## Векторные пространства: 1-13 вопросы
### 1 вопрос. Векторное пространство. Определение, свойства, примеры.

#### Определение
Линейным пространством V называется множество некоторых элементов, называемых векторами, с введенными замкнутыми операциями сложения векторов и умножения вектора на число такое, что выполняются следующие 8 аксиом.

$\forall v, u, w \in V, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$

1. $v + u = u + v$ (коммутативность)
2. $v + (u + w) = (v + u) + w$ (ассоциативность)
3. $\exists o \in V: v + o = v$ (нулевой элемент)
4. $\forall v \exists (-v): v + (-v) = o$ (обратный элемент)
5. $\lambda(v + u) = \lambda v + \lambda u$ (дистрибутивность по сложению)
6. $(\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v$ (дистрибутивность по умножению)
7. $\lambda(\mu v) = (\lambda \cdot \mu) v$ (ассоциативность по умножению)
8. $1 \in \mathbb{R}: 1 \cdot v = v$ (унитарность)

#### Свойства:
1. Единственность нулевого вектора

Пусть $\exists o, o^{'}$, удовлетворяют 3 аксиоме. Тогда засчет 1 аскиомы

$$o + o^{'} = o^{'} \wedge o^{'} + o = o \Rightarrow o = o^{'}$$.

2. Единственность обратного вектора

Пусть $(-v), (-v)^{'}$ удовлетворяют 4 аксиоме. Тогда по 2, 3, 4 аксиома получаем, что
$$(-v)^{'} = (-v)^{'} + \underbrace{v + (-v)}_{o} = \underbrace{(-v)^{'}, v}_{o} + (-v) = (-v).$$

3. Произведение любого числа на нулевой вектор есть нулевой вектор.

По 3,4,5 аксиомам:

$$\lambda v = \lambda (v + o) = \lambda v + \lambda o \Rightarrow \lambda o = o.$$

4. $0 \cdot v = o$

По 4, 6, 8 аксиомам

$$v = (0 + 1) v = 0 \cdot v + 1 \cdot v = 0 \cdot v + v \Rightarrow 0 \cdot v = o$$

5. $(-1)v = (-v)$

По 4 свойству и 4, 6, 8 аксиомам

$$o = 0 \cdot v = (1 + -1)v = 1 \cdot v + (-1) \cdot v = v + (-1) \cdot v \Rightarrow (-1) \cdot v = (-v)$$

**Пример векторного пространства:** $\mathbb{R}^{n \times m}$ - множество матриц $n \times m$, удовлетворяет всем 8 аксиомам, следовательно, это векторное пространство.

## Евклидовы пространства: 14-25 вопросы

### 14 вопрос. Евклидово пространство. Определение, свойства, примеры.

#### Определение

Евклидовым пространством называют векторное пространство над полем вещественных чисел с введенным на нем скалярным произведением, ставщим в соответствие каждым двум векторам этого пространства вещественное число, которое удовлетворяет следующим 4 аксомам:

$\forall u, v, w \in E, \lambda \in \mathbb{R}$

1. $(v, u) = (u, v)$
2. $(v, u + w) = (v, u) + (v, w)$
3. $(\lambda v, u) = \lambda (v, u)$
4. $0 \leq (v, u) ((v, u) = 0 \Rightarrow v = u)$

Из этих аксиом можно выделить следующие очевидные свойства:

1. $$(\sum_{i=1}^{m}\alpha_i v_i, \sum_{j=1}^{n}\beta_j u_j) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\alpha_i \beta_j (v_i, u_j)$$

2. $$(o, v) = (v, o) = 0$$

### 15 вопрос. Основные метрические понятия, неравенство Коши-Буняковского

#### Определение

Длиной (нормой) вектора $v \in E$ называется число $|v| = \sqrt{(v,v)}$.

Углом сежду векторами $v, u \in E$ называется число $\varphi = \arccos\frac{(v, u)}{|v||u|}$.

