \\
\dfrac{y^2}{x^2} + 2\dfrac{y}{x} = \dfrac{C}{x^2} \\
y^2 + 2yx = C
\end{gathered}

Проверяем, содержутся ли "частные" решение, вылезавшие при делении в полученном выражении:
- $y = 0$ есть, при $C = 0$, следовательно не указываем в ответе
- $y = -2x$ есть, при $C = 0$, следовательно не указываем в ответе

Ответ: $y^2 + 2yx = C$

**Замечание.** если однородное уравнение содержит дифференциалы ($dy, dx$), можно воспользоваться модифицированной заменой: $y = tx$ и $dy = xdt + tdx$


## 3. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
![WhatsApp Image 2024-01-18 at 15.47.35_c841cc64](https://hackmd.io/_uploads/rk2TRc8Yp.jpg)
>>у кого много свободного времени, может переверстать)

## 4. Уравнение Бернулли
![WhatsApp Image 2024-01-18 at 15.48.27_dba53cfa](https://hackmd.io/_uploads/Bygyyi8KT.jpg)
![WhatsApp Image 2024-01-18 at 15.49.29_42c5be54](https://hackmd.io/_uploads/SyzlkiUKa.jpg)
>>у кого много свободного времени, может переверстать)

## 5. Уравнение Риккати

![IMG_0922](https://hackmd.io/_uploads/SyNDLs8Ya.jpg)

![photo_2024-01-18 16.25.14](https://hackmd.io/_uploads/Sy5gDsUt6.jpg)



## 6. Уравнение в полных дифференциалах или сводящиеся к ним

Для начала прочитайте 10 вопрос, он небольшой.

Теперь приступим к примерам.

**Пример 1**

$$(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0$$

Итак, $P(x, y) = 3x^2 + 6xy^2, Q(x, y) = 6x^2y + 4y^3$. Проверим, если форма $Pdx + Qdy$ является полным дифференциалом какой-то другой функции:

$$\frac{\partial P}{\partial y} = 12xy = \frac{\partial Q}{\partial x}.$$

По необходимому и достаточному условию (критерию) $\exists U: dU = Pdx + Qdy$.

Т.к. $P = \frac{\partial U}{\partial x}$

$$U = \int Pdx = x^3 + 3x^2y^2 + f(y).$$

Но $\frac{\partial U}{\partial y} = Q \Rightarrow$

$$6x^2y + f'(y) = 6x^2y + 4y^3$$

Т.е. $f(y) = y^4$ и

$$U = x^3 + 3x^2y^2 + y^4.$$

Т.к. $dU = 0 \Rightarrow U = C \in \mathbb{R}$ и

$$x^3 + 3x^2y^2 + y^4 = C$$

\- решение дифференциального уравнения.

**Пример 2**

$$(2xy + x^2y + \frac{1}{3}y^3)dx + (x^2 + y^2)dy = 0$$

Здесь (смотри пункт про интегрирующий множитель 11 вопроса)

$$\frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q} = \frac{2x + x^2 + y^2 - 2x}{x^2 + y^2} = 1,$$

Следовательно

$$\frac{d\ln\mu}{dx} = 1, \mu = e^x.$$

Тогда $\exists U: dU = \mu(x)P(x,y)dx + \mu(x)Q(x,y )dy$.

Аналогично 1 примеру получаем ответ:

$$ye^x(x^2+\frac{1}{3}y^3) = C.$$

## 7. Дифференциальное уравнение первого порядка, неразрешенное относительно производной

![image](https://hackmd.io/_uploads/HyCnjIBYa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HyVCs8BFa.png)

Пример метода 1:

\begin{gathered}
(y'+1)^3=27(x+y)^2\\
\text{замена } u = x+y \Rightarrow u' = y'+1 \text{ тогда } \\
(u')^3=27u^2\\
\dfrac{du}{u^\dfrac{2}{3}} = 3dx \\
\text{интегрируем и получается:} \\
3u^\dfrac{1}{3}=3x+3C \\
u^\dfrac{1}{3}=x+C \\
u=(x+C)^3 \\
x + y = (x+C)^3 \\
y = (x + C)^3 - x\\
\text{Поиск особых решений:} \\
F(x,y,p) = (p + 1)^3 - 27(x+y)^2 = 0 \\
\dfrac{dF}{dp} = 3(p + 1)^2 = 0\\
p = -1 \\
27(x + y)^2 = 0 \\
y = -x - \text{особое решение}\\
1)x = x0\\
(x + C)^3 - x0 = -x0\\
2)3(x0 + C)^2 - 1 = -1\\
x0= -C\\
\end{gathered}

