# 代數導論二 - Ideal & Quotient Ring

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*Group* 有 *quotient group*，那 *ring* 要怎麼造 *quotient ring*？

*ring* 內建一個可交換的加法群，所以很自然而然會想要從這個加法群下手，然後再想辦法湊湊看能不能讓做出來的 *coset* 們有某種符合 *ring* 定義的乘法。

首先，因為是個可交換的群，==任何可交換群的子群都 *normal*== (因為 $ghg^{-1} = gg^{-1}h$)。所以隨便挑一 *subring* $I$，配上下面的加法：

$$
\boxed{(r + I) + (s + I) = (r + s) + I}
$$

這所有做出來的 *coset* 會是 *well-defined* 的 *quotient group*。所以加法沒有什麼問題要擔心。

## 觀察：定義 Coset 間乘法

接下來的問題是：這所有加法做出來的 *coset* 們，==要怎麼樣才有 *well-defined* 的乘法？== 因為希望乘法是「代表元素相乘」，所以會期待乘法的定義是：

$$
\boxed{(r + I) \times (s + I) = (rs) + I}
$$

但這就碰到兩個問題：這個乘法要怎麼樣才會 *well-defined*？以及什麼時候這個乘法會滿足 *ring* 的要求？

### 觀察：Well-defined 的條件

對於第一個問題，也就是在問「如果挑了不同的代表元素，乘起來的結果會一樣嗎？」這也就是在問：對於任意 $\alpha, \beta \in I$，以下的等式要怎麼樣才會成立：

$$
\begin{align}
(r + \alpha)(s &+ \beta) + I &
\newline
&= (rs) + I
\end{align}\forall \alpha, \beta \in I;\ r,s \in R
\quad (1)
$$

把等號左邊展開：

$$
(rs + \alpha s + r\beta + \alpha\beta) + I = (rs) + I
$$

首先，$\alpha\beta \in I$，所以有沒有加上他都沒有關係。因此剩下的問題是：

$$
(rs + \alpha s + r\beta) + I = (rs) + I
$$

這個東西離 $rs + I$ 只差在 $\alpha s$ 跟 $r\beta$ 是不是在 $I$ 裡面。也就是問：對於對於任意 $r, s \in R$，以及任意 $\alpha, \beta \in I$，下面這兩件事是否成立：

$$
\begin{align}
\alpha s &\in I &\forall \alpha \in I, s \in R
\newline
r \beta &\in I &\forall \beta \in I, r \in R
\end{align}
$$

因為 $r, s$ 的選取各自跑遍整個 $R$，而 $\alpha, \beta$ 的選取也是跑遍整個 $I$ 。為了方便，就把符號簡化一下。問題就在於：對於任意 $r \in R$，是否有：

$$
\begin{align}
r\alpha \in I \quad \forall \alpha \in I
\newline
\alpha r \in I \quad \forall \alpha \in I
\end{align}
$$

或者是寫成集合的形式：定義：

$$
\begin{align}
rI &= \{ra \mid a \in I\}
\newline
Ir &= \{ar \mid a \in I\}
\end{align}\quad (2)
$$

有了 $(2)$ 的話，就可以從下面一路往上，知道 $(1)$ 會成立; 反之，如果有 $(1)$ 的話，令 $r, \alpha$ 都是 $0$，就會得到 $(2)$ 的其中一個結果; 令 $s, \beta = 0$，就會得到 $(2)$ 的另外個結果。所以：

:::danger

假定 $R$ 是一個 *ring*，且 $I$ 是 $R$ 的 *subring*。若定義以下乘法 $\times_I$：

$$
(r + I) \times_I (s + I) = (rs) + I
$$

則這個運算 *well-defined* 的充分必要條件是「對於任意 $r \in R$， $rI$ 與 $Ir$ 都包在 $I$ 中」。即：

$$
\begin{align}
&\times_I \text{ is }\mathbf {well\ defined}
\newline
&\iff rI, Ir \subseteq I \quad \forall r \in R
\end{align}
$$

:::

其中，*well-defined* 的意思是：對於任意 $\alpha, \beta \in I$，都有：

$$
\begin{align}
(r + I) &\times_I (s + I)
\newline
&= (r + \alpha + I)\times_I (s + \beta + I)
\end{align}
$$