#### Неравенство Коши-Буняковского

$(v, u) \leq (v, v) \cdot (u, u)$

### 16 вопрос. Неравенство треугольника и теорема Пифагора

#### Неравенство треугольника

$$||u| - |v|| \leq |u + v| \leq |u| + |v|$$

#### Обобщеный случай теоремы Пифагора

Если $v_1, ..., v_n$ - линейно-независимая система векторов, то

$$|\sum_{i=1}^{n}v_i| = \sum_{i=1}^{n}|v_i|$$

#### 23 вопрос. Определитель Грамма и его свойства

#### Определение

Определителем Грамма называется определитель соответствующей матрицы и записывается как

$$\det G(v_1, ..., v_n) = \det
\begin{pmatrix}
(v_1, v_1) & ... & (v_1, v_n) \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
(v_n, v_1) & ... & (v_n, v_n)
\end{pmatrix}
$$

#### Свойства определителя Грамма

1. Критерий линейной зависимости системы векторов

Система векторов $v_1, ..., v_n$ линейно зависима тогда и только тогда, когда соответствующий определитель Грамма равен нулю.

**Следствие**

Если какой-либо главный минор матрицы Грамма равен нулю, то система векторов линейно зависима.

2. Определитель Грамма не меняется в процессе ортогонализации системы векторов

Пусть $v_1, ..., v_n$ - ЛНЗ система векторов, и пусть $w_1, ..., w_n$ её ортоганализация, тогда

$$\det G(v_1, ..., v_n) = \det G(w_1, ..., w_n) = (w_1, w_1) \cdot ... \cdot (w_n, w_n)$$

3. Для любой системы векторов $v_1, ..., v_n$ выполняется неравенство:

$$0 \leq \det G(v_1. ..., v_n) \leq (v_1, v_1) \cdot ... \cdot (v_n, v_n)$$

Вопросы 61-63

Пусть $x_1, ..., x_n$ элементы $\mathbb{R}^n$

Линейной оболочкой $x_1, ..., x_k$ называется множество линейных комбинаций
$Lin(x_1, ..., x_k) = \{ \lambda_1 x_1 + ... + \lambda_k x_k: \lambda_i \in \mathbb{R}, i = 1, ..., k \}$

Афинной оболочкой $x_1, ..., x_k$ называется множество афинных комбинаций этих векторов
$Aff(x_1, ..., x_k) = \{ \lambda_1 x_1 + ... + \lambda_k x_k: \lambda_1 + ... + \lambda_k = 1, \lambda_i \in \mathbb{R} \}$

Конической оболочкой $x_1, ..., x_k$ называется множество неотрицательных комбинаций этих векторов
$Con(x_1, ..., x_k) = \{ \lambda_1 x_1 + ... + \lambda_k x_k: \lambda_i \geq 0, i = 1, ..., k \}$

Выпуклой оболочкой $x_1, ..., x_k$ называется множество выпуклых комбинаций этих векторов
$Conv(x_1, ..., x_k) = \{ \lambda_1 x_1 + ... + \lambda_k x_k: \lambda_i \geq 0, \lambda_1 + ... + \lambda_k = 1, i = 1, ..., k \}$



## Выпуклое множество в $\mathbb{R}^n$

Множество $\Phi \subset \mathbb{R}$ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками, оно содержит и отрезок, соединаяющий их [точки].
$\forall x_1, x_2 \in \Phi: s_1 x_1 + s_2 x_2 \in \Phi, s_1 \geq 0, s_2 \geq 0, s_1 + s_2 = 1$

### Лемма
Пересечение любого количества выпуклых множеств есть выпуклое множество

# Билет 111
1. Сформулировать определение размерности пространства. Найти базис и размерность пространства чётных мгогочленов степени не выше третьей. Обосновать

Размерность пространства - максимальная мощность системы ЛНЗ векторов в пространстве

$Q_{\leq 3} = \{ax^2 + c | a, c \in \mathbb{R}\}$, базис - $\{x^2, 1\}$, размерность - 2

2. Написать неравенство Бесселя. Привести пример, когда неравенство выполняется как равенство.