Пример метода 2 из доп.задач:

\begin{gathered}
xy'(y' + 2)=y\\
x(y')^2+2xy'=y\\
\text{замена } y' = p \Rightarrow dy = pdx \text{ тогда } \\
y = xp^2+2xp\\
dy = p^2dx + 2xpdp + 2pdx+2xdp \\
pdx = 2x(p+1)dp + p(p+2)dx \\
\text{разделим обе части на (p + 1)}\\
\dfrac{pdx}{(p + 1)}=2xdp+ \dfrac{p(p+2)dx}{(p + 1)}\\
\dfrac{p-p^2-2p}{(p + 1)}dx=2xdp\\
\dfrac{p + 1}{-p(p + 1)}dp=\dfrac{dx}{2x}\\
\text{Интегрируем:}\\
-ln(p)=0.5ln(x)+ln(C) \\
\dfrac{1}{p} = C\sqrt{x}\\
x = \dfrac{1}{p^2C^2}\\
p = +- \dfrac{1}{C\sqrt{x}}\\
\text{подставляем в y}\\
y = +-2\dfrac{x}{C\sqrt{x}} + \dfrac{1}{C^2}
\end{gathered}
*В решателе ответ немного отличается из-за того,что по-другому выражена C*


## 8. Уравнение второго порядка, не содержащее явно независимую переменную

![IMG_0923](https://hackmd.io/_uploads/rkgrIiLYp.jpg)


## 9. Решение линейного ОДУ с помощью формулы Остроградского-Лиувилля

![image](https://hackmd.io/_uploads/r11QOqUKa.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/B18PdqUtT.png)


## 10. Решение системы линейных однородных ОДУ с постоянными коэффициентами

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryobVTrF6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1uN46Ht6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/r194OYItp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/BkvANpSF6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJVJr6BKa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/BkleHTSKp.png)

Пример
\begin{cases}
\dot x = x - y + z \\
\dot y = x + y - z \\
\dot z = x - y + z \\
\end{cases}

Составим характеристическое уравнение:
$$
\begin{vmatrix}
1 - \lambda & -1 & 1 \\
1 & 1 - \lambda & -1 \\
1 & -1 & 1 - \lambda 
\end{vmatrix} 
= 0
$$
Решая его, получим следующие корни: $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 2$
Подставляя поледовательно эти значения корней в $(A - \lambda E)H = 0,$ опрделеям соответсвующие векторы $H_1, H_2$ и $H_3$:
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkGbKK8YT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/HyXfYFIY6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rkI_FYIt6.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rkJYFFIFa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/Syl9tKIYa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1DsKKLKT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/SyzCtK8tp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/HkjCYtIYa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/ByuycY8FT.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/SyGxcF8Fa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJJ-cYUKp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/r12bcFUFa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJGmqtIFp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/Bkp79K8tp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJr49KLFT.png)


## 11. Определение типа особой точки нелинейной системы ОДУ второго порядка


# Возможные типы дополнительных задач
1. $xy'-y=x\tan \dfrac{y}{x}$
2. $xy' - 4x^2 \sqrt{y} = 4y$
3. $y^2dx-(xy+x^3)dy=0$
4. $xy'-y=\ln y'$
5. $xy' - (2x+1)y+x^2+y^2 = 0$
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1L2li8Yp.png)
6. $y'' + \dfrac{y'}{1-y}=0$
7. $(y+\sqrt{xy})dx = xdy$
8. $(x+1)(y' - y^2) + y = 0$
![image](https://hackmd.io/_uploads/ryMpeo8ta.png)
9. $(x^2-y^2-x)dx-ydy = 0$
10. $xy'(y'+2)=y$
11. $y' + 2ye^x-y^2=e^{2x}+e^x$
12. $yy''= y'^2+yy'$
13. $y'''-3y'+2y = \dfrac{e^x}{e^x+1}$
14. $y'''+3y''+y'+3y=\sin x + e^{3x}$
15. $x^2y'' - 2y = 0$
16. $\begin{cases}\dot x = 4x + z \\ \dot y = -x + 3y-z \\ \dot z = 2z -x\end{cases}$

# Литература.
1. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
2. Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
3. А.Ф.Филиппов. Введение в теорию дифференциальных уравнений
4. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений
5. Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

# Задачи для подготовки к экзамену (А.Ф.Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям)
56, 58, 65, 103-118, 126-128, 140, 143, 146, 148, 149, 153, 156, 158, 160, 161, 163, 167, 169, 171, 188, 191, 194, 195, 196, 198, 201, 204, 210, 215, 219, 279, 280, 288, 289, 291-296, 354, 362, 393, 407, 419, 424, 426, 434, 436, 445, 455, 460, 463, 467, 468, 470, 477, 481, 484, 486, 488, 490, 491, 494, 520, 524, 525, 526, 530, 532, 541, 548, 549-554, 569, 572, 575, 577, 578, 579, 589, 600, 607, 610, 681, 682, 683, 686, 687, 685, 689, 691, 801-812, 971-978