或是依照 $\times_I$ 的定義展開的話，意思是左右兩邊的結果要一樣：

$$
(rs) + I = (r + \alpha)(s + \beta) + I
$$

為了方便，這個運算就用 $\times$ 代替，而不是寫 $\times_I$。反正左右兩邊都是 *coset* 的時候，就自己知道乘法是這個樣子就好。

### 觀察：Well-defined 就有結合律

除了這之外，如果上面的乘法 *well-defined*，那就自帶結合律。因為乘法現在可以化簡成代表元素的乘法了，而這「代表元素」間的乘法，就是 *ring* 自己的乘法。所以如果 *ring* 的乘法已經保證結合律，那聽起來 *coset* 乘法也要有結合律：

:::danger

假定 $R$ 是一個 *ring*，且對於任意 $r \in R$，滿足：

$$
\begin{align}
rI \subseteq I
\newline
Ir \subseteq I
\end{align}
$$

若定義以下的運算：

$$
(r + I) \times (s + I) = (rs + I)
$$

則該運算有結合律。即：

$$
\begin{align}
\bigg((a_1 + I)&(a_2 + I)\bigg)(a_3 + I)
\newline
&= (a_1 + I)\bigg((a_2 + I)(a_3 + I)\bigg)
\end{align}
$$

:::

這其實證明就很簡單：因為左右兩邊的乘法最後的結果都是：

$$
(a_1a_2a_3) + I
$$

## 定義：Ideal

現在有了一個「*subring* 所形成的 *coset* 們能成為 *ring*」的條件，也就是：任何 $R$ 中元素跟 $I$ 左乘或右乘形成的集合，都會包在原來的 $I$ 中。而==滿足這個條件的 *subring* ，就會稱它為一個 *ideal*==：

:::warning

假定 $R$ 是一個 *ring*。若一個 $I$ 是一個 $R$ 的 *subring*，定義以下

1. ++**Left Ideal**++

假定對於任意 $r \in R$，有：

$$
rI = \{ra \mid a \in I\} \subseteq I
$$

則稱 $I$ 為一個 *left ideal*。

2. ++**Right Ideal**++

假定對於任意 $r \in R$，有：

$$
Ir = \{ar \mid a \in I\} \subseteq I
$$

則稱 $I$ 為一個 *right ideal*。

3. ++**Ideal**++

若 $I$ 既是一個 *left ideal*，也是一個 *right ideal*。即：對於任意 $r \in R$，有：

$$
\begin{align}
rI \subseteq I
\newline
Ir \subseteq I
\end{align}
$$

則稱 $I$ 是一個 *Ideal*。或是稱之為 *two-sided ideal*。

:::

可以觀察到：如果乘法是可交換的，那麼 *right ideal*、*left ideal* 跟 *ideal* 的定義都是等價的。把這個術語用進來，*coset* 間的乘法是 *well-defined* 的條件就可以說成：

## 定義：Coset 間乘法

:::warning

假定 $R$ 是一個 *ring*，且 $I$ 是一個 *ideal*。則對於任意 $r, s \in R$，下列定義的運算 $\times_I$ 是 *well-defined* 的：

$$
(r + I) \times_I (s + I) = (rs) + I
$$

:::

最後的最後，把上面的定義與推論總結起來，就會自然而然得出 *quotient ring* 的條件與定義：

## 定義：Quotient Ring

:::warning

假定 $R$ 是一個 *ring*，且 $I \subseteq R$ 是一個 *ideal*。若定義：

$$
\begin{align}
(r + I) +_I (s + I) &= (r + s) + I
\newline
(r + I) \times_I (s + I) &= (rs) + I
\end{align}
$$

則所有 $I$ 在加法意義下形成的 *coset*，配上上述兩個運算，可以形成一個 *ring*。即：

$$
(R/I, +_I, \times_I) \text{ is a }\mathbf{ring}
$$

這個 *ring* 稱為 $R$ 對 $I$ 的 *quotient ring*。

:::

為了方便，$+_I$ 與 $\times_I$ 這兩個運算日後就寫成 $\times$ 跟 $+$。只要看到兩邊都是 *coset* 就自動把他看成是 *coset* 的運算。