Неравенство Бесселя:

Превращается в равенство при $l = v, e_1,..,e_r$ - базис $L$?

3. Сформулировать определение инъективного отображения. Привести пример инъективного, но не биективного отображения.

Отображение $f$ - инъективное, если $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$

Пример инъективного, но не биективного отображения - $\arctan x$

4. Сформулировать теорему Гамильтона-Кэли. Найти многочлен от матрицы с использованием теоремы p = t^3 + 2t^2 - 2t - 7 (вроде)


То же, что $det(A - \lambda A) = 0$ - верно

$p(t) = t^3 + 2t^2 - 2t - 7, p(A) = ?$
Пусть $A = \begin{pmatrix} 1 && 2 \\ 0 && 3 \end{pmatrix}$

Тогда:
1. Составим $r(t) = r_{n-1}t^{n-1} + ... + r_1 t + r_0$, где $n$ - размерность $A$, то есть $r(t) = r_1t + r_0$
2. $|A - \lambda E| = 0 \Rightarrow \lambda = 3, 1$
3. $\lambda = 3$:
$p(3) = 32 = r(3) = 3r_1 + r_0$

$\lambda = 1$:
$p(1) = -6 = r(1) = r_1 + r_0$

Тогда $2r_1 = 38 \Rightarrow r_1 = 19, r_0 = -25$
$p(A) = r(A) = 19\cdot A - 25 \cdot E = \begin{pmatrix}-6 && 38 \\ 0 && 32 \end{pmatrix}$

5. Сформулировать определение выпуклового множества векторного пространства $\mathbb{R}^4$. Изобразить решение системы в системе координат $O x_1 x_2$. Написать общее решение системы

Выпуклое множеством называется такое множество, в котором точки отрезка, соединяющего любые две точки множества входят в это множество

<img src=https://hackmd.io/_uploads/H1LqWAtPn.png, width = 300>
<img src=https://hackmd.io/_uploads/SypqWCFvh.png, width = 300>

$\forall x_1, x_2, x_3, x_4 \in \Phi: s_1 x_1 + s_2 x_2 + s_3 x_3 + s_4 x_4 \in \Phi, s_1 \geq 0, s_2 \geq 0, s_3 \geq 0, s_4 \geq 0, s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 1$



# Билет 118
1. Привести формулу связи координат векторов при переходе от одного базиса к другому. Если вектор v в базисе $е_1, е_2 ... е_n$ имеет координаты $(1,2 ... n)$, как изменятся его координаты при переходе в базис $е_1, 2\cdot е_2 ... n\cdot e_n$. Ответ обосновать.

Если базис $(f)$ выражается каким-то образом через $(e): f_i = c_{i1} e_1 + ... + c_{in} e_n$, тогда можно составить матрицу перехода от базиса $(e) \to (f):$
$$
A_{(e) \to (f)} =
\begin{pmatrix}
c_{11} && ... && c_{1n} \\
... && ... && ... \\
c_{n1} && ... && c_{nn}
\end{pmatrix}
$$

При этом $A_{(f) \to (e)} = A^{-1}_{(e) \to (f)}$

2. Дать определение ядра отображения. Найти ядро отображения $А$ из матриц $2\times 2$ в матрицы $2\times 2$, заданное формулой $X - X^T$. Ответ обосновать.

Ядро отображения $\ker A = \{v | Av = \theta\}$.

Нужно найти такие матрицы $X$, что $X - X^T = \Theta$, где $\Theta$ - нулевая матрица $2\times 2$, очевидно, что $\ker A = \{X| X = X^T\}$.

3. Дать определение ортогональных векторов. Любая ли система плавно ортогональных векторов является линейного зависимой.

