# 代數導論二 - Subring

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## 定義：Subring

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假定 $(R, +, \times)$ 是一個 *ring*，且 $R' \subseteq R$ 滿足下列兩個性質：

**1. 配上加法是個 subgroup**：

$$
R' \leq R
$$

**2. 乘法封閉**

$$
\forall a', b' \in R'.(a'\times b') \in R'
$$

則稱 $R'$ 是一個 $R$ 的 *subring*。
:::

可以注意的是：驗證「$R' \leq R$」可以利用 *subgroup criterion*：要驗證 $R' \leq R$ 就是要驗證下面這個東西是不是封閉：

$$
(a' - b') \in R' \quad \forall a', b' \in R'
$$

(在群裡面的 *subgroup criteria* 都是驗 $ab^{-1}$，不過因為現在是個加法群，所以就換成 $a - b$ 了。)

除此之外，這裡有一個尷尬的問題：並沒有特定的符號來表示 「誰是誰的 *subring*」，不像子群那樣用「$\leq$」來表示。有一些書會用「$\subseteq$」來表示，但這很明顯會跟集合搞混。所以這邊就直接都用文字敘述。

### 觀察：等價條件

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假定 $R$ 是一個環，且 $R' \subseteq R$。則 $R'$ 是 $R$ 的 *subring* 的充要條件是同時滿足下面所有條件：

1. $R'$ 非空：
$$
R' \neq \phi
$$

2. 減法封閉：

$$
a - b \in R' \quad \forall a, b \in R'
$$

3. 乘法封閉：

$$
a \cdot b \in R' \quad \forall a, b \in R'
$$
:::

都有乘法封閉。所以只要驗證 $1, 2$ 跟前面的群可以互推就好。

首先，如果 $R'$ 滿足前面的定義，因為 $(R', +)$ 是一個群，所以至少要有加法單位元在裡面，因此 $R' \neq \phi$; 而也因為 $(R', +)$ 是一個群，所以：

$$
b \in R' \Rightarrow -b \in R' \Rightarrow a + (-b) \in R'
$$

另外一方面，假定 $R'$ 非空而且減法封閉，那麼減法封閉就自動有 *subgroup* (那個 *subgroup* 的測試)。因為取 $a = b$ 就會有 $0 \in R'$，就自動有加法單位元。對於任意 $a \in R'$：

$$
0 - a = -a \in R'
$$

所以反元素也在裡面; 最後，因為加法直接用 $R$ 上的加法，所以結合律跟交換都自動保證。