Ортогональные векторы - те векторы, скалярное произведение которых равно нулю.

Кто такой система плавно ортогональных векторов? (Думаю это такая система, в которой каждый вектор хотя бы с одним ортогонален, если так, то не любая такая система является ЛЗ, т.к. система может полностью состоять из ортогональных векторов)

4. Написать цепочку инвариантных подпространств преобразования, которое имеет единственное собственное значение с алгебраической кратностью 3 и геометрической кратностью 2.

<!-- Т.к. не оговорено, что линейное преобразоваине определено над полем вещественных чисел, будем считать, что оно определено над полем комплексных чисел, это значит, что все корни характеристического уравнения являются собственными значениями линейного преобразования. Это значит, что линейный оператор можно привести к каноническому виду (жордановой форме). Алгебраическая крастность линейного оператора - 3, значит, на главной диагонали жордановой формы будет три собственных значения (равных, кратности 3), а это значит, что размерность векторного пространства, на котором определено линейное преобразование, равно трем. -->


<!-- Это значит, что степень корневого подпространства линейного преобразования не превосходит трех. Размерность $K_{\lambda}^1$ равна двум, т.к. это инариантное подпространство, построенное на собственных векторах, принадлежащих одному собственному значению, геометрической кратности 2. Это значит, что размерность $K^2_{\lambda}$ не меньше двух, т.е. $m \leq 2$.

$V = K_{\lambda}^1 \oplus L$. Пусть $s \in K_{\lambda}^2 \Rightarrow s \notin K_{\lambda}^1 \Rightarrow s \in L$

$\{\theta\}$ <img src=https://hackmd.io/_uploads/H1gRquCFvh.png, width=15> $K^1_{\lambda}$ <img src=https://hackmd.io/_uploads/H1gRquCFvh.png, width=15> $K^2_{\lambda}$ -->

5. Сформулировать теорему о структуре невыврожденного линейного преобразования. Объяснить геометрический смысл преобразования матрица которого имеет вид $\begin{pmatrix}2 && 0 && 0 \\ 0 && -3 && 0 \\ 0 && 0 && 0\end{pmatrix}$


Геометрический смысл $\begin{pmatrix}2 && 0 && 0 \\ 0 && -3 && 0 \\ 0 && 0 && 0\end{pmatrix}$ - растяжение $\bar{i}$ в два раза, отражение $\bar{j}$ и растяжение в 3 раза, проектирование $\bar{k}$ на $\bar{i}\bar{j}$

# Билет 112
1. Дать определение линейно зависимой системы. Доказать что система содержащая нулевой вектор - ЛЗ.

ЛЗС - такая система $\{v_i\}_{i \leq n}$, для которой при $\lambda_1, ..., \lambda_n, \exists \lambda_i \neq 0: \sum_{i}v_i\lambda_i = \theta$

Если хоть один вектор $= \theta$, то можно выбрать коэффициенты такие, что для $v_k = \theta$ коэффициент не равен нулю, а при других векторах любые коэффициенты, тогда $\sum_{i}v_i\lambda_i = \lambda_k \cdot v_k = \lambda_k \cdot \theta = \theta$

2. Геометрический смысл матрицы Грама. Найти расстояние от конца вектора $\begin{pmatrix}1&&2&&3&&4\end{pmatrix}$, до подпространства заданного $x_1-x_2+x_3-x_4=0$.

Матрица Грама $= \big((a_i, a_j)\big)_{i, j \leq n}$, где $a_i, a_j$ - выбранные векторы. Геометрический смысл определителя матрицы Грама - квадрат объема $n$-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $a_i, i \leq n$

1. $A = \begin{pmatrix}1&&-1&&1&&-1\end{pmatrix} \Rightarrow$ $\phi_1 = \begin{pmatrix}1&&1&&0&&0\end{pmatrix}, \phi_2 = \begin{pmatrix}-1&&0&&1&&0\end{pmatrix}, \phi_3 = \begin{pmatrix}1&&0&&0&&1\end{pmatrix}$
2.
$$
\begin{cases}
(\phi_1, \phi_1)l1 + (\phi_1, \phi_2)l2 + (\phi_1, \phi_2)l3 = (x, \phi_1)\\
(\phi_2, \phi_1)l1 + (\phi_2, \phi_2)l2 + (\phi_2, \phi_3)l3 = (x, \phi_2)\\
(\phi_3, \phi_1)l1 + (\phi_3, \phi_2)l2 + (\phi_3, \phi_3)l3 = (x, \phi_3)
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{pmatrix}
2 && -1 && 1 \\
-1 && 2 && -1 \\
1 && -1 && 2 \\
\end{pmatrix}
l =
\begin{pmatrix}
3 \\ 2 \\ 5
\end{pmatrix}
$$

3. Приводим к ступенчатому виду блочную матрицу, получаем $l_1 = 1.5, l_2 = 3.5, l_3 = 3.5 \Rightarrow l = l_1\phi_1 + l_2\phi_2 + l_3\phi_3 = \begin{pmatrix}1.5\\1.5\\3.5\\3.5\end{pmatrix} \Rightarrow h = x - l = \begin{pmatrix}-0.5\\0.5\\-0.5\\0.5\end{pmatrix},$ тогда, длина между подпространством и вектором будет равна $|h| = 1$

3. Какое отображение называют сюръективным. Приведите пример сюръективного, но не биективного отображения.

Отображение $f: X \to Y$ называется сюръективным, если $\forall y \in Y: \exists x \in X: f(x) = y$

Пример сюръективного, но не биективного отображения - $\tan x$

4. Дана диагональная матрица состоящая из жордановых клеток, найти характеристический многочлен, с. з. И их кратности.

$J_A \Rightarrow \det(J_A-\lambda E) = 0 \Rightarrow$ ищем собственные значения, кратности

5. Что такое самосопряженная матрица. Привести матрицу к каноническому виду и пояснить геометрический смысл

Сопряженным преобразованием $A$ называется такое преобразование $A^*$, что выполняется $(A(x), y) = (x, A^*(y))$, самосопряженным преобразованием называется преобразование $A = A^*$

Канонический вид матрицы - диагональный вид: находим СЗ, СВ, ортогонализуем и нормируем СВ $\Rightarrow A_S = S^TAS$
$$
A_S =
\begin{pmatrix}
\lambda_1 && ... && 0\\
... && ... && ... \\
0 && ... && \lambda_k
\end{pmatrix}
$$

Причем $\lambda_i$ стоит $n_i$ раз *(алгебраическая кратность)*

<!-- - матрица ортогонального преобразования:
1. Находим собственные значения

Если СЗ $= \pm 1$ - решаем ФСР, получаем СВ
Если СЗ $= \alpha \pm \beta i$ - решаем ФСР, получаем СВ из вещественной и мнимой частей вектора

2. Ортогонализуем и нормируем СВ $\Rightarrow S = (\bar{S_1}...\bar{S_n})$

$A_s = S^TAS$

$$A_s =
\begin{pmatrix}
\pm 1 && ... && 0 && 0 && ... && 0\\
... && ... && ... && ... && ... && 0\\
0 && ... && \pm 1 && 0 && ...&& 0 \\
0 && ... && 0 && R_{\phi_1} && ... && 0\\
... && ... && ... && ... && ... && ...\\
0 && ... && 0 && 0 && ... && R_{\phi_k}\\
\end{pmatrix}
\text{, где } R_{\phi} =
\begin{pmatrix}
\cos \phi && \sin \phi \\
-\sin \phi && \cos \phi
\end{pmatrix}
$$

3. Смысл - если на строке число - отражение или тождественное преобразование, иначе - поворот $i$ и $i + 1$ базисного вектора на $\phi$ -->

# Билет 125

Билет 125
1) Определение нулевого элемента линейного пространства. Доказать, что произведение нулевого вектора ЛП на любое число равно нулевому вектору $\lambda o = o$

Нулевым элементом ленейного пространства называется такой элемент векторного пространства, что он удовлетворяет следующей аксиоме:

$$\forall v \in V: o + v = v + o = v$$

Доказательство утверждения:

По аксиомам линейного пространства

$$\forall v \in V: \lambda v = \lambda (v + o) = \lambda v + \lambda o \Rightarrow (-\lambda v) + \lambda v = (-\lambda v) + \lambda v + \lambda o \Rightarrow o = \lambda o,$$

для произвольного $\lambda$ из числового поля, над которым определено линейное пространство.

2) Алгоритм Грама-Шмидта ортогонализации ЛНЗ системы векторов. Ортогонализовать первые 2 элемента стандартного базиса пространства $P_1$ многочленов степени не выше 1, в котором скалярное произведение задано $(p, q) = p(0)q(0) + p(1)q(1)$.

Алгоритм Грама-Шмидта ии ЛНЗ системы векторов:

Пусть задана ЛНЗ система векторов $v_1, ..., v_n$, необходимо найти ортоганальную систему ЛНЗ векторов $w_1, ..., w_n$ того же пространства, чтобы $$Lin(v_1, ..., v_n) = Lin(w_1, ..., w_n).$$

1. $w_1 = v_1$
2. $w_2 = v_2 - \alpha_{21} \cdot w_1$, где $\alpha_{21} = \dfrac{(v_2, w_1)}{(w_1, w_1)}$, и т.д.

На $k$-й итерации $w_k$ будет выражаться следующим образом:

$$w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k - 1}\alpha_{ki}w_i \text{, где } \alpha_{ki} = \frac{(v_k, w_i)}{(w_i, w_i)}.$$

В итоге получится требуемая система $w_1, ..., w_n$.

3) Преобразование $A: V_3 \to V_2$ задано $A(v) = [i, v]$. Проверить на иньективность, сюрьективность, обратимость, линейность. Найти ядро, образ, дефект, ранг.

1. По аскиомам векторного умножения, $A$ - линейно.
2. $A(v) = o \Leftrightarrow v$ коллинеарен $i$, следовательно, $Ker(A) = Lin(i)$, дефект $A$ равен 1.
$A(v) \neq o \Rightarrow A(v) \perp i \Rightarrow Im(A) = Lin(j, k)$, ранг $A$ равен двум.
3. Ранг $A$ равен 1, следовательно, $A$ не инъективно, дефект $A$ равен размерности $V_2$, т.е. 2, следовательно, $A$ сюръективно.
$A$ не инъективно, следовательно, не обратимо.

4) Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов. Задано преобразование $D^2(x) = p''(x)$ (двойное дифференцирование), над $P_2$ многочленов степени не выше 2, найти собственные значения и собственные векторы преобразования.

**Теория**

Пусть задано линейное преобразование $A$, тогда для нахождения собственных значений необходимо решить характеристическое уравнение $\det(A - \lambda E) = 0$.
Если корнем характеристического уравнения является комплесное значение и $A$ определено над пространством вещественных чисел, то оно не является собственным значением этого линейного преобразования.

Для нахождения собственных значений нужно решить линейную систему уравнений $(A - \lambda E)s = 0$ для всех собственных значений $A$.

**Решение задачи**

Для решения задачи выберем стандартный базис $P_2$: $(x^2, x, 1)$, элемент векторного пространства запишем в общем виде: $p(x) = a x^2 + b x + c$, его координатный вектор: ${\begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}}^{T}$

Найдем матрицу преобразования $D^2$:

1. $D^2(x^2) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 \cdot 1$
2. $D^2(x) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 \cdot 1$
3. $D^2(1) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 \cdot 1$

Матрица преобразования: $D^2 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Найдем ее сообственные значения:

$$\det(D^2 - \lambda E) = \begin{pmatrix}
0 - \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 - \lambda & 0 \\
2 & 0 & 0 - \lambda \\
\end{pmatrix} = -\lambda^3 = 0,$$

Следовательно, единственное собственное значение $D^2: \lambda_1 = 0$

Для $\lambda_1 = 0$: $$(D^2 - \lambda_1 E)s = {\begin{pmatrix}0 & 0 & 2s_3\end{pmatrix}}^{T} = o$$ $$\Rightarrow s^1 = c_1 \cdot {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}}^{T}, c_1 \in \mathbb{R}$$

5) Полярное разложение. Матрица $A = {\begin{pmatrix} 13 & -15 \\ 9 & 5\end{pmatrix}}.$ Найти A = SQ.

1. $C = AA^{T} = \begin{pmatrix}394 & 42 \\ 42 & 106 \end{pmatrix}$
2. $|C - \lambda E| = \begin{pmatrix}394 - \lambda & 42 \\ 42 & 106 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2-500\lambda + 40000 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 100, \lambda_2 = 400$
3. $\Lambda = diag(\lambda_1, \lambda_2) = \begin{pmatrix}10 & 0 \\ 0 & 20\end{pmatrix}$
Для $\lambda_1$:
$|C - \lambda_1E| = \begin{pmatrix}294 & 42 \\ 42 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}7 & 1 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow s_1 = {\begin{pmatrix}1 & -7\end{pmatrix}}^{T}$
Для $\lambda_2$:
$|C - \lambda_2E| = \begin{pmatrix}-6 & 42 \\ 42 & -294 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}-1 & 7 \\ 1 & -7 \end{pmatrix} \Rightarrow s_1 = {\begin{pmatrix}7 & 1\end{pmatrix}}^{T}$

Т.к. векторы $s_1, s_2$ уже ортаганальны, приступаем к нормировке.

$d_1 = \frac{s_1}{|s_1|} = \frac{s_1}{\sqrt{50}},$
$d_2 = \frac{s_2}{|s_2|} = \frac{s_2}{\sqrt{50}}$

$D = \frac{1}{\sqrt{50}}\begin{pmatrix}1 & 7 \\ -7 & 1 \end{pmatrix}$
$D^{-1} = \frac{1}{\det D}D^{*} = \frac{1}{\sqrt{50}}\begin{pmatrix}1 & -7 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}$

4. $S = D \sqrt{\Lambda} D^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}99 & 7 \\ 7 & 51\end{pmatrix}$
$S^{-1} = \frac{1}{1000}\begin{pmatrix}51 & -7 \\ -7 & 99\end{pmatrix}$
5. $Q = S^{-1}A = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -4 \\ 4 & 3\end{pmatrix}$

# Билет 130
1. Определение матрицы перехода. Задан базис в $P_2: (1-x, 1+x, x^2+1)$. Найти матрицу перехода к стандартному базису $(1, x, x^2)$.

Обозначим $(1-x, 1 + x, x^2+1) = (f_1, f_2, f_3), (1, x, x^2) = (e_1, e_2, e_3)$

Выразим $(f)$ через базис $(e)$
\begin{equation}
f_1 = e_1 - e_2 \\
f_2 = e_1 + e_2 \\
f_3 = e_1 + e_3
\end{equation}

И в координатной форме:

\begin{equation}
f_1 = {\begin{pmatrix}1 &-1 & 0\end{pmatrix}}^{T} \\
f_2 = {\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\end{pmatrix}}^{T} \\
f_3 = {\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\end{pmatrix}}^{T}
\end{equation}

Матрица перехода $(e) \to (f)$
$$S_{(e) \to (f)} =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Тогда $$S_{(f) \to (e)} = S^{-1}_{(e) \to (f)} =
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$

2. Определение ортогональной проекции вектора на подпространствово. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора $v={\begin{pmatrix}2 & -4 & 6 & -8\end{pmatrix}}^{T}$ относительно подпространствава $Lin(e)$, $e={\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}}^{T}$.

Ортогональной проекцией вектора $v$ на подпространство $L$ конечномерного линейного пространства $V$ называется вектор $l = v - h, h \in L^{\perp}$, $L^{\perp}$ - ортоганальное дополнение $L$ до $V$.

$(e, e) l = (e, v) \Leftrightarrow 4 l_1 = -4 \Rightarrow l_1 = -1 \Rightarrow l = l_1 e = {\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1 & -1\end{pmatrix}}^{T}$

$h = v - l = {\begin{pmatrix}3 & -3 & 7 & -7\end{pmatrix}}^{T}$

3. Отображение $A: M^{2\times2} \to \mathbb{R}$ - сумма элементов матрицы порядка 2. Найти ядро, дефект, образ, ранг. Проверить инъективность, сюръективность, биективность, обратимость, линейность.

1. Линейность очевидна, Бортаковский летает.
2. $A(M) = A(a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3 + a_4e_4) = a_1A(e_1) + a_2A(e_2) + a_3A(e_3) + a_4A(e_4) =$
$=a_1 + a_2 + a_3 + a_4,$ если $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ - стандартный базис.

Тогда $A(M) = 0 \Leftrightarrow a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0$.
Выразив $a_1$ через $a_2, a_3, a_4$ получим, что $a_1$ - базисная переменная ЛСУ, а $a_2, a_3, a_4$ - свободные переменные ЛСУ. Тогда получается, что базисными векторами ядра $A$ являются векторы $f_1 = \begin{pmatrix}-1 & 1 & \\ 0 & 0\end{pmatrix}, f_2 = \begin{pmatrix}-1 & 0 & \\ 1 & 0\end{pmatrix}, f_3 = \begin{pmatrix}-1 & 0 & \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, следовательно, $Ker(A) = Lin(f_1, f_2, f_3)$, а дефект ядра равен трем.

Образ $A$, очевидно, равен $\mathbb{R}$, следовательно, ранг равен единице.

3. Не инъективно, потому что дефект отображения не равен нулю, сюрьективно, потому что ранг отображения равен размерности $\mathbb{R}$, не биективно, потому что не инъективно, а не обратимо, потому что не биективно.

4. Сформулировать теорему о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Может-ли линейное преобразование на $V_3$ (или $V_2$) не иметь собственных векторах. Обосновать.

1. Собственным векторам линейного преобразования соответсвтуют координатные столбцы собственных векторов матрицы этого преобразования.

Да, может, т.к. линейные преобразования определены на векторных пространствах над полем действительных чисел. Если же характеристическое уровнение линейного преобразования в качестве корней имеет лишь комплексные значения, то собственных векторов у линейного оператора не будет.

5. Алгоритм нахождения многочлена от матрицы с помощью теоремы Гамильтона-Кэли.

По теореме Гамильтона-Кэли характеристический многочлен для матрицы линейного оператора является для нее аннулирующим. Отсюда следуедующий алгоритм:

$$p(\lambda) = q(\lambda) \Delta_{A}(\lambda) + r(\lambda)$$

Для $\lambda = \lambda_1$ кратности $n = n_1$

$r(\lambda) = r_{n-1} \lambda^{n-1} + ... + r_1 \lambda^1 + r_0$

\begin{cases}
p(\lambda_1) = r(\lambda_1) \\
\dfrac{d^i}{d \lambda^i} p(\lambda_1) = \dfrac{d^i}{d \lambda^i} r(\lambda_1), i = 1, ..., n - 1
\end{cases}

Находим $r_{n-1}, ..., r_0$

$p(A) = r(A) = r_{n-1} A^{n-1} + ... + r_1 A + r_0 E$